浙江省寧波市2022屆高三第一學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷

浙江省寧波市2022屆高三第一學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理）試卷 本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分．全卷共4頁(yè),選擇題部分1至3頁(yè),非選擇題部分3至4頁(yè)．滿分150分,考試時(shí)間120分鐘．請(qǐng)考生按規(guī)定用筆將所有試題的答案涂、寫在答題紙上．參考公式：如果事件A，B互斥，那么 柱體的體積公式V=ShP(A+B)=P(A)+P(B) 其中S表示柱體的底面積，h表示柱體的高如果事件A，B相互獨(dú)立，那么 P(A·B)=P(A)·P(B) 錐體的體積公式V=Sh如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是p,那么n 其中S表示錐體的底面積，h表示錐體的高次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率 Pn(k)=(1-p)n-k(k=0,1,2,…n) 臺(tái)體的體積公式球的表面積公式S=4πR2，其中R表示球的半徑 其中S1,S2分別表示臺(tái)體的上,下底面積，球的體積公式V=πR3，其中R表示球的半徑 h表示臺(tái)體的高 第Ⅰ卷（選擇題共50分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．（1）已知i為虛數(shù)單位，則(A)(B)(C)(D)（2）已知R，則“”是“”的 (A)充分不必要條件 (B)必要不充分條件(C)充要條件 (D)既不充分也不必要條件（3）200輛汽車經(jīng)過(guò)某一雷達(dá)地區(qū)，時(shí)速頻率分布直方圖如圖所示，則時(shí)速超過(guò)60km/h的汽車數(shù)量為（A）65輛（B）76輛（C）88輛（D）輛95（4）下列命題中，錯(cuò)誤的是（A）一條直線與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)相交，則必與另一個(gè)平面相交（B）平行于同一平面的兩個(gè)不同平面平行（C）如果平面不垂直平面，那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面（D）若直線不平行平面，則在平面內(nèi)不存在與平行的直線（5）設(shè)集合，，若，則實(shí)數(shù)的值為(A)或(B)或(C)或(D)或或是否開始是否開始結(jié)束輸出(A)1(B)(C)(D)（7）設(shè)點(diǎn)是的重心，若，，則的最小值是(A) (B)(C) (D)（8）已知是定義在實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，且，函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，且，則集合=（A）（B）（C）（D）（9）設(shè)點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為的內(nèi)心，若，則該橢圓的離心率是(A)(B)(C)(D)（10）設(shè)函數(shù)是定義在R上以為周期的函數(shù)，若在區(qū)間上的值域?yàn)?，則函數(shù)在上的值域?yàn)?A)(B)(C)(D)非選擇題部分(共100分)二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分．（11）的展開式中的系數(shù)是▲.（12）如圖是一個(gè)組合幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是▲.123（13）已知某隨機(jī)變量的概率分布列如右表，其中，隨機(jī)變量的方差，123則▲.（14）若，且，則▲.（15）已知實(shí)數(shù)滿足，若是使得取得最小值的可行解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為▲.（16）已知函數(shù)的圖象為雙曲線，在此雙曲線的兩支上分別取點(diǎn)，則線段PQ長(zhǎng)的最小值為▲.（17）把已知正整數(shù)表示為若干個(gè)正整數(shù)（至少3個(gè)，且可以相等）之和的形式，若這幾個(gè)正整數(shù)可以按一定順序構(gòu)成等差數(shù)列，則稱這些數(shù)為的一個(gè)等差分拆．將這些正整數(shù)的不同排列視為相同的分拆．如：（1，4，7）與（7，4，1）為12的相同等差分拆．問正整數(shù)30的不同等差分拆有▲個(gè)．三、解答題：本大題共5小題，共72分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．（18）（本題滿分14分）已知，滿足．（I）將表示為的函數(shù)，并求的最小正周期；（II）已知分別為的三個(gè)內(nèi)角對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)，若對(duì)所有恒成立，且，求的取值范圍．（19）（本題滿分14分）在數(shù)列中，為其前項(xiàng)和，滿足．（I）若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）若數(shù)列為公比不為1的等比數(shù)列，求．（20）（本題滿分14分）已知四棱錐中，，底面是邊長(zhǎng)為的菱形，，．（I）求證：；（II）設(shè)與交于點(diǎn)，為中點(diǎn)，若二面角的正切值為，求的值．（21）（本題滿分15分）設(shè)函數(shù)，且為的極值點(diǎn)．(Ⅰ)若為的極大值點(diǎn)，求的單調(diào)區(qū)間（用表示）；(Ⅱ)若恰有1解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（22）（本題滿分15分）長(zhǎng)為3的線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別在軸上移動(dòng)，點(diǎn)在直線上且滿足．（I）求點(diǎn)的軌跡的方程；（II）記點(diǎn)軌跡為曲線，過(guò)點(diǎn)任作直線交曲線于兩點(diǎn)，過(guò)作斜率為的直線交曲線于另一點(diǎn)．求證：直線與直線的交點(diǎn)為定點(diǎn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)），并求出該定點(diǎn)．2022學(xué)年第一學(xué)期高三期末試卷數(shù)學(xué)（理科）參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)說(shuō)明：一、本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容制訂相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則．二、對(duì)計(jì)算題，當(dāng)考生的．、解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)．四、只給整數(shù)分?jǐn)?shù)．選擇題和填空題不給中間分．一、選擇題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算。每小題5分，滿分50分．（1）D（2）B（3）B（4）D（5）C（6）C（7）B（8）A（9）A（10）C二、填空題:本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算．每小題4分，滿分28分．（11）6（12）（13）（14）1（15）（不扣分）（16）（17）19三、解答題：本大題共5小題，共72分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．（18）（本題滿分14分）解：（I）由得即所以，其最小正周期為．……………6分（II）因?yàn)閷?duì)所有恒成立所以，且因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，所以，所以．……………9分由正弦定理得，，，，，所以的取值范圍為…………14分（19）（本題滿分14分）解：（1）當(dāng)時(shí)，所以,即……3分所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．……………6分（II）當(dāng)時(shí)，，，，若，則，從而為公比為1的等比數(shù)列，不合題意；……………8分若，則，，由題意得，，所以或．……10分當(dāng)時(shí),，得,,不合題意；…12分當(dāng)時(shí)，，從而因?yàn)?，為公比?的等比數(shù)列,，所以，從而．………14分（20）（本題滿分14分）解：（I）因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥BD又ABCD為菱形，所以AC⊥BD,所以BD⊥平面PAC從而平面PBD⊥平面PAC．……………6分（II）過(guò)O作OH⊥PM交PM于H，連HD因?yàn)镈O⊥平面PAC，可以推出DH⊥PM,所以∠OHD為A-PM-D的平面角又，且從而所以，即．………14分法二：如圖,以為原點(diǎn),所在直線為軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系，則,,…………8分從而因?yàn)锽D⊥平面PAC,所以平面PMO的一個(gè)法向量為．設(shè)平面PMD的法向量為,由得取，即……………11分設(shè)與的夾角為，則二面角大小與相等從而，得從而，即．……………14分（21）（本題滿分15分）解：因?yàn)闉榈臉O值點(diǎn)，所以所以且，……………3分（I）因?yàn)闉榈臉O大值點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以的遞增區(qū)間為，；遞減區(qū)間為．…………6分（II）若，則在上遞減，在上遞增恰有1解,則，即,所以；…………9分若，則，因?yàn)?，則，從而恰有一解；……………12分若，則，從而恰有一解；所以所求的范圍為．……………15分（