《偏微分方程》課程大綱

1/11/1《偏微分方程 》課程大綱一、課程簡(jiǎn)介教學(xué)目標(biāo)：主要內(nèi)容：了解幾類典型方程及其定解條件的物理背景掌握方程的分類及其化簡(jiǎn)方法熟練掌握各類方程的求解方法（,Fourier變換法和Green函數(shù)法等，以及針對(duì)某類方程的特定方法，如特征線法）會(huì)用一些基本方法（如能量積分法、極值原理等）討論解的性質(zhì)并掌握解的重要性質(zhì)二、教學(xué)內(nèi)容(其中帶*的部分可能隨堂調(diào)整)第一章引論主要內(nèi)容：1、偏微分方程簡(jiǎn)介偏微分方程的歷史、現(xiàn)狀和用途什么是偏微分方程？介紹有關(guān)偏微分方程基本概念和研究?jī)?nèi)容例子：簡(jiǎn)單而多樣的例子幫助學(xué)生初步了解偏微分方程2、二階線性偏微分方程的分類和特征理論標(biāo)準(zhǔn)形式與典型例子，混合型方程多個(gè)自變量的二階線性偏微分方程方程的分類及其例子*3、四類典型方程的數(shù)學(xué)模型：包括波動(dòng)方程、熱傳導(dǎo)方程、調(diào)和方程、和一階方程4、其他預(yù)備知識(shí)：線性方程的疊加原理、Sturm-Liouville原理*（是最重要的概念、各類方程及其定解條件的物理意義第二章波動(dòng)方程主要內(nèi)容：1、弦振動(dòng)方程CauchyDAlembert定區(qū)域和影響區(qū)域，特征線法（行波法）齊次化原理及其物理解釋2、弦振動(dòng)方程初邊值問題的存在性：分離變量法求解齊次問題及解的存在性討論，分離變量法求解的物理意義，多種邊界條件的例子，非齊次方程的情形，非齊次邊界條件的情形，高維波動(dòng)方程分離變量法的例子3、高維波動(dòng)方程Cauchy問題的求解：三維波動(dòng)方程的球平均法，二維波動(dòng)方程的降維法4動(dòng)方程解的長(zhǎng)時(shí)間性態(tài)5唯一性和穩(wěn)定性重點(diǎn)與難點(diǎn)：針對(duì)于波動(dòng)方程：特征線與特征錐、特征線方法、波的有限傳播速度；適用于各種方程的普遍方法：能量積分方法、分離變量法第三章熱傳導(dǎo)方程主要內(nèi)容：1、求解初邊值問題的分離變量法：一維情形，高維的例子2、Cauchy問題解的存在性：Fourier變換及其基本性質(zhì)，用Fourier變換法求解Cauchy問題及解的存在性討論，F(xiàn)ourier變換法的其他應(yīng)用3問題解的唯一性和穩(wěn)定性4重點(diǎn)與難點(diǎn)：Fourier變換方法、極值原理、關(guān)注與波動(dòng)方程的區(qū)別第四章調(diào)和方程主要內(nèi)容：1、調(diào)和函數(shù)的基本性質(zhì)：Green公式，Neumann問題解的自由度與可解性條件，調(diào)和方程的基本解，變分原理、基本積分公式，平均值定理，極值原理、邊值問題解的唯一性和穩(wěn)定性2、Green函數(shù)：定義和性質(zhì)，用靜電源像法求一些特殊區(qū)域的Green通區(qū)域的Green函數(shù)，用Green函數(shù)法求解調(diào)和方程與Poisson方程3、調(diào)和函數(shù)的進(jìn)一步性質(zhì)―――Harnack定理，可去奇點(diǎn)定律，解析性定理、強(qiáng)極值原理、Neumann邊值問題解的唯一性。重點(diǎn)與難點(diǎn)：Green函數(shù)、調(diào)和方程解的性質(zhì)，關(guān)注與波動(dòng)方程、熱傳導(dǎo)方程的區(qū)別第五章三類方程的總結(jié)與比較主要內(nèi)容：1、定解問題提法的比較2反演，解的漸近性態(tài)等3Poisson拋物和橢圓型方程解的能量估計(jì)重點(diǎn)與難點(diǎn)：通過三類方程的比較進(jìn)一步加深對(duì)三類方程定解問題的理解第六章一階偏微分方程（組）理論簡(jiǎn)介主要內(nèi)容：1、一階偏微分方程組的例子2、兩個(gè)自變量的一階線性偏微分方程組的特征理論：特征方程與特征線，分類，嚴(yán)格雙曲組的對(duì)角化3、兩個(gè)自變量的線性雙曲型方程組的Cauchy問題：化為積分方程組，存在性與唯一性，對(duì)初值的連續(xù)依賴性，依賴區(qū)域、影響區(qū)域和決定區(qū)域4、兩個(gè)自變量的線性雙曲型方程組的其他定解問題CauchyGoursat一般角狀域上的邊值問題等5、冪級(jí)數(shù)解法與柯西－柯瓦列夫斯卡婭定理*6、非線性偏微分方程和激波理論初步*重點(diǎn)與難點(diǎn)：兩個(gè)自變量的一階線性雙曲型方程組的特征理論與Cauchy問題三、教學(xué)進(jìn)度安排教學(xué)內(nèi)容教學(xué)形式作業(yè)第1－3周引論（歷史、現(xiàn)狀、應(yīng)用、基本以課堂教學(xué)為概念和研究?jī)?nèi)容主，結(jié)合自學(xué)。簡(jiǎn)介，分類與化簡(jiǎn)，特征理論，課堂教學(xué)：核心建模，其他預(yù)備內(nèi)容在課堂教學(xué)每次課堂教學(xué)后知識(shí)）中完成，其中可有課外作業(yè)，要第4－7周波動(dòng)方程（定解以融入討論，加求獨(dú)立完成；有問題的存在性，深對(duì)知識(shí)的理解時(shí)布置綜合性思高維問題，能量考題，學(xué)生要經(jīng)積分）自學(xué)：對(duì)一些非過認(rèn)真思考、相第8－9周熱傳導(dǎo)方程（定?；镜耐茖?dǎo)過互討論或查閱資解問題的建立和程要求同學(xué)課后料等方式才能解存在性，F(xiàn)ourier自己補(bǔ)上；對(duì)一答；對(duì)作業(yè)中的變換，極值原理）些前期知識(shí)的遺問題在習(xí)題課上第10－13周調(diào)和方程（定解問題的建立和存忘點(diǎn)，要求同學(xué)課前預(yù)習(xí)或課后集中進(jìn)行講解在性，調(diào)和函數(shù)補(bǔ)充；對(duì)某些比的性質(zhì)，Green函數(shù)）較深入的知識(shí)，作為思考題，要1414－15周三類方程的比較求同學(xué)課后研討。16－17周一階偏微分方程（組）理論簡(jiǎn)介最終成績(jī)由平時(shí)成績(jī)、考試成績(jī)(含期中和期末考試)組合而成。各部分所占比例如下：（作業(yè)、思考題和上課參與程度文字表達(dá)能力、分析解決問題、創(chuàng)造性工作、處理信息等方面的能力。70（期中占2～30，期末占4～50法的掌握以及用分析的方法處理問題的能力五、教材與參考書（第二版出版社，2002年參考書目：PartialDifferentialEquations:AnIntroduct