數(shù)字信號處理

數(shù)字信號處理

DigitalSignalProcessing(DSP)信息學院電子系第1章離散時間信號與系統(tǒng)1.1離散時間信號——序列1.2離散時間系統(tǒng)時域分析1.3連續(xù)時間信號的采樣1.4序列的傅氏變換與Z變換1.5拉氏變換、傅氏變換與Z變換1.6離散時間系統(tǒng)的頻域分析（ω域和Ζ域）第1章離散時間信號與系統(tǒng)1.1離散時間信號——序列1.2離散時間系統(tǒng)時域分析1.3連續(xù)時間信號的采樣1.4序列的傅氏變換與Z變換1.5拉氏變換、傅氏變換與Z變換1.6離散時間系統(tǒng)的頻域分析（ω域和Ζ域）1.信號類型模擬信號(電壓，電流，溫度，油耗…)數(shù)字信號(上課的人數(shù)，學生的身高……)離散時間信號(青島每小時溫度的變化…)實際上，處理器大部分都是處理數(shù)字信號，但是數(shù)字信號理論分析起來很復雜，而離散時間連續(xù)幅度的信號理論分析比較簡便，而且也易于實踐，所以我們學習離散時間信號處理。如何得到離散時間信號？采樣(分兩步：模擬信號-沖擊脈沖串-序列)Convertimpulsetraintodiscrete-timesequencexc(t)x[n]=xc(nT)xs(t)-3T-2T2T3T4T-TT0s(t)xc(t)tx[n]-3-2234-110n常用的時域離散信號及操作單位脈沖序列單位階躍序列實指數(shù)序列-10-5051000.511.5-10-5051000.511.5-10-5051000.51重要的序列正弦序列復指數(shù)序列周期序列

如何計算正弦序列的周期？基于對幅度的運算加法乘法累加序列的絕對和序列的能量序列的平均功率

周期信號平均功率：基于n的運算移位

x(n-m)

m為正數(shù)，右移（延時）

m為負數(shù)，左移（超前）翻褶x(n)x(-n)以n=0縱軸為對稱軸翻褶

x(n-m)x(-n-m)先移位后翻轉(zhuǎn)，仍然以n=0縱軸為對稱軸翻褶時間尺度變換

xd(n)=x(mn)每m點/每隔m-1點取一點

抽取

原序列每相鄰值之間插入m-1個零值

插值

既對幅度運算又對n運算差分運算卷積和運算相關(guān)運算1.2離散時間系統(tǒng)時域分析

將輸入序列變換成輸出序列的一種運算(用T[·]表示)

離散時間系統(tǒng)中最重要、常用的是線性時不變系統(tǒng)

框圖表示

離散時間系統(tǒng)定義離散時間系統(tǒng)舉例求最大值理想延時系統(tǒng)1.2.1線性系統(tǒng)(a1和a2為任意常數(shù))

先求和后運算=先運算后求和滿足線性疊加原理，即舉例：理想延時系統(tǒng)1.2.2時不變系統(tǒng)

定義:系統(tǒng)的運算關(guān)系T［·］在整個運算過程中不隨時間變化即輸入序列移動任意位后,輸出序列也相應(yīng)移位,并且數(shù)值不變

用公式表示為:T［x(n)］=y(n)

T［x(n-m)］=y(n-m)（m為任意整數(shù)）本書主要討論線性時不變(LTI,LinearTimeInvariant)離散時間系統(tǒng)例證明不是時不變系統(tǒng)證由于二者不相等，故不是時不變系統(tǒng)比較輸入(輸出)序列移位后,是否還滿足T［x(n-m)］=y(n-m)輸入序列移動m位后的輸出T［x(n-m)］:輸出序列移動m位后的表示y(n-m):例檢查y(n)=ax(n)+b(a,b為常數(shù)),代表的系統(tǒng)是否是時不變系統(tǒng)二者相等，因此是時不變系統(tǒng)輸入序列移運動m位后的輸出T［x(n-m)］輸出序列移運動m位后的表示y(n-m):T［x(n-m)］=ax(n-m)+by(n-m)=ax(n-m)+b課堂練習：檢查系統(tǒng)y(n)=nx(n)的線性？時不變性?線性時變系統(tǒng)1.2.3單位脈沖響應(yīng)與LTI系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系h(n)=T［δ(n)］(代表系統(tǒng)的時域特征)★★線性時不變系統(tǒng)的輸入/輸出關(guān)系可用h(n)來表征★★

單位脈沖響應(yīng):輸入為單位脈沖序列時系統(tǒng)的輸出.即根據(jù)h(n)可知系統(tǒng)的因果性、穩(wěn)定性根據(jù)h(n)將系統(tǒng)分為FIR、IIR，有不同的設(shè)計方法。又根據(jù)時不變性質(zhì)有因此(離散卷積)因為是線性系統(tǒng)

圖解過程(離散卷積)

圖解過程(離散卷積)解析法求卷積：設(shè)，求。解：由于n>=m時，u(n-m)才能取非零值；時，取非零值，所以求和區(qū)間中，m要滿足下面兩式：

對n進行分段然后計算MATLAB計算兩個有限長序列的卷積函數(shù)conv(A,B)

例題：編寫MATLAB程序，求序列x[n]=h[n]=R4(n).程序：

xn=[1111];hn=[1111];yn=conv(xn,hn);運行結(jié)果：yn=[1234321].

MATLAB計算兩個有限長序列的卷積(序列位置不是從0開始)自編函數(shù)convu(A,nA,B,nB)

例題：x[n]=h[n]=R5(n+2)，計算y(n)=h(n)*x(n)。function[y,ny]=convu(h,nh,x,nx);nys=nh(1)+nx(1);nyf=nh(end)+nx(end);y=conv(h,x);ny=nys:nyf;h=ones(1,5);nh=-2:2;x=h;nx=nh;[y,ny]=convu(h,nh,x,nx)y=123454321ny=-4-3-2-101234

1.2.4因果系統(tǒng)(可實現(xiàn)的系統(tǒng))

定義:系統(tǒng)n時刻的輸出y(n)只取決于n時刻以及n時刻以前的輸入序列x(n),x(n-1),x(n-2)

例y(n)=nx(n)的系統(tǒng)是一個因果系統(tǒng)，

y(n)=x(n+2)+ax(n)的系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)系統(tǒng)的因果性表征了系統(tǒng)的可實現(xiàn)性，模擬系統(tǒng)的非因果系統(tǒng)無法物理實現(xiàn)，數(shù)字系統(tǒng)利用系統(tǒng)中數(shù)據(jù)的存貯性能，信號非實時處理，可實現(xiàn)其延時輸出。條件：LTI系統(tǒng)是因果系統(tǒng)的充要條件:h(n)=0(n<0)理論輸出序列*通過存貯,將h(n)延時,變成因果序列h(n)=0(n<0)輸入序列輸入序列非因果序列h(n)<>0(n<0)*非因果系統(tǒng)的延時實現(xiàn)

非因果系統(tǒng)的延時實現(xiàn)圖解1.2.5穩(wěn)定系統(tǒng)

定義:指有界輸入產(chǎn)生有界輸出的系統(tǒng)LTI系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件:單位脈沖響應(yīng)絕對可和

本書討論的LTI系統(tǒng),其單位脈沖響應(yīng)滿足因果與穩(wěn)定條件例題：設(shè)線性時不變系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng),式中a是常實數(shù)，試分析該系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性。解：由于n<0,h(n)=0,因此系統(tǒng)是因果系統(tǒng)；只有當

時，才有因此系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是，否則時，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

1.2.6時域離散系統(tǒng)的輸入輸出描述法--常系數(shù)線性差分方程

連續(xù)LTI系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系常用常系數(shù)線性微分方程表示離散LTI系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系常用常系數(shù)線性差分方程表示

或

差分方程的用途:直接得到系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)：乘法器、加法器等求解系統(tǒng)響應(yīng)例：用途一，由一階差分方程畫網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

y(n)=ay(n-1)+x(n)由此得到它的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖Ta網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)用途二在給定輸入和給定初始條件下，用遞推的方法求系統(tǒng)瞬態(tài)解例，一階差分方程系統(tǒng)：其輸入為解：①初始條件為y(n)=0，n<0

n=0以前的輸出已由初始條件給定，瞬態(tài)解從n=0求起，由差分方程、初始條件和輸入，得：

依次遞推

┆

，穩(wěn)定、因果系統(tǒng)②輸入相同，但初始條件改為n>0，y(n)=0將上述差分方程改寫成y(n-1)=2[y(n)-1.5x(n)]

此時y(0)=2[y(1)-1.5x(1)]=0

依此類推，得到②非因果、不穩(wěn)定系統(tǒng)①、②兩式所表示的兩個不同的單位脈沖響應(yīng)，雖滿足同一差分方程，但由于初始條件不同，它們代表不同的系統(tǒng)，也即用差分方程描述系統(tǒng)時，只有附加必要的制約條件，才能唯一地確定一個系統(tǒng)的輸入和輸出關(guān)系。0510152025303540-1-0.500.511.5n幅度用MATLAB計算差分方程輸出第1章離散時間信號與系統(tǒng)1.1離散時間信號——序列

1.2離散時間系統(tǒng)時域分析

1.3連續(xù)時間信號的采樣1.4序列的傅氏變換與Z變換1.5拉氏變換、傅氏變換與Z變換1.6離散時間系統(tǒng)的頻域分析（ω域和Ζ域）1.3連續(xù)時間信號的采樣

模擬信號的數(shù)字化數(shù)字信號數(shù)碼量化電平模擬信號采樣保持信號量化電平對信號進行時間上的離散化，這是對信號作數(shù)字化處理的第一個環(huán)節(jié)。

連續(xù)時間信號的實際采樣過程采樣脈沖串P(t)<<T沖激函數(shù)串式中(模擬信號)為理想采樣的輸出將代入上式考慮到δ(t-nT)只在t=nT時不為零1.3.2理想采樣信號的頻譜

傅里葉變換中,兩信號在時域相乘的傅里葉變換等于兩信號分別傅里葉變換的卷積經(jīng)過運算得到(P23)時域采樣后，頻譜周期延拓

理想采樣信號頻譜圖解已采樣信號頻譜（Ωs>2Ωc）

已采樣信號頻譜（Ωs<2Ωc）

原始限帶信號頻譜采樣函數(shù)頻譜*

Ωc不超過Ωs/2時，原信號的頻譜和各次延拓分量的譜彼此不重疊,可以用理想低通濾波器不失真地還原出原連續(xù)信號

已采樣信號頻譜（Ωs>2Ωc）

已采樣信號頻譜（Ωs<2Ωc）

反之,各周期延拓分量產(chǎn)生頻譜的交疊，稱為混疊現(xiàn)象.Ωs/2稱為折疊頻率，頻率混疊均產(chǎn)生在Ωs/2附近例：心電圖信號的主要信息集中在0-40Hz，實際可供研究的頻率成分一般不超過100Hz，如何采樣？奈奎斯特采樣定理：要使實信號采樣后能夠不失真還原，采樣頻率必須大于信號最高頻率的兩倍。Ωs≥2Ωc

采樣恢復圖解

低通濾波器1.3.3采樣的恢復

將通過一理想低通濾波器，即可恢復原模擬信號時域采樣，頻域周期延拓采樣定理:帶限信號采樣信號通過濾波器后的頻譜為因此，在輸出端可以得到原模擬信號

說明:理想低通濾波器是非因果不可實現(xiàn)的，但在一定精度范圍內(nèi)，可由一個可實現(xiàn)的濾波器來近似逼近1.3.4由采樣信號序列重構(gòu)帶限信號——時域關(guān)系

理想低通濾波器的沖激響應(yīng)為由與h(t)的卷積積分，得到理想低通濾波器的輸出為已知(內(nèi)插函數(shù)

)(內(nèi)插公式

)

內(nèi)插函數(shù)的特點

在采樣點nT上，函數(shù)值為1;其余采樣點上，函數(shù)值都為零xa(t)等于各xa(nT)乘上對應(yīng)的內(nèi)插函數(shù)的總和

h(t)保證了在各采樣點上，所恢復的xa(t)等于原采樣值而采樣點之間,則是各采樣值乘以h(t-nT)的波形伸展疊加而成

內(nèi)插公式含義由理想低通濾波器恢復的模擬信號完全等于原模擬信號xa(t),但該濾波器是非因果不可實現(xiàn)的,下面介紹實際的D/A轉(zhuǎn)換過程

實際的數(shù)字信號到模擬信號轉(zhuǎn)換D/A轉(zhuǎn)換器的組成

解碼:將數(shù)字信號轉(zhuǎn)換成時域離散信號

零階保持器:

將前一個采樣值保持到下一個采樣值來到,將時域離散信號恢復成模擬信號平滑濾波:后置模擬低通濾波器,濾除多余的高頻分量零階保持器(時)頻域特性高頻分量在時域上的表現(xiàn),就是恢復出的模擬信號是臺階形消除方法:平滑濾波零階保持器恢復的模擬信號有些失真,但簡單易實現(xiàn),是常用的方法練習：心電圖信號的主要信息集中在0-40Hz，采集時受50Hz電源噪聲污染，設(shè)計數(shù)字濾波器濾除噪聲。采樣頻率250Hz。第1章離散時間信號與系統(tǒng)1.1離散時間信號——序列

1.2離散時間系統(tǒng)時域分析

1.3連續(xù)時間信號的采樣1.4序列的傅氏變換與Z變換1.5拉氏變換、傅氏變換與Z變換1.6離散時間系統(tǒng)的頻域分析（ω域和Ζ域）1.4序列的傅氏變換與Z變換

模擬信號的頻域分析采用拉氏變換或傅氏變換；拉氏變換是傅氏變換的推廣，傅氏變換是拉氏變換的特例時域離散信號(序列)的頻域分析采用Z變換或傅氏變換WhyFouriertransform?例：左圖是示波器顯示的一段錄音信號，右圖是信號的傅里葉變換。一般人聲音的頻率范圍人聲：男：低音82～392Hz，基準音區(qū)64～523Hz男中音123～493Hz，男高音164～698Hz女：低音82～392Hz，基準音區(qū)160～1200Hz女中音123～493Hz，女高音220～1.1KHz人耳可以分辨的聲音的頻率范圍：20-20kHz1.4.1序列的傅氏變換的定義及性質(zhì)

定義為序列x(n)的傅里葉變換(FourierTransform)

定義FT成立的充要條件:序列x(n)滿足絕對可和的條件為FT的反變換例設(shè)x(n)=RN(n)，求x(n)的FT

序列傅里葉變換的性質(zhì):周期性

序列的傅里葉變換是頻率ω的周期函數(shù),周期是2πω=2Mπ表示直流分量,ω=(2M+1)π代表最高頻率信號Z變換的意義Z變化是將離散時間信號（一組實的數(shù)字或一組復數(shù)）轉(zhuǎn)換成復頻域表示。1.Z變換的定義1.4.2Z變換的定義及收斂域式中，z是一個復變量，它所在的復平面稱為Z平面一個離散序列x(n)的Z變換定義為

2.Z變換的收斂域

定義:使上面不等式成立,Z變量取值的域稱為X(z)的收斂域,一般用環(huán)狀域表示，即Rx-<|z|<Rx+

Rx-(Rx+)

稱為收斂半徑

定義式Z變換存在的條件是:等式右邊級數(shù)收斂,級數(shù)絕對可和

常用的Z變換為有理函數(shù)，可用兩個多項式之比表示：由于極點處的Z變換不存在，因此收斂域用極點限定邊界P(z)的根是X(z)的零點Q(z)的根是X(z)的極點

序列的FT和ZT間的關(guān)系

序列的FT和ZT間的關(guān)系式中z=ejω表示在z平面上r=1的圓(稱為單位圓)單位圓上的Z變換就是序列的傅里葉變換序列的FT可由序列的ZT求出,條件是收斂域中包含單位圓序列有可能FT不存在,但在一定收斂域內(nèi)存在ZT.例如x(n)=u(n)2.1有限長序列定義:序列x(n)只在有限區(qū)間n1≤n≤n2之內(nèi)才具有非零的有限值

收斂域表示例求矩形序列x(n)=RN(n)的Z變換及其收斂域這是一個因果的有限長序列，因此收斂域為0<|z|≤∞X(z)在單位圓上存在，將z=ejω代入X(z)可求得RN(n)的FT2.2右邊序列定義:x(n)只在n≥n1時有值，在n<n1時x(n)=0,其Z變換為第一項為有限長序列，設(shè)n1≤-1，其收斂域為0≤|z|＜∞第二項為因果序列，其收斂域為Rx-<|z|≤∞兩收斂域相與得到收斂域:Rx-<|z|<∞。如果是因果序列，收斂域為Rx-<|z|≤∞2.3雙邊序列定義:可以看作一個左序列和一個右序列之和，其Z變換表示為：例:Z變換需在指定其收斂域才能唯一對應(yīng)一個序列例1當時，X(z)收斂，收斂域為：例2當時，X(z)收斂，收斂域為：1.4.3Z變換的移位性質(zhì)雙邊z變換1.5拉氏變換、傅氏變換與Z變換

令

s=σ+jΩ；

z=re

jω代入上式得到

r=eσTω=ΩT對于r=eσT,有如下分析:標準變換

σ=0（S平面虛軸）r=1（Z平面單位圓上）

σ<0（S左半平面）r<1（Z平面單位圓內(nèi)）

σ>0（S右半平面）r>1(Z平面單位圓外）S平面到Ｚ平面的映射對于ω=ΩT,有如下分析:結(jié)論：S平面上寬度為2π/T的水平帶映射到整個Z平面,是多值映射Ω=0（S平面的實軸）ω=0（Z平面正實軸）Ω由-π/T增至0ω由-π增至0Ω由0增至π/Tω由0增至π1.6.1離散時間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)1.6.2離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)1.6.3因果、穩(wěn)定系統(tǒng)1.6.4系統(tǒng)函數(shù)（差分方程）1.6離散時間系統(tǒng)的頻域分析（頻域w,z)

1.6.5系統(tǒng)頻響的幾何確定法頻率響應(yīng)H(ejω)表示系統(tǒng)對不同頻率輸入信號的加權(quán)處理情況。幅頻響應(yīng)表示系統(tǒng)對不同頻率輸入信號幅值的加權(quán)大小。和相頻響應(yīng)表示系統(tǒng)對不同頻率輸入信號相移的多少。1.6.1離散時間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)頻率選擇性衰落信道OFDM系統(tǒng)頻率選擇性衰落信道幅度響應(yīng)x=exp(n*pi/3*i)+exp(n*pi/5*i)+exp(n*0.75*pi*i);y=filter(a,b,x);1.6.2離散時間系統(tǒng)(LTI)的系統(tǒng)函數(shù)（Z域）

單位脈沖響應(yīng):h(n)系統(tǒng)函數(shù)H(z)刻畫系統(tǒng)的頻域特征1.6.3因果、穩(wěn)定系統(tǒng)因果系統(tǒng)收斂域為Rx-<|z|≤∞穩(wěn)定系統(tǒng)收斂域包含單位圓因果穩(wěn)定系統(tǒng)