五年級(jí)奧數(shù)-第十講.數(shù)論之余數(shù)問題.教師版

6/6五年級(jí)奧數(shù)-第十講.數(shù)論之余數(shù)問題.教師版第十講：數(shù)論之余數(shù)問題

余數(shù)問題是數(shù)論知識(shí)板塊中另一個(gè)內(nèi)容豐富，題目難度較大的知識(shí)體系，也是各大杯賽小升初考試必考的奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)，所以學(xué)好本講對(duì)于學(xué)生來說非常重要。

許多孩子都接觸過余數(shù)的有關(guān)問題，并有不少孩子說“遇到余數(shù)的問題就基本暈菜了！”

余數(shù)問題主要包括了帶余除法的定義，三大余數(shù)定理(加法余數(shù)定理，乘法余數(shù)定理，和同余定理)及中國(guó)剩余定理和有關(guān)棄九法原理的應(yīng)用。

知識(shí)點(diǎn)撥：

一、帶余除法的定義及性質(zhì)：

一般地，如果a是整數(shù)，b是整數(shù)(b工0)，若有a+b=qr，也就是a=bxq+r,

0wrvb;我們稱上面的除法算式為一個(gè)帶余除法算式。這里：

(1)當(dāng)r0時(shí)：我們稱a可以被b整除，q稱為a除以b的商或完全商

(2)當(dāng)r0時(shí)：我們稱a不可以被b整除，q稱為a除以b的商或不完全商

一個(gè)完美的帶余除法講解模型：

如圖，這是一堆書，共有a本，這個(gè)a就可以理解為被除數(shù)，現(xiàn)在要

求按照b本一捆打包，那么b就是除數(shù)的角色，經(jīng)過打包后共打包了c

捆，那么這個(gè)c就是商，最后還剩余d本，這個(gè)d就是余數(shù)。

這個(gè)圖能夠讓學(xué)生清晰的明白帶余除法算式中4個(gè)量的關(guān)系。并且可以看出余數(shù)一定要比除數(shù)小。

、三大余數(shù)定理：

1?余數(shù)的加法定理

a與b的和除以c的余數(shù)，等于a,b分別除以c的余數(shù)之和，或這個(gè)和除以c的余數(shù)。

例如：23,16除以5的余數(shù)分別是3和1，所以23+16=39除以5的余數(shù)等

于4，即兩個(gè)余數(shù)的和3+1.

當(dāng)余數(shù)的和比除數(shù)大時(shí)，所求的余數(shù)等于余數(shù)之和再除以c的余數(shù)。

例如：23,19除以5的余數(shù)分別是3和4，故23+19=42除以5的余數(shù)等于3+4=7除以5的余數(shù)，即2.

2.余數(shù)的乘法定理

a與b的乘積除以c的余數(shù)，等于a,b分別除以c的余數(shù)的積，或者這個(gè)積除以c所得的余數(shù)。

例如：23,16除以5的余數(shù)分別是3和1，所以23X16除以5的余數(shù)等于3X仁3。當(dāng)余數(shù)的和比除數(shù)大時(shí)，所求的余數(shù)等于余數(shù)之積再除以c的余數(shù)。

例如：23，19除以5的余數(shù)分別是3和4，所以23X19除以5的余數(shù)等于3X4除以5的余數(shù)，即

2.

3.同余定理

若兩個(gè)整數(shù)a、b被自然數(shù)m除有相同的余數(shù)，那么稱a、b對(duì)于模m同余，用式子表示為：aMb(modm)，左邊的式子叫做同余式。

同余式讀作：a同余于b，模m。由同余的性質(zhì)，我們可以得到一個(gè)非常重要的推論：

若兩個(gè)數(shù)a，b除以同一個(gè)數(shù)m得到的余數(shù)相同，則a，b的差一定能被m整除

用式子表示為：如果有aMb(modm)，那么一定有a-b=mk,k是整數(shù)，即m|(a—b)

三、棄九法原理：

在公元前9世紀(jì)，有個(gè)印度數(shù)學(xué)家名叫花拉子米，寫有一本《花拉子米算術(shù)》，他們?cè)谟?jì)算時(shí)通常是在一個(gè)鋪有沙子的土板上進(jìn)行，由于害怕以前的計(jì)算結(jié)果丟失而經(jīng)常檢驗(yàn)加法運(yùn)算是否正確，他們的檢驗(yàn)方式是這樣進(jìn)行的：例如：檢驗(yàn)算式1234189818922678967178902889923

1234除以9的余數(shù)為1

1898除以9的余數(shù)為8

18922除以9的余數(shù)為4

678967除以9的余數(shù)為7

178902除以9的余數(shù)為0

這些余數(shù)的和除以9的余數(shù)為2

而等式右邊和除以9的余數(shù)為3，那么上面這個(gè)算式一定是錯(cuò)的。

上述檢驗(yàn)方法恰好用到的就是我們前面所講的余數(shù)的加法定理，即如果這個(gè)等式是正確的，那么左邊幾個(gè)加數(shù)除以9的余數(shù)的和再除以9的余數(shù)一定與等式右邊和除以9的余數(shù)相同。

而我們?cè)谇笠粋€(gè)自然數(shù)除以9所得的余數(shù)時(shí)，常常不用去列除法豎式進(jìn)行計(jì)算，只要計(jì)算這個(gè)自然數(shù)的各個(gè)位數(shù)字之和除以9的余數(shù)就可以了，在算的時(shí)候往往就是一個(gè)9一個(gè)9的找并且劃去，所以這種方法被稱作“棄九法”。

所以我們總結(jié)出棄九發(fā)原理：任何一個(gè)整數(shù)模9同余于它的各數(shù)位上數(shù)字之和。

以后我們求一個(gè)整數(shù)被9除的余數(shù)，只要先計(jì)算這個(gè)整數(shù)各數(shù)位上數(shù)字之和，再求這個(gè)和被9除的余數(shù)即可。

利用十進(jìn)制的這個(gè)特性，不僅可以檢驗(yàn)幾個(gè)數(shù)相加，對(duì)于檢驗(yàn)相乘、相除和乘方的結(jié)果對(duì)不對(duì)同樣適用

注意：棄九法只能知道原題一定是錯(cuò)的或有可能正確，但不能保證一定正確。

例如：檢驗(yàn)算式9+9=9時(shí)，等式兩邊的除以9的余數(shù)都是0，但是顯然算式是錯(cuò)誤的但是反過來，如果一個(gè)算式一定是正確的，那么它的等式2兩端一定滿足棄九法的規(guī)律。這個(gè)思想往往可以幫助我們解決一些較復(fù)雜的算式迷問題。

四、中國(guó)剩余定理：

1.中國(guó)古代趣題：

中國(guó)數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》里有這樣的問題：“今有物，不知其數(shù)，三三數(shù)之，剩二，五五數(shù)之，剩三，七七數(shù)之，剩二，問物幾何？”答曰：“二十三?！?/p>

此類問題我們可以稱為“物不知其數(shù)”類型，又被稱為“韓信點(diǎn)兵”。韓信點(diǎn)兵又稱為中國(guó)剩余定理，相傳漢高祖劉邦問大將軍韓信統(tǒng)御兵士多少，韓信答說，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。劉邦茫然而不知其數(shù)。

我們先考慮下列的問題：假設(shè)兵不滿一萬(wàn)，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，則兵有多少？

首先我們先求5、9、13、17之最小公倍數(shù)9945（注：因?yàn)?、9、13、17為兩兩互質(zhì)的整數(shù)，故

其最小公倍數(shù)為這些數(shù)的積），然后再加3，得9948（人）。孫子算經(jīng)的及確實(shí)著作年代均不可考，不過根據(jù)

考證，著作年代不會(huì)在晉朝之后，以這個(gè)考證來說上面這種問題的解法，中國(guó)人發(fā)現(xiàn)得比西方早，所以這個(gè)問題的推廣及其解法，被稱為中國(guó)剩余定理。中國(guó)剩余定理（ChineseRemainderTheorem）在近代抽象代數(shù)學(xué)中占有一席非常重要的地位。

2.核心思想和方法：對(duì)于這一類問題，我們有一套看似繁瑣但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我們就以《孫子算經(jīng)》中的問題為例，分析此方法:今有物，不知其數(shù)，三三數(shù)之，剩二，五五數(shù)之，剩三，七七數(shù)之，剩二，問物幾何？題目中我們可以知道，一個(gè)自然數(shù)分別除以3，5，7后，得到三個(gè)余數(shù)分別為2，3，2.那么我們首先構(gòu)造一個(gè)數(shù)字，使得這個(gè)數(shù)字除以3余1，并且還是5和7的公倍數(shù)。

先由5735，即5和7的最小公倍數(shù)出發(fā)，先看35除以3余2，不符合要求，那么就繼續(xù)看5

和7的“下一個(gè)”倍數(shù)35270是否可以，很顯然70除以3余1類似的，我們?cè)贅?gòu)造一個(gè)除以5余1，同時(shí)又是3和7的公倍數(shù)的數(shù)字，顯然21可以符合要求。最后再構(gòu)造除以7余1，同時(shí)又是3，5公倍數(shù)的數(shù)字，45符合要求，那么所求的自然數(shù)可以這樣計(jì)算：

270

321245k[3,5,7]233k[3,5,7]，其中k是從1開始的自然數(shù)。也就是說滿足上述關(guān)系的數(shù)有無(wú)窮多，如果根據(jù)實(shí)際情況對(duì)數(shù)的范圍加以限制，那么我們就能找到所求的數(shù)。

例如對(duì)上面的問題加上限制條件“滿足上面條件最小的自然數(shù)”，

那么我們可以計(jì)算2703212452[3,5,7]23得到所求如果加上限制條件“滿足上面條件最小的三位自然數(shù)”,我們只要對(duì)最小的23加上[3,5,7]即可，即23+105=128。

例題精講：

模塊一：帶余除法的定義和性質(zhì)】

【例1】（第五屆小學(xué)數(shù)學(xué)報(bào)競(jìng)賽決賽）用某自然數(shù)

a去除1992，得到商是46,余數(shù)是r，求a和r.【解析】因?yàn)?992是a的46倍還多r,得到19924643……14,得1992464314，所以a43,r14.

鞏固】（清華附中小升初分班考試）甲、乙兩數(shù)的和是1088，甲數(shù)除以乙數(shù)商11余32，求甲、乙兩數(shù)．解析】（法1）因?yàn)榧滓?132，所以甲乙乙1132乙

則乙（108832）1288，甲1088乙1000.

（法2）將余數(shù)先去掉變成整除性問題，利用倍數(shù)關(guān)系來做：從

鞏固】一個(gè)兩位數(shù)除310，余數(shù)是37，求這樣的兩位數(shù)。

解析】本題為余數(shù)問題的基礎(chǔ)題型，需要學(xué)生明白一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為整除問題。方法為用被除數(shù)減去余數(shù)，即得到一個(gè)除數(shù)的倍數(shù)；或者是用被除數(shù)加上一個(gè)

“除數(shù)與余數(shù)的差”，也可以得到一個(gè)除數(shù)的倍數(shù)。

本題中310-37=273，說明273是所求余數(shù)的倍數(shù)，而273=3X7X13，所求的兩位數(shù)約數(shù)還要

滿足比37大，符合條件的有39，91.

例2】（2003年全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題）有兩個(gè)自然數(shù)相除,商是17,余數(shù)是13,已知被除數(shù)、

除數(shù)、商與余數(shù)之和為2113,則被除數(shù)是多少？

解析】被除數(shù)除數(shù)商余數(shù)被除數(shù)除數(shù)+17+13=2113,所以被除數(shù)除數(shù)=2083,由于被除數(shù)是除數(shù)的17倍

還多13，則由“和倍問題”可得：除數(shù)

=（2083-13）-（17+1）=115，所

以被除數(shù)=2083-115=1968.鞏固】用一個(gè)自然數(shù)去除另一個(gè)自然數(shù),商為40,余數(shù)是16.被除數(shù)、除數(shù)、商、余數(shù)的和是933,求這2個(gè)自然

數(shù)各是多少？

【解析】本題為帶余除法定義式的基本題型。根據(jù)題意設(shè)兩個(gè)自然數(shù)分別為x,y，可以得到

x40y16

x856,解方程組得,即這兩個(gè)自然數(shù)分別是856,21.

xy4016933y21例3】（2000年“祖沖之杯”小學(xué)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題）三個(gè)不同的自然數(shù)的和為2001,它們分別除以

19,23,31所得的商相同,所得的余數(shù)也相同,這三個(gè)數(shù)是_____________,_______,______。

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乙12321088；1088中減掉32以后，1056就應(yīng)當(dāng)是乙數(shù)的（111）倍，所以得到乙數(shù)10561288，甲數(shù)

1088881000.

就是把余數(shù)問題即“不整除問題”

【解析】設(shè)所得的商為a，除數(shù)為b?(19ab)(23ab)(31ab)2001,73a3b2001,由b19,

可求得a27，b10．所以，這三個(gè)數(shù)分別是19ab523，23ab631，31ab847。

鞏固】(2004年福州市“迎春杯”小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)一個(gè)自然數(shù)，除以11時(shí)所得到的商和余數(shù)是相等的，除以9時(shí)所得到的商是余數(shù)的3倍，這個(gè)自然數(shù)是____________?

【解析】設(shè)這個(gè)自然數(shù)除以11余a(0a11)，除以9余b(0b9)，則有11aa93bb，即3a7b,只有a7，b3，所以這個(gè)自然數(shù)為12784。

例4】(1997年我愛數(shù)學(xué)少年數(shù)學(xué)夏令營(yíng)試題)有48本書分給兩組小朋友，已知第二組比第一組多5人.如果把書全部分給第一組，那么每人4本，有剩余；每人5本，書不夠.如果把書全分給

第二組，那么每人3本，有剩余；每人4本，書不夠.問：第二組有多少人？

解析】由48412，4859.6知，一組是10或11人.同理可知48316，48412知，二組是

13、14或15人，因?yàn)槎M比一組多5人，所以二組只能是15人，一組10人.

鞏固】一個(gè)兩位數(shù)除以13的商是6，除以11所得的余數(shù)是6，求這個(gè)兩位數(shù).

解析】因?yàn)橐粋€(gè)兩位數(shù)除以13的商是6，所以這個(gè)兩位數(shù)一定大于13678，并且小于13(61)91；

又因?yàn)檫@個(gè)兩位數(shù)除以11余6，而78除以11余1，這個(gè)兩位數(shù)為78583.

模塊二：三大余數(shù)定理的應(yīng)用】

例5】有一個(gè)大于1的整數(shù)，除45,59,101所得的余數(shù)相同，求這個(gè)數(shù).

解析】這個(gè)題沒有告訴我們，這三個(gè)數(shù)除以這個(gè)數(shù)的余數(shù)分別是多少，但是由于所得的余數(shù)相同，根據(jù)同余定理，我們可以得到：這個(gè)數(shù)一定能整除這三個(gè)數(shù)中的任意兩數(shù)的差，也就是說它是任意兩

數(shù)差的公約數(shù).1014556，594514，(56,14)14，14的約數(shù)有1,2,7,14，所以這個(gè)數(shù)可

能為2,7,14。

鞏固】有一個(gè)整數(shù)，除39,51,147所得的余數(shù)都是3，求這個(gè)數(shù).

【解析】（法1）39336,1473144,（36,144）12,12的約數(shù)是1,2,3,4,6,12，因?yàn)橛鄶?shù)為3要小于除數(shù)，這個(gè)數(shù)是4,6,12;

（法2）由于所得的余數(shù)相同，得到這個(gè)數(shù)一定能整除這三個(gè)數(shù)中的任意兩數(shù)的差，也就是說它是

任意兩數(shù)差的公約數(shù).513912，14739108，（12,108）12，所以這個(gè)數(shù)是4,6,12.

【鞏固】在小于1000的自然數(shù)中，分別除以18及33所得余數(shù)相同的數(shù)有多少個(gè)?（余數(shù)可以為0）

【解析】我們知道18,33的最小公倍數(shù)為[18,33]=198，所以每198個(gè)數(shù)一次.

1?198之間只有1,2,3，…，17,198（余O）這18個(gè)數(shù)除以18及33所得的余數(shù)相