平面與平面平行的性質(zhì) 省賽獲獎-精講版課件

2．2.3平面與平面平行的性質(zhì)1．下列四個命題中，假命題是()C

A．如果平面α內(nèi)有兩相交直線與平面β內(nèi)的兩條相交直線對應(yīng)平行，則α∥β

B．平行于同一平面的兩個平面平行 C．如果平面α內(nèi)有無數(shù)條直線都與平面β平行，則α∥β

D．如果平面α內(nèi)任意一條直線都與平面β平行，則α∥β2．若平面α∥平面β，直線a?α，點B∈β，則在β內(nèi)過點B的所有直線中()DA．不一定存在與a平行的直線B．只有兩條與a平行的直線C．存在無數(shù)多條與a平行的直線D．存在唯一一條與a平行的直線3．下列命題中，真命題的個數(shù)是()D

①如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的直線平行于另一個平面；②如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的直線與另一個平面沒有公共點；③兩個平面平行等價于一個平面內(nèi)的任意一條直線與另一個平面沒有公共點．A．0個B．1個C．2個D．3個4．下列命題中，真命題的個數(shù)是()C

①如果兩個平面平行，那么分別在兩個平面內(nèi)存在直線a、b，使a∥b；②如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行；③如果兩個平面平行，那么第一個平面內(nèi)的直線與第二個平面內(nèi)的直線平行．

B．1個D．3個A．0個C．2個解析：①、②真，③假．重點面面平行的性質(zhì)定理

1．面面平行的性質(zhì)(1)：如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行．用符號語言表示為：α∥β，γ∩α

＝a，γ∩β＝b?a∥b.如圖1. 圖1

2．面面平行的性質(zhì)(2)：α∥β，l?α?l∥β.

特別注意：本定理既是面面平行的性質(zhì)定理，也是線面平行的判定定理，因此證明線面平行，也可借助于面面平行．難點面面平行的判定及性質(zhì)中的關(guān)系轉(zhuǎn)換

利用兩個平行平面的性質(zhì)解題時，要注意常把面面平行的問題轉(zhuǎn)化成線面平行或線線平行的問題． (1)兩個平面平行，可得其中一平面內(nèi)的任一直線平行于另一個平面，此性質(zhì)定理可簡記為：面面平行，則線面平行； (2)兩個平面平行，可得兩個平面與第三個平面相交，它們的交線平行，而不是兩個平面內(nèi)的任意兩條直線平行，此性質(zhì)定理可簡記為：面面平行，則線線平行．面面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用例1：如圖

2，正方體ABCD－A1B1C1D1

中，E在AB1上，F(xiàn)在BD上，且B1E＝BF， 求證：EF∥平面BB1C1C.圖2＝＝證法一：連接AF并延長交BC于M，連接B1M，∵AD∥BC，∴AFD∽MFB，∴

AFFMDFBF.又∵BD＝B1A，B1E＝BF，∴DF＝AE.∴

AFAEFMB1E，∴EF∥B1M，B1M?平面BB1C1C.∴EF∥平面BB1C1C.證法二：作FH∥AD交AB于H，連接HE.∵AD∥BC，∴FH∥BC，BC?BB1C1C.＝∴FH∥平面BB1C1C.由FH∥AD可得BFBDBH

.

BA

∴EH∥B1B，B1B?平面BB1C1C.

∴EH∥平面BB1C1C，EH∩FH＝H.

∴平面FHE∥平面BB1C1C，EF?平面FHE.

∴EF∥平面BB1C1C.證法一為了證線面平行，先證線線平行．證法二則是證線面平行，先證面面平行，然后說明直線在其中一個平面內(nèi)．

1－1.已知平面α∥平面β，P是α、β外一點，過P點的兩條直線分別交α于A、B，交β于C、D，且PA＝6，AC＝9，AB＝8，則CD的長為_______.20或4圖3證明：連接BC.取BC的中點E，分別連接ME、NE，則ME∥AC，∴ME∥α.同理：NE∥BD，∴NE∥β.又ME∩NE＝E，∴平面MEN∥平面α.∵M(jìn)N?平面MEN，∴MN∥α.

面面平行的判定定理與性質(zhì)定理的綜合應(yīng)用 例2：如圖3，設(shè)平面α∥平面β，AB、CD是兩異面直線，M、N分別是AB、CD的中點，且A、C∈α，B、D∈β.求證：MN∥α.將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，是解決立體幾何問題的重要策略，關(guān)鍵在于選擇或添加適當(dāng)?shù)钠矫婊蚓€，并抓住一些平面圖形的幾何性質(zhì)，如比例線段等．此題通過巧作輔助線，得到所作平面與底面平行，由性質(zhì)α

∥β，l?α?l∥β易得線面平行，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為面面平行，突出了平行問題中的轉(zhuǎn)化思想．圖4證明：如圖20，作EP⊥BB1

于P，連接PF.在正三棱柱ABC

－A1B1C1

的側(cè)面ABB1A1

中，易知A1B1⊥BB1，2－1.如圖4，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F、G是側(cè)面對角線上的點，且BE＝CF＝AG.求證：平面EFG∥平面ABC.圖20＝又EP⊥BB1，∴EP∥A1B1∥AB.∴EP∥平面ABC，且

BEBP

.A1BBB1∴PF∥BC，則PF∥平面ABC.∵EP∩PF＝P，∴平面PEF∥平面ABC.∵EF?平面PEF，∴EF∥平面ABC.同理：GF∥平面ABC.∵EF∩GF＝F，∴平面EFG∥平面ABC.利用面面平行證線面平行

例3：已知：有公共邊AB的兩個正方形ABCD和ABEF不在同一平面內(nèi)，P、Q分別是對角線AE、BD上的點，且AP＝DQ，求證：PQ∥平面CBE.＝證法一：如圖(1)，連接AQ并延長交BC于G，連接EG，則AQQGDQ

.QB∵AP＝DQ,PE＝BQ，∴AQQG＝APPE.∴PQ∥EG，

又PQ平面BCE，EG?面BCE，

∴PQ∥面BCE.

?證法二：如圖(2)，分別過P、Q作PK∥AB，

QH∥AB，則PK∥QH，

連接KH，則PKAB＝PEAE，QHCD＝BQBD.

∵CD＝AB，AE＝BD，PE＝BQ，

∴PK＝QH，

∴PQHK是平行四邊形．∴PQ∥KH，又PQ?平面BCE，KH?面BCE，∴PQ∥面BCE.證法三：如圖(3)，過P作PO∥EB，連接OQ，則OQ∥AD∥BC，面POQ∥面BEC，又PQ?平面BCE，故PQ∥面BEC.證明線面平行，關(guān)鍵是在平面內(nèi)找到一條直線與已知直線平行，證法一是作三角形得到的；證法二是通過作平行四邊形得到在平面內(nèi)的一條直線KH；證法三利用了面面平行的性質(zhì)定理．證法一：如圖21，連接EF、AC，AC∩BD＝G，圖21顯然四邊形EFAG為平行四邊形，又AF?平面BDE，EG?平面BDE，∴AF∥平面BDE.證法二：取A1B1中點G，連接AG、FG，證明平面AFG∥平面BDE即可．3－1.如圖6，在長方體ABCD－A1B1C1D1

中，點