(新高考數(shù)學(xué))高考一輪復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)講與練考點(diǎn)18《 空間中的角度和距離問題》解析版

考點(diǎn)18空間中的角度和距離問題（核心考點(diǎn)講與練）1.異面直線所成的角設(shè)a，b分別是兩異面直線l1，l2的方向向量，則a與b的夾角βl1與l2所成的角θ范圍(0，π)eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))求法cosβ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝|cosβ|＝eq\f(|a·b|,|a||b|)2.直線和平面所成的角(1)定義：一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的角叫做斜線和平面所成的角，一條直線垂直于平面，則它們所成的角是直角；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，則它們所成的角是0°的角.(2)范圍：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).3.求直線與平面所成的角設(shè)直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，直線l與平面α所成的角為θ，則sinθ＝|cos〈a，n〉|＝eq\f(|a·n|,|a||n|).4.二面角(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角；(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以該點(diǎn)為垂足，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所構(gòu)成的角叫做二面角的平面角.(3)二面角的范圍：[0，π].5.求二面角的大小(1)如圖①，AB，CD是二面角α－l－β的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小θ＝__〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉.(2)如圖②③，n1，n2分別是二面角α－l－β的兩個(gè)半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ滿足|cosθ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補(bǔ)角).6.點(diǎn)到平面的距離用向量方法求點(diǎn)B到平面距離基本思路：確定平面法向量，在平面內(nèi)取一點(diǎn)A，求向量eq\o(AB,\s\up6(→))到法向量的投影向量，投影向量的長度即為所要求的距離.如圖平面α的法向量為n，點(diǎn)B到平面α的距離d＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))·n|,|n|).1.異面直線所成的角，若向量a、b分別是異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的方向向量，異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.2.設(shè)直線SKIPIF1<0的方向向量為SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.3.設(shè)向量為m平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量，向量n為平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量，平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所稱的二面角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.4.點(diǎn)到平面的距離的求法如圖，設(shè)AB為平面α的一條斜線段，n為平面α的法向量，則點(diǎn)B到平面α的距離d＝.5.求參數(shù)的值與范圍是高中數(shù)學(xué)中的常見題型.立體幾何中含參數(shù)的問題，解決起來既有常規(guī)的函數(shù)和不等式法，亦有具有立體幾何特征的極限位置、幾何直觀、化曲為直等一些特殊方法.6.存在性問題，先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在，若結(jié)論不正確則不存在．解決存在性問題應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：(1)當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)要分類討論；(2)當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí)，先假設(shè)成立，再推出條件；(3)當(dāng)條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)方法解題很難時(shí)，要思維開放，采取另外的途徑．線線、線面、面面角1.（2021貴州省遵義航天高級中學(xué)高三月考）如圖，四棱錐中，底面是矩形，，，SKIPIF1<0，，是等腰三角形，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（）A．B．C．SKIPIF1<0D．【答案】B【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，以及直線的方向向量，即可用向量法求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系.又因?yàn)?，SKIPIF1<0，所以，，，，因?yàn)槭抢獾闹悬c(diǎn)，所以，所以，，所以，故選：B.2．（2022·湖南衡陽·二模）如圖，已知圓臺SKIPIF1<0的下底面半徑為2，上底面半徑為1，母線與底面所成的角為SKIPIF1<0為母線，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn).(1)證明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)時(shí)，求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)SKIPIF1<0.【分析】（1）過點(diǎn)SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0的垂線，垂足為SKIPIF1<0，證明SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，原題即得證；（2）以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0所在直線分別為SKIPIF1<0軸?SKIPIF1<0軸?SKIPIF1<0軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.(1)證明：過點(diǎn)SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0的垂線，垂足為SKIPIF1<0，如圖，則SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.連接SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為等邊三角形.因?yàn)辄c(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0因?yàn)槠矫鍿KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.(2)解：以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0所在直線分別為SKIPIF1<0軸?SKIPIF1<0軸?SKIPIF1<0軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0取SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0.3．（2022·河南河南·三模（理））如圖，SKIPIF1<0為圓錐的頂點(diǎn)，SKIPIF1<0是圓錐底面的圓心，SKIPIF1<0為底面直徑，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是底面的內(nèi)接正三角形，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0上一點(diǎn)．(1)若SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(2)當(dāng)SKIPIF1<0為何值時(shí)，直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值最大？【答案】(1)SKIPIF1<0(2)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值最大.【分析】（1）通過勾股定理列方程，化簡求得SKIPIF1<0.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用利用向量法求得直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值，結(jié)合基本不等式求得SKIPIF1<0時(shí)，此正弦值最大.(1)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，由于三角形SKIPIF1<0是等邊三角形，圓SKIPIF1<0是其外接圓，SKIPIF1<0是圓SKIPIF1<0的直徑，所以SKIPIF1<0垂直平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在三角形SKIPIF1<0中，由正弦定理得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，所以三角形SKIPIF1<0是等腰直角三角形，所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.(2)由（1）得SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，結(jié)合圓錐的幾何性質(zhì)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故可設(shè)SKIPIF1<0，設(shè)直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)等號成立，所以SKIPIF1<0，即當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值最大.4.（2022新高考地區(qū)專用）如圖，在四棱錐中，底面中，SKIPIF1<0，側(cè)面平面，且，點(diǎn)在棱上，且．則二面角的余弦值為____________【答案】．【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，分別求平面和平面的法向量，利用法向量二面角的余弦值.【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，．由條件可知，，兩兩垂直，以，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，因?yàn)?，所以．所以，，，設(shè)平面的法向量為，則即令，則．設(shè)平面的法向量為，則即令，則=，，結(jié)合圖象可知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為．故答案為：5．（2022·遼寧鞍山·二模）如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=SKIPIF1<0，四邊形ACFE為矩形，且CF⊥平面ABCD，AD=CD=BC=CF=1．(1)求證：EF⊥平面BCF；(2)點(diǎn)M在線段EF上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M在什么位置時(shí)，平面MAB與平面FCB所成銳二面角最大？并求此時(shí)銳二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)M與F重合時(shí)，平面MAB與平面FCB所成銳二面角最大，余弦值為SKIPIF1<0【分析】（1）在梯形ABCD中，由分析知，AC⊥BC，因?yàn)镃F⊥平面ABCD，所以AC⊥CF，進(jìn)一步得AC⊥平面BCF，又因?yàn)锳C∥EF，因此EF⊥平面BCF.（2）因?yàn)镃F⊥平面ABCD，AC⊥BC，以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA、CB、CF所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面SKIPIF1<0和平面FCB的法向量，然后結(jié)合二次函數(shù)求最值的方法求解平面SKIPIF1<0和平面FCB所成的銳二面角的最大值.(1)證明：在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=CD=BC=1，故梯形ABCD為等腰梯形，因?yàn)镾KIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0又因?yàn)镾KIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴AC⊥BC，因?yàn)镃F⊥平面ABCD，ACSKIPIF1<0平面ABCD，∴AC⊥CF

∵SKIPIF1<0，

∴AC⊥平面BCF，因?yàn)樗倪呅蜛CFE為矩形，則AC∥EF，因此，EF⊥平面BCF(2)因?yàn)镃F⊥平面ABCD，AC⊥BC，以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA、CB、CF所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，在Rt△ABC中，SKIPIF1<0，．則A(SKIPIF1<0，0，0)、B(0，1，0)、C(0，0，0)、F(0，0，1)、E(SKIPIF1<0，0，1)，設(shè)點(diǎn)M(t，0，1)，其中SKIPIF1<0設(shè)平面MAB的法向量為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，．易知平面FCB的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以，當(dāng)SKIPIF1<0，即M與F重合時(shí)，SKIPIF1<0取最小值，此時(shí)平面MAB與平面FCB所成銳二面角最大，此時(shí)，平面MAB與平面FCB所成銳二面角的余弦值為SKIPIF1<06．（2022·重慶八中模擬預(yù)測）如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，點(diǎn)A1在平面ABC內(nèi)的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2.(1)證明:AC1⊥A1B；(2)設(shè)直線AA1與平面BCC1B1的距離為SKIPIF1<0，求二面角A1－AB－C的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)二面角A1-AB--C的余弦值為SKIPIF1<0.【分析】(1)由條件證明SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由線面垂直的判定定理證明SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，由此證明SKIPIF1<0；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合條件直線AA1與平面BCC1B1的距離為SKIPIF1<0，確定相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量方法求二面角A1－AB－C的余弦值.(1)∵點(diǎn)A1在平面ABC內(nèi)的射影D在AC上，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴

SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，∴四邊形SKIPIF1<0為菱形，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴

SKIPIF1<0；(2)以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以SKIPIF1<0為x軸，SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)SKIPIF1<0，由題設(shè)有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0設(shè)平面BCC1B1的法向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，所以點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，又依題設(shè)，直線AA1與平面BCC1B1的距離為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.代入①得SKIPIF1<0（舍去）或SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0的法向量，故SKIPIF1<0，所以二面角A1-AB--C的余弦值為SKIPIF1<0.7．（2022·山東淄博·模擬預(yù)測）如圖，已知三棱柱SKIPIF1<0的棱長均為2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)證明：平面SKIPIF1<0平面ABC；(2)設(shè)M為側(cè)棱SKIPIF1<0上的點(diǎn)，若平面SKIPIF1<0與平面ABC夾角的余弦值為SKIPIF1<0，求點(diǎn)M到直線SKIPIF1<0距離．【答案】(1)見解析(2)SKIPIF1<0【分析】（1）取AC的中點(diǎn)O，連接SKIPIF1<0，利用勾股定理證明SKIPIF1<0SKIPIF1<0從而證得SKIPIF1<0平面ABC，然后利用面面垂直的判定定理證明即可.（2）以O(shè)A所在直線為x軸，以O(shè)B所在直線為y軸，以SKIPIF1<0所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)SKIPIF1<0得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，求出平面SKIPIF1<0與平面ABC的法向量，由余弦值可確定SKIPIF1<0值，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可.(1)取AC的中點(diǎn)O，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0由題設(shè)可知，SKIPIF1<0為邊長為2的等邊三角形，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0平面ABC；SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,所以平面SKIPIF1<0平面ABC；(2)以O(shè)A所在直線為x軸，以O(shè)B所在直線為y軸，以SKIPIF1<0所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0則SKIPIF1<0即SKIPIF1<0取SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0為平面ABC的一個(gè)法向量，設(shè)平面SKIPIF1<0與平面ABC夾角為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以點(diǎn)M到直線SKIPIF1<0距離SKIPIF1<0空間距離1.（2022江蘇省南通市海安市高三學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測）與正方體ABCD－A1B1C1D1的三條棱AB，CC1，A1D1所在直線的距離相等的點(diǎn)共有（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．無數(shù)個(gè)【答案】D【分析】首先以為SKIPIF1<0原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，得到，設(shè)SKIPIF1<0為上一點(diǎn)，得到到棱的距離是，同理得到到棱的距離也是，即可得到答案.【詳解】以為SKIPIF1<0原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：設(shè)，則，，，設(shè)SKIPIF1<0為上一點(diǎn)，作平面，垂足為，過作，垂足為，所以為點(diǎn)到棱的距離.又因?yàn)?，，則，同理到棱的距離也是，所以上任意一點(diǎn)到棱的距離都相等，所以與三條棱所在直線的距離相等的點(diǎn)共有無數(shù)個(gè).故選：D2.（2021山東省東營市廣饒縣第一中學(xué)高三上學(xué)期10月月考）如圖，在四棱臺SKIPIF1<0中，底面為矩形，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.（1）證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，求點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）SKIPIF1<0.【分析】（1）通過面面垂直的性質(zhì)定理證得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，由此證得SKIPIF1<0，結(jié)合SKIPIF1<0證得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，由SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角計(jì)算出SKIPIF1<0，利用向量法計(jì)算出點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離.【詳解】（1）在梯形SKIPIF1<0中，因?yàn)镾KIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，由余弦定理可得SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∵平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0且交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）連接SKIPIF1<0，由（1）可知：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為原點(diǎn)，以SKIPIF1<0?SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0軸?SKIPIF1<0軸正半軸，過SKIPIF1<0作垂線為SKIPIF1<0軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：∵SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0即為SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角，∴SKIPIF1<0.在SKIPIF1<0中，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.設(shè)平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，故點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為：SKIPIF1<0，所以點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0.與參數(shù)有關(guān)的問題1.（2021廣東省茂名市五校聯(lián)盟第三次聯(lián)考）如圖所示，點(diǎn)P在圓柱的上底面圓周上，四邊形為圓柱的下底面的內(nèi)接四邊形，且為圓柱下底而的直徑，為圓柱的母線，且，圓柱的底面半徑為1.（1）證明：；（2），B為的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段上，記，當(dāng)二面角的余弦值為時(shí)，求的值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)為直徑，得到，再根據(jù)為母線，易得，然后利用線面垂直的判定定理證明；（2）分別以向量為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面的一個(gè)法向量和平面的法向量可取為，然后由求解.【詳解】（1）因?yàn)闉橹睆?，點(diǎn)D在圓上且不同于A，C點(diǎn)，所以，又因?yàn)闉槟妇€，所以平面，又平面，從而，又，所以平面SKIPIF1<0，又平面SKIPIF1<0，所以.（2）由（1）知兩兩相互垂直，所以分別以向量為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，圓柱的底面直徑為2，所以，所以，又B為的中點(diǎn)，所以，即為正方形，所以，由，得，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，取，又因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄靠扇?，所以，由題知，所以，解得（舍）或，所以的值為探究性問題1.（2021廣東省深圳市光明區(qū)高三第一調(diào)研）如圖，在四棱錐中，，，，，.（1）求證：；（2）在棱上是否存在點(diǎn)G，使得二面角的大小為30°？若存在，確定點(diǎn)G的位置；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）點(diǎn)G為的中點(diǎn)時(shí)，二面角的大小為30°，證明見解析.【分析】（1）需要勾股定理證明AD⊥PD，利用線面垂直的判定定理得到⊥面ABCD，即可證明；（2）以D為原點(diǎn)，分別為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求解.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，△ADP為直角三角形，所以AD⊥PD.又，，面ABCD，面ABCD，所以⊥面ABCD，所以.（2）由題意可知：ABCD為一個(gè)等腰梯形.過D作DE⊥AB于E，則.以D為原點(diǎn)，分別為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.則：顯然即為平面ABC的一個(gè)法向量.假設(shè)在棱上存在點(diǎn)G，使得二面角的大小為30°.不妨設(shè)，則，.設(shè)為面GAB的有一個(gè)法向量，則，即，不妨設(shè)x=1，則有：.因?yàn)槎娼堑拇笮?0°，所以，即，即，解得：.即點(diǎn)G為的中點(diǎn)時(shí)，二面角的大小為30°.1.（2021年全國高考乙卷）在正方體SKIPIF1<0中，P為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角為（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】D【分析】平移直線SKIPIF1<0至SKIPIF1<0，將直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角，解三角形即可.【詳解】如圖，連接SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0∥SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或其補(bǔ)角為直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0設(shè)正方體棱長為2，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：D2.（2021年全國高考乙卷）如圖，四棱錐SKIPIF1<0的底面是矩形，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，且SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0；（2）求二面角SKIPIF1<0的正弦值．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【分析】（1）以點(diǎn)SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0所在直線分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)SKIPIF1<0，由已知條件得出SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0的值，即可得出SKIPIF1<0的長；（2）求出平面SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的法向量，利用空間向量法結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得結(jié)果.【詳解】（1）[方法一]：空間坐標(biāo)系+空間向量法SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0為矩形，不妨以點(diǎn)SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0所在直線分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；[方法二]【最優(yōu)解】：幾何法+相似三角形法如圖，連結(jié)SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0底面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．又因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．從而SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．[方法三]：幾何法+三角形面積法如圖，聯(lián)結(jié)SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)N．由[方法二]知SKIPIF1<0．在矩形SKIPIF1<0中，有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，因?yàn)镸為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（2）[方法一]【最優(yōu)解】：空間坐標(biāo)系+空間向量法設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，因此，二面角SKIPIF1<0的正弦值為SKIPIF1<0.[方法二]：構(gòu)造長方體法+等體積法如圖，構(gòu)造長方體SKIPIF1<0，聯(lián)結(jié)SKIPIF1<0，交點(diǎn)記為H，由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．過H作SKIPIF1<0的垂線，垂足記為G．聯(lián)結(jié)SKIPIF1<0，由三垂線定理可知SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0為二面角SKIPIF1<0的平面角．易證四邊形SKIPIF1<0是邊長為SKIPIF1<0的正方形，聯(lián)結(jié)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，由等積法解得SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，由勾股定理求得SKIPIF1<0．所以，SKIPIF1<0，即二面角SKIPIF1<0的正弦值為SKIPIF1<0．【整體點(diǎn)評】（1）方法一利用空坐標(biāo)系和空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解；方法二利用線面垂直的判定定理，結(jié)合三角形相似進(jìn)行計(jì)算求解，運(yùn)算簡潔，為最優(yōu)解；方法三主要是在幾何證明的基礎(chǔ)上，利用三角形等面積方法求得.（2）方法一，利用空間坐標(biāo)系和空間向量方法計(jì)算求解二面角問題是常用的方法，思路清晰，運(yùn)算簡潔，為最優(yōu)解；方法二采用構(gòu)造長方體方法+等體積轉(zhuǎn)化法，技巧性較強(qiáng)，需注意進(jìn)行嚴(yán)格的論證.一、單選題1．（2022·山西太原·二模（文））在三棱柱SKIPIF1<0中，各棱長都相等，側(cè)棱垂直于底面，點(diǎn)D是SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點(diǎn)，則AD與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，通過證明SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0是AD與平面SKIPIF1<0所成的角，在直角三角形SKIPIF1<0中可求出結(jié)果.【詳解】取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，如圖：依題意三棱柱SKIPIF1<0為正三棱柱，設(shè)棱長為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0、SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是AD與平面SKIPIF1<0所成的角，所以SKIPIF1<0.所以AD與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值是SKIPIF1<0.故選：C2．（2022·全國·模擬預(yù)測（理））如圖為一個(gè)四棱錐與三棱錐的組合體，C，D，E三點(diǎn)共線，已知三棱錐P－ADE四個(gè)面都為直角三角形，且ED⊥AD，PA⊥平面ABCE，PE＝3，CD＝AD＝2，ED＝1，則直線PC與平面PAE所成角的正弦值等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】本題利用空間向量處理線面夾角問題，SKIPIF1<0．【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0則有：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0設(shè)平面PAE的法向量SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，即直線PC與平面PAE所成角的正弦值為SKIPIF1<0．故選：C．3．（2022·全國·三模（理））在三棱錐SKIPIF1<0中，△ABC是邊長為2的等邊三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以AB為直徑的球的表面被△PAC截得的曲線長度為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】利用已知條件求得SKIPIF1<0，利用等體積法求得以AB為直徑的球的球心SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離，設(shè)SKIPIF1<0交球SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0交圓SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，由此可找到以AB為直徑的球SKIPIF1<0的表面被△PAC截得的曲線即為SKIPIF1<0，最后利用弧長公式即可求解.【詳解】設(shè)SKIPIF1<0的中點(diǎn)為SKIPIF1<0,連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0,因?yàn)镾KIPIF1<0，且SKIPIF1<0,SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，由已知得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,由余弦定理得SKIPIF1<0SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,由已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，以AB為直徑的球，球心為AB的中點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則平面SKIPIF1<0與球SKIPIF1<0相交得截面SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0交球SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0,截面SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,則設(shè)SKIPIF1<0交圓SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0,即球SKIPIF1<0的表面被△PAC截得的曲線長度為SKIPIF1<0,在SKIPIF1<0△SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0，故選：SKIPIF1<0.二、多選題4．（2022·山東濟(jì)南·一模）在棱長為1的正方體SKIPIF1<0中，O為正方形SKIPIF1<0的中心，則下列結(jié)論正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．點(diǎn)B到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0 D．直線BO與直線SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0【答案】ABC【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理證明SKIPIF1<0平面，可判斷A;連接BD,交AC于E,連接SKIPIF1<0，證明SKIPIF1<0，根據(jù)線面平行的判定定理，可判斷B;利用等體積法，求得點(diǎn)B到平面SKIPIF1<0的距離，判斷C;采用作平行線的方法，求出直線BO與直線SKIPIF1<0的夾角，可判斷D.【詳解】對于A，如圖，連接SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0交于點(diǎn)O,正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故A正確；對于B，連接BD,交AC于E,連接SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,故四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0不在平面ACD1,故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故B正確；對于C，設(shè)點(diǎn)B到平面SKIPIF1<0的距離為d,因?yàn)镾KIPIF1<0,故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故C正確；對于D,連接SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0即為直線BO與直線SKIPIF1<0的夾角或其補(bǔ)角，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,故D錯(cuò)誤，故選：ABC5．（2022·重慶·模擬預(yù)測）如圖，在圓錐SO中，AC為底面圓O的直徑，B是圓O上異于A，C的一點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列結(jié)論中一定正確的是（

）A．圓錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0B．圓錐SKIPIF1<0的表面積為SKIPIF1<0C．三棱錐SKIPIF1<0的體積的最大值為SKIPIF1<0D．存在點(diǎn)B使得直線SB與平面SAC所成角為SKIPIF1<0【答案】AC【分析】根據(jù)錐體的體積、表面積公式判斷A、B、C，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角，求出SKIPIF1<0的最大值，即可判斷D；【詳解】解：圓錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，故A正確，圓錐的母線長為SKIPIF1<0，所以圓錐的側(cè)面積為SKIPIF1<0，底面面積為SKIPIF1<0，故圓錐的表面積為SKIPIF1<0，故B錯(cuò)誤，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，三棱錐SKIPIF1<0的體積最大，此時(shí)為SKIPIF1<0，故C正確，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0為直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角，由SKIPIF1<0為定值，∴當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角最大，此時(shí)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故D錯(cuò)誤．故選：AC6．（2022·廣東汕頭·二模）如圖，在正方體SKIPIF1<0中，點(diǎn)P在線段SKIPIF1<0上運(yùn)動(dòng)，則（

）A．直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0B．三棱錐SKIPIF1<0的體積為定值C．異面直線AP與SKIPIF1<0所成角的取值范圍是SKIPIF1<0D．直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值的最大值為SKIPIF1<0【答案】AB【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示公式、空間向量夾角公式、三棱錐的體積性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.A：SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因此本選項(xiàng)結(jié)論正確；B：側(cè)面SKIPIF1<0的對角線交點(diǎn)為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為定值，因此本選項(xiàng)結(jié)論正確；C：SKIPIF1<0，設(shè)異面直線AP與SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKI