2021年江蘇省無錫市蠡湖中學(xué)高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試卷含解析

2021年江蘇省無錫市蠡湖中學(xué)高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.關(guān)于x的不等式≥0的解為﹣1≤x＜2或x≥3，則點(diǎn)P（a+b，c）位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：A【考點(diǎn)】其他不等式的解法．【分析】現(xiàn)根據(jù)條件求得a、b、c的值，可得點(diǎn)P的坐標(biāo)，從而得出結(jié)論．【解答】解：由于不等式≥0的解集為﹣1≤x＜2或x≥3，如圖所示：故有a=﹣1、b=3、c=2；或者a=3、b=﹣1、c=2．故有a+b=2，且c=2，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2），顯然點(diǎn)P在第一象限，故選：A．2.已知函數(shù)則的圖象為（

）參考答案：C3.函數(shù)的最大值為（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：A略4.若，則函數(shù)的最小值為（

）A

B

C

D

非上述情況參考答案：B略5.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+∞)上為增函數(shù)的是（

）A. B.C. D.參考答案：C【分析】根據(jù)初等函數(shù)圖象可排除；利用導(dǎo)數(shù)來判斷選項(xiàng)，可得結(jié)果.【詳解】由函數(shù)圖象可知：選項(xiàng)：；選項(xiàng)：在上單調(diào)遞減，可排除；選項(xiàng)：，因?yàn)?，所以，可知函?shù)在上單調(diào)遞增，則正確；選項(xiàng)：，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，可排除.本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)性的判斷，涉及到初等函數(shù)的知識(shí)、利用導(dǎo)數(shù)來求解單調(diào)性的問題.6.已知a∈R，命題“?x∈（0，+∞），等式lnx=a成立”的否定形式是（）A．?x∈（0，+∞），等式lnx=a不成立B．?x∈（﹣∞，0），等式lnx=a不成立C．?x0∈（0，+∞），等式lnx0=a不成立D．?x0∈（﹣∞，0），等式lnx0=a不成立參考答案：C【考點(diǎn)】命題的否定．【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題進(jìn)行求解判斷．【解答】解：命題是全稱命題，則命題的否定是：?x0∈（0，+∞），等式lnx0=a不成立，故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查含有量詞的命題的否定，比較基礎(chǔ)．7.兩個(gè)三角形全等是這兩個(gè)三角形相似的（

）（A）充分但不必要條件

（B）必要但不充分條件（C）充要條件

（D）既不充分又不必要條件參考答案：A8.某地區(qū)一次聯(lián)考的數(shù)學(xué)成績X近似地服從正態(tài)分布，已知，現(xiàn)隨機(jī)從這次考試的成績中抽取100個(gè)樣本，則成績低于48分的樣本個(gè)數(shù)大約為（

）A．4

B．6

C．94

D．96參考答案：A由題可得：又對(duì)稱軸為85，故，故成績小于分的樣本個(gè)數(shù)大約為100×0.04=4,故選A.

9.下列說法正確的是（

）A．命題“若，則”的否命題是“若，則”B．若，則“”是“”的必要不充分條件C．函數(shù)的最小值為D．命題“，”的否定是“，”參考答案：B分析：對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一分析、排除后可得結(jié)論．詳解：選項(xiàng)A中，命題的否命題為“若，則”，故A不正確．選項(xiàng)B中，由可得或，得“”是“”的必要不充分條件，故B正確．選項(xiàng)C中，應(yīng)用基本不等式時(shí)，等號(hào)成立的條件為，此等式顯然不成立，所以函數(shù)的最小值為2不正確，即C不正確．選項(xiàng)D中，命題的否定為“，”，故D不正確．故選B．

10.對(duì)任意的實(shí)數(shù)m，直線y=mx+n﹣1與橢圓x2+4y2=1恒有公共點(diǎn)，則n的取值范圍是(

)A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)．【專題】轉(zhuǎn)化思想；判別式法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為（1+4m2）x2+8m（n﹣1）x+4（n﹣1）2﹣1=0，由于直線y=mx+n﹣1與橢圓x2+4y2=1恒有公共點(diǎn)，可得△≥0，解出即可得出．【解答】解：聯(lián)立，化為（1+4m2）x2+8m（n﹣1）x+4（n﹣1）2﹣1=0，∵直線y=mx+n﹣1與橢圓x2+4y2=1恒有公共點(diǎn)，∴△=64m2（n﹣1）2﹣4（1+4m2）≥0，化為：4n2﹣8n+3≤4m2，由于對(duì)于任意的實(shí)數(shù)m上式恒成立，∴4n2﹣8n+3≤0，解得．∴n的取值范圍是．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系、一元二次方程的實(shí)數(shù)根與判別式的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)z＝kx＋y，其中實(shí)數(shù)x，y滿足若z的最大值為12，則實(shí)數(shù)k＝________.參考答案：2略12.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為是雙曲線上一點(diǎn)，且,則雙曲線的離心率是

.參考答案：13.已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P是該橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAF的周長最大時(shí)，△PAF的面積為__________．參考答案：(其中F1為左焦點(diǎn))，當(dāng)且僅當(dāng)，F(xiàn)1，P三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，所以．

14.已知直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且為坐標(biāo)原點(diǎn))，若橢圓的離心率，則的最大值為

．參考答案：15.（2x﹣）6展開式中常數(shù)項(xiàng)為（用數(shù)字作答）．參考答案：60【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理．【分析】用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式得展開式的第r+1項(xiàng)，令x的指數(shù)為0得展開式的常數(shù)項(xiàng)．【解答】解：（2x﹣）6展開式的通項(xiàng)為=令得r=4故展開式中的常數(shù)項(xiàng)．故答案為60【點(diǎn)評(píng)】二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式是解決二項(xiàng)展開式中特殊項(xiàng)問題的工具．16.．已知，，根據(jù)以上等式，可猜想出的一般結(jié)論是

.參考答案：，．略17.復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在虛軸上，則實(shí)數(shù)的值是

.參考答案：0三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（1）求證：；（2）已知函數(shù)，用反證法證明方程沒有負(fù)數(shù)根.參考答案：(1)見解析(2)見解析分析：（1）采用分析法來證,要證，只需兩邊平方，整理后得到一恒成立的不等式即可；（2）對(duì)于否定性命題的證明，可用反證法，先假設(shè)方程有負(fù)數(shù)根，經(jīng)過層層推理，最后推出一個(gè)矛盾的結(jié)論.詳解：（1）要證，只需證，只需證，即證，只需證，只需證，即證.上式顯然成立，命題得證.（2）設(shè)存在，使，則.由于得，解得，與已知矛盾，因此方程沒有負(fù)數(shù)根.點(diǎn)睛：本題主要考查反證法的應(yīng)用以及利用分析法證明不等式，屬于難題.分析法證明不等式的注意事項(xiàng)：用分析法證明不等式時(shí)，不要把“逆求”錯(cuò)誤的作為“逆推”，分析法的過程僅需尋求充分條件即可，而不是充要條件，也就是說，分析法的思維是逆向思維，因此在證題時(shí)，應(yīng)正確使用“要證”、“只需證”這樣的連接關(guān)鍵詞.19.已知雙曲線具有性質(zhì)：若A、B是雙曲線左、右頂點(diǎn)，P為雙曲線上一點(diǎn)，且P在第一象限.記直線PA，PB的斜率分別為，，那么與之積是與點(diǎn)位置無關(guān)的定值.（1）試對(duì)橢圓，類比寫出類似的性質(zhì)（不改變原有命題的字母次序），并加以證明.（2）若橢圓C的左焦點(diǎn)，右準(zhǔn)線為，在（1）的條件下，當(dāng)取得最小值時(shí)，求{－1,0}的垂心H到x軸的距離.參考答案：(1)見解析(2).【分析】（1）根據(jù)類比對(duì)應(yīng)得橢圓性質(zhì)，再根據(jù)斜率公式證結(jié)論，（2）先求得橢圓方程，再根據(jù)基本不等式確定最值取法，即得直線方程，與橢圓方程聯(lián)立解得點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)直線交點(diǎn)得垂心坐標(biāo)，即得結(jié)果.【詳解】（1）若、是橢圓左、右頂點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且在第一象限.記直線，的斜率分別為，，那么與之積是與點(diǎn)位置無關(guān)的定值，即；證明如下：設(shè)（2）因?yàn)闄E圓的左焦點(diǎn)，右準(zhǔn)線為，所以，橢圓由（1）知，所以當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“”此時(shí)直線：與橢圓聯(lián)立得可設(shè)垂心，由，故的垂心到軸的距離為.20.在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，我們通常運(yùn)用類比猜想的方法研究問題.

（1）已知?jiǎng)狱c(diǎn)P為圓O：外一點(diǎn)，過P引圓O的兩條切線PA、PB，A、B為切點(diǎn)，若，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；（2）若動(dòng)點(diǎn)Q為橢圓M：外一點(diǎn)，過Q引橢圓M的兩條切線QC、QD，C、D為切點(diǎn)，若，求出動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程；

（3）在（2）問中若橢圓方程為，其余條件都不變，那么動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程是什么（直接寫出答案即可，無需過程）.

參考答案：解：（1）由切線的性質(zhì)及可知，四邊形OAPB為正方形，所以點(diǎn)P在以O(shè)為圓心，長為半徑的圓上，且，進(jìn)而動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為………………3分（2）設(shè)兩切線為，①當(dāng)與軸不垂直且不平行時(shí)，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為則，設(shè)的斜率為，則，的斜率為，的方程為，聯(lián)立，得，………………5分因?yàn)橹本€與橢圓相切，所以，得化簡，進(jìn)而

所以……………7分所以是方程的一個(gè)根，同理是方程的另一個(gè)根，，得，其中，…………9分②當(dāng)軸或軸時(shí)，對(duì)應(yīng)軸或軸，可知；因?yàn)闈M足上式，綜上知：點(diǎn)P的軌跡方程為．……10分（3）動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程是…………………12分

21.(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

（2）若方程