【2019年整理】彈性波動力學(xué)重點復(fù)習(xí)題

緒論復(fù)習(xí)思考題1．什么是彈性體?當一個物體受到外力作用，在它的內(nèi)部質(zhì)點間發(fā)生位置的相對變化，從而使其形狀改變，當外力作用取消后，物體的應(yīng)力、應(yīng)變狀態(tài)立刻消失，并恢復(fù)原有的形狀。這類物體稱為彈性體。2．物體在什么條件下表現(xiàn)為彈性性質(zhì)，在什么條件下表現(xiàn)為塑性性質(zhì)?在外力作用較小，作用時間較短情況下，大多數(shù)物體包括巖石在內(nèi)，表現(xiàn)為彈性體性質(zhì)。外力作用大，作用時間長的情況下，物體會表現(xiàn)為塑性體性質(zhì)。3．彈性動力學(xué)的基本假設(shè)有哪些?（1）介質(zhì)是連續(xù)的（2）物體是線性彈性的（3）介質(zhì)是均勻的（4）物體是各向同性的（5）物體的位移和應(yīng)變都是微小的（6）物體無初應(yīng)力4．什么是彈性動力學(xué)中的理想介質(zhì)?理想介質(zhì)：連續(xù)的、均勻的、各向同性的線性完全彈性介質(zhì)。第二章復(fù)習(xí)思考題.什么是正應(yīng)變、切應(yīng)變、相對體變寫出它們的位移表達式。答：正應(yīng)變是彈性體沿坐標方向的相對伸縮量。切應(yīng)變表示彈性體扭轉(zhuǎn)或體積元側(cè)面角錯動。相對體變表示彈性體體積的相對變化。u

e■u

e■■xy■y■Xw■ue■■u.e■■xyeJyy■we■■戶■物eyzezz■B■■w:■明■w■■=■■■■u■■wxxyyzz■X■y?■e■e■——■xxyyzz■X■y?旋轉(zhuǎn)角位移為體積元側(cè)面積對角線的轉(zhuǎn)動角度。1■w■■■-(-■-)■21y?：1尸■w-(■)■2?，■.試解釋應(yīng)變張量和旋轉(zhuǎn)張量中各分量的物理含義。e,e,e分別表示彈性體沿、、方向的相對伸長量；XXyyzze,e,e分別表示平行于坐標面xoy、yoz和的側(cè)面積的角錯動量。xyyzzx■、■、■分別表示與坐標面yoz、和xoy平行的側(cè)面積對角線圍繞xyzx、和z軸的旋轉(zhuǎn)角。?設(shè)彈性體內(nèi)的位移場為5■(■x■■y)i■(■x■■y)j,其中1122,■,■,■都是與相比很小的數(shù)，試求應(yīng)變張量、轉(zhuǎn)動角位移矢量及1212

體積膨脹率相對體變)TOC\o"1-5"\h\z解：s■(■x■■y)i■(■x■■y)j1122U■■xI■yII.■■x■■y22Wi■0IIu■I■■xxI^x1■■_yyIy2nIyyIy2nI—■0zz._I-e■xy■yzzx■y，12?II-I—■0■物■w/u■0■x■■■■■112應(yīng)變張量■■■■■0■■00體積膨脹率■■e■e■eH^w■■■■xxyyzz?Iy-12III-■_(wI-)■01■■-(■■■果1■■-(■■■果221■1(!u■受)■021t，I■1(凡.匹)，(■■■)z2，Iy22/■已知彈性體內(nèi)的位移場為s■k(y■y0)i-k(x■x。萬，其中k,x0，y0為已知常數(shù)，試求應(yīng)變張量和旋轉(zhuǎn)張量，并闡述此結(jié)果反映什么物理現(xiàn)象。解：s■k(y■y)i■k(x■x)j

u■k(y■y)I0V■k(x■x)W■o°xxyy■——■0xxyy■——■0■x■1v■0■y■w1-■0

.e.DJ■0xy■y，e■1v.藝■0y■■y00100100■■■z體積膨脹率??6■e■e■巴?1v■四■0xxyyzz，，?■——■_(-1_)■02物■Z/(1u.型)■0■■陜k■Z，I■，(■v■1u)■“z2■x物反映了該彈性體沒有發(fā)生體積及形狀的變化，只是繞軸旋轉(zhuǎn)了一個角度。.什么是應(yīng)力、正應(yīng)力、切應(yīng)力、應(yīng)力張量答：作用于單位截面積上的內(nèi)力,稱為應(yīng)力。應(yīng)力作用方向與作用截面答：作用于單位截面積上的內(nèi)力,稱為應(yīng)力。應(yīng)力作用方向與作用截面垂直，稱為正應(yīng)力；應(yīng)力作用方向在作用截面上，稱為切應(yīng)力。三個相互正交的坐標面上應(yīng)力矢量共同構(gòu)成了應(yīng)力張量。記為

TOC\o"1-5"\h\zryxzx■■■。xyyyzy，■■■xzyzzz■70■2?已知彈性體內(nèi)一點處的應(yīng)力張量由矩陣T■:050豁出。.204.試求過點外法線方向為的面元上的應(yīng)力矢量p。n解：外法線單位矢量為n■2'.2J限■21■2j■1k■2■■2=3:3■4.1■2■■2=3:3■4.1?1■3■?■!■■?主■■■■7由JT」x?，第0P!*y?yy梳置方■2nzxzyzzznz得P■7■2■0■■2■2/■4nx3■3■3P■5P■5ny?IP■■，■0/2Ik4■1■0nz3■3!3則：%，4"f^P-16邛■涔楊氏模量、泊松比、剪切模量、體變模量各表示了什么物理含義答：（1楊氏模量，是正應(yīng)力與正應(yīng)變的比例系數(shù)；（2切變模量■，是切應(yīng)力與切應(yīng)變的比例系數(shù)；（）拉梅系數(shù)■，■，反映正應(yīng)力與正應(yīng)變的比例系數(shù)的另一種形

式;(4壓縮模量或體變模量，表示單元體在脹縮應(yīng)變狀態(tài)下，相對體變與周圍壓力間的比例系數(shù)；()泊松比■，表示物體橫向應(yīng)變與縱向應(yīng)變的比例系數(shù)，故也稱橫向形變系數(shù)。已知一各向同性線性彈性體的彈性模量為：楊氏模量，泊松比為；其中一點處的應(yīng)變分量為e■a,ea,e■2a,ea,e■e■0，其中10m，試求拉梅◎yyyz@笈町常數(shù)■■，并寫出該點上的應(yīng)力張量。E1210?0.2858.818375「八解：■■■■■GPa(11)(1■2B)(1■0.28)(1■0.56)0.5632176.2102(1■0.28)262532.2102(1■0.28)262532GPa體應(yīng)變■■e■e■e■■axxyyzz則由應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系■■■2?■GPaxxxx■■■2?■GPayyyy■■■2?■GPazzzz■■■GPaxyxy■■■GPayzyz■■■GPazxzxzx.已知一彈性介質(zhì)內(nèi)■■■■105加月明位移場為S■ui■vj■攻k■U■2xy2其中■V■xz試求點處的應(yīng)變張量、轉(zhuǎn)動向量、體應(yīng)變以■W■z2■xy及該點處的應(yīng)力分量。TOC\o"1-5"\h\z解：由題可知在點e■丑■2y2■2必■8,e■更-9■4町■z■4H0H2■%xx■xxy■y■xe■巴■巴■0■■By,eI―0xz.■■yyiye■.■■w■x■■Ikr?0,e■藝■2z■2yz■iyzz■18■4-21H■2■11則應(yīng)變張量為e..■，00熱e..200I0■81”.10■41由轉(zhuǎn)動向量■■■i-j-kxyz■12spy?I2H，12sxiyI■1IixIx?■1■■餐』■1?■4xy■222■1B0i■1B2j/■4■0?222■j■2z體應(yīng)變■■e■e■e■8■0■■■0xxyyzz由應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系有■■■—2Hexxxx1■105■0■2■105■8■1.6■106IMPaI

■■■■■2?yyyy1■105■0■2■105■0■04PaI■■■■2Bezzzz1■105■0■2■105,■1.6■1064Pa■■■■”■1U05■4U05/Pa■TOC\o"1-5"\h\z孫/孫■■?Be■1■105■0■04Pa■yzzyyz■■BBe■1■10511k2■配■105%Pa■zxxzzx將■??p(x,y,z)■代入用下標記號表示的運動微分方程ijij■■”■■心中，化為矢量方程，并用梯度算子表示。兒ji1解：由???p(x,y,z)■可知ijij■■p■■■0■zx■■■p!■■0鼠人運動微分方程yyyz■■■pI■■0Izzxy將各式分別乘以單位向量i、j、k，相加，得：.一■■y

第三章復(fù)習(xí)思考題.寫出縱波和橫波速度的表達式，分析它們之間的大小關(guān)系。vPvP■■Vp■M■旺v■Y1■2HSL1由于0■■■—,因此■■1,即v■v，可見縱波速度大于橫波速度。2ps.什么叫泊松體泊松體的拉梅常數(shù)、縱橫波速度、泊松比各有什么特點答：■■—,或者■■■，具有這種性質(zhì)的物體稱為泊松體。對泊松體而4言，■■1.73。4已知某彈性介質(zhì)中的波速度為/,波速度/,求該介質(zhì)的泊松比。解：■■Vp■:Vs丫三25.Z1解：■■Vp■:Vs丫■V1■2B195013江■生■.119.0.291■2B169407波速度和?已知彈性介質(zhì)中楊氏模量為，泊松比為■，求介質(zhì)的波速度。波速度和解：V解：Vp?\蕓品.簡述地震波在彈性介質(zhì)中傳播的基本規(guī)律。答：惠更斯（）原理：任意時刻波前面上的每一點都可以看作是一個新的波源（子波源），由它產(chǎn)生二次擾動，形成新的波前，而以后的波前位置可以認為是該時刻子波前的包絡(luò)線。由波前面各點所形成的新擾動（二次擾動）在觀測點上相互干涉疊加，其疊加結(jié)果是在該點觀測到的總擾動。斯奈爾（）定律：反射波滿足反射定律，而透射波滿足折射定律（地震學(xué)中稱透射定律），地震波也遵循這個規(guī)律，統(tǒng)稱為斯奈爾定律。在界面上，入射波、反射波和透射波的p■snE值相等，稱p為射線vi參數(shù)。．寫出周期、頻率、波長、波數(shù)、速度各量之間的關(guān)系式?！觥鰒T11fk■■■f■■vT■vTv0．簡述非均勻波的主要特點。答：非均勻波的振幅在空間是變化的，隨著空間坐標在變化。不均勻平面波其等相位面與等振幅面互相垂直。.已知介質(zhì)的波速度為v■2000m/s，介質(zhì)的波速度為1v■」3v，有一平面簡諧波以入射角■■30。自介質(zhì)入射到兩介質(zhì)的21分界面上，已知入射波的振幅為,，頻率為，反射波和透射波的振幅分別為A和A，試寫出這三個波的波函數(shù)表達式。rt解：臨界角sini?4m，入射角■■30。小于臨界角。反射角等于入射v32角，根據(jù)透射定律駕■匕，透射角■■60。。sin■1v2丫sin■■zcos■平面簡諧波函數(shù)f（x,j,1,t）■A〃■⑺v），軸向右，軸向下I-入射波：f（x,j,z,t）■Ae網(wǎng)/嗡喘）i

反射波：f(x,j,z,t)■A/60/曦0噫)—z—z~~)4000―40003透射波：f(x,j,z,t)■Ae，6*?t7已知一簡諧波的波函數(shù)為■■Ae；（360m06x皿08z），試求以下問題:設(shè)軸向右，軸向下，請用一經(jīng)過原點的射線畫出此波的傳播方向，并標明角度。sin■■■16cos■■0.8這個波的圓頻率和圓波數(shù)各是多少在方向和方向上的視波數(shù)各是多少圓頻率■■360Hz在方向和方向上的視波數(shù)kBK.06k■0.08圓波數(shù)k■宜■260■0.1或者k■.'k2■k2■0.1(1/m)Iv3600\xz這個波的真實傳播速度、在方向和方向上的視速度各是多少■0.06.0.08.0.06.sin360，.08.■360解：■■Ae；(3601B0.06x008z)■AeJ360(t0.06.sin360，.08.■360V求解得波的真實傳播速度：V■3600m/scosI

在方向和方向上的視速度C?*000m/s、C■4500m/sxz11．球面波、柱面波與平面波的本質(zhì)區(qū)別在哪里?試解釋球面擴散因子和柱面波擴散因子的物理含義。答：平面波在其傳播過程中波形及其振幅都不變化，而球面波的振幅隨傳播距離的增大而衰減，并且球面波在其傳播過程中波形逐漸改變。遠離震源時，柱面波的振幅隨增大而衰減，與之成正比。球面r1擴散因子1：表示波遠離震源向外傳播，其振幅不斷衰減，且與到震源r的距離成反比。柱面波擴散因子表示波遠離震源向外傳播，其振幅不斷衰減，且柱面波擴散因子表示波遠離震源向外傳播，其振幅不斷衰減，且與好成反比。第四章復(fù)習(xí)思考題.什么是機械能密度什么是能流密度寫出能流密度和機械能密度的關(guān)系式，并解釋其物理意義。答：單位體積物體所具有的機械能叫機械能密度。能流密度：單位時間內(nèi)通過與能量傳播方向垂直的單位截面積的機械能?！鯥EdivI■■0■表明了單位體積的體積元內(nèi)機械能在單位時間內(nèi)的減少量等于通過其表面積的機械能流失量。2寫出能流密度與應(yīng)力張量和位移矢量的關(guān)系。寫出簡諧波強度的表達式。答：/■■■lU■■lV■■型)1xxxItxyItxzItI■”1u■■1v■■1w)■或I??uyyxItyyItyzIt.'ljj/1u■■Iv■■1w)■zzxItzyItzzItI1

I■—A2,2?

2TOC\o"1-5"\h\z.一平面波的位移位為■(x,y,t)■Bexp[j(kx■kz-)],求應(yīng)變張xxz量分量、應(yīng)力張量分量、能流密度矢量及波的強度分布?！觥觥觥鰑■■z■y-■，物■■解：由v■!5■三■已B1y■，■??■■W■——■■x■?，1y■

可知■v■—^■jBkej（kx喊z-）小■0■()■■■■■■*，■￥土■■/￥?一，.」■■■■■■■■■■2，■0xxxx■■■2，■0yy■()■■■■■■*，■￥土■■/￥?一，.」■■■■■■■■■■2，■0xxxx■■■2，■0yyyy■■■2,■0■■■0Izxzx■■HUB42ej（kxx叫z-）yz.yz.■???B■kkej（kxBkz,t）xzxyxy1■■■巴

xxx■tI史?型）■■1v?UB2■Wk2ej2（kxx睢-xy.xz■xy■xz■■■1u■■1v■1w-）■0yyx.yy.yz■5■■■1u■1v■■■w））■■1v?UB2H*3ej2（kxx★.）zzx■zy■zz■zy'z能流密度矢量I■Ii■IkBIB2■?k2ej2（kxx3工工■）（ki■kk）波的強度分布I■B2■酷2、”zx.常見的平面極化波有哪幾種什么叫轉(zhuǎn)換波什么時候會產(chǎn)生轉(zhuǎn)換波答：常見的平面極化波有縱波、波（垂直極化橫波）、答：常見的平面極化波有縱波、波（垂直極化橫波）、波（水平極化橫波）。同入射波極化類型不同的波稱為轉(zhuǎn)換波如入射波為縱波，則有轉(zhuǎn)換反射橫波和轉(zhuǎn)換透射橫波）。轉(zhuǎn)換波的產(chǎn)生是由于入射波傾斜地作用在分界面上，它可分解為垂直于界面的力和切向力兩部分，導(dǎo)致體應(yīng)變和切應(yīng)變，則相應(yīng)有波和波產(chǎn)生。轉(zhuǎn)換波的能量與入射角有關(guān)，垂直入射時不能形成轉(zhuǎn)換波；只有入射角達到一定程度時，才有足夠能量的轉(zhuǎn)換波被記錄下來。6方程和方程各表達了什么含義它們之間的關(guān)系如何?答：方程表示以位移位振幅比表示的波入射時的波反射系數(shù)、波反射系數(shù)、波透射系數(shù)和波透射系數(shù)的表達式。求解該方程，可以得到以位移位振幅比表示的縱橫波的反射系數(shù)及縱橫波的透射系數(shù)。同時，也是用位移位振幅比表示的入射縱波和各反射波或透射波的能量分配關(guān)系?？梢钥闯?，它們除了同入射角有關(guān)外，還同上下介質(zhì)的速度和密度參數(shù)的比值有關(guān)。方程表示以位移振幅比表示的波入射時的波反射系數(shù)、波反射系數(shù)、波透射系數(shù)和波透射系數(shù)。AS2^-■02■rASpp101ASVV—3■03si■去rASVVps101p1p1TOC\o"1-5"\h\zASVV—4■—04——P2■-pt-1ASVVpp101p1p1ASVV—5■05■s2tASVVps101s1s17寫出平面波垂直入射到彈性界面上時的反射透射系數(shù)表達式，并說明其主要特點?！觥鰒■■v^(■2p21p1pp■v■■vTOC\o"1-5"\h\z2p21p1■r■0psS'2■v■ipi—pp■v■■v■2p21p1■t■0ps(1平面波垂直入射到彈性界面上時，將產(chǎn)生反射波和透射波。為了形成反射波，分界面兩側(cè)介質(zhì)波阻抗必須存在著差異，TOC\o"1-5"\h\z■v■■v。波阻抗差異大，反射系數(shù)大，界面反射波強；相反，波阻2p21p1抗差異小，反射系數(shù)小，界面反射波弱。(2)當波在波阻抗大的分界面(■v■■v)反射時，反射系數(shù)2p21p1為正，這意味著反射波相位與入射波相位相同。相反，當波入射到波阻抗小的分界面(■v■■v)時，反射系數(shù)為負值。這時反射波相對入2p21p1射波有180■相位差，稱為“半波損失”現(xiàn)象。(3平面波垂直入射到彈性界面上時，在分界面另一側(cè)產(chǎn)生的透射波，總是和入射波同相位。8．什么叫透射損失?寫出其表達式。答：t■■■1■r2表示波從不同的方向穿過同一界面一個來回時振幅的pppppp變化，稱為界面的“透射損失”。9證明平面波垂直入射到彈性界面上時滿足能量守恒關(guān)系。證：■■■■■■■0入射波的能量：E■-■v■2S2Scos■■-■v■2S2S121p1121p11反射波的能量：E■1■v■2S2Scos■■-■v■2S2S221p1221p12pp透射波的能量：E■1■V■2S2Scos■■1■V■2S2SIVpp透射波的能量：E■1■V■2S2Scos■■1■V■2S2SIVIIV

■2p21-p1I■V■■V2p21p12IV■1pI■V■■V2p21p1S1-21Ss^1VIIV2—p21-p1Slv■■V12p21p12■v1p1Slv■■V12p21p1代人能量計算式■1■V■2S2S■1■V21p1221p1EVI■Vlv■■V2p21p1■1■V■2S2S■1■V■2S2S2p2422p212■vu^1_lv!■v2p21p1■1■2S2S

21IVtVIIVIV■■VI1p12p21p12p21p1IVZ!V2p21p1VIIVIV■■VI2p21p12p21p1I4■v■v1p12p2■1■2S2S■V211p1VIIVIV■■VI2p21p12p21p1I1■2S2S■V■E

211p11所以平面波垂直入射到彈性界面上時滿足能量守恒關(guān)系。第五章復(fù)習(xí)思考題1．試解釋頻散的概念和相速度、群速度的物理含義。答：如果傳播速度成為與地震波的頻率有關(guān)的函數(shù)，那么構(gòu)成脈沖波的各簡諧分量將分別以各自不同的速度傳播，在經(jīng)過一定的時間后，各簡諧波有著不同的傳播距離，因而由它們疊加而成的波的延續(xù)長度（擾動區(qū)域的范圍）就要比開始時有所增大。換句話說，隨著時間的推移，一個脈沖波將逐漸地變?yōu)橐涣胁?，這種現(xiàn)象稱為波的頻散r相速度：簡諧波中任一等相位面的傳播速度，即整個簡諧波的傳播速度。群速度：整個波列的傳播速度。第六章復(fù)習(xí)思考題1．解釋波動方程的克其霍夫積分解即式(6—15的)物理含義。TOC\o"1-5"\h\z答.P,t)■-1>-121更■■]d?4?iTIbn■Cr■nlit■r2n141rSI式中的體積積分項是非齊次波動方程的特解，對應(yīng)。區(qū)域內(nèi)部震源對波場貢獻部分，被積函數(shù)為內(nèi)部空間震源單元到觀測點的距離；而式中的面積積分是齊次波動方程的一般解，反映。區(qū)域以外的外部空間震源的影響。2．解釋推遲位和超前位的概念。推遲位*t)?*t?r)超前位；*t)■*t■r)4．克其霍夫積分解求解的是哪一類波動方程?其求解思路是什么?答：震源分布于S曲面以外的區(qū)域，我們希望確定S曲面內(nèi)部空間的位移場，解決的則是內(nèi)部問題。(1)利用傅立葉變化得到亥姆霍茲方程(2)利用格林公式求解亥姆霍茲方程()利用傅里葉反變換求未知函數(shù)■(P,t)3．解釋克其霍夫繞射公式中各項的物理含義，并說明克其霍夫繞射公式在實際中的應(yīng)用。答：*P,t)■?Aejj■e*jkre*jk0j(cos??cos?)dSrr2?0S0空間任意一點的波場值都是閉合曲面上各點作為新震源發(fā)出的二次元波在該點疊加的結(jié)果，參與疊加的各元波對點波場所起的貢獻大小不同，貢獻大小由方向因子K(■)決定。

．解釋菲涅耳帶的概念及其影響因素，并說明菲涅耳帶半徑與地震分辨率的關(guān)系。12rh?P,t)■■F(t■)dS答：積分式2?s3的積分區(qū)域是地下整個反射面的面積。為了完成這一積分，我們對積分區(qū)域進行分解，按照一定原則將它劃分成一系列以地下反射點為圓心的同心圓環(huán)狀區(qū)帶。劃分的原則是：使得相鄰圓環(huán)上的點到點的距離之差等于地震波長的四分之一。這樣，來自相鄰圓環(huán)上各點的繞射波傳到點的雙程走時為地震波周期的一半，即反相。這些同心圓環(huán)S,S,S，…分別稱為第一、第二、第三、123菲涅耳帶。第一菲涅耳帶也簡稱菲涅耳帶。菲涅耳111111■(P,t)■-I■(I■I■-I)■(I■I■-I)■…■-I對21212232342521地下整個界面的積分，近似等于對第一菲涅耳帶內(nèi)的積分的一半。習(xí)慣上不考慮常數(shù)1，認為菲涅耳帶內(nèi)繞射波的積分就是反射波場。菲涅耳帶半徑:「嗎菲涅耳帶決定著地震反射的橫向分辨率。可以看出，界面埋藏越深，地震波波長越大(頻率越低)，菲涅耳帶半徑越大，地震橫向分辨率越低；反之，地震橫向分辨率越高。

第七章復(fù)習(xí)思考題．常用的描述地震波吸收特性的參數(shù)有哪些？寫出它們各自的表達式及相互關(guān)系式。答：（1吸收系數(shù)■:■■-^ln0x■xA（x）212可見，■表示地震波振幅隨傳播距離%的衰減，單位是衰減因子■:■■—lnA(ti)-t■tA(t)212■表示地震波振幅隨傳播時間t的衰減，單位是A（）對數(shù)衰減率■:■■山A0對數(shù)衰減率描述了波傳播一個波長或一個周期時的振幅變化，■是個無量綱的量。對數(shù)衰減率■與吸收系數(shù)■間存在下列關(guān)系TOC\o"1-5"\h\zI】A■■■Ilno■■■f■A■CTC（）品質(zhì)因子Q：Q■丁■亭:利用在一個波長■的距離上（或一個周期的時間內(nèi)）地震波能量的相對衰減量來描述介質(zhì)的吸收性質(zhì)?！觥龉ぁ鯭CQ■已知某地層的品質(zhì)因子6地震波速度0以地震波離開震源時的能量為參考標準，進行下列計算并做簡單的比較。（1）計算離開震源而衰減的能量。（2）計算離開震源處0（1）計算離開震源而衰減的能量。（2）計算離開震源處0處0的地震波由于地層吸收的地震波由于球面擴散而衰減的能量。（）若離開震源距離變?yōu)?重新計算上述內(nèi)容。解：（1一個波長■的距離上（或一個周期的時間內(nèi)）地震波能量的相對衰減量吧■2?■—地震波的波長■■vT■-TOC\o"1-5"\h\zEQ30f的地震波的波長為離開震源處地震波能量的相對衰減量為：-■200030100015的地震波的波長為離開震源處地震波能量的相對衰減量為：-■2000■上30503的地震波的波長為離開震源處地震波能量的相對衰減量為：30?2000■與離開震源1因為E■—r1因為E■—r21

所以我■22002

E■1■2002??480_心TOC\o"1-5"\h\）離開震源距離變?yōu)榈牡卣鸩芰康南鄬λp量為：4000■2?30100015H勺地震波能量的相對衰減量為：4000■空30503的地震波能量的相對衰減量為：之■4000■與302031.1地震波由于球面擴散而衰減的能量■E■四Q”出■4E14412002

公式推導(dǎo)題;4■..試推導(dǎo)出幾何方程*、,、,■五及體應(yīng)變■BeBe。■~XXyyZZ解:以二■為例來推導(dǎo)解:以二■為例來推導(dǎo)——S■——S■——h/x?dx相對伸長量為e■"空'J——

%%ABdx同理可得V'BV則體應(yīng)變?yōu)?xryyzzdxdydzXXyyZZxxyyzz同理可得V'BV則體應(yīng)變?yōu)?xryyzzdxdydzXXyyZZxxyyzzTOC\o"1-5"\h\z■u..■e■■xyyx■y■x什么是切應(yīng)變？推導(dǎo)切應(yīng)變;~?生■■u■xzzx■x■z■v■wm■e■-■—zyyz■z■y答：切應(yīng)變也稱剪切應(yīng)變，表示彈性體扭轉(zhuǎn)或體積元側(cè)面角錯動。如圖所示，由彈性體中截取一個體積元dxdydz,考察其側(cè)面積MNP在應(yīng)變過程中的變化。設(shè)物體受一個切向力，的作用，形狀發(fā)生改變，側(cè)面積MNP變?yōu)镸N/P/。我們假定M位置不變，我們假定M位置不變，N移］，移至P/，即垂直線段沿x方向發(fā)生了位移，水平線段沿垂直方向發(fā)生了位移。顯然NN/m^udz■zPP/■■w-dx；在應(yīng)變過程中側(cè)面積MNP形狀的改變表現(xiàn)為其側(cè)面角度PP/■錯動。我們這里假定M點位置不變，其位移為零，并不影響有關(guān)側(cè)面積形狀的討論。由圖可以看出，側(cè)面積MNP側(cè)面角由■NMP變?yōu)椤鯪/MP/，變化量■■■，12■■tan■■■tan■■PP/■w■■MP■xNN/■u■■tan■■■■z因此，側(cè)面角變化量為:同理可以討論其它兩個側(cè)面積形狀的改變?！鰒■wTOC\o"1-5"\h\z對平行于坐標面WZ的側(cè)面積，可有：e?■”?■y?一?對平行于坐標面卬的側(cè)面積,可有：,■豆■五■■■■2?XXXX豪■■■2?根據(jù)虎克定律，推導(dǎo)正應(yīng)力與正應(yīng)變關(guān)系式［yyy，y豪■■■2?NNNN其中■、■為拉梅系數(shù)。解：據(jù)實驗結(jié)果，相對伸長量與作用力（正應(yīng)力）成正比。對沿方向伸長的物體，有e/E為楊氏模量。XXXX.XX另一方面，物體沿一個方向伸長時，在其它兩個方向會發(fā)生壓縮?？v向伸長和橫向壓縮存在著比例關(guān)系，即：e■e■e■e■yyNNXXXE■為泊松比。同理在、方向也存在類似關(guān)系式:*■■■■■EXXXXXX,■e■唾■■■EXXNNNN一般情況每個方向既發(fā)生縱向伸長（或壓縮），也發(fā)生橫向壓縮（或伸長），則可寫出如下關(guān)系式:（）（）相對體積變化■為:xxyyzzyyxxzzzzxxyyxxyyzzyyxxzzzzxxyy由由（）式和（）式解得應(yīng)力■xx、■yy、?z的表達式■■■2嚏xx■■■2嚏yy■■■2嚏zz■■■2嚏xx■■■2嚏yy■■■2嚏zz、稱為為拉梅系數(shù)。4.根據(jù)達蘭貝爾原理，推導(dǎo)彈性介質(zhì)運動的應(yīng)力方程■mux■■■uji，ji■2。解：設(shè)介質(zhì)質(zhì)點位移函數(shù)為s”.y，z/.ui?vj?wk對于彈性介質(zhì)體內(nèi)的一體積元馬v■為介質(zhì)密度，貝嵋受慣性力為■2udJ■■cdv■t2，對整個體積求積分得到■2uJ■■■tdviV■t2對于介質(zhì)受到的在方向的面力為Tni??j!j，?lj為應(yīng)力分量，j為法線的方向余弦。面上的微量面元的面力作用為Tnd，對作用于整個封閉曲面的面力為*ds■■ldsSniSSni作用于介質(zhì)的體力分布于整個體積上，與質(zhì)量有關(guān)。定義x為作用于單位質(zhì)量上的體力，x.是它在方向的分量，X■Xi■XJ■X卜，iik則作用在介質(zhì)上的體力為BXJdv。T**"Vi由達蘭貝爾原理，慣性力與體力和面力相平衡，按作用力各分量列出方程式：

?lds■!卜叫■!■生dv■0TOC\o"1-5"\h\zSjijyiv■2利用散度定理將面力項化為體積分的形式可得I■u■■二■X■■1二I^v■0v.ji,ji■2.，一，…、一，一I■XI■I',對于任意的上式均成立，則被積函數(shù)為零，即?ji,j■X1PL由運動平衡微分方程式Bu.■■■噬推導(dǎo)出由位移向量S表示的1力,ji■.?____運動位移萬程■--■嗖■(■■■)■(■■)■■25?t解：運動應(yīng)力萬程的展開式為■一■-■■I

■一■-■■I

■■■

■一些■一些■一些

■■■

■丑蟲，■￡■一人，(1)把應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系式及應(yīng)變與位移的關(guān)系式代入上式再整理?！觥觥觥??；■■■■2?；■■■■2?TOC\o"1-5"\h\zXXXXyyyy笈zeee■呼;XXeee■呼;XXIXyyIyzz.IuIVIVIWIWIUeII;eII;eII盯.，yz■?以式()為例代入整理■BuBig■■!!■2u■■■v■■■w.Bu■2iIXIX2Iy2ItIyIX■■2■晚■(■■■)=2u(4)IX

TOC\o"1-5"\h\z同理■土■晚■(■■■)2■■2V■22iyBw?(6)■噬■(■■■)■■2w(6)■23-將(4)■i■(5)■j■(6)喊得到:?S_____，sBit■(■■■)■■■■2S?2再將■■■■和■2■■(■■)■■1■■5代入上式得到2s■■"■(■■2B).?*)■■■■￡■2由齊次波動方程(■■2B)?(?*)■■■■■S?IS推導(dǎo)縱波與橫波■2波動方程，0■■■J-波動方程，0■■■J-BEV2■2P，-W-V-fr■2s■■(■■)■■■■■s)■0。(提示：利用關(guān)系式解：將S■■■■■■代入運動位移方程(■■2H).?■S)■■■■-S■I—■2

■2■2B)-2.■■■!!>■■■■■■■?2■■■2■2H)?2...9>..22a■■(■■)■■!B>0■■2■■■2■若兩個方括號中的式子為零，則方程得到滿足。(■■21(■■2123|■0?2■0■t2■2lB—Hl.0V2?2

P其中縱波傳播速度：V■■其中縱波傳播速度：V■■p:■■2?/，橫波傳播速度:利用傅里葉變換法求解波動方程一維齊次波動方程:f的平面波達蘭貝爾解，并說明達朗貝爾解物理意義。?x,?)■■f(x,t)e■jtddt解：利用傅里葉變換式■f(X,t)■i=x,■)ej/d■對方程：!■「2：f■0求傅里葉變換Itfe-j』dt■9fe■j?dt?0■X2C2?2利用了傅里葉變換的時域微分性質(zhì)df)■5"(■)

d25.k230dx2式中，k是波數(shù)。此方程就是一維亥姆霍茲方程，它的解Cxx*x,■)■■(■)*J■C■■(■)eJ■C12使用傅里葉反變換可得時間域的解，其形式為xxf(x，t)■fL(t■-)■f2(t■-)這里利用了傅里葉變換的時移性質(zhì)f(t■t0)■F(■)e嗎式中，f1和f2為子波函數(shù)，■l(H)和)是它們的傅里葉變換。即于1(t)■■1(Bf)■■2(B)式f式f(X,t)■f1(t■C)■f2(t■CC)為一維齊次波動方程的平面波達蘭貝爾解。f(t■-)是一個沿x方向以C為速度傳播的平面波，f(t■-)是一個沿1C2C■X方向以C為速度傳播的平面波。一維波動方程的通解表示介質(zhì)中激發(fā)的平面波總是分為兩部分傳播出去，這兩部分平面波的傳播方向相反、速度相等。.當波入射到自由表面上時，會產(chǎn)生什么樣的反射波，推導(dǎo)反射系數(shù)公式。波波入射到自由表面上，只可能產(chǎn)生一個反射解：如圖所示，一個波。

波波入射到自由表面上，只可能產(chǎn)生一個反射(SH；%(嗎)入射波和反射波的位移函數(shù)入射反射xsincosU入射反射波：v■Be■⑴v、)11xsin■■zcos波：v■Be(t:在z■0時，有邊界條件：在z■0時，有邊界條件：■■zy■0■叫■cosxsinj■(t^x^ezcos■嗎j?cosx■叫■cosxsinj■(t^x^ezcos■嗎j?cosxsinj■(taxsnelzcos■0zB0cosxsin■■zcosj■(t.zcosxsin■■zcosj■(t<1s,nz,os■0xsin■■%cos■xsin■■zcos■、將v■v■v■Be■⑴v、)■Be■⑴v、)代入邊界條件求解得到1212■0j?(t1)vB■Br■B■112SHB1波在自由表面的反射系數(shù)為i與入射角無關(guān)，且無轉(zhuǎn)換波產(chǎn)生，也無半波損失現(xiàn)象。推導(dǎo)波入射到介質(zhì)分界面時的反射、透射系數(shù)公式。解：波入射到介質(zhì)分界面時只產(chǎn)生反射波、透射波。設(shè)入射角為■1、根據(jù)定理反射角與入射角相等，透射角為?2，并

1■——1■——sin■sin1M，位移滿足齊次波動方程■2v■2IT■。，入射波、反射波、透射波的位移函數(shù)分別為v■Be汝［1)(，tHxsin.,cosII)TOC\o"1-5"\h\z11sv■Beikf)(.■￥sin.唯cos,)22sv■Be%2)(.tBxsinII,cos1■)33s?■v■v?■v■v其中.112Iv■vII3邊界條件為：IIzm11z■■)■(■)◎1z?◎11z?把位移函數(shù)代入邊界條件得iB2I把位移函數(shù)代入邊界條件得iB2I3B1BI3■■cosi2Icos1通過求解此方程組2■1cosIII1cosI112■2得到11st呼1■cos?I■1coslcos112■得到11st呼1■cos?I■1coslcos112■222■cos?1■■■一cos?12■22,推導(dǎo)波入射到自由表面時位移振幅比與位移位振幅比之間的關(guān)系。rppSAv—I2—prSAvPS11pSAvI4—PSAv11s解：入射波、反射波和反射波的位函數(shù)分別為入射波■1xsin■■zcos■、JI(t■)反射波v

p

反射波Xsin■，cos■.反射波?■Aej",r)44將入射P波、反射P波和反射SV波位移位■1、■2和?4,分別代入式,Xsincos?、j■(t■)V

Xsincos?、j■(t■)V

p■i■■^jsinj1，1Vp■■Xsin■“cos?/(t■)2IuAj—sin■epp2■X2vp■XsinHBzcos?、TOC\o"1-5"\h\z?4?■■j■(t■)4■Ajcos■es?4V■,■/_xsin■■zcos?、■/■(t■)1■Aj—coslevp.p■XsinHBzcos?、TOC\o"1-5"\h\z?■■???j)2-■■Aj—coslepp?2Vpxsincos?、j1(t■)Vsz■0處的位移s根據(jù)其分量計算■一，一xsin■、入射波：S■Ju2■w2■j-AejfVpTOC\o"1-5"\h\z1'11V1p■一.一xsin■,反射波：S■Ju2■w2■j—Ae((Vp)2*22v2p?..■r.xsin■反射波：S■Ju2■w2■j—AeJ(t4'44p4

得到z■0處的反射波和入射波振幅比：（利用廣義定律四■su，后面的指數(shù)是相同的）vvpsSAvSAvr■2■2—pPPSAv11pSAv

r■4■4pPSSAv11s位移振幅比等于位移位振幅比乘以相應(yīng)波傳播速度之比的倒數(shù)。11瑞.雷面波是怎樣產(chǎn)生的？具有什么特點？推導(dǎo)瑞雷面波的位函數(shù)■■AeuqzeikR■CRt隊■■■■■?■Be-反叫&麻。推導(dǎo)瑞雷面波的存在條件，即C■■■■0R答：瑞雷面波是由于縱波與橫波入射到自由表面時干涉而產(chǎn)生的。面波是沿方向平行于自由表面?zhèn)鞑ィǖ恼穹c坐標有關(guān)，并且在,即下半空間隨著的增大，振幅呈指數(shù)衰減，當-8時，該波不存在。瑞雷面波的位函數(shù)■和?滿足齊次波動方程!!?■—.2..0■t2v2p■1■■■0■t2v2s波動方程的通解可以表示為：■■Ae即■xsin■■z■■Ae即■xsin■■zcos■)v

pjk(ctHxHz■AexC2'，v2■)■■Bej?(t?xsinl■zcos?lBe設(shè)波沿方向的視速度為c視波長為kx，■■k—■日瑞雷面波是沿方向以為速度傳播的平面簡諧波，則波函數(shù)形式可以寫成：

jkz、■jkz-■■Aex'v2ejk（cR）■■Bex入2ejk（cti）xsx把第一項改造為振幅沿方向衰減的項，而所討論的瑞雷面波正是具有這樣的性質(zhì)。為此將改寫為v，表示瑞雷面波的傳播速度，k改RxIIIIV2v2jkz'-RHl■"z-1■-RR-V2R\V2pppp,'V2'_v2jkz'-rHl■"z'1■-RRVV2RV2ss為了使上面兩項為實數(shù)，要求1?V2■0，1■陛■0，即V■■■■。TOC\o"1-5"\h\zV2V2RpsV2令r■k1■-RR■,V2P■'VV2令r■k1■-RR■,V2P1■-R■,k2■RR■'k2■VYV2RRV2RV2Rp*pp_V2_■-_V2—!,_k2V2_!_■2—匚~——s■k1■-R■一1■-R■k2■-^-R■Ik2■一■Jk2■k2R\V2V\V2RRV2RV2RSssRVsVs1s所以瑞雷波波函數(shù)為IIAeIrzeik(VtIx)IIBeIszeik(VtIx)RRRR2設(shè)。點有一震源，激發(fā)簡諧振動Ae，■，以球面波形式向四周傳播，0經(jīng)t時間后，傳播至以r■ct為半徑的球面上，試用積000分公式?。t）?占營■￡?三：白VTS推導(dǎo)計算球面外任