線性代數(shù)-2.3行列式性質(zhì)

一、行列式的性質(zhì)行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等即，行列式

AT

稱為行列式

A

的轉(zhuǎn)置行列式.性質(zhì)1記a11an1an2

a1n

a2n

anna21

a12

a22a1na2n

an1

an2

annA

a21a11

a12a22,

AT

A.2AT3說明

行列式中行與列具有同等的地位,因此行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立.類似地，利用數(shù)學(xué)歸納法，還可證得性質(zhì)2

如果行列式中有兩行（列）完全相同，則此行列式為零.性質(zhì)3 如果行列式中某一行（列）元素是兩組數(shù)的和，那么這個(gè)行列式就等于兩個(gè)新行列式的和，而這兩個(gè)行列式除這一行（列）外全與原行列式對應(yīng)的行（列）相同，即a1na2nann(a1i

a1i

)(a2i

a2i

)(ani

ani

)a11

a12例如

D

a21

a22

an1

an2則D等于下列兩個(gè)行列式之和：

ann4a1ia2iani

a1n

a2n

anna1ia2iani

an1

a21a11

a1n

a2n

an1D

a21a111i

in1in

1in或（對列），有1

,

2

,,i

i

,,n

1

,

2

,,i

,,n

1

,

2

,,

i

,,n事實(shí)上，只要對等號兩邊的行列式都按第i

行（列）展開即可.5記成分塊矩陣形式，即為性質(zhì)4

（行列式的“初等變換”）若將初等行（列）變換用于

n

階行列式：（1）

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)

，等于用數(shù)

乘此行列式.ai1

ai

2

ain

6ai

2

ain

an1

an2

ann

an1

an2

anna11

a12

a1na11

a12

a1n

ai1事實(shí)上，等號兩端同時(shí)按第i

行展開即得.（2）

把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)k

然后加到另一列(行)對應(yīng)的元素上去，行列式的值不變．a(chǎn)1na2

janjnj

a

a11a21an1a1

ja1ia2iania1

ja2janj(a2i

ka2

j

)(ani

kanj

)

(a1i

ka1

j

)

a11a21an1c

ji

(k

)a1na2

janjk

a2

j

例如從等號右端看，利用性7質(zhì)3、性質(zhì)4的（1）及性質(zhì)2即得等號左端。（3）

互換行列式的兩行（列）,

行列式變號.證明

設(shè)行列式寫成分塊形式，則A

1

,,i

,

j

,,nc

ji

(1)

1

,,i

j

,,

j

,n1

,,i

j

,,i

,ncij

(

1)c

ji

(1)

1

,,

j

,,i

,n

1

,,

j

,,i

,n

B81

7

5

1

7

56

6 2

3

5 8

,3

5

8

6

6

22

.17

5

7

1

56

6

2

6

63

5

8

5

3

8例推論1

某一行（列）元素全為零的行列式等于零．推論2

若有兩行（列）元素對應(yīng)成比例，則行列式等于零，即9kai1

kai

2

kainai1

ai

2

aina11

a12

a1nai1

ai

2

ainan1

an2

annan1

an2

annai1

ai

2

ain

k

a11

a12

a1n

0.推論3

對n

階行列式及數(shù)

k,有kA

kn

A

．1計(jì)算行列式常用方法：利用運(yùn)算rij

(k

)把行列式3

1

1

21

3

42

0

1

11

5

3

31D

5化為上三角形行列式，從而算得行列式的值．或者在此過程當(dāng)中適當(dāng)使用其它性質(zhì)以簡化計(jì)算。例1

計(jì)算4階行列式3

1

1

21

3

42

0

1

1D

5考慮到第3行有0，1

所以5將該3

行其

3它元素化為零的工作量相對較小,于是

5

5

3

05

1

1

1

11

1

3

10

0

1

0解

對c31

21c34

(1)D5

1

1

(1)33

11

1

1

5

5

05

1

1

6

2

0

5

5

0

(1)13

6

2

8

2

5

5

0

5

40.r12(1)解畢.1性質(zhì)5

行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)

式乘積之和等于零，即a

1

na

i

n

,aj

na

n

na

1

1a

i

1

aj

n

A

j

naj

1a

n

1aj

1

A

j

1證ai1

Aj1

ai

2

Aj

2

ain

Ajn

0, (i

j).把行列式

A

按第

j

行展開，有1a

Ai

1

j

1annan

1a1nain

,aina11ai

1

ain

Ajn

ai

1把

a

jk

換成

aik

(k

1,,n),可得第j

行第i

行所以當(dāng)i

j

時(shí),ai

1

Aj

1

ai

2

Aj

2

0,

(i

j).

0, (i

j).

ain

Ajn同理a1i

A1

j

a2i

A2

j

ani

Anj相同15關(guān)于代數(shù)式的重要性質(zhì)0

,

A

,

當(dāng)i

k,當(dāng)i

k;nj1ij

kja

A

aA

A

,

當(dāng)j

k,

0

,

當(dāng)j

k;ni

1ij

ik1例2

已知5

階行列式1112144422B

210

86

m555

3

301075試求代數(shù)

式之和

A44

A45.(1)解

按行列式的第4

行展開，得5A41

5A42

5A43

3A44

3A45

m再用行列式的第2行與第4行對應(yīng)元素的代數(shù)式作乘積之和，由性質(zhì)5，即得1(2)4A41

4A42

4A43

2A44

2A45

0聯(lián)立(1)、(2)兩式，(1)(2)

5A41

5A42

5A43

3A44

3A45

m41

42

434

4

454

A

4A

4A

2

A

2

A

04

x2

y即5x

3

y

m

4

x

2

y

0解得21A44

A45

y

11

m.性質(zhì)6

設(shè)

L

是有如下分塊形式的

(

n

+

p

)

階矩陣：Bp

p

CO

L

Ann則有L

A

B由性質(zhì)1，當(dāng)A,B是方陣時(shí)，當(dāng)然也成立

A

BCBp

pAnnOU

推論若A,B是同階方陣，則有AB

A

B矩陣乘積的行列式等于行列式的乘積！再回顧初等矩陣的行列式19abc1bca1cab1b

cc

aa

b1例4

計(jì)算含字母4

階行列式A

解0c

1a

1c

a a

b

20

0

1abA

r23

(1)r34

(

1)

b

c按第4行展開20二、應(yīng)用舉例0b.

c

1c.

a

1c

a c

a

20

0

1abA

r23(1)r34

(

1)

b

ca

b

c

b

c

a

b

c c

a a

ba

b

c

b

c

a

b

c

c

a2(a

b

c)

c

a a

bc21

(1)c31

(1)2c21

(1)ca

ca

b

2c

a

b

ca

b

cbcca2(a

b

c)c

aa

ba

b

cb

00r12

(

1)r13

(

2)c

bc

a

2bc

bc

a

2b按第1列展開

c31

(1)a

ca

b

2c22

(a

b

c)

a3

b3

c3

3abc解畢.例5

證明奇數(shù)階

稱矩陣的行列式等于零.證明：設(shè)A是n階

稱矩陣，n是奇數(shù)，則由