安徽普高專升本統(tǒng)考《高等數(shù)學(xué)》試題解析

安徽普高專升本統(tǒng)考《高等數(shù)學(xué)》試題分析安徽普高專升本統(tǒng)考《高等數(shù)學(xué)》試題分析安徽普高專升本統(tǒng)考《高等數(shù)學(xué)》試題分析安徽省2012年一般高等學(xué)校專升本招生考試高等數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．試卷共8頁，請用簽字筆答題，答案按要求寫在指定的地址。2．答題前將密封線內(nèi)的項(xiàng)目填寫完好。一、選擇題（以下每題的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)吻合題意的，請將表示該選項(xiàng)的字母填在題后的括號內(nèi)。共10小題，每題3分，共30分）3ex,x01.若函數(shù)f(x)sinxa,x0在x0在處連續(xù)，則a（C）xA.0B.1C.2D.3解：由f(00)f(00)f(0)得a13a2,應(yīng)選C.2.當(dāng)x0時(shí)，與函數(shù)f(x)x2是等價(jià)無量小的是（A）A.ln(1x2)B.sinxC.tanxD.1cosx解：由limf(x)limx21應(yīng)選A.x2)x2)x0ln(1x0ln(13.設(shè)yf(x)可導(dǎo)，則[f(ex)]=（D）A.f(ex)B.f(ex)C.exf(ex)D.exf(ex)解：[f(ex)]f(ex)(ex)exf(ex),應(yīng)選D.4.設(shè)1是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則x3f(x)dx（B）xA.1x2CB.1x2CC.1x3CD.1x4lnxC2234解：因1是f(x)的一個(gè)原函數(shù),所以f(x)11,所以xxx21/10x3f(x)dxxdx1x2C應(yīng)選B.25.以下級數(shù)中收斂的是（C）A.4n7nB.1C.n3D.13n3n2n12nsinn1n1n12n(n1)31(n1)31n32n1解：因limlim1,所以n收斂,應(yīng)選C.3n3212nn2nn2n6.交換I1dyyf(x,y)dx2dy1f(x,y)dx的積分次序，則以下各項(xiàng)正確的01y11y22是（B）yy=2xx2A.1dxf(x,y)dyB.1dy2xf(x,y)dy02x0x22y=x22dxx2f(x,y)dy22x1C.12xD.dxx2f(x,y)dy1解：由題意畫出積分地域如圖:應(yīng)選B.O1x7.設(shè)向量1,2是非齊次線性方程組AX=b的兩個(gè)解，則以下向量中仍為該方程組解的是（D）A.12B.解：因A(12)A

12C.212D.2121A22,同理得bbbA(12)0,A(212)3b,A(212)b,應(yīng)選D.8.已知向量1(1,2,1,1),2(2,0,k,0),3(0,4,5,2)線性相關(guān),則k（D）A.-21解:23

B.2C.-3D.312111211121120k004k2204k220452045200k30因?yàn)?,2,3線性相關(guān),所以r(1,2,3)2,所以k32/109.設(shè)A,B為事件，且P(A)0.6,P(B)0.4,P(AB)0.2,則P(AB)（A）C.0.6D.0.8解:P(AB)P(AB)1P(AB)1[P(A)P(B)P(AB)]0.210.有兩個(gè)口袋,甲袋中有3個(gè)白球和1個(gè)黑球,乙袋中有1個(gè)白球和3個(gè)黑球.現(xiàn)從甲袋中任取一個(gè)球放入乙袋，再從乙袋中任取一個(gè)球,則拿出白球的概率是（B）A.37C.1D.1B.421620解:由全概率公式得p32117454520二、填空題(本題共10小題，每題3分，共30分，把答案填在題中橫線上。)11．設(shè)函數(shù)yarcsinx11x2，則函數(shù)的定義域?yàn)閇2,4).3161x11,16x202x44.解：4x2x3412．設(shè)曲線yx2x2在點(diǎn)M處的切線斜率為3,則點(diǎn)M的坐標(biāo)是(1,0).解：y2x1，由y2x13x1，從而y0，故填(1,0).13．設(shè)函數(shù)yxarctanx，則y222.(1x)x11x22x22解：yarctanx1x2,y1x2(1x2)2(1x2)2.14．(lnx1)2012dx(lnx1)2013C.x2013解：(lnx1)2012dx(lnx1)2012d(lnx1)(lnx1)2013C.x20133/1015．0解：0

xex1dx=e.xex1dxexexdxe.016．冪級數(shù)(x2)n的收斂域?yàn)閇3,7).n15nn(x2)n1x2解：由limun1(x)lim5n1nn1limnx21.nun(x)n(x2)n5n155nn得3x7級數(shù)收斂,當(dāng)x3時(shí),級數(shù)為(1)n收斂;當(dāng)x7時(shí),級數(shù)為1發(fā)散;n1nn1n故收斂域?yàn)閇3,7).17．設(shè)A是n階矩陣，E是n階單位矩陣，且A2則(A2E)1AE.A3E0，解：A2A3E0(A2E)(AE)E(A2E)1(AE)0111表示A的逆矩陣,A*表示A的陪同矩陣,則18．設(shè)A101，記A001011(A1)*101.00119．設(shè)型隨機(jī)變量X~N(1,8),且P(Xc)P(Xc),則c=1.解：由正態(tài)分布的對稱性得c1.20．設(shè)型隨機(jī)變量X在區(qū)間[2,4]上遵從均勻分布,則方差D(X)1.34/10解：直接由均勻分布得(42)21D(X)12.3三、計(jì)算題：本大題共8小題，此中第21-27題每題7分，第28題11分，共60分。21．計(jì)算極限limxsinx.x0tan2xxsinx解：原式=limx2x0=lim1cosxx02xsinx=lim=0.x0222．求由方程yxxy確立的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)dy.dx解：兩邊取對數(shù)得xlnylnxlny,兩邊求導(dǎo)得lnyxy11y,yxy從而dyy(1xlny).dxx(x1)21dx23．計(jì)算定積分x2x221解：令xsect,則dxsecttantdt,當(dāng)x2時(shí),t;當(dāng)x2時(shí),t.43所以原式=3secttant3sint|312dt=costdt==(32).4secttant4425/1024．求微分方程y2yex0的通解.解：原方程可整理為y2yex這是一階線性微分方程,此中P(x)2,Q(x)ex.所以原方程的通解為P(x)dxQ(x)eP(x)dxyedxC2dx(exe2dxedxC).e2x(exdxC)e2x(exC)exCe2x25．計(jì)算二重積分x2yd,此中D是由直線x2、y2x和xy2所圍成的區(qū)D域.解：地域D如圖暗影部分所示.22xyy=2x故x2yd1dx2x2ydy4Dx122x222xy=221xy|2dyxO12x12(4x44)dx21(2x52x)|1102.255101126．設(shè)矩陣A130，B3,且滿足AXBA2BX,求矩陣X.02326/10解：由AXBA2BX可得(AE)X(A2E)B(AE)(AE)By00120,所以A2y=x因|AE|140E可逆,11024xy20110Ox所以X(AE)B12035圖5-702222x11231x1230處的導(dǎo)數(shù).27．設(shè)行列式D(x)2x1,求D(x)在x13123x1x1123x7123解：D(x)1x123x7x12312x13x72x13123x1x723x1112310001x123(x1x00(x7)2x137)1x1011123x1111x2x(x7)(x1)(x2)(x27x)(x23x2).故D(x)(2x7)(x23x2)(x27x)(2x3).從而D(0)14.0,x0,a,0x1,28．已知失散型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為F(x)11x且數(shù)學(xué)希望,2,21,x2.4E(X).37/10求:(1)a的值;(2)X的分布列；(3)方差D(X)．解：(1)由分布函數(shù)的性質(zhì)知,隨機(jī)變量X的可能取值為0、1、2，且P(X0)a,P(X1)12)1a,P(X22因E(X)0a1(1a)213a422231所以a.6由（1）即得X的分布列為X012P111632(3)E(X2)0211212217,6323解：由題意知:1ab1,E(X)1b1a1,b166332E(X2)112,故D(X)E(X2)(EX)2215.623399四、證明題與應(yīng)用題：本大題共3小題，每題10分，共30分。29．設(shè)uxy2f(x)，此中f(t)可微，證明:xzyz3u.yxy證明：因?yàn)閡y2f(x)xy2f(x)1xyyyy2f(x)xyf(x),yy2xyf(x)yy

xy2f(x)xyy22xyf(x)x2f(x),yy8/10故xuyuxy2f(x)x2yf(x)2xy2f(x)x2yf(x)xyyyyy3xy2f(x)3u.(9分)y30．設(shè)D是由曲線ylnx,xe及x軸所圍成的的平面地域求:(1)平面地域D的面積S;(2)D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積解:地域D如圖暗影部分所示。曲線ylnx與x軸及yxe的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(1,0),(e,1)（1）平面地域D的面積y=lnxeeS1lnxdx(xlnxx)|11.O1（2）D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積VV1(ey)2dye21012e2y1e20e2ydye2|0

V．(e,1)ex(e21).231．證明不等式：當(dāng)abe時(shí)，blnba(e2.71828).alnab證明:設(shè)f(x)xlnx,x(e,),則f(x)1lnx0,x(e,)