高中數(shù)學(xué)不等式綜合復(fù)習(xí)

不等式專題一．不等式的基本性質(zhì)a;ab0a.ab0a;ab0abbaab,bcacabacbcab,cdacbdab,cdacbdacbca.b,c0ab,c0acbcabcd0acbdab(9)ab0,0cdcd11a,0abab0anbn(nZ,且nab0ab(nZ,且nnn二．一元二次不等式1.不等式的解法（1）整式不等式的解法（根軸法）..特例①一元一次不等式>b解的討論；axb0(a0)bab當(dāng)a0xx,x|xabab當(dāng)a0時(shí)x|xa②一元二次不等式ax++c>0(≠0)解的討論.2一元二次不等式的解集000222二次函數(shù)yaxbxc2（0）的圖象aaxbxc02a0的根bxx212122R12212fxgx0fxgx0fxfx00gxf(x)g(x)g(x)0定義域fx3f(x)g(x)g(x)02gx（4）.指數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式af(x)a(a1)f(x)g(x);ag(x)a(0a1)f(x)g(x)g(x)f(x)af(x)b(a0,b0)f(x)lgalgb（5）對(duì)數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式f(x)0f(x)0f(x)g(x)(ag(x)0;f(x)g(xag(x)0aaaaf(x)g(x)f(x)g(x)（6）含絕對(duì)值不等式應(yīng)用分類討論思想去絕對(duì)值；應(yīng)用化歸思想等價(jià)轉(zhuǎn)化應(yīng)用數(shù)形思想；g(x)0|f(x)g(x)g(x)f(x)g(x)g(x)0f(x)g(x或f(x)g(x)|f(x)g(x)g(x)0(f(x),g(x不同時(shí)為0)或2：典型例題例1.求下列不等式的解集（1）3x5x20，2（2）x223x2（3）12x35的解集例2解下列不等式.3x5x22x3（1）(2x(x7)(32x)(x4)02236例3.38x3xx52x31例4：解關(guān)于的不等式x（1）x(3a)xa0222，（2）1、x2(aa)xa023202、22x3、(x2)(2)04、2x3a例5.已知不等式5xb0的解集是25xa0的解22集的解集為,則不等式{x|2x3}bxax10xaxb022的解集為__________.例6.若一元二次不等式4xa0的解集是R則的取值范圍是a2變式練習(xí)：1已知關(guān)于x的不等式a4xa2x10的取值范圍。a222、若不等式x2x1a對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。xa三基本不等式及其應(yīng)用1.幾個(gè)重要不等式（1）2aR,則|aa0（2）（當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）a、bR,ab2abab2|2ab)2222（3）如果,b都是正數(shù)，那么（當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）ab.2極值定理：若則：x,yR,xyS,xyP,1如果P是定值,那么當(dāng)x=y時(shí)，S的值最小；2如果S是定值,那么當(dāng)=y時(shí)，P的值最大.利用極值定理求最值的必要條件：一正、二定、三相等.（當(dāng)僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào)）abc(4)若、、cR,則abc33（當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）ba若0,則2ab(6)a時(shí)，|xaxaxa或xa;|xaxaaxa2222（7）b,則a||b|ab|a||b|2.幾個(gè)著名不等式（1）平均不等式：如果,b都是正數(shù)，那么（當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）2aba2b2.11ab22即：平方平均數(shù)≥算術(shù)平均數(shù)≥幾何平均數(shù)≥調(diào)和平均數(shù)（ab、abab（當(dāng)a=b時(shí)，(abab特別地，(）2222))222222abcabc2222(a,,cR,ab)331冪平均不等式：aaa(aaa)22222n1n12n注：例如：(acbd)(ab)(cd).22222常用不等式的放縮法：①1111111(nnn1n(nn2n(nn1n111②n1nn1(n1)nnn12nnn1（2）柯西不等式：若a,a,a,,aR,b,b,b,b;則123n123n22122nna23nbbbb123n若定義在某區(qū)間上的函數(shù)f(x),對(duì)于定義域中任意兩點(diǎn)x,x(xx1212f(x)f(x)f(x)f(x)或.2212212222則稱f(x)為凸（或凹）函數(shù).3.不等式證明的幾種常用方法1124x(1x)2xxx)()23223274y23222yx(1x)y223223279類似于ysinxcosxsinx(1sinx)，③11122xxx1x251例x技巧三：x27x例求y(xx1。技巧四axf(x)xx25yx24xx23x11y2x,x3y,(x（1）（2）x3x1y2sinx,x(0,)sinx23y(1)0xy(2)0x1ab233.ab11xyxy2y4419xy01xyxyx,yR2x且y111xy1xya,b,x,yRab且xyy2yx＋xy2221b＝abby＝x＋y15y2x152x(x)22a,b,c222abcabbccacabc11111182）已知cRabc1abc19xy01xym且mxy1ababPlgalgb,Q(lgalgb),Rlg()P,Q,R22是.四．簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃1y12x3y①則x2y..2yx1③2x03s5z3x2yy0yxs2x4y[6,15][7,15][6,8][7,8]14xy例，axya0）xyz2xy2(3,1)a。y4x3,例、已知雙曲線x220xy0xyxy0xy0y0xy0xxy0xy00x30x30x30x314xy例，axya0）xyz2xy2(3,1)a。20xy例20xyy05xy例xy名，x和y2x3y則2x11.z10x10y綜合檢測(cè)abba,b,a,b()AababBaabbCabbaDabab()(xx2)x1Ax0與x0B0與x202x21與x1x2Clog(3x2)0與3x21D1x1121x1()221B(0,)21D(0,)(1A(C)221x()xA{xxB{xx1或x{x1xD{x1x0或xCyx)1x()xA(B(C(D(若2m與m3則m()Am3B3m3C2m3D3m2或m3()1x23Ayx2By2xx22x25524CyDy23x243x24x(a2)x2(a2)x402則(xa)A(,2]B(,2)C(D(,x則x()ABCD(200,500)若ab()1111A和abab1111和Babaab1111CD和(a)b)22ababa111和(a)b)1ab22bax2yx,xy若則()22241B,03ACabDabab,m,nab則,n()abAmnBmnCmnDmna,abab則與4433(x24)(x6)0x1sinx若則,x2設(shè)x,yx4yx,yR,xy