橢圓的簡單幾何性質(zhì)-完整版課件

2.直線與橢圓的位置關(guān)系10/20/2022種類:相離(沒有交點(diǎn))相切(一個(gè)交點(diǎn))相交(二個(gè)交點(diǎn))相離(沒有交點(diǎn))相切(一個(gè)交點(diǎn))相交(二個(gè)交點(diǎn))10/20/2022 所以消y得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程兩>一＝無<位置關(guān)系解的個(gè)數(shù)Δ的取值相交___解Δ___0相切___解Δ___0相離___解Δ___010/20/20223.弦長公式10/20/2022 其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通過由直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去y(或x)后得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程得到.特別地，經(jīng)過橢圓的焦點(diǎn)且垂直于橢圓長軸的弦長為_________.(通徑）4.“中點(diǎn)弦”問題解決圓錐曲線的“中點(diǎn)弦”問題的一般方法是：聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程，借助于一元二次方程的根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式及參數(shù)法求解.10/20/2022若設(shè)直線與圓錐曲線的交點(diǎn)（弦的端點(diǎn)）坐標(biāo)為A（x1，y1），B（x2，y2），A、B中點(diǎn)坐標(biāo)（x0，y0），將這兩點(diǎn)代入圓錐曲線的方程并對所得兩式作差，得到一個(gè)與弦AB的中點(diǎn)和斜率有關(guān)的式子，可以大大減少運(yùn)算量.我們稱這種代點(diǎn)作差的方法為“點(diǎn)差法”.其方法具體是將A、B的坐標(biāo)代入橢圓方程10/20/2022例1.已知橢圓4x2+y2=1及直線y=x+m.(1)當(dāng)直線與橢圓有公共點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)求被橢圓截得的最長弦的長度.10/20/2022知識應(yīng)用解：由方程組，消去y，整理得

5x2+2my+m2-1=0.(1)∵直線與橢圓有公共點(diǎn),∴（2）由根與系數(shù)的關(guān)系得：10/20/2022則弦長例2.（2013.新課標(biāo)理）已知橢圓E：的右焦點(diǎn)為F(3,0),過點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-1），則E的方程為______.10/20/202210/20/2022知識應(yīng)用10/20/2022lmm思考：最大距離為多少？專題二.橢圓中的最值問題例1.若P(x,y)是橢圓上的任意一點(diǎn)，求（1）的最大值和最小值；（2）x+2y的最大值和最小值；（3）x2+2y的最大值和最小值；（4）P到直線x+y+4=0的最大距離.10/20/2022解：（1）令，則y=k(x-4)+310/20/2022(2)令x+2y=k,聯(lián)立方程由題意知10/20/2022(3)∵x2+2y=4-4y2+2y

=-4y2+2y+410/20/2022例2.如圖，已知點(diǎn)A（1,2）在橢圓內(nèi)，

F（2,0）是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，P在橢圓上，求|PA|+2|PF|的最小值.10/20/2022MM'P'解：過P向直線x=8作垂線垂足為M，由橢圓第二定義可知：∴|PA|+2|PF|=|PA|+|PM|即當(dāng)P、A、M三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，此時(shí)最小值為8-1=7專題三、橢圓系方程例1.設(shè)0<k<9,則橢圓與具有相同的（）A.頂點(diǎn)B.長軸與短軸C.離心率D.焦點(diǎn)10/20/2022D應(yīng)用.與橢圓9x2+4y2=36有相同的焦點(diǎn),且短軸長為2的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________.例2.與橢圓具有相同的離心率且過點(diǎn)

的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或10/20/202210/20/2022專題四、橢圓中的定值、定點(diǎn)問題例1.直線y=kx+1與橢圓總有公共點(diǎn)，則

m的取值范圍是_____________.10/20/2022m≥1且m≠5例2.(2011全國）已知橢圓C：

的離心率為，過右焦點(diǎn)F且斜率為k（k>0)

的直線與C相交于A、B兩點(diǎn)，若，則k等于_________.10/20/2022解：過A、B分別向橢圓的右準(zhǔn)線作垂線交于M、N

點(diǎn)，過B向AM作垂線垂足為B1，如圖所示。10/20/2022MNB1∵tan∠BAM=k，∴在直角三角形ABB1中，設(shè)|BF|=m，則|AF|=3m，∴|AB|=4m，又例3.過點(diǎn)C（0,1）的橢圓的離

心率為，橢圓于x軸交于兩點(diǎn)A（a，0），B（-a，0），過點(diǎn)C的直線l與橢圓交于另一點(diǎn)D，并與x軸交于點(diǎn)P，直線AC與直線BD交于點(diǎn)Q.（1）當(dāng)直線l過橢圓右焦點(diǎn)時(shí)，求線段CD的長；（2）當(dāng)點(diǎn)P異于點(diǎn)B時(shí)，求證：為定值.10/20/2022解：（1）由已知可得：b=1，又橢圓的右焦點(diǎn)為此時(shí)直線l的方程為10/20/2022(2)證明：當(dāng)直