排隊(duì)論之簡單排隊(duì)系統(tǒng)

無限源的簡單排隊(duì)系統(tǒng)所謂無限源的簡單排隊(duì)系統(tǒng)是指顧客的來源是無限的，輸入過程是簡單流，服務(wù)時(shí)間是負(fù)指數(shù)分布的排隊(duì)系統(tǒng)。本節(jié)我們討論一些典型的簡單排隊(duì)系統(tǒng)。1.M/M/1/排隊(duì)系統(tǒng)M/M/1/排隊(duì)系統(tǒng)是單服務(wù)臺等待制排隊(duì)模型,可描述為：假設(shè)顧客以Poisson過程（具有速率）到達(dá)單服務(wù)員服務(wù)臺，即相繼到達(dá)時(shí)間間隔為獨(dú)立的指數(shù)型隨機(jī)變量，具有均值1 ，若服務(wù)員空閑，則直接接受服務(wù)，否則，顧客排隊(duì)等待，服務(wù)完畢則該顧客離開系統(tǒng)，下一個(gè)排隊(duì)中的顧客 （若有）接受服務(wù)。相繼服務(wù)時(shí)間假定是獨(dú)立的指數(shù)型隨機(jī)變量，具有均值 。兩個(gè)M指的是相繼到達(dá)的間隔時(shí)間和服務(wù)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布， 1指的是系統(tǒng)中只有一個(gè)服務(wù)臺， 指的是容量為無窮大，而且到達(dá)過程與服務(wù)過程是彼此獨(dú)立的。為分析之，我們首先確定極限概率 pn，n 0,1,2,???，為此，假定有無窮多房間，標(biāo)號為0,1,2,???，并假設(shè)我們指導(dǎo)某人進(jìn)入房間n（當(dāng)有n個(gè)顧客在系統(tǒng)中），則其狀態(tài)轉(zhuǎn)移框圖如圖所示。0 1 2 n n 1圖 M/M/1/ 排隊(duì)系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移速率框圖由此，我們有狀態(tài) 離開速率＝進(jìn)入速率0p0p1n,n1pnpn1pn1解方程組，容易得到ipip0，i0,1,2,???再根據(jù)1pn()np0p0n1n01得到：p0 1 ，pn()n(1),n1令/，則稱為系統(tǒng)的交通強(qiáng)度（trafficintensity）。值得注意的是這里要求1，因?yàn)槿?1，則pn 0，且系統(tǒng)中的人數(shù)隨著時(shí)間的推移逐漸增多直至無窮，因此對大多數(shù)單服務(wù)排隊(duì)系統(tǒng)，我們都假定 1。于是，在統(tǒng)計(jì)平衡的條件下（ 1），平均隊(duì)長為Ljpj,1,（5-52）j01由于 a

，根據(jù)式（5-2）、（5-3）以及上式，可得：平均逗留時(shí)間為：L11（5-53）W,平均等待時(shí)間為：WQWE[S]1,1（5-54）W()(1)平均等待隊(duì)長為：22LQWQ),1（5-55）(1另外，根據(jù)隊(duì)長分布易知，01也是系統(tǒng)空閑的概率，而正是系統(tǒng)繁忙的概率。顯然，越大，系統(tǒng)越繁忙。隊(duì)長N(t)由0變成1的時(shí)刻忙期即開始，此后N(t)第一次又變回0時(shí)忙期就結(jié)束。由簡單流與負(fù)指數(shù)分布的性質(zhì)，顯見忙期的長度與忙期的起點(diǎn)無關(guān)?？梢宰C明，閑期的期望值為1 ，令忙期平均長度為 b，則在統(tǒng)計(jì)平衡下，有：平均忙期：平均閑期＝ ：(1 )，因此平均忙期長度為：1，1b（5-56）1一個(gè)忙期中所服務(wù)的平均顧客數(shù)為1

， 1b 1 （5-57）， 1不難看出，在忙期內(nèi)相繼輸出的間隔時(shí)間是獨(dú)立、同參數(shù) ( 0)的隨機(jī)變量，即為參數(shù) 的Poisson流。但是，當(dāng)系統(tǒng)空閑后，從開始空閑時(shí)刻起，到下一個(gè)顧客服務(wù)完畢離去時(shí)之間的間隔時(shí)間顯然不與服務(wù)時(shí)間同分布。下面簡要推導(dǎo)一下 M/M/1/ 排隊(duì)系統(tǒng)的輸出過程特征。令Tn表示第n個(gè)顧客服務(wù)完畢的離去時(shí)刻，則n1n表示離去的間隔時(shí)間，n1，TT于是，對t0，P{Tn1Tnt}P{Nn0}P{Tn1Tnt|Nn0}P{Nn1}P{Tn1Tnt|Nn1}PNn0}P?n1Sn!t}{{P{Nn1}P{Sn1t},其中?n1表示剩余到達(dá)間隔時(shí)間，與Sn1（服務(wù)時(shí)間間隔）獨(dú)立，而Nn表示第n個(gè)離去顧客服務(wù)完畢離開系統(tǒng)時(shí)的隊(duì)長。由于limP{Nn1，1,0}1,n，0而P{?n1Sn!t}＝etet（根據(jù)兩獨(dú)立隨機(jī)變量和的分布計(jì)算公式計(jì)算），所以P{Tn1 Tn t} (1 ) e t e t

et（5-58）此式表示在統(tǒng)計(jì)平衡下，相繼輸出的間隔時(shí)間服從參數(shù) ( 0)的負(fù)指數(shù)分布。例某通信團(tuán)電話維修站，有 1個(gè)維修技師，每天工作 10小時(shí)。待維修電話的到來服從Poisson分布，每天平均有 90部電話到來，維修時(shí)間服從指數(shù)分布， 平均速率為 10部/小時(shí)。試求排隊(duì)等待維修的平均電話數(shù)；等待維修電話的多于 2部的概率；如果使等待維修的電話數(shù)平均為 2部，維修速率應(yīng)提高多少解：這是一個(gè)M/M/1/ 模型已知9，10，則0.92①LQ18.1②1(p0p1p2)1(1)(1)(1)20.729③2LQ99，解得：12.299所以，接待速率應(yīng)提高：102.29。例假設(shè)顧客以Poisson速率為每12分鐘1人到達(dá)，服務(wù)時(shí)間是指數(shù)型的且服務(wù)速率是每8分鐘服務(wù)1個(gè)人，L和W分別是多少解：因?yàn)?1（人／分），（人／分），我們得到：128L2，W24因此，系統(tǒng)中顧客的平均個(gè)數(shù)為2，顧客在系統(tǒng)中平均花費(fèi)的時(shí)間是24分鐘?，F(xiàn)假設(shè)到達(dá)速率提高20％到1，重新計(jì)算L和W得到10L4，W40因此，到達(dá)速率20％的增加導(dǎo)致系統(tǒng)中平均顧客數(shù)增加了1倍。事實(shí)上，從式（5-52）和式（5-53）可以清楚看到，當(dāng)趨于1時(shí)，的一個(gè)微小的增加都會導(dǎo)致 L和W大的增加。例戰(zhàn)時(shí)，集團(tuán)軍通信團(tuán)的通信設(shè)備以指數(shù)速率每小時(shí) 6臺損壞，有一個(gè)維修技師，其維修速率是指數(shù)速率每小時(shí)8臺，設(shè)備損壞而沒有得到及時(shí)維修造成的損失是每臺設(shè)備每小時(shí)100次通話，問：由于損壞的設(shè)備引起的平均通話損失率是多少解：該問題是一個(gè)M/M/1/排隊(duì)模型，其中6，8。則平均通話損失率＝每臺設(shè)備每小時(shí)100次損壞設(shè)備的平均數(shù)而損壞設(shè)備的平均數(shù)就是LL3因此，平均通話損失率等于每小時(shí)300次。2.M/M/c/排隊(duì)系統(tǒng)M/M/c/排隊(duì)系統(tǒng)是一種多服務(wù)等待制系統(tǒng),指的是：有c(c1)個(gè)服務(wù)臺獨(dú)立地并行服務(wù)。當(dāng)顧客到達(dá)時(shí)，若有空閑服務(wù)臺便立刻接受服務(wù)，若沒有空閑的服務(wù)臺，則排隊(duì)等待，直到有空閑的服務(wù)臺時(shí)再接受服務(wù)。假定顧客單個(gè)到達(dá)，相繼到達(dá)時(shí)間間隔服從參數(shù)(0)的負(fù)指數(shù)分布，每個(gè)服務(wù)臺服務(wù)時(shí)間獨(dú)立、服從相同參數(shù)(0)的負(fù)指數(shù)分布，系統(tǒng)容量為無窮大，而且到達(dá)與服務(wù)是彼此獨(dú)立的。設(shè)N(t)表示系統(tǒng)中的顧客數(shù)，則{N(t)，0}是無限狀態(tài)E{0,1,2,}上的生滅過???程，其參數(shù)為，0,1,；i，1ic（5-59）ii???c，ci其分布()()nn0,1,2,???的平穩(wěn)狀態(tài)分布記為，0,1,2,???，則pntPNtpnn與無限源生滅過程分析類似，考慮有c個(gè)服務(wù)臺，對任一狀態(tài)，在統(tǒng)計(jì)平衡下，其平衡方程為：狀態(tài)離開速率＝進(jìn)入速率0p0p11p1p02p222p2p13p3。。。c1(c1)pc1pc2cpcccpcpc1cpc1。。。nc1cpnpn1cpn1。。。若記，cc，則當(dāng)c1時(shí)，解上述平衡方程組，可得：1jp0，1jc1,pjj!（5-60）1cjc!jp0，jc,cc1jcc1再由概率分布的要求：pn1，解得上式中的p0。j!c!(cn0j0)由于系統(tǒng)中有c個(gè)服務(wù)臺，所以顧客到達(dá)時(shí)需要等待的概率為ppj1pc,c1（5-61）1cjccc其中，pcp0。c!式（5-61）稱為Erlang等待公式，它給出了顧客到達(dá)系統(tǒng)時(shí)需要等待的概率。在統(tǒng)計(jì)平衡下，等待隊(duì)長LQ顯然有分布cP{LQ0}pj，P{LQk}pck，k1,2,???（5-62）j0所以當(dāng)pc時(shí)，有LQ(jc)pj(jc)1jp0jcjcc!jccccp0(jc)jccp0(xj)|cp（5-63）c!jccc!j1xc(1c)2c又令Lc表示系統(tǒng)平衡時(shí)，正在被服務(wù)的顧客數(shù)，則，0,1,2,???,c；c}pj（5-64）P{Lck}pkk1P{Lcjc所以正在接受服務(wù)的顧客的平均數(shù)LC為：c1LcE[Lc]jpjcpjj0jc1j1

1jp0p0cj(j1)!(c1)!cj0c{1jc1pj}(1c)(c1)!p0c{1pc1jcpj}(1c)(c1)!p05-65）上式表明，平均在忙的服務(wù)臺的個(gè)數(shù)與服務(wù)臺個(gè)數(shù) c無關(guān)。平均隊(duì)長L為LLQLccpc，c1（5-66）c)2(1可以驗(yàn)證，c時(shí)，即化為系統(tǒng)M/M/結(jié)果（討論略），c1時(shí)即化為M/M/1/ 的有關(guān)結(jié)果。對多服務(wù)臺系統(tǒng)， Little 公’s式依然成立，即有：平均等待時(shí)間為WQcc)2pcLQ,（5-67）(1而平均逗留時(shí)間為WWQ1L（5-68）和M/M/1/類似，若令T表示平衡下相繼離去的間隔時(shí)間，可以證明其分布函數(shù)為P{Tt}1et，t0這表明在統(tǒng)計(jì)平衡下相繼離去的間隔時(shí)間服從參數(shù)(0)的負(fù)指數(shù)分布。因此，統(tǒng)計(jì)平衡下M/M/c/排隊(duì)系統(tǒng)的輸出過程與到達(dá)過程相同。例工件按Poisson流到達(dá)服務(wù)臺，平均間隔時(shí)間為10分鐘，假設(shè)對每一工件的服務(wù)（加工）所需時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均服務(wù)時(shí)間為8分鐘。求：①工件在系統(tǒng)內(nèi)等待服務(wù)的平均數(shù)和工件在系統(tǒng)內(nèi)平均逗留時(shí)間；②若要求有90％的把握使工件在系統(tǒng)內(nèi)的逗留時(shí)間不超過30分鐘，則工件的平均服務(wù)時(shí)間最多是多少③若每一工件的服務(wù)分兩段，每段所需時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均都為4分鐘。在這種情況下，工件在系統(tǒng)內(nèi)的平均數(shù)是多少解：該問題屬于M/M/1/模型依題意知110.8，，108①LQ4（個(gè)）W140（分鐘）②由90%W30，117.69，故工件的平均服務(wù)時(shí)間最多是分鐘。，解得10③系統(tǒng)已變?yōu)镸/M/2/模型，c2。10.4，c=，于是，c4c1jcc12，Lc1p0j!LQ(c1)!(c)2p00.417j0c!(c)3以上結(jié)果表明，采用多服務(wù)員、單隊(duì)列的排隊(duì)系統(tǒng)方案，其各項(xiàng)運(yùn)行指標(biāo)都優(yōu)于多隊(duì)列的排隊(duì)系統(tǒng)。事實(shí)上，該結(jié)論是一般性的，其證明過程如下。例設(shè)M/M/1/排隊(duì)模型中到達(dá)速率為，服務(wù)速率為2；M/M/2/排隊(duì)模型中到達(dá)速率為，服務(wù)速率為。證明：M/M/1/排隊(duì)模型中的逗留時(shí)間少于M/M/2/排隊(duì)模型中的逗留時(shí)間，給出一個(gè)直觀解釋。對排隊(duì)等待時(shí)間有類似結(jié)論嗎證明：對M/M/2/排隊(duì)模型，建立平衡方程p0p1（每個(gè)服務(wù)臺服務(wù)速率為）p1p02p22pnpn12pn1n2方程有解：pnn2n1p0，其中。pn1，可解得p02又因?yàn)?，pn也即可得。因此n02Lnpn4(2)(2)n0由LW，我們得到WW(M/M/2)4(2)(2)而對具有服務(wù)速率為2的M/M/1/排隊(duì)系統(tǒng)，有W(M/M/1)12要使M/M/1/排隊(duì)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則2，即有W(M/M/2)W(M/M/1)直觀的解釋是：如果一個(gè)人發(fā)現(xiàn)在M/M/2/情形中系統(tǒng)是空的，那么有兩個(gè)服務(wù)臺沒有什么益處。而具有一個(gè)更快的服務(wù)臺會更好。記WQ1WQ(M/M/1)，WQ2WQ(M/M/2)，則WQ1W(M/M/1)12，2(2)WQ22W(M/M/2)1)(2)(2那么WQ1WQ2122即2，而這正是M/M/1/排隊(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定的要求。故對于排隊(duì)等待時(shí)間也有類似結(jié)論。M/M/c/K混合制排隊(duì)系統(tǒng)M/M/c/K排隊(duì)系統(tǒng)是一種多服務(wù)混合制排隊(duì)系統(tǒng)，系統(tǒng)有K個(gè)位置，獨(dú)立平行工作的服務(wù)臺數(shù)有c個(gè)，cK。當(dāng)系統(tǒng)中有空位置時(shí)，新到的顧客就進(jìn)人系統(tǒng)排隊(duì)等待服務(wù)，反之，若K個(gè)位置已被顧客全部占用，則新到的顧客自動離開。顧客的相繼到達(dá)時(shí)間間隔服從參數(shù)為 ( 0)的負(fù)指數(shù)分布（即按 Poisson流到達(dá)），每個(gè)服務(wù)臺的服務(wù)時(shí)間獨(dú)立、服從參數(shù)為 的負(fù)指數(shù)分布，到達(dá)與服務(wù)相互獨(dú)立。與M/M/c/排隊(duì)系統(tǒng)分析類似，假定N(t)表示在時(shí)刻t系統(tǒng)中的顧客數(shù)，則{N(t)，t0}是有限狀態(tài)E{0,1,2,???,K}上的生滅過程，其參數(shù)為,i0,1,???,K1；i,1ic,ii,ci（5-69）cK其分布pn(t)PN(t)nn0,1,2,L的平穩(wěn)分布記為pn,n0,1,2,???，對任一狀態(tài)，在統(tǒng)計(jì)平衡下，其平衡方程為：狀態(tài) 離開速率＝進(jìn)入速率0p0p11p1p02p222p2p13p3。。。c1(c1)pc1pc2cpcccpcpc1cpc1c1nK1cpnpn1cpn1于是對一切 ( )，有1jp0,1jc1,pjj!（5-70）1cjc!jp0,cjK,cc1jKj1其中，p0j!cc!cjc。j0jM/M/c/K是損失制，當(dāng)系統(tǒng)處于狀態(tài)K時(shí)，顧客不能進(jìn)入系統(tǒng)，即顧客可進(jìn)入系統(tǒng)的概率為1 pK，而顧客損失的概率為ppK1Kp0（5-71）c!cKc單位時(shí)間內(nèi)平均損失的顧客數(shù)為epK（5-72）單位時(shí)間內(nèi)平均進(jìn)入系統(tǒng)的顧客數(shù)為e(1pK)（5-73）由平穩(wěn)分布記為 pn,n 0,1,2,???，可得平均等待隊(duì)長為LQKc)pnp0K(nc)np0K(nc)cc)n(nc!nccncc!nc1cn(nccKcKp0c(nc)np0(nc)nc1c!cccnc1c!nc1c(Kc)(Kc1)p0，c12c!ccp0Kc1Kcc!(1c)21c(1c)(Kc1)c

， c 15-74）其中，c。c以Lc表示平衡時(shí)正在被服務(wù)的顧客數(shù)，則KP{Lcj}pj，j0,1,???,c1；P{Lcc}pjjc于是正在被服務(wù)的平均顧客數(shù)（或平均被占用的服務(wù)臺數(shù)）為c1KLcnpncpnn0ncc1ncKjp0p0nc1c!cjc1p0n1(n1)!(c1)!c1jK1jp0c!cjcp0j0j!jc1pK（5-75）于是得平均隊(duì)長LLQLcLQ1pK（5-76）再由Little’s公式，得到WL，WQLQW1ee特別地，對一些特殊排隊(duì)系統(tǒng)的運(yùn)行指標(biāo)，有：(1)M/M/1/K排隊(duì)系統(tǒng)：(1)j，11K1pj0jK1，1K1K，1L2(K1)K1111K1，K(K1)，1LQ2(K1)2(K)K1，111K1e(1pK)LL，WLQLQ1WW(1pK)Q(1pK)ee對M/M/1/1單服務(wù)臺損失制系統(tǒng)，讀者可自行推導(dǎo)相關(guān)數(shù)量指標(biāo)。(2) M/M/c/c多服務(wù)臺損失制系統(tǒng)：ci①pjjj!，ji0i!

5-77）5-78）5-79）5-80）5-81）5-82）0,1,???,c5-83）這就是著名的 Erlang（埃爾朗）公式。②c個(gè)服務(wù)臺均忙的概率（或顧客損失的概率）cipccc!（5-84）i0i!這就是著名的 Erlang（埃爾朗）損失公式，它在通信網(wǎng)規(guī)劃與設(shè)計(jì)中有重要作用。③因?yàn)椴辉试S排隊(duì)，故有cLQ0,LLcnpn(1pc)，n0L1（5-85）WQ0,We其中e(1pc)為有效到達(dá)率，在損失制系統(tǒng)中，還常用A(1pc)表示系統(tǒng)的絕對通過能力，用Q 1 pc表示系統(tǒng)的相對通過能力， 它們分別表示單位時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)實(shí)際可完成的服務(wù)次數(shù)和被服務(wù)的顧客數(shù)與請求服務(wù)的顧客數(shù)的比值。服務(wù)臺利用率（或信道利用率）為：Lc（5-86）c此外，也可以將M/M/c/系統(tǒng)、M/M/1/系統(tǒng)、M/M/等系統(tǒng)看作是M/M/c/K排隊(duì)系統(tǒng)的特例，如令c1,K即為M/M/1/系統(tǒng)。例某通信維修站，目前只有一個(gè)維修技師。假設(shè)需要維修通信設(shè)備的到來的規(guī)律服從Poisson流，平均每4小時(shí)到來一臺，而設(shè)備修理的時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均每3小時(shí)1臺。如果要求等待維修的通信設(shè)備數(shù)占要維修設(shè)備數(shù)的比例為7％，維修站應(yīng)安排幾個(gè)位置供待維修通信設(shè)備逗留解：屬于M/M/1/K模型依題意知11（臺/時(shí)），34（臺/時(shí)），43L(K1)K1，LQL(1p0)1K1，因?yàn)?1K1，p01LQ7%，解得K1.67。令L例設(shè)有一個(gè)信息交換中心，信息流為Poisson流，每分鐘到達(dá)240份，線路輸出率是每秒800個(gè)字符，信息長度（包括控制字符）近似負(fù)指數(shù)分布，平均長度176個(gè)字符。要使在任何瞬間緩沖器充滿的概率不超過，問緩沖器的容量K至少應(yīng)取多大解：信息平均到達(dá)率 240份／分＝4份／秒，

800176

4.546份／秒，。顯然按系統(tǒng) M/M/1/K處理，于是緩沖器充滿的概率為(1)KpKK11要使pK0.005，由于p250.009045,p260.0044640.005,所以K26,即緩沖器的容量至少應(yīng)為26個(gè)單位。例設(shè)某計(jì)算機(jī)有4個(gè)終端，用戶按Poisson流到達(dá)，平均每10分鐘到達(dá)個(gè)用戶。假定每個(gè)用戶平均用機(jī)時(shí)間為20分鐘，用機(jī)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，如果4個(gè)終端已被占用，則用戶到其它計(jì)算機(jī)處接受服務(wù)，求此系統(tǒng)的各種指標(biāo)。解：此為M/M/4/4損失制系統(tǒng)，9人/小時(shí)，3人/小時(shí)，3，顧客損失的概率為44ip44!0.235，i0i!單位時(shí)間內(nèi)實(shí)際進(jìn)入系統(tǒng)的平均顧客數(shù)為e (1 p4) 6.885（人/小時(shí)），平均忙的終端數(shù)為Lc1p4＝（個(gè)）。4.具有可變到達(dá)率和可變服務(wù)率的M/M/1/排隊(duì)模型一般來說，是狀態(tài)n在實(shí)際中，顧客的到達(dá)率和服務(wù)率是依系統(tǒng)狀態(tài)的變化而變化的。的函數(shù)。例如，系統(tǒng)中人數(shù)較多時(shí)，后來的顧客可能不愿意再進(jìn)入系統(tǒng)；而服務(wù)臺的服務(wù)效率在顧客人數(shù)較多時(shí)則有可能提高。因此，對單服務(wù)臺系統(tǒng)，可假設(shè)實(shí)際的到達(dá)率和服務(wù)率為：0nan01,2,???n(nb,n11)而對于多服務(wù)系統(tǒng)，實(shí)際的到達(dá)率和服務(wù)率可假設(shè)為：0nk1n1nkkb，an0nknn1nkn1kk例如，考慮一個(gè)參數(shù)為nn，n,n01,2,???的到達(dá)依賴狀態(tài)的單服務(wù)臺等待制M/M/1/1排隊(duì)系統(tǒng)，其相關(guān)的運(yùn)行指標(biāo)見下（讀者可自己推導(dǎo)一下）：npnp0n1,2,L，p0e，Lnpn，n!n0LQ(n1)pne1，有效到達(dá)率epn1e，n0n0n1LLQW11。W，WQ，其中ee有限源簡單排隊(duì)系統(tǒng)M/M/c/m/m系統(tǒng)顧客總數(shù)是有限的排隊(duì)系統(tǒng)稱為有限源排隊(duì)系統(tǒng)，這類排隊(duì)系統(tǒng)的典型例子就是機(jī)器維修模型。如有c個(gè)工人共同看管 m(m c)臺機(jī)器，當(dāng)機(jī)器發(fā)生故障時(shí)即由工人進(jìn)行適當(dāng)?shù)男蘩恚迯?fù)后再投入使用，修好后的機(jī)器有可能再發(fā)生故障?；蚩醋魇怯衜個(gè)顧客來到有c個(gè)服務(wù)臺的系統(tǒng)里接受服務(wù)，每個(gè)顧客接受服務(wù)后仍回到原來的總體，還有可能再來。設(shè)每個(gè)顧客的到達(dá)率均為（含義是指單位時(shí)間內(nèi)該顧客來到系統(tǒng)請求服務(wù)的次數(shù)），且每一顧客在系統(tǒng)外的時(shí)間均服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布，每個(gè)服務(wù)臺的服務(wù)時(shí)間均服從參數(shù)的負(fù)指數(shù)分布。服務(wù)時(shí)間和顧客到達(dá)的時(shí)間間隔相互獨(dú)立。由于在系統(tǒng)外的顧客的平均數(shù)為mL，故系統(tǒng)的有效到達(dá)率為e(mL)。仿前分析，設(shè)平穩(wěn)狀態(tài)下N的隊(duì)長分布為pn,n0,1,2,???,m，則狀態(tài)間的轉(zhuǎn)移速率為：n(mn),n0,1,???,m1；n,1ic,（5-87）nc,cim其狀態(tài)轉(zhuǎn)移強(qiáng)度圖如圖所示。m(m1)(mc1)(mc)012c1cc1m1m2ccc圖M/M/c/m/m系統(tǒng)轉(zhuǎn)移速率根據(jù)生滅過程的極限定理容易得到：記 ,則{pj,0 j m}存在,且mjp0，1jc1,pjj（5-88）mj!jp0，cjm,jcjcc!c1mjmmj!1j其中，p0jjc!cjc。j0jc特別地，當(dāng)c 1時(shí)，有pjm!jp0，j1,???,m(mj)!mm!1j其中，p0。(mj)!j0用L與LQ分別表示在統(tǒng)計(jì)平衡下系統(tǒng)平均顧客數(shù)和等待服務(wù)的顧客數(shù)，則有mLQ(jc)pjjcLmjpc1m!j)!jpm!mjjpj0jj1(j1)!(m0c!jccjc(mj)!0或LLQeLQ(mL)W L，WQ LQe e另外，系統(tǒng)運(yùn)行的其它一些重要指標(biāo)如下平均忙的服務(wù)臺數(shù)為c1 m

5-89）5-90）5-91）5-92）5-93）Lcjpjcpj（5-94）j1jc不需接受服務(wù)的顧客平均數(shù)為mLm(mj)pjmL（5-95）j0統(tǒng)計(jì)平衡下單位時(shí)間內(nèi)需要服務(wù)的顧客平均數(shù)為me(mj)pj(mL)（5-96）j0統(tǒng)計(jì)平衡下單位時(shí)間內(nèi)平均忙的服務(wù)臺數(shù)為c1mjpjcpjLc（5-97）j1jc統(tǒng)計(jì)平衡下單位時(shí)間內(nèi)平均忙的服務(wù)臺數(shù)等于單位時(shí)間內(nèi)需要服務(wù)的顧客平均數(shù)，即e（5-98）特別地，對單服務(wù)臺（ c 1）系統(tǒng)，讀者可自己推出相關(guān)指標(biāo)。M/M/c/c/m損失制系統(tǒng)假定有m個(gè)顧客，c個(gè)服務(wù)臺，當(dāng)c個(gè)服務(wù)臺都在忙時(shí)，這時(shí)需要服務(wù)的顧客不等待而離開，其它有關(guān)假定條件與M/M/c/m/m系統(tǒng)相同。假定N(t)表示時(shí)刻t系統(tǒng)中需要服務(wù)的顧客數(shù)，類似于M/M/c/m/m系統(tǒng)的分析易知{N(t)，t0}是有限狀態(tài)E{0,1,2,???,c}上的生滅過程，其狀態(tài)轉(zhuǎn)移速率圖如圖所示。參數(shù)為i(mi)，i0,1,,c1；ii，i1,2,???,c。???m(m1)(mc1)012c1c2c圖M/M/c/c/m系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移速率記，pjlimP{N(t)j}，j0,1,???,c，則根據(jù)生滅過程的極限定理易知：tmjpjck0

j，j0,1,2,???,c（5-99）m kk該分布{p，jc稱為恩格塞特（）分布，而j0}Engsetpc(m) ck 0

mcmk

c（5-100）k稱為恩格塞特?fù)p失公式，這是損失的概率。特別地，當(dāng) m c時(shí)，mjpjj，j0,1,2,???,m（5-101）(1)m平均需服務(wù)顧客數(shù)為mmLjpj（5-102）1j0其它排隊(duì)系統(tǒng)前面討論的內(nèi)容都是按 Poisson流到達(dá)與負(fù)指數(shù)服務(wù)時(shí)間的生滅過程排隊(duì)系統(tǒng)， 其主要特點(diǎn)是馬爾可夫性，能比較容易地得到隊(duì)長分布的平穩(wěn)解。但如果輸入過程不是 Poisson流或服務(wù)時(shí)間不服從負(fù)指數(shù)分布時(shí)，僅知道系統(tǒng)當(dāng)前的顧客數(shù)是不足以推斷系統(tǒng)未來狀態(tài)的。在這一部分里，主要介紹一些特殊排隊(duì)模型，對有的模型只給出基本運(yùn)行指標(biāo)，而不再給出詳細(xì)的推導(dǎo)。1.M/G/1/排隊(duì)系統(tǒng)M/G/1/排隊(duì)系統(tǒng)是一種在通信網(wǎng)設(shè)計(jì)中經(jīng)常遇到一般服務(wù)的排隊(duì)系統(tǒng)，它是指顧客按參數(shù)(0)的Poisson流到達(dá)，即相鄰到達(dá)的間隔時(shí)間序列i，i1獨(dú)立、同負(fù)指數(shù)分布()1t0；服務(wù)時(shí)間序列S，i1，獨(dú)立，分布為同一般分布etiFtG(t)，t0，記平均服務(wù)時(shí)間為01tdG(t)。系統(tǒng)中只有一個(gè)服務(wù)臺，容量為無0窮大。顧客到達(dá)時(shí)，若服務(wù)臺空閑就立即接受服務(wù)，否則就排隊(duì)等待，并按到達(dá)的順序接受服務(wù)，服務(wù)完畢后就離開系統(tǒng)，到達(dá)與服務(wù)彼此獨(dú)立。我們首先引入概念－工作量，然后用這個(gè)概念來幫助分析M/G/1/排隊(duì)系統(tǒng)。對任一排隊(duì)系統(tǒng)，定義任意時(shí)間t系統(tǒng)的工作量為系統(tǒng)中所有顧客在時(shí)間t的剩余服務(wù)時(shí)間總和。比如：假設(shè)系統(tǒng)中有3個(gè)顧客，1個(gè)顧客已經(jīng)接受3個(gè)時(shí)間單位服務(wù)，而其所需服務(wù)時(shí)間是5個(gè)時(shí)間單位，還有2個(gè)在排隊(duì)，各需6個(gè)時(shí)間單位的服務(wù)時(shí)間，則此時(shí)的工作量是2＋6＋6＝14。記V為系統(tǒng)的（時(shí)間）平均工作量，回憶一下我們在（5-1）給出的基本代價(jià)方程，并考慮下面花費(fèi)規(guī)則：若顧客的剩余服務(wù)時(shí)間是y，則該顧客以速率為y單位時(shí)間花費(fèi)，而無論他是在排隊(duì)或是正在接受服務(wù)。則基本代價(jià)方程變?yōu)椋篤aE[一個(gè)顧客花費(fèi)量]以S和WQ分別表示某個(gè)顧客的服務(wù)時(shí)間和花費(fèi)在排隊(duì)上的等待時(shí)間，由于等待時(shí)該顧客的花費(fèi)速率為常數(shù)S，而在接受服務(wù)時(shí)花費(fèi)速率為Sx（服務(wù)用去時(shí)間x后），因此，有：E[一個(gè)顧客花費(fèi)量]＝ESWQS(Sx)dx0所以VaE[SWQ]aE[S2]（5-103）2需要特別指出的是，上述等式是一個(gè)基本排隊(duì)恒等式（和5-2～5-4一樣），并對幾乎所有的模型有效。另外，若顧客的服務(wù)時(shí)間和等待時(shí)間獨(dú)立，則由式（5-103）得到：VaE[S]WQaE[S2]（5-104）2對M/G/1/排隊(duì)系統(tǒng)中任一顧客，由于服務(wù)臺只有一個(gè)，故有：顧客在系統(tǒng)中的等待＝他到達(dá)時(shí)系統(tǒng)的工作量（5-105）對上式兩邊同時(shí)取數(shù)學(xué)期望，得WQ=到達(dá)者所看到的系統(tǒng)的工作量的平均值又由于是 Poisson到達(dá)，所以，對 M/G/1/ 模型，有：WQV再結(jié)合式（5-104），a，解得：WQ2(1E[S2]E[S2]，1（5-106）E[S])2(1)而隊(duì)長L，等待隊(duì)長LQ，以及平均逗留時(shí)間W可以由式（5-106）得到：LQWQ2E[S2]2E[S2]E[S])2(1,2(1)WWQE[S]E[S2]E[S]E[S2]1，1（5-107）2(1E[S])2(1)L2E[S2]E[S]2E[S2]WE[S])2(1)2(1系統(tǒng)是以閑期和忙期交替出現(xiàn)的，以In和Bn分別表示第n個(gè)閑期和第n個(gè)忙期的長度，n1，因此，在第一個(gè)nn(InBn)單位時(shí)間里，服務(wù)臺的空閑時(shí)間為In，所以服j1j1務(wù)臺空閑的時(shí)間比例，即 p0，可以表示為：p0limI1I2LInI1I2LInB1B2LBnn顯然，上式中的In，B（n1）相互獨(dú)立，將分子和分母同除以n，并利用大數(shù)定n律，我們得到：p0lim(I1I2LIn)n(I1I2LIn)n(B1B2LBn)nnE[I]（5-108）E[I]E[B]其中I和B表示空閑和繁忙時(shí)間隨機(jī)變量。I表示的是顧客離開系統(tǒng)且系統(tǒng)為空到下一個(gè)顧客到達(dá)的時(shí)間，由于是Poisson到達(dá)，所以E[I]1（5-109）由式（5-4），知：忙服務(wù)臺平均數(shù)＝E[S]，而忙服務(wù)臺平均數(shù)又等于1p0，所以有p01E[S]（5-110）這樣，由（5-108）～（5-110），解得：E[B]E[S]1，1（5-111）E[S]1另一個(gè)有意思的量是忙期中被服務(wù)的顧客數(shù)C，顯然E[C]E[B]11，1（5-112）1E[S]1另外，一些特殊的M/G/1/排隊(duì)系統(tǒng)指標(biāo)有：(1)M/M/1/排隊(duì)系統(tǒng)：即G(t)1et,t0，當(dāng)1時(shí)，有pj(1)j0,1,2,（5-113），j???(2)M/D/1/排隊(duì)系統(tǒng)：即服務(wù)時(shí)間分布為定長1的定長分布0,t1,G(t)11,t,則當(dāng)1時(shí)，有p01j1ij1kipj(1)ei!pjke，j1i0k1i0i!而且(2)，2L)LQ2(1)2(1W2，（5-114）(1)WQ2(1)2rit(3)M/Hr/1/排隊(duì)系統(tǒng)：即服務(wù)時(shí)間分布G(t)1ie為超指數(shù)分布，則當(dāng)i1rii1時(shí)，有i1p01,r1rjj1rk1iiipj(1)ipjki，j1i111ii11ik1i1ir其中，i，i1,2,???,r，i0，且i1，而且ii1r2r2iiiiLi1，i11LQ1r2r21iiiii1，i1（5-115）W(1)WQ(1)(4)M/Ek/1/排隊(duì)系統(tǒng)：即服務(wù)時(shí)間分布為參數(shù)k的k階埃爾朗分布G(t)1ektk1(kt)i，則當(dāng)1時(shí)，有i0i!p01,k1jj1mii)kCiipj(1)Cij1pjm(1k1，j1i0(1)ijkm1i01其中，，而且k(k1)2，(k1)2L)LQ2k(1)2k(1W1(k1)，WQ(k1)2k(1(1)2k(1))（5-116）而對多服務(wù)臺的M/G/k系統(tǒng)，目前還沒有精確的計(jì)算公式計(jì)算WQ，但有一個(gè)近似公式：WQkE[S2](E[S])k1k1(E[S])n(E[S])k2(k1)!(kE[S])2n!(k1)!(kE[S])n0例考慮一個(gè)M/G/1/系統(tǒng)：忙期中的第一個(gè)顧客的服務(wù)時(shí)間服從分布G，其它顧1客有服務(wù)分布G2。以C表示忙期中的顧客數(shù)，S表示任意顧客的服務(wù)時(shí)間。試證明：①a0p01E[S]；②E[S]a0E[S1](1a0)E[S2]，其中Si具有分布Gi；③E[S1]用①和②證明忙期的期望長度E[B]1E[S2]④求E[C]。證明：①由于是Poisson到達(dá)，假設(shè)每個(gè)顧客在服務(wù)中單位時(shí)間花費(fèi)為1元，則由代價(jià)方程得服務(wù)的平均顧客數(shù)＝

E[S]即1

p0

E[S]② 因?yàn)?/p>

a0是具有服務(wù)分布為

G1的到達(dá)者的比例，

1

a0是具有服務(wù)分布為

G2的到達(dá)者的比例，因此結(jié)論成立。③ 我們有E[I]，E[I]1p0E[B]E[I]因此1p0E[S]E[B]p01E[S]由①和②E[S](1E[S])E[S1]E[S]E[S2]或E[S]E[S1]E[S1]E[S2]1代入到E[B]E[S](1E[S])，結(jié)果得證。④a01E[C]，推導(dǎo)出1E[S1]E[S2]E[C]1E[S2]M/G/1/排隊(duì)系統(tǒng)變形1）隨機(jī)批大小到達(dá)的M/G/1/系統(tǒng)假設(shè)M/G/1/排隊(duì)模型中，到達(dá)是速率為的Poisson流，但每次到達(dá)不是一個(gè)顧客，而是隨機(jī)數(shù)量的顧客，服務(wù)臺仍假設(shè)1個(gè)，其服務(wù)時(shí)間具有分布G。以 j，j 1表示任意批到達(dá)的顧客數(shù)為 j的概率；以N表示批大小的隨機(jī)變量，即有P{N j} j。因?yàn)?a

E[N]，基本的工作量公式變?yōu)椋篤E[N]E(S)WQE(S2)（5-117）2為獲得V與WQ的第二個(gè)關(guān)系，考慮平均顧客數(shù)。我們有：他在隊(duì)列中的等待＝他到達(dá)時(shí)系統(tǒng)的工作量＋由于他的同批而所需的等待時(shí)間對上述等式兩邊同時(shí)取數(shù)學(xué)期望，得：WQVE[由于同批而需的等待]（5-118）令M是一個(gè)大數(shù)，則第一個(gè)M批中大約有Mj批有顧客數(shù)是，1，因此，這Mjj批中來自顧客數(shù)是j的批次的顧客比例大約等于jMjjMj，令M，則有：j來自j大小批次的顧客比例jjjjjjE[N]j由此，E[W]E[Wjj（5-119）|j大小的批次]BjBE[N]現(xiàn)在，若該批次中有j個(gè)顧客，若某顧客在該批成員中位于第i位，則他需等待前面的1位顧客被服務(wù)完，又由于他在各個(gè)位置的可能性是一樣的，故有：j(i1)E[S]1j1E[S]E[WB|j大小的批次]i1j2將其代入式（ 5-119），得到：E[S](j1)jE[S](E[N2]E[N])E[WB]j2E[N]j2E(N)再由式（5-117）和（5-118），我們得到：E[S](E[N2]E[N])2E(N)E[N]E[S2]2WQ1（5-120）E[N]E[S]注：①使WQ有限的條件是E[N]1，這再次說明了到達(dá)速率一定要小于服務(wù)E[S]速率（服務(wù)臺忙時(shí)）。② 對確定的E[N]，WQ隨Var[N]的增加而增加，表明：單服務(wù)臺排隊(duì)“不喜歡”方差。③ 其它的指標(biāo)

L

，

LQ，以及

W可以由式（

5-119）得到：W WQ

E[S]L

aW

E[N]W

（5-121）LQ

E[N]WQ2）有優(yōu)先權(quán)的

M/G/1/

排隊(duì)系統(tǒng)有優(yōu)先權(quán)的排隊(duì)系統(tǒng)就是指將系統(tǒng)中的顧客分成若干類，并根據(jù)類的不同給予不同的服務(wù)優(yōu)先的系統(tǒng)?？紤]有兩類顧客的情形：兩類顧客獨(dú)立地按參數(shù)為

1和

2的

Poisson

流到達(dá)，分別具有的服務(wù)分布為

G1和G2。我們假定第一類顧客有服務(wù)優(yōu)先權(quán)，

即若有第一類顧客在排隊(duì)，則不對第二類顧客服務(wù)，當(dāng)然，若第二類顧客正在接受服務(wù)時(shí)第一類顧客到了，則服務(wù)繼續(xù)進(jìn)行直至完成。令WQi(i 1,2)表示第i類顧客的平均等待時(shí)間，我們的目標(biāo)就是計(jì)算 WQi。首先，注意到是否采用優(yōu)先規(guī)則或采用什么樣的優(yōu)先規(guī)則，系統(tǒng)在任意時(shí)刻的總工作量是一樣的（只要系統(tǒng)有顧客系統(tǒng)就在忙） ，因此，系統(tǒng)在有優(yōu)先權(quán)規(guī)則下的工作量等于在FIFO模式下的工作量。而在 FIFO模式下對M/G/1/ 排隊(duì)系統(tǒng)有：1 2G(x)1G1(x)2G2(x)（5-122）式（5-122）成立是因?yàn)楠?dú)立的兩個(gè)Poisson過程的組合仍是Poisson過程，且速率為兩個(gè)分過程的速率之和。而服務(wù)分布G可以對兩類顧客服務(wù)時(shí)間的條件化得到。由此，由M/G/1/排隊(duì)系統(tǒng)的結(jié)果，有優(yōu)先權(quán)的排隊(duì)系統(tǒng)的工作量V為：VE[S2]2(1E[S])((1)E[S12](2)E[S22])2[1((1)E[S1](2)E[S2])]1E[S12]2E[S22]（5-123）2(11E[S1]2E[S2])其中Si有分布Gi，i1,2。記S及WQ表示任一顧客在隊(duì)列中的服務(wù)和等待，它們在優(yōu)先模型下是不獨(dú)立的，這是因?yàn)殛P(guān)于S的知識會給予顧客類型的信息也即給予了我們WQ的信息。為此我們分別計(jì)算出系統(tǒng)類型1和類型2的平均工作量，記Vi為類型i的平均工作量，正如前面所討論的，有：ViiE[Si]WiiE[Si2]，i1,2（5-124）Q2如果我們定義ii,VQiE[Si]WQVSiiE[Si2]2則VQi表示類型i排隊(duì)平均工作量，VSi表示類型i服務(wù)平均工作量?，F(xiàn)在我們準(zhǔn)備計(jì)算W1，為此，首先考慮任一類型1顧客的到達(dá)情況，我們有：Q他的等待＝他到達(dá)時(shí)系統(tǒng)的類型1工作量+他到達(dá)時(shí)正接受服務(wù)的類型2工作量兩邊取數(shù)學(xué)期望，得：WQ1V1VS21E[S1]W11E[S12]2E[S22]Q221E[S12]2E[S22]（5-125）2(11E[S1])由VV1V2，再結(jié)合（5-123）～（5-125），解得：21E[S12]2E[S22]（5-126）WQ1E[S1]2E[S2])(11E[S1])2(1注：①使W1有限的條件是1E[S1]1，它獨(dú)立于類型1參數(shù)；要使W2有限則有QQ1E[S1]2E[S2]1，因?yàn)?2，一個(gè)顧客的平均服務(wù)時(shí)間為(1)E[S1](2)E[S2]，故上述條件就表示平均到達(dá)速率小于平均服務(wù)速率。②若有n種類型的顧客，我們可以用類似的方式解出Vj，j1,2,???,n，最后有結(jié)果：i1E[S12]???nE[Sn2]，2WQii,n（5-127）???2(11E[S]???jE[S])1jj i 13．G/M/1排隊(duì)模型G/M/1排隊(duì)模型是假設(shè)顧客相繼到達(dá)時(shí)間間隔服從一般分布G，服務(wù)時(shí)間服從指數(shù)分布并具有速率，服務(wù)臺個(gè)數(shù)為1。分析這個(gè)模型直接困難來自于系統(tǒng)不能提供關(guān)于系統(tǒng)中作為狀態(tài)空間的顧客數(shù)的足夠信息。要知道目前所發(fā)生的，我們不但需要知道系統(tǒng)中顧客的數(shù)量，還要知道上一個(gè)到達(dá)至現(xiàn)在的流逝時(shí)間（因?yàn)镚無記憶），該模型的求解過程已超出本書范圍，這里只給出相關(guān)指標(biāo)：p01)k1，k（5-128）pk(11W1(1)WQW1(1)（5-129）LW(1)LQWQ(1)其中，1xdG(x)，滿足方程et(1)dG(t)。004．串聯(lián)排隊(duì)模型所謂的串聯(lián)排隊(duì)系統(tǒng)是指系統(tǒng)由串聯(lián)的各個(gè)服務(wù)臺組成，顧客必須依次通過每個(gè)臺的服務(wù)才算服務(wù)結(jié)束。為方便，我們僅考慮一個(gè)由兩個(gè)服務(wù)臺組成的串聯(lián)排隊(duì)系統(tǒng)：顧客以速率到達(dá)第1臺，接受服務(wù)后加入到第2臺前隊(duì)列，第2臺服務(wù)完后就離去。假設(shè)兩個(gè)服務(wù)臺等待容量為無窮大。每個(gè)服務(wù)臺每次服務(wù)一個(gè)顧客，服務(wù)時(shí)間服從指數(shù)分布，服務(wù)速率分別為 1，2。每個(gè)服務(wù)臺服務(wù)相互獨(dú)立，并且與到達(dá)過程獨(dú)立（見圖） 。服務(wù)臺1服務(wù)臺2離開系統(tǒng)圖串聯(lián)排隊(duì)為分析這個(gè)系統(tǒng)，我們需要明了在這兩個(gè)服務(wù)臺的顧客數(shù)，為此定義狀態(tài)對(n,m)——表示有n個(gè)顧客在服務(wù)臺1，m個(gè)顧客在服務(wù)臺2，平衡方程有：狀態(tài)離開速率＝進(jìn)入速率0，0p0,02p0,1n，0；n01pn,02pn,1pn1,0m，0；m02p0,m2p0,m11p1,m1n，m；nm012pn,m2pn,m11pn1,m1pn1,m（5-130）我們不直接求解上面的方程組，回憶我們學(xué)習(xí)M/M/1/系統(tǒng)得到的結(jié)果，可知：第1個(gè)服務(wù)臺輸出過程仍是參數(shù)為的Poisson過程，因而第2臺的輸入過程還是一個(gè)參數(shù)為的Poisson過程，因而有：nP{服務(wù)臺1有n個(gè)顧客}＝111類似地，有mP{服務(wù)臺2有m個(gè)顧客}＝122如果服務(wù)臺1和服務(wù)臺2的顧客數(shù)是獨(dú)立的隨機(jī)變量，則有nmPn,m＝11（5-131）1122可以驗(yàn)證（5-131）確實(shí)是滿足平衡方程組（）的解，因而是極限概率。由式（5-131）可以求出系統(tǒng)的顧客平均數(shù)L為：Ln,m(nm)pn,mnmn1m1n11m22（5-132）1 2由此得一個(gè)顧客在系統(tǒng)中花費(fèi)的平均時(shí)間為L11（5-133）W12注：上面的結(jié)果可以進(jìn)行推廣?？紤]有k個(gè)服務(wù)臺的情形：顧客從系統(tǒng)外到達(dá)第i,i1,L.k服務(wù)臺服從參數(shù)為ri的負(fù)指數(shù)分布，然后他們加入到第i服務(wù)臺隊(duì)列直至輪到他們被服務(wù)，一旦在第i服務(wù)臺服務(wù)完，他們就以概率pij加入到第j，j1,???,k服務(wù)臺隊(duì)列。kkpij表示顧客在第i因此，pij1，且1服務(wù)臺服務(wù)完后離開系統(tǒng)的概率。j1j1我們令j表示顧客到j(luò)服務(wù)臺的總速率，則j可以從下面的方程組解出：kjrjipij，i1,???,k（5-134）i1等式（5-134）成立是因?yàn)閞j是自系統(tǒng)外到達(dá)j服務(wù)臺顧客的速率，而i是顧客離開服務(wù)臺i的速率（流入速率等于流出速率），ipij是自服務(wù)臺i到達(dá)服務(wù)臺j的顧客速率。由此，每個(gè)服務(wù)臺顧客數(shù)彼此獨(dú)立且具有形式：P{服務(wù)臺j有n個(gè)顧客}

njj，1n1jj其中 j是服務(wù)臺j的指數(shù)服務(wù)速率， j是（5-134）的解，且對所有的 j， j j 1。它等價(jià)于證明極限概率 P(n1,n2,???,nk) P{有ni個(gè)顧客在服務(wù)臺 j，j 1,???,k}滿足：knjjjP(n1,n2,???,nk)1j1jj而（5-135）的證明可以通過驗(yàn)證它滿足該模型的平衡方程得到證明。系統(tǒng)的平均顧客數(shù)為kkL服務(wù)臺j的平均顧客數(shù)＝j(luò)j1j1jj

5-135）5-136）kk顧客在系統(tǒng)中花費(fèi)的平均時(shí)間可以由LW和rj（為什么不是j）j1j1得到：kj(jj)Wj1（5-137）krj1例考慮兩個(gè)服務(wù)臺系統(tǒng)，系統(tǒng)外顧客以Poisson速率4到達(dá)服務(wù)臺1，以Poisson速率5到達(dá)服務(wù)臺 2；服務(wù)臺1和服務(wù)臺 2的服務(wù)速率分別為 8和10，在服務(wù)臺 1完成服務(wù)后等可能到服務(wù)臺2和離開系統(tǒng)（即p11