《線性代數(shù)》課程實(shí)施大綱1

54/54線性代數(shù)課程實(shí)施大綱本線性代數(shù)教學(xué)實(shí)施大綱包括基本信息、課程描述、教學(xué)理念、教師簡(jiǎn)介、先修課程、課程目標(biāo)、課程教學(xué)實(shí)施、課程要求、課程考核、學(xué)術(shù)誠(chéng)信、課堂規(guī)范、課程資源、教學(xué)合同等13部分內(nèi)容。1．教學(xué)理念大學(xué)教育圍繞一個(gè)“育人目標(biāo)”核心，著眼于人的全面發(fā)展需要，重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力、實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力。即以學(xué)生為“中心”，教師為“主體”的教與學(xué)的關(guān)系。在具體的教學(xué)中，以“課”為教學(xué)活動(dòng)單位，將學(xué)生能力鍛煉作為核心，遵循理論聯(lián)系實(shí)際、學(xué)以致用和因材施教的原則，使學(xué)生在循序漸進(jìn)的教學(xué)過(guò)程中短時(shí)、優(yōu)效地獲得系統(tǒng)的科學(xué)知識(shí)。學(xué)好一門(mén)課程，必須理清思路，對(duì)整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程進(jìn)行合理的規(guī)劃。除了掌握基本知識(shí)和基本理論以外，更重要的還需要把相關(guān)的重要研究成果融入課程體系中，并結(jié)合典型案例，形成科學(xué)的、系統(tǒng)的內(nèi)容架構(gòu)。在學(xué)時(shí)允許的條件下，通過(guò)介紹與本課程相關(guān)的最新研究成果以及研究成果的應(yīng)用實(shí)例，進(jìn)一步拓展視野，充實(shí)學(xué)習(xí)內(nèi)容，深化課程認(rèn)識(shí)，為今后學(xué)習(xí)與工作打下扎實(shí)的基礎(chǔ)。線性代數(shù)課程包括行列式、矩陣、線性方程組、線性空間和線性變換、相似矩陣和二次型等基本理論。通過(guò)線性代數(shù)課程的學(xué)習(xí)，不僅可以掌握該課程的基本知識(shí)，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和邏輯推理的能力。2．課程描述2.1課程的性質(zhì)線性代數(shù)是理工類(lèi)、經(jīng)管類(lèi)數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容。在考研中的比重一般占到22%左右。本課程為必修課程。2.2課程在學(xué)科專(zhuān)業(yè)結(jié)構(gòu)中的地位、作用要求工科學(xué)生具備線性代數(shù)基本理論知識(shí)，并熟練掌握它的方法，為學(xué)習(xí)后繼課程及進(jìn)一步提高打下必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。2.3課程的前沿及發(fā)展趨勢(shì)線性代數(shù)（LinearAlgebra）是理工科大學(xué)生必修的基礎(chǔ)課程之一，它廣泛地應(yīng)用于工程技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域，并且某些非線性的問(wèn)題在一定條件下也可以轉(zhuǎn)換為線性的問(wèn)題，特別是計(jì)算機(jī)日益普及的今天，解大型的線性方程組，求矩陣的特征值、特征向量等已成為工程技術(shù)人員經(jīng)常遇到的問(wèn)題。3．教師簡(jiǎn)介4．先修課程（無(wú)）課程目標(biāo)5.1知識(shí)與技能方面本課程包括行列式、矩陣、線性方程組、線性空間和線性變換、相似矩陣和二次型等基本理論。5.2過(guò)程與方法方面通過(guò)線性代數(shù)課程的學(xué)習(xí)，不僅可以掌握該課程的基本知識(shí)，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和邏輯推理的能力。5.3情感、態(tài)度與價(jià)值觀方面培養(yǎng)學(xué)生的合作、交流與創(chuàng)新能力6．課程內(nèi)容6.1課程的內(nèi)容概要本課程包括行列式、矩陣、線性方程組、線性空間和線性變換、相似矩陣和二次型等基本理論。6.2教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)為線性方程組的解，相似矩陣及其對(duì)角化。難點(diǎn)為矩陣的運(yùn)算、向量組的線性相關(guān)性的判斷、線性方程組的解得判斷、相似矩陣的對(duì)角化。6.3學(xué)時(shí)安排行列式的計(jì)算4學(xué)時(shí)，矩陣及初等變換8學(xué)時(shí)，向量組的線性相關(guān)性4學(xué)時(shí)，線性方程組6學(xué)時(shí)，相似矩陣6學(xué)時(shí)，二次型2學(xué)時(shí)7.課程教學(xué)實(shí)施第一講課時(shí)/課次:教學(xué)日期（學(xué)年/學(xué)期）行列式的定義2/12015-16/1教學(xué)目標(biāo)一、初步了解線性代數(shù)這門(mén)課程的主要內(nèi)容及學(xué)習(xí)方法;二、掌握二階、三階及n階行列式的定義；三、掌握行列式的性質(zhì)；教學(xué)內(nèi)容知識(shí)點(diǎn)：一、二階和三階行列式的概念及計(jì)算方法；二、n階行列式、余子式和代數(shù)余子式的概念；三、幾種特殊的行列式的計(jì)算；四、行列式的性質(zhì)重點(diǎn):二、三階行列式計(jì)算方法；行列式的性質(zhì)；難點(diǎn):關(guān)于代數(shù)余子式的兩個(gè)重要性質(zhì)；教學(xué)過(guò)程及教學(xué)方法二階和三階行列式的概念及計(jì)算方法由消元法求解二元線性方程組通過(guò)上例引出二階行列式的定義及計(jì)算方法——對(duì)角線法則，找到二階行列式與二元線性方程組的關(guān)系，由此利用二階行列式的計(jì)算去求解對(duì)應(yīng)的方程組。例1-1求解二元線性方程組（講授）把二階行列式的定義作推廣給出三階行列式的定義，介紹三階行列式的計(jì)算方法——對(duì)角線法和沙路法。練習(xí)1計(jì)算三階行列式.（課堂練習(xí)）例1-3求解方程（講授）強(qiáng)調(diào)：對(duì)角線法則只適用于二階及三階行列式！把二階行列式與二元線性方程組的關(guān)系推廣到三階行列式中，利用三階行列式去求解對(duì)應(yīng)的三元方程組。例1-4求解三元線性方程組二、n階行列式的概念觀察找到二階、三階行列式的共同規(guī)律，由此引出n階行列式的定義，介紹余子式和代數(shù)余子式，并從定義出發(fā)求簡(jiǎn)單行列式，如對(duì)角行列式、上三角行列式和下三角行列式。證明：（講授）（提問(wèn)，講授）練習(xí)2計(jì)算n階行列式.（課堂練習(xí)）例1-6計(jì)算下三角行列式（講授）思考：（提問(wèn)）練習(xí)3上三角行列式（課堂練習(xí)）行列式的性質(zhì)1.行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等；（數(shù)學(xué)歸納法證明）行列式中行與列具有同等的地位，因此行列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的對(duì)列也同樣成立.2.互換行列式的兩行（列），行列式變號(hào).（互換行列式兩行兩列分別記為和）.例如或3.如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式值為零.4.行列式等于它的任一行(列)的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即或例如若3階行列式D的第3行的元素依次為1、2、3,它們的代數(shù)余子式分別為2、3、4,則D=思考：若3階行列式D的第3行的元素依次為1、2、3,它們的余子式分別為2、3、4,則D=（提問(wèn)）例如設(shè)行列式，計(jì)算及的值.5.行列式某一行(列)的元素與另一行(列)的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積之和等于零.即或例如對(duì)于行列式，選擇第一行的元素和第二行元素的代數(shù)余子式有6.行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)k，等于用數(shù)k乘此行列式.7.行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外面．例如練習(xí)4若2階行列式，則8.行列式中如果有一行(列)的元素全為零，則此行列式等于零.9.行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零．10.若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和，則該行列式也可拆成相應(yīng)的兩個(gè)行列式之和.例如練習(xí)5若2階行列式，則11.把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列(行)對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式不變．例如作業(yè)安排習(xí)題一(P20)：1，2（1）（4）（5）課后思考第二講課時(shí)/課次:教學(xué)日期（學(xué)年/學(xué)期）行列式的計(jì)算和克拉默法則2/22015-16/1教學(xué)目標(biāo)一、了解4階5階行列式的計(jì)算方法；二、掌握幾種有規(guī)律的n階行列式的計(jì)算方法；三、掌握克拉默法則。教學(xué)內(nèi)容知識(shí)點(diǎn)：一、一般的行列式的計(jì)算方法；二、幾種有規(guī)律的n階行列式的計(jì)算方法；三、克拉默法則；重點(diǎn):行列式的計(jì)算方法和克拉默法則難點(diǎn):n階行列式的計(jì)算教學(xué)過(guò)程及教學(xué)方法一、一般的行列式的計(jì)算由上一講的行列式的性質(zhì)，不難歸納出計(jì)算一般行列式的常用方法有：（1）利用行列式展開(kāi)降成低階行列式；（2）利用性質(zhì)11（即運(yùn)算）把行列式化為上三角行列式；例1-7計(jì)算行列式（講授）例1-8計(jì)算行列式（講授）三、幾個(gè)特殊類(lèi)型的n階行列式的計(jì)算例1-9計(jì)算行列式（講授）例1-10計(jì)算行列式（講授）計(jì)算行列式（講授）解上述結(jié)果可推廣到n階，稱(chēng)這種行列式叫范德蒙德(Vandermonde)行列式.即（可以用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)加以證明）例1-12計(jì)算爪形行列式（講授）例1-13計(jì)算行列式（講授）三、克拉默法則我們主要討論非齊次線性方程組和齊次線性方程組的解的情況.定理1.1（克萊默法則）如果線性方程組(1)的系數(shù)行列式不等于零，即則線性方程組(1)有唯一解推論1如果非齊次線性方程組(1)的系數(shù)行列式，則(1)一定有解，且解是唯一的.推論2如果非齊次線性方程組(1)無(wú)解或有兩個(gè)不同的解，則它的系數(shù)行列式.推論3如果齊次線性方程組(2)的系數(shù)行列式，則(2)沒(méi)有非零解（即只有零解）.推論4如果齊次線性方程組(2)有非零解，則它的系數(shù)行列式.結(jié)論1如果齊次線性方程組(2)的系數(shù)行列式，則(2)有非零解.例1-14用克拉默則解方程組（講授）例1-15用克拉默則解方程組（課堂練習(xí)）例1-16問(wèn)取何值時(shí)，齊次方程組有非零解？（講授）思考：當(dāng)線性方程組的系數(shù)行列式為零時(shí),能否用克拉默法則解方程組?為什么?此時(shí)方程組的解為何?作業(yè)安排習(xí)題一（P20）：A組2，3，4，7，8；B組1，2（4）（6）課后思考1.設(shè)n階行列式，求第一行各元素的代數(shù)余子式之和：教材習(xí)題一B組2（2）（3）（5），3（2）（3），4，5，6第三講課時(shí)/課次:教學(xué)日期（學(xué)年/學(xué)期）矩陣的概念和矩陣的運(yùn)算2/32015-16/1教學(xué)目標(biāo)一、了解矩陣的概念；二、熟悉幾類(lèi)特殊的矩陣；三、掌握矩陣的運(yùn)算教學(xué)內(nèi)容知識(shí)點(diǎn)：一、矩陣的概念和幾類(lèi)特殊的矩陣；二、矩陣的加法和數(shù)乘運(yùn)算；三、矩陣的乘積重點(diǎn):矩陣的線性運(yùn)算及矩陣的乘積難點(diǎn):矩陣的乘積運(yùn)算教學(xué)過(guò)程及教學(xué)方法一、矩陣的概念和幾類(lèi)特殊的矩陣引例研究線性方程組的解時(shí)，為了方便把其系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)取出來(lái)并按原來(lái)的位置排成下列數(shù)表：由此引出矩陣的定義.定義2.1由個(gè)數(shù)排成的m行n列的數(shù)表稱(chēng)為矩陣，記作簡(jiǎn)記為.介紹幾類(lèi)特殊的矩陣：1.行矩陣：只有一行的矩陣稱(chēng)為行矩陣，如2.列矩陣：只有一列的矩陣稱(chēng)為列矩陣，如3.方陣：行數(shù)和列數(shù)相等的矩陣稱(chēng)為方陣，記作，如3階方陣4.對(duì)角矩陣：形如的方陣，其中不全為0，稱(chēng)為對(duì)角矩陣，記作5.單位矩陣：形如的方陣，其中對(duì)角線上的元素全為1，稱(chēng)為單位矩陣，記作E.6.零矩陣：元素全為0的矩陣，稱(chēng)為0矩陣，的0矩陣記作或.不同型號(hào)的0矩陣不相等.7.同型矩陣和矩陣相等：兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)相等時(shí)，稱(chēng)為同型矩陣.兩個(gè)矩陣為同型矩陣并且對(duì)應(yīng)位置上的元素相等，稱(chēng)為相等矩陣.在邏輯上，的矩陣和數(shù)a不加以區(qū)分.設(shè)一組變量到另一組變量的變換由m個(gè)線性表達(dá)式給出：其中稱(chēng)為該變換的系數(shù)，稱(chēng)這種變換為從變量到變量的線性變換.線性變換的系數(shù)構(gòu)成一個(gè)的矩陣：叫該線性變換的系數(shù)矩陣，任何一個(gè)線性變換都與其系數(shù)矩陣一一對(duì)應(yīng).如恒等變換與n階單位矩陣對(duì)應(yīng).在平面解析幾何中，有新舊坐標(biāo)之間的旋轉(zhuǎn)變換.二、矩陣的加法和數(shù)乘定義2.2設(shè)有兩個(gè)階矩陣，則矩陣稱(chēng)為矩陣A與B的和，記作注意：只有同型矩陣才能進(jìn)行加法運(yùn)算.例2-1設(shè)A,B,C,O均為矩陣，容易證明加法滿(mǎn)足以下運(yùn)算規(guī)律：（1）交換律：（2）結(jié)合律：（3）設(shè)，稱(chēng)為A的負(fù)矩陣，由此可定義矩陣的減法：.定義2.3設(shè)是常數(shù)，，則矩陣稱(chēng)為數(shù)與矩陣A的乘積.設(shè)A,B均為矩陣，和為數(shù)，則有運(yùn)算規(guī)律：（1）（2）（3）矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來(lái)，統(tǒng)稱(chēng)為矩陣的線性運(yùn)算.三、矩陣的乘積定義2.4設(shè)矩陣，則矩陣稱(chēng)為矩陣A與B的乘積，矩陣.其中例2-2（講授）例2-3設(shè)，，求AB.（講授）注意：只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘.例如不存在.例2-3設(shè)，，求AB.（講授）例如，（提問(wèn)，練習(xí)）根據(jù)矩陣乘積的定義可以證明以下運(yùn)算規(guī)律：（1）（2）（3）（其中為常數(shù)）（4）（5）設(shè)A是n階方陣，m,k為正整數(shù)，則注意：矩陣不滿(mǎn)足交換律，即例如設(shè)，，則，.但也有例外，比如設(shè)，則.例2-4設(shè)，求（講授）例2-5寫(xiě)出下列兩個(gè)線性變換對(duì)應(yīng)的線性變換矩陣，并寫(xiě)出從變量到變量的線性變換.（講授）以上例子說(shuō)明，線性變換的乘積仍為線性變換，它對(duì)應(yīng)的矩陣為兩線性變換對(duì)應(yīng)的矩陣的乘積.作業(yè)安排習(xí)題二（P61）：A組1，2（1）（2）（3）（4）（7），5課后思考設(shè)A,B為同階方陣，成立的充要條件是什么？設(shè)A,B為同階方陣，成立嗎？第四講課時(shí)/課次:教學(xué)日期（學(xué)年/學(xué)期）矩陣的運(yùn)算和逆矩陣2/42015-16/1教學(xué)目標(biāo)一、掌握矩陣的轉(zhuǎn)置運(yùn)算規(guī)律和方陣的行列式性質(zhì)；二、了解伴隨矩陣和逆矩陣的概念；三、掌握逆矩陣計(jì)算及運(yùn)算性質(zhì)；教學(xué)內(nèi)容知識(shí)點(diǎn)：一、矩陣的轉(zhuǎn)置運(yùn)算及規(guī)律；二、方陣的行列式及其性質(zhì)；三、伴隨矩陣和逆矩陣的概念和性質(zhì)；四、逆矩陣的求法；重點(diǎn):矩陣的轉(zhuǎn)置、方陣的行列式性質(zhì)和逆矩陣的計(jì)算難點(diǎn):逆矩陣的計(jì)算教學(xué)過(guò)程及教學(xué)方法一、矩陣的轉(zhuǎn)置定義2.5將矩陣的行和列依次互換位置，得到一個(gè)的矩陣，稱(chēng)為A的轉(zhuǎn)置，記作.例如，矩陣的轉(zhuǎn)置也可以看做是一種運(yùn)算，滿(mǎn)足下列規(guī)律：（1）（2）（3）（4）性質(zhì)(2)和(4)還可推廣到一般情形:例2-6已知求（講授）定義2.6設(shè)A為n階方陣，如果滿(mǎn)足，則稱(chēng)A為對(duì)稱(chēng)陣；若n階方陣滿(mǎn)足，則稱(chēng)A為反對(duì)稱(chēng)陣.例如為對(duì)稱(chēng)陣；為反對(duì)稱(chēng)陣.例2-7設(shè)列矩陣滿(mǎn)足，E為n階單位矩陣，，證明H是對(duì)稱(chēng)矩陣，并且.（講授）例2-8證明任一n階矩陣A都可表示成一對(duì)稱(chēng)陣與一反對(duì)稱(chēng)陣之和.（講授）二、方陣的行列式定義2.7由n階方陣A的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣A的行列式，記作或例如，則.方陣的行列式有下列性質(zhì)：（1）（2）（3）（4）（n為正整數(shù)）例2-9設(shè)A為3階方陣，且，求的值.(講授)三、伴隨矩陣和逆矩陣定義2.8行列式的各個(gè)元素的代數(shù)余子式所構(gòu)成的如下矩陣稱(chēng)為A的伴隨矩陣.容易證明伴隨矩陣具有如下的性質(zhì)：定義2.9對(duì)于n階矩陣A，如果有一個(gè)n階矩陣B，使得AB=BA=E，則說(shuō)矩陣A是可逆的，并把矩陣B稱(chēng)為A的逆矩陣.A的逆矩陣記作.例如設(shè)則因?yàn)锳B=BA=E，所以B是A的一個(gè)逆矩陣.例2-10設(shè)求A的逆矩陣.（講授，用定義去求）設(shè)則由定義可以驗(yàn)證說(shuō)明：(1)若A是可逆矩陣，則A的逆矩陣是唯一的.(2)若B是A的逆矩陣,則A是B的逆矩陣.下面給出方陣存在逆矩陣的條件及逆矩陣的求法.定理2.1矩陣A可逆的充要條件是，且.推論對(duì)于n階方陣A，若存在n階方陣B，使得AB=E(或BA=E)，則A可逆，且.（即，要驗(yàn)證B是A的逆矩陣，只需驗(yàn)證AB=E或BA=E其中之一就可以了）當(dāng)時(shí)，A稱(chēng)為奇異矩陣，當(dāng)時(shí)，A稱(chēng)為非奇異矩陣.由定理2.1可知，可逆方陣即為非奇異方陣.逆矩陣具有如下的性質(zhì)：（1）若A可逆，則也可逆，且;（2）若A可逆，數(shù)，則也可逆，且;（3）若A,B為同階方陣且均可逆，則也可逆，且;（4）若A可逆，則也可逆，且;（5）若A可逆，則當(dāng)時(shí)，還可以定義為正整數(shù).設(shè)均為整數(shù)，則四、逆矩陣的求法例2-12求方陣的逆矩陣.（講授，用定理2.1去求）例2-13求方陣求矩陣X使其滿(mǎn)足AXB=C.（講授）例2-14設(shè)方陣A滿(mǎn)足，證明A和A+2E都可逆，并求出它們的逆矩陣.（講授，用逆矩陣的概念）例2-15設(shè)3階方陣A,B滿(mǎn)足關(guān)系：，求矩陣B.（講授）例2-16設(shè)求.（講授）可用數(shù)學(xué)歸納法證明：設(shè)，則（k為正整數(shù)）.作業(yè)安排習(xí)題二（P62）：A組6，7，9（2）（4），10（1）（4），13，14課后思考B組1，2，3，4，5，6，8若A可逆，那么矩陣方程AX=B是否有唯一解?矩陣方程XA=B是否有唯一解？第五講課時(shí)/課次:教學(xué)日期（學(xué)年/學(xué)期）分塊矩陣和矩陣的秩與初等變換2/52015-16/1教學(xué)目標(biāo)一、了解分塊矩陣的概念及運(yùn)算二、掌握矩陣的秩和矩陣的初等變換三、了解初等矩陣教學(xué)內(nèi)容知識(shí)點(diǎn)：分塊矩陣的概念及運(yùn)算；二、矩陣的秩和矩陣的初等變換；三、初等矩陣；四、利用矩陣的初等變換求解矩陣方程重點(diǎn):利用矩陣的初等變換求矩陣的秩和矩陣的逆；難點(diǎn):矩陣的初等變換教學(xué)過(guò)程及教學(xué)方法一、分塊矩陣的概念及運(yùn)算定義2.9對(duì)于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣A，為了簡(jiǎn)化運(yùn)算經(jīng)常采用分塊法，使大矩陣的運(yùn)算化成小矩陣的運(yùn)算.具體做法是：將矩陣A用若干條縱線和橫線分成許多個(gè)小矩陣，每一個(gè)小矩陣稱(chēng)為A的子塊，以子塊為元素的形式上的矩陣稱(chēng)為分塊矩陣.例如矩陣可以用多種分法.（講授）分塊矩陣有如下的運(yùn)算：（1）分塊矩陣的加法設(shè)A,B為同型矩陣，且用相同的分法進(jìn)行分塊，即，其中和的行數(shù)和列數(shù)都相同，則（2）數(shù)乘分塊矩陣設(shè)為數(shù)，那么（3）分塊矩陣的乘法設(shè)A為矩陣，B為矩陣，分塊成其中的列數(shù)分別等于的行數(shù)，則其中（4）設(shè)，則（5）設(shè)A為n階矩陣，若A的分塊矩陣只有在主對(duì)角線上有非零子塊，其余子塊都為零矩陣，且非零子塊都是方陣，即其中都是方陣，那么稱(chēng)A為分塊對(duì)角矩陣.分塊對(duì)角矩陣的行列式具有如下性質(zhì)：（6）設(shè)若，則，并且（7）例2-17設(shè)求.（講授）例2-18設(shè)，求.（講授）例2-19設(shè)求.（講授）思考1.設(shè)，其中B和C都是可逆方陣，證明A可逆，并求.思考2.設(shè)，其中B和C都是可逆方陣，證明A可逆，并求.二、矩陣的秩與矩陣的初等變換定義2.11在的矩陣A中任k(k≤min{m,n})行，位于這些行列交叉處的k2個(gè)元素按原來(lái)的次序所構(gòu)成的k階行列式，稱(chēng)為A的k階子式.矩陣A共有個(gè)k階子式.例如在中，分別為A的一個(gè)二階和三階子式.顯然A的每個(gè)元素都是A的一階子式，當(dāng)A為n階方陣時(shí)，其n階子式為.定義2.12設(shè)A為矩陣，如果至少存在A的一個(gè)r階子式不為0，而A的所有r+1階子式（如果存在的話）都為0，則稱(chēng)數(shù)r為矩陣A的秩，記作R(A)例如矩陣的秩為2.（講授）矩陣A的秩R(A)是A中不等于零的子式的最高階數(shù).顯然，對(duì)于，有按定義，非奇異方陣的秩等于它的階數(shù)，故非奇異方陣稱(chēng)為滿(mǎn)秩矩陣，而奇異方陣稱(chēng)為降秩矩陣.矩陣秩是一個(gè)重要概念，它刻畫(huà)了矩陣的本質(zhì)屬性.按定義求矩陣的秩需要計(jì)算行列式，但對(duì)于行、列較多的矩陣計(jì)算量較大，一般采用下面介紹的方法：引例容易求得矩陣的秩為3.（講授）定義2.13下面三種變換稱(chēng)為矩陣的初等行變換：（1）對(duì)調(diào)兩行（對(duì)調(diào)i,j兩行，記作）；（2）以數(shù)乘以某一行的所有元素（用第i行乘以，記作）；（3）把某一行所有元素的倍加到另一行對(duì)應(yīng)的元素上去（第j行的倍加到第i行上，記作）.同理，可以定義矩陣的初等列變換（所用記號(hào)是把r改為c）.矩陣的初等行變換和初等列變換統(tǒng)稱(chēng)為矩陣的初等變換.矩陣的初等變換是矩陣的一種基本運(yùn)算，應(yīng)用廣泛.我們把形如的矩陣稱(chēng)為行階梯型矩陣，其特點(diǎn)是：(1)可劃出一條階梯線，每個(gè)階梯只有一行；(2)每條階梯線的下方全為零.特別地，行階梯形矩陣中每個(gè)非零行的非零首元全為1，這些1上方的元素全部為0，這樣的矩陣稱(chēng)為行最簡(jiǎn)形矩陣.上面的行最簡(jiǎn)形矩陣再經(jīng)過(guò)初等列變換，還可化成如下的形式：矩陣F稱(chēng)為矩陣B的標(biāo)準(zhǔn)型.任何一個(gè)的矩陣A都可以經(jīng)過(guò)初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)型，此標(biāo)準(zhǔn)型由m,n,r三個(gè)數(shù)唯一確定，其中r就是行階梯型矩陣中非零行的行數(shù).所有與矩陣A等價(jià)的矩陣組成的一個(gè)集合，稱(chēng)為一個(gè)等價(jià)類(lèi)，標(biāo)準(zhǔn)形F是這個(gè)等價(jià)類(lèi)中最簡(jiǎn)單的矩陣.所有的矩陣，若秩相等,經(jīng)過(guò)初等變換，都可以化為相同的標(biāo)準(zhǔn)型.這些矩陣之間的關(guān)系稱(chēng)為等價(jià)，它們組成的集合,稱(chēng)為等價(jià)類(lèi)，為此我們引入矩陣等價(jià)的概念.定義2.14若矩陣A經(jīng)過(guò)有限次初等變換化為矩陣B，則稱(chēng)A與B等價(jià)，記作.顯然，等價(jià)關(guān)系具有如下性質(zhì)：（1）反身性：（2）對(duì)稱(chēng)性：若，則（3）傳遞性：若，，則所以上面的過(guò)程可以寫(xiě)為提問(wèn)：經(jīng)過(guò)矩陣的初等變換，會(huì)改變矩陣的秩嗎？定理2.2對(duì)矩陣實(shí)施初等變換，矩陣的秩不變.據(jù)定理，可以用初等變換將矩陣化為較簡(jiǎn)單的形式，從而可直接看出矩陣的秩.例如限定只施行初等行變換，則總可以把矩陣變?yōu)橐环N“行階梯矩陣”，其中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩.下面舉例說(shuō)明.例2-20求矩陣的秩，并找出A的一個(gè)最高階非零子式.（講授）三、初等矩陣定義2.15由單位矩陣E經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的方陣稱(chēng)為初等矩陣.三種初等變換對(duì)應(yīng)著三種初等方陣:1.對(duì)調(diào)兩行或兩列對(duì)調(diào)E中第i、j兩行，即，得初等方陣2.以數(shù)乘某行或某列以數(shù)乘單位矩陣的第i行，得初等矩陣3.以數(shù)乘某行（列）加到另一行（列）上去.以數(shù)乘E的第j行加到第i行上.得初等方陣同樣三種初等列變換、和也分別對(duì)應(yīng)著、和.定理2.3設(shè)A是一個(gè)矩陣，則對(duì)A實(shí)施一次初等行變換，相當(dāng)于用相應(yīng)的m階初等矩陣左乘A;對(duì)A實(shí)施一次初等列變換，相當(dāng)于用相應(yīng)的n階初等矩陣右乘A.定理2.4設(shè)A為可逆方陣，則存在有限個(gè)初等方陣使得.推論階矩陣的充要條件是：存在m階可逆方陣P及n階可逆方陣Q，使得四、利用矩陣的初等變換求解矩陣方程利用初等變換可以求可逆矩陣的逆矩陣，具體方法如下：對(duì)矩陣實(shí)施初等行變換，當(dāng)把A變成E時(shí)，原來(lái)的E就變成例2-21設(shè)，求（講授）利用初等行變換還可以求矩陣，從而此方法可用于直接求解矩陣方程.這是因?yàn)?例2-21求矩陣X，使AX=B，其中，（講授）注意：如果要求，則可對(duì)矩陣作初等列變換化為，即可得.也可以改為對(duì)作初等行變換化為，即可得.作業(yè)安排習(xí)題二（P62）：A組2（8）,16,17，18（1）（2）（4）課后思考（一）將矩陣表示成有限個(gè)初等方陣的乘積.（二）B組9,10,11,12,13,14,15；第六講課時(shí)/課次:教學(xué)日期（學(xué)年/學(xué)期）n維向量及向量組的線性相關(guān)性2/72015-16/1教學(xué)目標(biāo)一、熟悉向量的概念及表示方法二、了解向量組和矩陣的關(guān)系三、掌握線性相關(guān)的概念和判定方法教學(xué)內(nèi)容知識(shí)點(diǎn)：一、n維向量的概念及表示方法；二、向量、向量組與矩陣；三、線性相關(guān)性的概念；四、線性相關(guān)性的判定；重點(diǎn):向量組的線性相關(guān)性的概念和判定難點(diǎn):向量組的線性相關(guān)性的判定教學(xué)過(guò)程及教學(xué)方法一、n維向量的概念及表示方法定義3.1n個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)組或稱(chēng)為n維向量.這n個(gè)數(shù)稱(chēng)為該向量的n個(gè)分量，第i個(gè)數(shù)稱(chēng)為向量的第i個(gè)分量.分量是實(shí)數(shù)的向量稱(chēng)為實(shí)向量，分量是復(fù)數(shù)的向量稱(chēng)為復(fù)向量.例如為n維實(shí)向量，為n維復(fù)向量.n維向量寫(xiě)成一行稱(chēng)為行向量，也就是行矩陣，如，n維向量寫(xiě)成一列稱(chēng)為列向量，也就是列矩陣，如.注意：(１)行向量和列向量總被看作是兩個(gè)不同的向量；(２)行向量和列向量都按照矩陣的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算；(３)當(dāng)沒(méi)有明確說(shuō)明是行向量還是列向量時(shí)，本書(shū)都當(dāng)作列向量.通常要表達(dá)列向量時(shí)也可以寫(xiě)成行向量再轉(zhuǎn)置，如與是同一個(gè)向量.二、向量組與矩陣若干個(gè)同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的行向量）所組成的集合叫做向量組．例如矩陣有n個(gè)m維列向量，記第i列的元素組成的向量為，則稱(chēng)為矩陣A的列向量組.從而矩陣A可用它的列向量組表示為.同理，如果把矩陣A按照行來(lái)劃分，記它的第j行的元素組成的向量為，則稱(chēng)為矩陣A的行向量組.從而矩陣A可用它的行向量組表示為.三、線性相關(guān)性的概念定義3.2設(shè)有n維向量組，若存在不全為零的數(shù)，使得則稱(chēng)向量組A是線性相關(guān)的，否則稱(chēng)它線性無(wú)關(guān).注意：（1）向量組線性無(wú)關(guān)，則只有當(dāng)時(shí)，成立.（2）任何一個(gè)向量組不是線性相關(guān)就是線性無(wú)關(guān).（3）向量組只包含一個(gè)向量時(shí)，若，則說(shuō)線性相關(guān)，若，則說(shuō)線性無(wú)關(guān).（4）包含零向量的任何向量組是線性相關(guān)的.（5）對(duì)于含有兩個(gè)向量的向量組，它線性相關(guān)的充要條件是兩向量的分量對(duì)應(yīng)成比例，幾何意義是兩向量共線；三向量相關(guān)的幾何意義是三向量共面.例3-1討論向量組的線性相關(guān)性.例3-2證明：（1）向量組線性無(wú)關(guān)；（2）設(shè)為任一n維向量，則線性相關(guān).例3-3設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)，且，試證向量組也線性無(wú)關(guān).定義3.3給定向量組，對(duì)于任何一組實(shí)數(shù)，表達(dá)式稱(chēng)為向量組的一個(gè)線性組合,稱(chēng)為這個(gè)線性組合的系數(shù).如果存在向量使得，則向量是向量組的線性組合，這時(shí)稱(chēng)向量能由向量組線性表示.四、線性相關(guān)性的判定定理3.1向量組（當(dāng)時(shí)）線性相關(guān)的充分必要條件是中至少有一個(gè)向量可由其余m-1個(gè)向量線性表示．定理3.2向量組線性相關(guān)的充分必要條件是構(gòu)成的矩陣的秩小于向量個(gè)數(shù)m；向量組線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是構(gòu)成的矩陣的秩等于向量個(gè)數(shù)m．例3-4設(shè)有向量組試討論向量組及的線性相關(guān)性.定理3.3(1)若向量組線性相關(guān)，則向量組也線性相關(guān).反言之，若向量組線性無(wú)關(guān)，則向量組也線性無(wú)關(guān).(少相關(guān)，則多相關(guān)；多無(wú)關(guān)，則少無(wú)關(guān))(2)設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)，而向量組線性相關(guān)，則向量b必能由向量組線性表示，且表示式是惟一的.(3)m個(gè)n維向量組成的向量組，當(dāng)向量個(gè)數(shù)m大于維數(shù)n時(shí)一定線性相關(guān).特別地，n+1個(gè)n維向量必定線性相關(guān).例3-5設(shè)向量組線性相關(guān)，向量組線性無(wú)關(guān)，證明：（1）向量能由線性表示；（2）向量不能由線性表示.作業(yè)安排習(xí)題三，P82:2,3,4,5課后思考1.向量組線性無(wú)關(guān)，問(wèn)常數(shù)滿(mǎn)足什么條件時(shí)，向量組線性無(wú)關(guān).2.B組：1,2,3,4,5第七講課時(shí)/課次:教學(xué)日期（學(xué)年/學(xué)期）向量組的秩和向量空間2/82015-16/1教學(xué)目標(biāo)一、掌握向量組的極大無(wú)關(guān)組和秩以及和矩陣的秩的關(guān)系二、了解向量空間和子空間以及向量空間的基和維數(shù)教學(xué)內(nèi)容知識(shí)點(diǎn)：向量組的極大無(wú)關(guān)組與秩二、向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系三、向量空間和子空間的概念四、向量空間的基和維數(shù)重點(diǎn):向量組的極大無(wú)關(guān)組和秩、向量空間的基和維數(shù)難點(diǎn):向量組的極大無(wú)關(guān)組教學(xué)過(guò)程及教學(xué)方法一、向量組的極大無(wú)關(guān)組與秩定義3.4設(shè)有向量組，如果(1)在A中有r個(gè)向量線性無(wú)關(guān)(2)A中任意r+1個(gè)向量（如果A中有r+1個(gè)向量）都線性相關(guān)則稱(chēng)是向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)向量組，簡(jiǎn)稱(chēng)極大無(wú)關(guān)組，數(shù)r稱(chēng)為向量組A的秩.只有零向量的向量組沒(méi)有極大無(wú)關(guān)組，規(guī)定它的秩為0.例3-6向量組可構(gòu)成方陣，而，所以向量組線性相關(guān)，并且易知和及都是線性無(wú)關(guān)的，它們都是向量組的極大無(wú)關(guān)組.以上例子說(shuō)明：極大無(wú)關(guān)組并不是唯一的.定義3.5(極大無(wú)關(guān)組的等價(jià)定義)設(shè)在向量組T中有r個(gè)向量，滿(mǎn)足(1)線性無(wú)關(guān)；(2)任取，能由線性表示；則是向量組T的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，數(shù)r是向量組T的秩.二、向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系上一節(jié)中我們講過(guò)向量組與矩陣的關(guān)系，那么它們的秩之間有什么樣的關(guān)系呢？定理3.4矩陣的秩等于它的列向量組的秩，也等于它的行向量組的秩.向量組的秩也記作.任何一個(gè)向量組的極大無(wú)關(guān)組都不唯一，那么如何去找到列向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組呢？具體方法是：把向量組構(gòu)成一個(gè)矩陣，對(duì)矩陣A實(shí)施初等行變換，先化為行階梯型矩陣確定向量組的秩，然后繼續(xù)對(duì)階梯型矩陣實(shí)施初等行變換化為行最簡(jiǎn)形矩陣，在最簡(jiǎn)形矩陣中選擇每個(gè)非零行的非零首元所在的列，這些列向量即構(gòu)成我們要找的極大無(wú)關(guān)組.按照上述方法，前面的例3-6中向量組的極大無(wú)關(guān)組我們就選.例3-7設(shè)矩陣，求矩陣A的列向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組，并把不屬于最大無(wú)關(guān)組的列向量用最大無(wú)關(guān)組線性表示.例3-8已知向量組的秩為2，試確定t的值.定義3.6設(shè)有兩個(gè)向量組及，若B組中的每個(gè)向量都能由向量組A線性表示，則稱(chēng)向量組B能由向量組A線性表示.若向量組A與向量組B能相互線性表示，則稱(chēng)這兩個(gè)向量組等價(jià).顯然，向量組之間的等價(jià)關(guān)系具有反身性、對(duì)稱(chēng)性、傳遞性.按定義3.6，向量組能由向量組線性表示，則存在矩陣使得即矩陣方程有解，故有下面的結(jié)論.定理3.5向量組能由向量組線性表示的充要條件是矩陣的秩等于矩陣的秩，即有.推論向量組與向量組等價(jià)的充要條件是.已知向量組A和B分別如下：，試證明A組與B組等價(jià).三、向量空間和子空間的概念定義3.7設(shè)V為n維向量的集合，如果集合V非空，且集合V對(duì)于加法及乘數(shù)兩種運(yùn)算封閉，那么就稱(chēng)集合V為向量空間．說(shuō)明：（1）集合V對(duì)于加法及數(shù)乘兩種運(yùn)算封閉是指若，則；若，則.（2）n維向量的集合是一個(gè)向量空間，記作.例3-10判別下列集合是否為向量空間.例3-11設(shè)為兩個(gè)已知的n維向量，集合試判斷集合V是否為向量空間.定義3.8設(shè)有n維向量，它們的一切線性組合所組成的集合稱(chēng)為由向量生成的向量空間.例3-12設(shè)向量組與向量組等價(jià)，記試證.定義3.9設(shè)有向量空間及，若向量空間，就說(shuō)是的子空間.如，由n維向量生成的空間V就是的子空間.四、向量空間的基和維數(shù)定義3.10設(shè)是向量空間，如果r個(gè)向量，且滿(mǎn)足（1）線性無(wú)關(guān)（2）V中任一向量都可由線性表示那末，向量組就稱(chēng)為向量空間V的一個(gè)基，r稱(chēng)為向量空間V的維數(shù)，并稱(chēng)V為r維向量空間.說(shuō)明：（1）只含有零向量的向量空間稱(chēng)為0維向量空間，因此它沒(méi)有基．（2）若把向量空間V看作向量組，那末V的基就是向量組的最大無(wú)關(guān)組,V的維數(shù)就是向量組的秩.（3）若向量組是向量空間V的一個(gè)基，則V可表示為設(shè)矩陣驗(yàn)證是的一個(gè)基，并把用這個(gè)基線性表示.作業(yè)安排習(xí)題三，P84：10（1）（3），11（1），14,15,17課后思考1.n維單位向量均可由向量組線性表出，則向量個(gè)數(shù)s與n的關(guān)系是2.已知向量組（1）；（2）；（3）.如果各向量組的秩分別為，試證明向量組的秩為4.3.求實(shí)數(shù)a和b使得向量組和向量組等價(jià).4.設(shè)，定義加法和數(shù)乘運(yùn)算如下：加法：數(shù)乘：V是不是向量空間？為什么？5.判斷中與向量不平行的全體向量所組成的集合是否構(gòu)成向量空間.6.B組：6,7,8,9,10,11,12,13第八講課時(shí)/課次:教學(xué)日期（學(xué)年/學(xué)期）消元法和線性方程組的解的判定2/92015-16/1教學(xué)目標(biāo)一、掌握消元法求解線性方程組二、掌握線性方程組的解的判定教學(xué)內(nèi)容知識(shí)點(diǎn)：一、消元法二、線性方程組的解的判定重點(diǎn):用消元法求解線性方程組的解難點(diǎn):線性方程組的解的判定教學(xué)過(guò)程及教學(xué)方法一、消元法本章討論形如的個(gè)方程個(gè)未知數(shù)的元一次方程組，這里方程個(gè)數(shù)與未知數(shù)個(gè)數(shù)不一定相等.前面我們?cè)v過(guò)利用克拉默法則來(lái)求解線性方程組，但是這只能解決方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)相等、且系數(shù)行列式不為零時(shí)的情形.這里我們回歸到中學(xué)時(shí)用的消元法來(lái)求解未知量個(gè)數(shù)和方程個(gè)數(shù)不等的線性方程組.引例求解線性方程組通過(guò)消元的方法把上面的方程組變?yōu)槿缦滦问剑?，再變?yōu)橛谩盎卮钡姆椒ㄇ蟪鼋猓渲袨槿我馊≈?，或令，方程組的解可記作即，其中c為任意常數(shù).我們?cè)谏鲜鱿ㄟ^(guò)程中始終把方程組看作一個(gè)整體變形，用到如下三種變換：（1）交換方程次序（2）以不等于０的數(shù)乘某個(gè)方程；（3）一個(gè)方程加上另一個(gè)方程的k倍．上述三種變換都是可逆的，我們把這三種變換稱(chēng)為線性方程組的初等變換，對(duì)于方程組的初等變換我們有如下結(jié)論.定理4.1線性方程組的初等變換將其變?yōu)橥獾姆匠探M.方程組的解僅依賴(lài)于未知量的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng).因此，在解線性方程組過(guò)程中，為了方便，常常僅寫(xiě)出系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)，比如剛才這個(gè)方程組對(duì)應(yīng)的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)為：矩陣A是方程組的系數(shù)矩陣，B叫做方程組的增廣矩陣.當(dāng)運(yùn)用消元法對(duì)線性方程組使用初等變換求解時(shí)，其過(guò)程就相當(dāng)于在方程組的增廣矩陣上實(shí)施初等行變換，將其變?yōu)樾须A梯型的矩陣.引例中對(duì)方程組的變換完全可以轉(zhuǎn)換為對(duì)矩陣B的變換：例4-1利用消元法求解線性方程組解：對(duì)其增廣矩陣實(shí)施初等行變換得：得到與原方程組同解的方程組：最后得到一般解為，這里為自由未知量.當(dāng)線性方程組(4-1)右邊的常數(shù)項(xiàng)全部為零時(shí)，我們稱(chēng)其為齊次線性方程組：齊次線性方程組總是有解的，因?yàn)榫褪欠匠探M的一個(gè)解.將上述討論應(yīng)用于齊次線性方程組，我們有如下定理：定理4.2在齊次線性方程組(4-5)中，若，則其必有非零解.二、線性方程組的解的判定對(duì)于非齊次線性方程組：令，，則線性方程組(4-1)可改寫(xiě)為向量方程：從而線性方程組(4-1)有解的充要條件可表述為向量可以由向量組線性表示.引例1利用消元法求解線性方程組對(duì)其增廣矩陣實(shí)施初等行變換得：（行階梯型）最后得到與原方程組同解的方程組：此時(shí)可以看出方程組有唯一解.事實(shí)上，這唯一解可以通過(guò)把前面的增廣矩陣?yán)^續(xù)作初等行變換化為行最簡(jiǎn)形矩陣，即可直接看出其解.引例2求解線性方程組對(duì)其增廣矩陣實(shí)施初等行變換得：（行階梯型）最后得到與原方程組同解的方程組：此時(shí)可以看出方程組無(wú)解.引例3求解線性方程組對(duì)其增廣矩陣實(shí)施初等行變換得：（行階梯型）最后得到與原方程組同解的方程組：此時(shí)可以看出方程組有無(wú)窮多解，叫自由未知量.事實(shí)上，這無(wú)窮多解可以通過(guò)把前面的增廣矩陣?yán)^續(xù)作初等行變換化為行最簡(jiǎn)形矩陣，即可得到.定理4.3線性方程組(4-1)有解的充要條件是它的系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩.在有解的情形下，可以進(jìn)一步得到如下的結(jié)論：定理4.4線性方程組有解時(shí)，即，A為系數(shù)矩陣，B為其增廣矩陣.若有(1)，則方程組有唯一解；(2)，則方程組有無(wú)窮多解.由于齊次線性方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩總是相等的，所以齊次線性方程組總是有解的.將定理4.4應(yīng)用到齊次線性方程組，我們可以得到：推論1齊次線性方程組在其系數(shù)矩陣A滿(mǎn)足：(1)當(dāng)時(shí),齊次線性方程組只有零解；(2)當(dāng)時(shí),齊次線性方程組有無(wú)窮多解.例4-2當(dāng)取何值時(shí)，線性方程組無(wú)解？有唯一解？有無(wú)窮多個(gè)解？作業(yè)安排習(xí)題四A組P113：1（2）（4）2，4，5課后思考1.已知四元齊次方程組(Ⅰ)及另一四元齊次方程組（Ⅱ）的通解為問(wèn)（Ⅰ）與（Ⅱ）是否有非零公共解？若有，求出來(lái)；若沒(méi)有，說(shuō)明理由.2.B組：1第九講課時(shí)/課次:教學(xué)日期（學(xué)年/學(xué)期）線性方程組的解的結(jié)構(gòu)2/102015-16/1教學(xué)目標(biāo)一、掌握線性方程組的解的結(jié)構(gòu)教學(xué)內(nèi)容知識(shí)點(diǎn)：一、齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)二、非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)重點(diǎn):齊次和非齊次線性方程組的解的結(jié)論難點(diǎn):非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)教學(xué)過(guò)程及教學(xué)方法一、齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)將齊次線性方程組寫(xiě)成矩陣方程的形式我們來(lái)討論當(dāng)(4-8)式有非零解時(shí)，這些解之間會(huì)有什么關(guān)系，如何將其全部解表示出來(lái).為此，我們先討論其解的性質(zhì).定理4.5若和是齊次線性方程組(4-8)的解集中的任意兩個(gè)解，則(1)也是(4-8)的解；(2)對(duì)任意的常數(shù)，也是方程組(4-8)的解.定理4.6若都是齊次線性方程組(4-8)的解，則它們的線性組合也是方程組(4-8)的解，其中為任意常數(shù).定義4.1若齊次線性方程組(4-8)的有限個(gè)解滿(mǎn)足：(1)線性無(wú)關(guān)；(2)方程組(4-8)的所有解都可以由線性表示，則稱(chēng)為方程組(4-8)的一個(gè)基礎(chǔ)解系.定理4.7若齊次線性方程組(4-8)有非零解，則它一定有基礎(chǔ)解系，并且其基礎(chǔ)解系中含有個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量，這里為方程組中未知量的個(gè)數(shù)，為系數(shù)矩陣的秩.例4-3求解下述齊次線性方程組例4-4當(dāng)取何值時(shí)，方程組有無(wú)窮多個(gè)解？并求出全部解.例4-5設(shè)，求一個(gè)的矩陣使得二、非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)我們稱(chēng)齊次線性方程組(4-5)為非齊次線性方程組(4-1)的導(dǎo)出組.我們有下面的結(jié)論定理4.8(1)若是非齊次線性方程組(4-1)的兩個(gè)解，則是它對(duì)應(yīng)的導(dǎo)出組(4-5)的解.(2)若是非齊次線性方程組(4-1)的一個(gè)解，是它對(duì)應(yīng)的導(dǎo)出組(4-5)的一個(gè)解，則為非齊次線性方程組的一個(gè)解.定理4.9若是非齊次線性方程組(4-1)的一個(gè)特解，那么(4-1)的所有解可以表示為其中，為非齊次線性方程組(4-1)所對(duì)應(yīng)的導(dǎo)出組(4-5)的一個(gè)基礎(chǔ)解系，為任意常數(shù).例4-6求下述方程組的全部解例4-7討論線性方程組的解的情況，當(dāng)有無(wú)窮多個(gè)解時(shí)寫(xiě)出全部解.作業(yè)安排習(xí)題四A組P114：7（1）（3），9,10（2）（4）課外思考題1.討論線性方程組當(dāng)為何值時(shí)，方程組無(wú)解？有唯一解？有無(wú)窮多解？當(dāng)方程組有無(wú)窮多個(gè)解時(shí)寫(xiě)出全部解.2.方程組以為其基礎(chǔ)解系，則該方程的系數(shù)矩陣為3.A組:12，13,14,15,16；B組：2,3,4,5,6,7第十講課時(shí)/課次:教學(xué)日期（學(xué)年/學(xué)期）向量的內(nèi)積與正交向量組、特征值與特征向量2/112015-16/1教學(xué)目標(biāo)一、熟悉向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度的定義及性質(zhì)二、掌握正交向量組的概念及求法、正交矩陣與正交變換三、熟悉特征值與特征向量的概念和性質(zhì)四、掌握特征值與特征向量的計(jì)算教學(xué)內(nèi)容一、向量的內(nèi)積和長(zhǎng)度的定義及性質(zhì)二、正交向量組的概念及求法、正交矩陣與正交變換三、特征值與特征向量的概念、性質(zhì)及計(jì)算方法知識(shí)點(diǎn)：向量的內(nèi)積的定義及性質(zhì)，向量的長(zhǎng)度的定義及性質(zhì)，正交向量組的概念及求法，正交矩陣和正交變換，特征值與特征向量的概念、性質(zhì)及計(jì)算方法重點(diǎn):向量的內(nèi)積和正交矩陣的概念，特征值和特征向量的概念、性質(zhì)及計(jì)算難點(diǎn):特征值和特征向量的計(jì)算教學(xué)過(guò)程及教學(xué)方法一、向量的內(nèi)積和長(zhǎng)度的定義及性質(zhì)定義5.1設(shè)有n維向量，令稱(chēng)為向量x與y的內(nèi)積.內(nèi)積的運(yùn)算性質(zhì)定義5.2令稱(chēng)為n維向量x的長(zhǎng)度（或范數(shù)）.向量的長(zhǎng)度具有下面的性質(zhì)（1）非負(fù)性：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，（2）齊次性：（3）三角不等式：定義5.3當(dāng)時(shí)，稱(chēng)x為單位向量；當(dāng)時(shí)，稱(chēng)為n維向量x與y的夾角：例5-1求向量與的夾角.二、正交向量組的概念及求法、正交矩陣與正交變換定義5.4當(dāng)時(shí)，稱(chēng)向量x與y正交，若一非零向量組中的向量?jī)蓛烧唬瑒t稱(chēng)該向量組為正交向量組．正交向量組有下面的性質(zhì)定理5.1若n維向量是一組兩兩正交的非零向量，則線性無(wú)關(guān).定義5.5若是向量空間V的一個(gè)基，且是兩兩正交的非零向量組，則稱(chēng)是向量空間V的正交基．例5-2已知三維向量空間中兩個(gè)向量與正交，試求使得構(gòu)成三維空間的一個(gè)正交基.定義5.6設(shè)n維向量是向量空間的一個(gè)基，如果兩兩正交且都是單位向量，則稱(chēng)是向量空間V的一個(gè)規(guī)范正交基．例如是的一個(gè)規(guī)范正交基.同理，也是的一個(gè)規(guī)范正交基.如何把向量空間V的一組基變?yōu)閮蓛烧坏膯挝幌蛄磕兀课覀儼堰@個(gè)過(guò)程稱(chēng)為基的規(guī)范正交化.下面介紹的施密特正交化過(guò)程就可以完成上面的問(wèn)題.設(shè)為向量空間V的一個(gè)基，（1）正交化，取，，，……,.則得到的兩兩正交，且與等價(jià).（2）單位化，取那么為V的一個(gè)規(guī)范正交基.例5-3設(shè)，試用施密特正交化過(guò)程把向量組規(guī)范正交化.定義5.7若n階方陣滿(mǎn)足（即），則稱(chēng)為正交矩陣．（結(jié)論：A為正交矩陣的充要條件是A的列（行）向量組都是單位向量且兩兩正交．）定義5.8若P為正交陣，則線性變換稱(chēng)為正交變換．判別下列矩陣是否為正交矩陣三、特征值與特征向量的概念、性質(zhì)及計(jì)算方法定義5.9設(shè)A是n階方陣，如果和n維非零列向量x使關(guān)系式成立，那么，這樣的數(shù)稱(chēng)為方陣A的特征值，非零向量x稱(chēng)為A的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量.注：（1）特征向量，特征值問(wèn)題是對(duì)方陣而言的．（2）n階方陣A的特征值，就是把使得齊次線性方程組有非零解的值，即滿(mǎn)足方程的都是矩陣A的特征值.（3）稱(chēng)以為未知量的一元n次方程為A的特征方程.記，它是的n次多項(xiàng)式，稱(chēng)之為方陣A的特征多項(xiàng)式.（4）A的特征向量x為的非零解向量.由此我們可以歸納出求方陣A的特征值和特征向量的步驟：（1）求出的根，即為A的特征值；（2）把（1）中得到的所有特征值分別代入方程，然后求解方程組，該方程組的所有解向量即為A的所有特征向量.求下列矩陣的特征值和特征向量.特征值和特征向量具有下面的性質(zhì)1.設(shè)n階方陣A的特征值為（重根按重?cái)?shù)計(jì)算），則有（1）（2）2.n階方陣A可逆的所有特征值非零.3.設(shè)是對(duì)應(yīng)于方陣A的特征值的任意r個(gè)特征向量，則其線性組合仍為A的對(duì)應(yīng)于的特征向量不全為零.4.矩陣A的不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線性無(wú)關(guān).5.設(shè)A的特征值為，其對(duì)應(yīng)的特征向量為，則（1）的特征值為，其對(duì)應(yīng)的特征向量仍為，其中k為任意常數(shù).（2）的特征值為，其對(duì)應(yīng)的特征向量仍為，其中m為任意正整數(shù).（3）如果A可逆，的特征值為，其對(duì)應(yīng)的特征向量仍為.（4）設(shè)是矩陣A的多項(xiàng)式，其特征值為.例5-7設(shè)3階方陣A的特征值分別為1,2,3，試求（1）；（2）的特征值；（3）.作業(yè)安排習(xí)題五P154：1，4,6,7（1）（2），9,10,11課后思考1.求一單位向量，使它與正交.2.設(shè)4階方陣A滿(mǎn)足：，求的一個(gè)特征值.3.習(xí)題五A組：12；B組：1,2,3,4,5第十一講課時(shí)/課次:教學(xué)日期（學(xué)年/學(xué)期）相似矩陣及對(duì)角化、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型、正定二次型3/122015-16/1教學(xué)目標(biāo)一、熟悉相似矩陣與相似變換的概念二、掌握方陣相似于矩陣的條件及實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的對(duì)角化三、熟悉二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型的概念、表示方法及二次型的矩陣和秩四、掌握化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型五、學(xué)會(huì)判定正定二次型教學(xué)內(nèi)容知識(shí)點(diǎn)：相似矩陣與相似變換的概念，方陣相似于矩陣的條件及實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的對(duì)角化，二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型的概念、表示方法及二次型的矩陣和秩，化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，正定二次型重點(diǎn):方陣相似于矩陣的條件及實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的對(duì)角化，化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型難點(diǎn):方陣相似于矩陣的條件及實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的對(duì)角化教學(xué)過(guò)程及教學(xué)方法一、相似矩陣與相似變換的概念先回憶之前學(xué)過(guò)的等價(jià)關(guān)系：設(shè)A,B為同型的矩陣，如果存在m階及n階可逆矩陣P,Q，使得，則說(shuō)A與B等價(jià)，記作.下面我們給出比等價(jià)更為“密切”的一種關(guān)系.定義5.10設(shè)A,B都是n階矩陣，若有可逆矩陣P使得，則稱(chēng)B是A的相似矩陣，或者說(shuō)A與B相似.對(duì)A進(jìn)行運(yùn)算稱(chēng)為對(duì)A進(jìn)行相似變換，可逆矩陣P稱(chēng)為把A變成B的相似變換矩陣.注：(1)矩陣間的相似關(guān)系比等價(jià)要求更高.(2)等價(jià)具有的性質(zhì)，相似之間的矩陣也具有.(3)相似一定等價(jià)，但等價(jià)不一定相似.（因?yàn)樵凇暗葍r(jià)關(guān)系:存在可逆矩陣P,Q使得矩陣A與B之間滿(mǎn)足:”中，P與Q之間不一定是互為可逆的關(guān)系.)定理5.2設(shè)A與B相似，則（1）（2）A與B有相同的特征多項(xiàng)式，因而有相同的特征值例5-8已知方陣與矩陣相似，求x與y.二、方陣相似于矩陣的條件及實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的對(duì)角化如果矩陣A與對(duì)角矩陣相似，則稱(chēng)A可相似對(duì)角化.下面給出矩陣可對(duì)角化的定理.定理5.3A與對(duì)角矩陣相似存在n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，且的對(duì)角元素即為A的特征值，而相似變換矩陣為,其中是特征值對(duì)應(yīng)的特征向量，即其中為方陣A的所有特征值，重根按重?cái)?shù)計(jì)算.例5-9設(shè)，問(wèn)A可否對(duì)角化？如果能，求出相似變換矩陣P使得.例5-10設(shè)，求；（2）A能否對(duì)角化，如果能，求出相似變換矩陣P使得；（3）求.上述討論的是一般矩陣可對(duì)角化的條件，接下來(lái)我們看一種特殊的矩陣——實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的對(duì)角化.可以證明定理5.5實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值為實(shí)數(shù).由于對(duì)稱(chēng)矩陣A的特征值為實(shí)數(shù)，所以齊次線性方程組是實(shí)系數(shù)方程組，由知必有實(shí)的基礎(chǔ)解系，從而對(duì)應(yīng)的特征向量可以取實(shí)向量.定理5.6設(shè)是對(duì)稱(chēng)矩陣A的兩個(gè)特征值，是對(duì)應(yīng)的特征向量，若，則與正交.定理設(shè)A為n階對(duì)稱(chēng)矩陣，是A的特征方程的r重根，則矩陣的秩，從而對(duì)應(yīng)特征值恰有r個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.定理5.7設(shè)A為n階對(duì)稱(chēng)矩陣，則必有正交陣P，使得，其中是以A的n個(gè)特征值為對(duì)角元素的對(duì)角陣.該定理告訴我們，實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣不僅可以在通常意義下能對(duì)角化，而且還可以在正交意義下對(duì)角化，即一定存在某個(gè)正交矩陣P使得成立，這是一般的可對(duì)角化矩陣無(wú)法達(dá)到的.依據(jù)上面的定理可得，將一個(gè)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A對(duì)角化的步驟：(1)求出A的全部特征值；由求出對(duì)應(yīng)的特征向量；將特征向量正交化；將正交化了的特征向量單位化.例5-11對(duì)下列各實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，分別求出正交矩陣P，使為對(duì)角陣.