2018年高考數(shù)學(xué) 常見題型解法歸納反饋訓(xùn)練 第60講 空間直線、平面垂直位置關(guān)系的證明

【例3【例3】如圖，已知正方體AC］棱長為2,E、F、G分別是CC「BC和CD的中點(diǎn).(1)證明：A1G面EFD；(2)求二面角EDFC的余弦值.DCAEGCABDCAEGBADCAEGCABDCAEGBA【解析】d)以Q為原點(diǎn)建立如團(tuán)空間直角坐標(biāo)系，正方體棱長為2,則D(0,0,0),E?2,1),F(l,2,0)a丄0),4(2,Q,2),C(Q2,0)]■1-⑴則&G=(-2丄-2),DE=?21),DmT4GDE=(—2丄-2)<0.2.1)=0二4G丄DET4GDF=(-2丄-2)<1^0>=0二如丄DFXDECIDE=D,DE匸面,DF<z/.4G丄面EFD⑵由⑴知AG(2,12)為面EFD的法向量?.?CE面CF^,CE(0,0,1為面CFD的法向量設(shè)A設(shè)AG與CE夾角礦QcosAGCE2——1—AGCE311由圖可知二面角EDFC的平面角為2.??二面角EDFC的余弦值為點(diǎn)評】本題由于是正方體,所以方便建立空間直角坐標(biāo)系,所以選擇向量的方法比較直接.當(dāng)然,也可以選擇幾何法.

【反饋檢測2】如圖，已知多面體ABCDEF中，ABCD為菱形，ZABC=60。,AE丄平面ABCD,AE嚴(yán),AB=AE=1,AF丄BE.(1)求證：AF丄平面BDE；(2)求二面角F-BE-D的余弦值.高中數(shù)學(xué)常見題型解法歸納及反饋檢測第60講空間直線、平面垂直位置關(guān)系的證明參考答案反饋檢測1反饋檢測1答案】(1)證明略；(2)【反饋檢測1詳細(xì)解析】(1)由題設(shè)可得」S辺辿哋，從而AD=DC.又心仞是直角三角形，所以，厶DG?\取丄哪中點(diǎn)6連接貝3。丄AC,DO=AO.又由于△屈U是正三角形，故BOLAC.^RtAJ05中，BO2+AO2=AB2-又AB=HD,F5W5O1+DOa=BO2+AOa=AB2=BD2；故DO丄月CL因為/GEOu平面卻CACC\BO=O所以DO丄平面/SC.因為DOu平面/CD,所以平面丄CD1平面血C.(2)由題設(shè)及(1)知，OA,OB,OD兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA的方向為x軸正方向，|OA為單位

長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O—xyz.則A(1,0,0),BC(—1,0,0),D(0,0,1).一由題設(shè)知，四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積的*，從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的2，即E為DB的中點(diǎn)，得E(3i)故AD=(-1,0,1),AC=(-2,0,0),AE=—1^-,-22

設(shè)tt=（盂是平面D應(yīng)的法向量，則勺n-AD=0,一即n-AE=0,設(shè)tt=（盂是平面D應(yīng)的法向量，則勺n-AD=0,一即n-AE=0,可取1,^,1.設(shè)是平面應(yīng)C的法向量；則mAC=0,mAE=0,iJnpn馭二面角5的余弦值為#【反饋檢測2答案】（1）見解析；（2）所求二面角得余弦值為斗0【反饋檢測2詳細(xì)解析】（1）設(shè)ACCBD=0以O(shè)為空間直角坐標(biāo)系原點(diǎn)，以O(shè)B為X+軸，以O(shè)C為y+軸，以過0點(diǎn)平行于AE的射線為z+軸建立空間直角坐標(biāo)系xOy*.*AB=AE=1，且菱形ABCD中AABC=60°、,0,0,C0二,0,D丿、,0,0,C0二,0,D丿:.A（0,-丄,0j,BI2丿：?F[0丄,JI2丿又AF丄BE???AE口CF：?F[0丄,JI2丿又AF丄BE?：AF-BE=--+X=0，?:X=-，?:F0,-,22l22又?又?AF?BD=[0丄2丿?3,0,0）=0：?AFTBD，：?AFTBD，又AF丄BE且BD.BE=B（2）設(shè)m丄平面bef，m=（x,y,z）:.AF丄平面BDEm-BE=（x,y,z）?f7311j-亍-2,1Il丿$1])忑$1])忑~T3232)x+ly+lz=o222.\x=y/