利用軸對(duì)稱(chēng)破解最短路徑問(wèn)題

第一章平移、對(duì)稱(chēng)與旋轉(zhuǎn)第4講利用軸對(duì)稱(chēng)破解最短路徑問(wèn)題一、學(xué)習(xí)目標(biāo).理解“直線上同一側(cè)兩點(diǎn)與此直線上一動(dòng)點(diǎn)距離和最小”問(wèn)題通過(guò)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)與作圖轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”問(wèn)題求解。2.能將實(shí)際問(wèn)題或幾何問(wèn)題（對(duì)稱(chēng)背景圖）中有關(guān)最短路徑（線段之差最大值）問(wèn)題借助軸對(duì)稱(chēng)轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間，線段最短問(wèn)題分析與求解。二、基礎(chǔ)知識(shí)?輕松學(xué)與軸對(duì)稱(chēng)有關(guān)的最短路徑問(wèn)題關(guān)于最短距離，我們有下面幾個(gè)相應(yīng)的結(jié)論：（1）在連接兩點(diǎn)的所有線中，線段最短（兩點(diǎn)之間，線段最短）；（2）三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；（3）在三角形中，大角對(duì)大邊，小角對(duì)小邊。（4）垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等；【精講】一般說(shuō)來(lái)，線段和最短的問(wèn)題，往往把幾條線段連接成一條線段，利用“兩點(diǎn)之間線段最短”或者“三角形兩邊之和大于第三邊”加以證明，關(guān)鍵是找相關(guān)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)實(shí)現(xiàn)“折”轉(zhuǎn)“直”。另外，在平移線段的時(shí)候，一般要用到平行四邊形的判定和性質(zhì)。（判定：如果一個(gè)四邊形的一組對(duì)邊平行且相等，那么這個(gè)四邊形是平行四邊形；性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)邊相等。）三、重難疑點(diǎn)?輕松破最短路徑問(wèn)題在平面圖形中要解決最短路徑問(wèn)題，自然離不開(kāi)構(gòu)建與轉(zhuǎn)化“兩點(diǎn)之間，線段最短”的數(shù)學(xué)公理，通常將涉及到的兩點(diǎn)中的任一點(diǎn)作出關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，從而運(yùn)用兩點(diǎn)之間，線段最短解決實(shí)際問(wèn)題.在日常生活、工作中，經(jīng)常會(huì)遇到有關(guān)行程路線的問(wèn)題?！白疃搪窂絾?wèn)題”的原型來(lái)自于“飲馬問(wèn)題”、“造橋選址問(wèn)題”，出題通常以直線、角、等腰（邊）三角形、長(zhǎng)方形、正方形、坐標(biāo)軸等對(duì)稱(chēng)圖形為背景。“一線同側(cè)兩點(diǎn)”問(wèn)題例1如圖，點(diǎn)A、B在直線m的同側(cè)，點(diǎn)B,是點(diǎn)B關(guān)于m的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，AB,交m于點(diǎn)P.AB,與AP+PB相等嗎為什么（2）在m上再取一點(diǎn)N,并連接AN與NB,比較AN+NB與AP+PB的大小，并說(shuō)明理由.

解析：（1）???點(diǎn)B,是點(diǎn)B關(guān)于m的對(duì)稱(chēng)點(diǎn).\PB=PBZ,VABZ=AP+PB/,(2)如圖：連接AN,BN,B‘N?「AB/=AP+PB,.\AN+NB=AN+NBZ>ABZ,；?AN+NB>AP+PB.點(diǎn)評(píng)：兩條線段之和最短，往往利用對(duì)稱(chēng)的思想，把兩條線段的和變?yōu)橐粭l線段來(lái)研究，利用兩點(diǎn)之間的線段最短得出結(jié)果。這類(lèi)題主考實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，關(guān)鍵是利用軸對(duì)稱(chēng)、“兩點(diǎn)之間，線段最短”及三角形三邊的關(guān)系等.B變式1需要在高速公路旁邊修建一個(gè)飛機(jī)場(chǎng)，使飛機(jī)場(chǎng)用工到A,B兩個(gè)城市的距離之和最小，請(qǐng)作出機(jī)場(chǎng)的位置.“兩點(diǎn)兩線（平行）”問(wèn)題 公路例2如圖所示，在一條河的兩岸有兩個(gè)村莊，現(xiàn)要在河上建一座小橋，橋的方向與河流垂直，設(shè)河的寬度不變，試問(wèn)：橋架在何處，才能使從A到B的距離最短解析：雖然A、B兩點(diǎn)在河兩側(cè)，但連接AB的線段不垂直于河岸.關(guān)鍵在于使AP+BD最短，但AP與BD未連起來(lái)，要用線段公理就要想辦法使P與D重合起來(lái)，利用平行四邊形的特征可以實(shí)現(xiàn)這一目的.如圖，作BB'垂直于河岸GH,使BB,等于河寬，TOC\o"1-5"\h\z連接AB',與河岸EF相交于P,作PDLGH, ■一則PD〃BB,且PD=BB',于是PDBB,為平行四邊形PD=BB/.根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，AB,最短，即AP+BD最短. \故橋建立在PD處符合題意. ''點(diǎn)評(píng)：此題考查了軸對(duì)稱(chēng)——最短路徑問(wèn)題，要利用“兩點(diǎn)之間線段最短”，解決“造橋選址”的簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.但許多實(shí)際問(wèn)題沒(méi)這么簡(jiǎn)單，需要我們將一些線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即用與它相等的線段替代，從而轉(zhuǎn)化成兩點(diǎn)之間線段最短的問(wèn)題.此類(lèi)題往往需要利用對(duì)稱(chēng)性、平行四邊形的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，以后還會(huì)學(xué)習(xí)一些線段轉(zhuǎn)化的方法.變式2如圖，兩個(gè)村莊A和B被一條河隔開(kāi)，現(xiàn)要在河上架設(shè)一座橋CD.請(qǐng)你為兩村設(shè)計(jì)橋址，使由A村到B村的距

離最?。俣▋珊影秏、n是平行的，且橋要與河垂直）.要求寫(xiě)出作法，并說(shuō)明理由.“一點(diǎn)兩線（相交）”解決周長(zhǎng)最短問(wèn)題A例3：如圖所示，NABC內(nèi)有一點(diǎn)P,在BA、BC邊上各取一TOC\o"1-5"\h\z點(diǎn)P1、P2，使APP1P2的周長(zhǎng)最小. .P解析：依據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可分別作點(diǎn)P關(guān)于AB,AC 0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，如圖，以BC為對(duì)稱(chēng)軸作P的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M, ?。阂訠A為對(duì)稱(chēng)軸作出P的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N,連MN交BA、BC于點(diǎn)P0P2.,.△PP1P2為所求作三角形. 鼻/V'c點(diǎn)評(píng)：解題關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化“直線上同一側(cè)兩點(diǎn)與此直線上一動(dòng)點(diǎn)距離和最小”問(wèn)題（將軍飲馬問(wèn)題），其核心是化折為直（兩點(diǎn)之間線段最短）的思想，轉(zhuǎn)化技巧是能夠運(yùn)用軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)及作圖求解問(wèn)題.TOC\o"1-5"\h\z變式3城關(guān)中學(xué)八（2）班舉行文藝晚會(huì)，桌子擺成兩直條（如J °圖中的AO,BO）,AO桌面上擺滿了桔子，OB桌面上擺滿了糖果，站 個(gè)在C處的學(xué)生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到C處，請(qǐng)你在下圖幫助他設(shè)計(jì)一條行走路線，使其所走的總路程最短 啟“一線異側(cè)兩點(diǎn)”“差最大”問(wèn)題例4在定直線XY異側(cè)有兩點(diǎn)A、B,在直線XY上求作一點(diǎn)P,使PA與PB之差的絕對(duì)值最大.解析：作法：作點(diǎn)B關(guān)于直線XY的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B/, ----/ Y作直線AB,交XY于P點(diǎn)，則點(diǎn)P為所求點(diǎn)（如圖）；若B/A〃XY（即B,、人到直 s線XY的距離相等），則點(diǎn)P不存在. ,Pl」"」' '證明：連接BP,在XY上任意取點(diǎn)P’, - - - --連接P'A、P/B,則PB=PB',P'B=P'B, ： ,因?yàn)閨p，b-p，a|=|p，b，-p，a|<ab，=|p，b-PA|=|PB-PA|,所以，此時(shí)點(diǎn)p使|pa-pb|最大.點(diǎn)評(píng):本題考查的是最短線路問(wèn)題，解答此類(lèi)題目的關(guān)鍵是根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)畫(huà)出圖形，再由兩點(diǎn)之間線段最短的知識(shí)求解.

變式4.如圖，在^ABC中，AB=AC,AB的垂直平分線交AB于N,交AC于M,連接MB,若AB=8cm,4MBC的周長(zhǎng)是14cm,(1)求BC的長(zhǎng)(2)在直線MN上是否存在點(diǎn)P,使(2)在直線MN上是否存在點(diǎn)P,使IPA-CPI的值最大畫(huà)出點(diǎn)P的位置，并求最大值，若不存在，說(shuō)明理由。若存在例5直線L的同側(cè)有兩點(diǎn)A、B,在直線L上求兩點(diǎn)C、D若存在且CD的長(zhǎng)為定值a,點(diǎn)D在點(diǎn)C的右側(cè)。且CD的長(zhǎng)為定值a,點(diǎn)D在點(diǎn)C的右側(cè)。作法：①將點(diǎn)A向右平移a個(gè)單位到A1②作點(diǎn)B關(guān)于直線L的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B1④過(guò)點(diǎn)A作AC〃A1D交直線L④過(guò)點(diǎn)A作AC〃A1D交直線L于點(diǎn)C,連結(jié)BD,變式5長(zhǎng)方形OACB,OA=3,OB=4,D為邊OB的中點(diǎn).,使得AC、CD、DB的和最小，(1)若E為邊OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)4CDE的周長(zhǎng)最小時(shí)點(diǎn)E,使得AC、CD、DB的和最小，畫(huà)出(2)若E、F為邊畫(huà)出(2)若E、F為邊OA上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF=2,當(dāng)四邊形CDEF(6)臺(tái)球擊點(diǎn)問(wèn)題例6如圖，在臺(tái)球桌面ABCD上，有白和黑兩球分別位于M,N兩點(diǎn)處，問(wèn)：怎樣撞擊白球M，使白球先撞擊臺(tái)邊BC,反彈后再去擊中黑球N解析:作N關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N,連接MN交BC于點(diǎn)E,連接EN.按ME方向撞擊白球M，白球M反彈后必沿EN方向擊中黑球N. .'點(diǎn)評(píng)：要使白球M撞擊臺(tái)邊BC反彈后再去擊中黑球N,必須使 二十:一LZMEB=NNEC.由軸對(duì)稱(chēng)還可得，/N'EC=ZNEC.又對(duì)頂角ZMEB=ZNEC,故可得到ZMEB=ZNEC.本題重在考查軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，關(guān)鍵注意對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線與對(duì)稱(chēng)軸的位置關(guān)系是互相垂直，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱(chēng)軸垂直平分，對(duì)稱(chēng)軸上的任何一點(diǎn)到兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離相等，對(duì)應(yīng)的角、線段都相等.

變式6如圖，甲乙丙丁四人做接力游戲.開(kāi)始時(shí)，甲站在長(zhǎng)方形操場(chǎng)ABCD內(nèi)部的E點(diǎn)處，丙在BC的中點(diǎn)G處，乙，丁分別站在AB、CD邊上.游戲規(guī)則是，甲將接力棒傳給乙，乙傳給丙，丙傳給丁，最后丁TOC\o"1-5"\h\zGt E跑回傳給甲.如果他們四人的速度相同，試找出乙，丁站在何 ‘處，他們的比賽用時(shí)最短（請(qǐng)畫(huà)出路線，并保留作圖痕跡，作 , 1法不用寫(xiě)）四、課時(shí)作業(yè)?輕松練A.基礎(chǔ)題組1.如圖，直線l是一條河，P,Q是兩個(gè)村莊.欲在L上的某處修建一個(gè)水泵站，向P,Q兩地供水，現(xiàn)有如下四種鋪設(shè)方案，圖中實(shí)線表示鋪設(shè)的管道，則所需管道最短的是（ ）2.已知，如圖Q兩地供水，現(xiàn)有如下四種鋪設(shè)方案，圖中實(shí)線表示鋪設(shè)的管道，則所需管道最短的是（ ）2.已知，如圖4ABC為等邊三角形，高AH=10cm,P為AH上一動(dòng)點(diǎn)，D為AB的中點(diǎn)，則PD+PB的最小值為cm.第2題 第3題.如圖，MN是正方形ABCD的一條對(duì)稱(chēng)軸，點(diǎn)P是直線MN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PD+PB的最小值為cm.第2題 第3題.如圖，MN是正方形ABCD的一條對(duì)稱(chēng)軸，點(diǎn)P是直線MN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PC+PD最小時(shí)，NPCD二.為慶祝60年國(guó)慶圣典，陽(yáng)光中學(xué)八年級(jí)（2）班舉行一次文藝晚會(huì)，桌子擺成兩真線（如圖：AO,OB）AO桌子上擺滿蘋(píng)果，BO桌子上擺滿桔子，坐在C處的小華想先拿蘋(píng)果再拿桔子，然后回到座位C處，NAOB小于90度，請(qǐng)你幫助他設(shè)計(jì)一條行走路線，使小華所走路程最短.請(qǐng)作出路線圖，并用字母表示所走路線.（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法、不必且說(shuō)明理由）B.中檔題組5.如圖，山娃星期天從A處趕了幾只羊到草地11放羊，然后趕羊到小河12飲水，之后再回到B處的家，假設(shè)山娃趕羊走的都是直路，請(qǐng)你為它設(shè)計(jì)一條最短的路線，標(biāo)明放羊與飲水的位.如圖，一牧民從A點(diǎn)出發(fā)，到草地出發(fā)，到草地MN去喂馬，該牧民在傍晚回到營(yíng)帳B之前先帶馬去小河邊PQ給馬飲水（MN、PQ均為直線），試問(wèn)牧民應(yīng)走怎樣的路線，才能使整個(gè)路程最短（簡(jiǎn)要說(shuō)明作圖步驟，并在圖上畫(huà)出）C.挑戰(zhàn)題組整個(gè)路程最短（簡(jiǎn)要說(shuō)明作圖步驟，并在圖上畫(huà)出）.如圖，荊州古城河在CC,處直角轉(zhuǎn)彎，河寬均為5米，從A處到達(dá)B處，須經(jīng)兩座橋：DD/，EE/（橋?qū)挷挥?jì)），設(shè)護(hù)城河以及兩座橋都是東西、南北方向的，A、B在東西方向上相距65米，南北方向上相距85米，如何架橋可使到A到B的路程最短，畫(huà)出路程圖五、我的錯(cuò)題本參考答案變式練習(xí)參考答案變式1解：利用軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)可作點(diǎn)A關(guān)于公路的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A,連接A,B,與公路的交點(diǎn)就是點(diǎn)P的位置.變式2解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BC，n,且使連接A,B,與公路的交點(diǎn)就是點(diǎn)P的位置.直線m與M,作MN〃BC即可.理由：兩點(diǎn)之間線段最短.變式3解析：本題意思是在OA上找一點(diǎn)D,在OB上找一點(diǎn)E,使△CDE的周長(zhǎng)最小.如果作點(diǎn)C關(guān)于OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是M,關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是N,當(dāng)點(diǎn)D、E在MN上時(shí)，^CDE的周長(zhǎng)為CD+DE+EC=MN,此時(shí)周長(zhǎng)最小.變式4解：（1）因MN垂直平分AB,所以MB=MA,又因4MBC的周長(zhǎng)是14cm,故AC+BC=14cm,所以BC=6cm.（2）當(dāng)點(diǎn)P位于直線MN與BC延長(zhǎng)線的交點(diǎn)時(shí)，PA—CP的值最大，最大值是6cm,理由：因A、B關(guān)于直線MN對(duì)稱(chēng)，所以AP=BP,當(dāng)點(diǎn)P位于MN（直線MN與BC延長(zhǎng)線的交點(diǎn)除外）上時(shí)，根據(jù)三角形三邊關(guān)系始終有IPB—CPI<BC,當(dāng)點(diǎn)P位于直線MN與BC延長(zhǎng)線的交點(diǎn)P時(shí)，即B、C、P三點(diǎn)成線時(shí)，存在IPA—CPI=BC=6cm為最大值，

變式5解：(1)如圖，作點(diǎn)D關(guān)于OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D',連接CD'與OA交于 5一二^點(diǎn)E,連接DE. ^匕//若在邊OA上任取點(diǎn)E'與點(diǎn)E不重合、，連接CE'、DE'、D'E'D7E/EfA由DE'+CE'=D'E'+CE〉CD'=D'E+CE=DE+CE,可知4CDE的周長(zhǎng)最小. 0(2)如圖，作點(diǎn)D關(guān)于OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D',在CB邊上截取CG=2,連接D'G與OA交于點(diǎn)E,在EA上截取EF=2,VGC#EF,GC=EF,??.四邊形GEFC為平行四邊形，有GE=CF,又GC、EF的長(zhǎng)為定值，，此時(shí)得到的點(diǎn)E、F使四邊形CDEF的周長(zhǎng)最小.變式6解：作點(diǎn)G關(guān)于CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G',作E關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E,連接G'E',交CD于點(diǎn)F、交AB于點(diǎn)H,故比賽最短的路線為:E—H—G—F.課堂作業(yè)A.基礎(chǔ)題組.D解析：利用對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，通過(guò)等線段代換，將所求路線長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為兩定點(diǎn)之間的距離.作點(diǎn)P關(guān)于直線L的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P,,連接QP,交直線L于M.根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，可知選項(xiàng)D鋪設(shè)的管道，則所需管道最短.故選D..10解析:連接PC,根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)，可得PC=BP,PD+PB要取最小值，應(yīng)使D、P、Cm點(diǎn)一線.連接PC,：^ABC為等邊三角形，D為AB的中點(diǎn)，，PD+PB的最小值為:PD+PB三角形，D為AB的中點(diǎn)，，PD+PB的最小值為:.45°解析：\?當(dāng)PC+PD最小時(shí)，作出D點(diǎn)關(guān)于MN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，正好是A點(diǎn)，連接AC,AC為正方形對(duì)角線，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出/PCD=45°,.'.NPCD=45°..解析：要求小華所走路程最短路線，如圖，可作點(diǎn)C關(guān)于OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M,作點(diǎn)C關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N.連接MN,交OA于點(diǎn)F,交OB于點(diǎn)E,最短路線CEF.B.中檔題組5解：作出點(diǎn)A關(guān)于11的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E,點(diǎn)B適于12的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F,連接EF,