線性代數(shù)-2.4行列式計(jì)算

行列式計(jì)算的方法：1、利用行列式“初等變換”的“降階法?！?、“遞推法。”3、“升階法?！?、“歸納法?！?、“分塊矩陣法。”6、利用行列式“加法性質(zhì)”的“拆邊法?！?例1

求解行列式“降階法”之例39

3

3

3D

解

注意到行列式的第3行、第3列元素全為3，所以可以用

第3列的(1)倍加

到其

余各列上3去觀，察再，3

01

3

3

33

2

3

3

2

00

1

3

0D

333

3003

03

3

3

900

3

60

3

0

1

3

00

3

0

200

0

0

3

6注意，此行列式既非上三角形也非下三角形矩陣，但第3行只有“3”不為零，故嘗試按該行展開，有

2D

3

(1)33

16

3

(2)

(1)

6

6

6!4“降階法”之例25例2

計(jì)算

n

階行列式

D

b

b

b

bb

b

ba

b

bb

a

b

a解法1

將第2,3,,

n

列都加到第一列得a

n

1b

b

b

ba

n

1b

a b

bD

a

n

1b

b

a

b

a

n

1bbb

aaa(n1)bb1

b

b1

b

b

b1

a

b

b

a

(n

1)b

1

b

a

bb

bab1abab00a(n1)b(a

b)n1.

第1行的(-1)倍分別加到其余各行！6xa

x

a

a

a

a

y

x

0

0

0Dn

0

y

x

0

0

0

0

0

y例3計(jì)算

n

階行列式

“遞推法”之例x

yy

xy

x

Dn

xDn1

a(1)1n解

將Dn按第n

列展開，

可得

ayn1n1

xD7整理得

ayn1n1nD

xD

ayn2n2n12

1x

D(xD

D

(xD

ay1

)

xn2將上述n

1個(gè)式子兩邊分別同乘以1，x,x2

,,xn2后，再相加，得D

xn1

D

ayn1

ayn2

x

ayxn2n

1而D1

a11

a

x,所以)

xnD

xn

a(

xn1

yn1

yn2

x

yxn2

)

)

xn28例2（續(xù)）

計(jì)算

n

階行列式abD

bbabbbabbb9“升階法”之例bbb

a解法2

增加一行一列后，用新的第1行的(1)倍分別加到其余各行上去，可得na

n1D

0a

b

0

b

1

b

bb

ba

b

0

0

a

ba

b00nb

)(1

ab倍加到新的第1列上去1

b

b

1

a

b

0

1

0

a

b1(a

b)

，當(dāng)a

b時(shí)，用每一列的

[a

(n

1)b](a

b)n11當(dāng)a

b時(shí)，Dn

0,上述答案也符合.1

21

12證

用數(shù)學(xué)歸納法

D

xx

x2

x12i

j1

(

xij

x

),

當(dāng)n

2

時(shí)（1）式成立．例4

證明范

德(Vandermonde)行列式12

x

).i

j

(

xni

j1nnxn1xn1

xn11

2x

2x

2

x

2n211x1

1x

xnD

(1)“歸納法”之例1假設(shè)（1）對(duì)于

n

1

階范

德行列式成立，那么，對(duì)Dn，從最后一行起，每行減去上一行的x1xn2

(

x2

2

1

3

3

1

n

n

1xn2

(

x

xn2

(

x

x

)

x

)

x

)x3

x1

x3

(

x3

x1

)x2

x1

x2

(

x2

x1

)000xn

x1xn

(

xn

x1

)按第1列展開，并把每列的公因子(xi

x1

)(i

2,,n)提出，就有12倍，一直進(jìn)行到第2行為止,則得Dn

1

1

1

1323121

n

11nxn2xn2xn2

(

x

x

)(

x

x

)(

x

x

)

x21

1x3

xn

n-1階范

德行列式

Dn

(

x2

x1

)(

x3

x1

)(

xn

x1

)

(

xini

j2

x

j

)

(

xi

x

j

).ni

j11例5計(jì)算下列n

階行列式“分塊矩陣法”之例a

1aA

1

a解

將第n

行依次換到第2行，再將第n列依次換到第2列，即得a

11

a14aaA

利用分塊矩陣行列式的性質(zhì)

A

BOBp

pAkkO即得a

a

1

aa1

aA

(a2

1)an2a

11

aaa1例6

計(jì)算下列n

階行列式“拆邊法”之例7

52

7

52

7

1652

7解

將第1列拆成兩組數(shù)的和，得nD

52

77

52

7

52

7

nD

52

72

52

7

52

7

52

75

50

7

52

7

152

72

52

7

52

7

nD

52

715

50

7

52

7

對(duì)前一個(gè)行列式，從第1行起，每一行的（

1）倍加到下一行上去;對(duì)后一行列式，按第1列展開，得50

22

50

2

50

2

nD

n1152

77

52

7

5

2n

5Dn1再用“遞推法”（此處略）即可解得nD

2n

2n1

5

2n2

52

2

5n1

5n二、小結(jié)行列式的解題方法中，常見的就這幾種，還有技巧較高的所謂“析因子”法、“范

德”法，包括原始的“定義法”等等.

但一般要會(huì)利用行列式的諸多性質(zhì)來計(jì)算行列式.注意：一般解題過程中，大都不會(huì)孤立地只使用一種方法，往往要綜合使用幾種方法。20思考題1式

1，2，3，1

m，

1，2，2，3列式3，2，1，（1

2）等于多少？21

n，則4

階行若1，2，3，1，2都是4

維列向量，且4

階行列思考題1

解答解3

,

2

,

1

,

(1

2

)

3

,

2

,

1

,

1

3

,

2

,

1

,

2

1

,

2

,

3

,

1

1

,

2

,

3

,

2

1

,

2

,

3

,

1

1

,

2

,

2

,

3

m

n22思考題2求下列方程的根

0231

4

31

8

61

4

21

8

7x2x3x2x311111101121x

12

2x思考題2解答

01

4

31

4

21

8

6

1

8

7x2x2x3

x3注意到兩個(gè)行列式只有第3列元素不同，故而想到要用行列式的加法性質(zhì)，于是11111101121x

12

2x解241xx2x3x2x31

1

1x

1

2x2

1