誤差和有效數(shù)字課件

第四節(jié)誤差和有效數(shù)字第四節(jié)誤差和有效數(shù)字1概述定量分析的任務是要準確地解決“量”的問題，但是定量分析中的誤差是客觀存在的，因此，必須尋找產(chǎn)生誤差的原因并設法減免，從而提高分析結(jié)果的可靠程度，另外還要對實驗數(shù)據(jù)進行科學的處理，寫出合乎要求的分析報告。概述定量分析的任務是要準確地解決“量”的問題，但是定量分析中2

一.分析結(jié)果的準確度與誤差1.準確度：指測量結(jié)果與真值的接近程度準確度的高低用誤差的大小來衡量；

32.誤差：測定值與真實值之間的差值。理解：a.誤差越小，準確度越高；誤差越小，準確度越高；b.客觀存在，不能消滅。2.誤差：測定值與真實值之間的差值。4(一)準確度與誤差2．誤差（1）絕對誤差：測量值與真實值之差（2）相對誤差：絕對誤差占真實值的百分比注：1）測高含量組分，RE可??；測低含量組分，RE可大2）儀器分析法——測低含量組分，RE大化學分析法——測高含量組分，RE小注：μ未知，δ已知，可用χ代替μ(一)準確度與誤差2．誤差注：1）測高含量組分，RE可??；測5絕對誤差與相對誤差均有正負之分，正值表示分析結(jié)果偏高；負值表示分析結(jié)果偏低。絕對誤差與相對誤差均有正負之分，正值表示分析結(jié)果偏高；負值表6（二）精密度與偏差1．精密度：平行測量的各測量值間的相互接近程度2．偏差：（1）絕對偏差：單次測量值與平均值之差（2）相對偏差：絕對偏差占平均值的百分比（二）精密度與偏差1．精密度：平行測量的各測量值間的相互接近7（三）準確度與精密度的關(guān)系1.準確度高，要求精密度一定高但精密度好，準確度不一定高2.準確度反映了測量結(jié)果的正確性精密度反映了測量結(jié)果的重現(xiàn)性（三）準確度與精密度的關(guān)系1.準確度高，要求精密度一定高8準確度與精密度的關(guān)系精密度是保證準確度的前提條件。只有在消除了系統(tǒng)誤差的情況下，才可用精密度表示準確度。準確度與精密度的關(guān)系9四、提高分析準確度的方法1.選擇恰當?shù)姆治龇椒?.減小測量誤差稱量誤差：稱樣量＞0.2g，才能使稱量相對誤差＜0.1%滴定管讀數(shù)誤差：消耗滴定劑體積＞20ml，才能使滴定相對誤差＜0.1%3.增加平行測定次數(shù)4.消除測量中的系統(tǒng)校準儀器、對照試驗、加樣回收試驗、空白試驗四、提高分析準確度的方法10二、誤差的種類、性質(zhì)、產(chǎn)生的原因及減免1.系統(tǒng)誤差

(1)特點

a.對分析結(jié)果的影響比較恒定；b.在同一條件下，重復測定，重復出現(xiàn)；c.影響準確度，不影響精密度；d.可以消除。

產(chǎn)生的原因?

二、誤差的種類、性質(zhì)、產(chǎn)生的原因及減免1.系統(tǒng)誤差11(2)產(chǎn)生的原因a.方法誤差——選擇的方法不夠完善例：重量分析中沉淀的溶解損失；滴定分析中指示劑選擇不當。b.儀器誤差——儀器本身的缺陷例：天平兩臂不等，砝碼未校正；滴定管，容量瓶未校正。c.試劑誤差——所用試劑有雜質(zhì)例：去離子水不合格；試劑純度不夠（含待測組份或干擾離子）。d.主觀誤差——操作人員主觀因素造成例：對指示劑顏色辨別偏深或偏淺；

滴定管讀數(shù)不準。(2)產(chǎn)生的原因a.方法誤差——選擇的方法不夠完善122.偶然誤差

(

1)特點

a.不恒定b.難以校正c.服從正態(tài)分布(統(tǒng)計規(guī)律)

(

2)產(chǎn)生的原因a.偶然因素b.滴定管讀數(shù)3.過失誤差2.偶然誤差(1)特點13三、誤差的減免

1.系統(tǒng)誤差的減免

(1)方法誤差——采用標準方法,對比實驗(2)儀器誤差——校正儀器(3)試劑誤差——作空白實驗2.偶然誤差的減免

——增加平行測定的次數(shù)三、誤差的減免1.系統(tǒng)誤差的減免14有效數(shù)字及其運算規(guī)則一、有效數(shù)字二、有效數(shù)字的修約規(guī)則三、有效數(shù)字的運算法則

有效數(shù)字及其運算規(guī)則一、有效數(shù)字15一、有效數(shù)字引、實驗過程中常遇到的兩類數(shù)字（1）數(shù)目：如測定次數(shù)；倍數(shù)；系數(shù)；分數(shù)（2）測量值或計算值。數(shù)據(jù)的位數(shù)與測定準確度有關(guān)。記錄的數(shù)字不僅表示數(shù)量的大小，而且要正確地反映測量的精確程度。結(jié)果絕對偏差相對偏差有效數(shù)字位數(shù)0.51800±0.00001±0.002%50.5180±0.0001±0.02%40.518±0.001±0.2%3一、有效數(shù)字引、實驗過程中常遇到的兩類數(shù)字16第一節(jié)有效數(shù)字及運算規(guī)則

一、有效數(shù)字的意義和位數(shù)1.有效數(shù)字的意義

有效數(shù)字：分析工作中實際能夠測量到的數(shù)字。

★一個數(shù)據(jù)的位數(shù)不僅表示數(shù)量的大小，而且反映了

測量的準確度。

2.有效數(shù)字的位數(shù)在有效數(shù)字中只有最末一位數(shù)字是欠準確的，可能有±1的偏差。第一節(jié)有效數(shù)字及運算規(guī)則17一、有效數(shù)字：實際可以測得的數(shù)字1.有效數(shù)字位數(shù)包括所有準確數(shù)字和一位欠準數(shù)字例：滴定讀數(shù)20.30mL，最多可以讀準三位第四位欠準（估計讀數(shù)）±1%2.在0~9中，只有0既是有效數(shù)字，又是無效數(shù)字例：0.06050四位有效數(shù)字定位有效位數(shù)例：3600→3.6×103兩位→3.60×103三位3．單位變換不影響有效數(shù)字位數(shù)例：10.00[mL]→0.001000[L]均為四位一、有效數(shù)字：實際可以測得的數(shù)字1.有效數(shù)字位數(shù)包括所有準182．-1數(shù)據(jù)中零的作用數(shù)字零在數(shù)據(jù)中具有雙重作用：（1）作普通數(shù)字用，如0.51804位有效數(shù)字5.18010－1（2）作定位用：如0.05183位有效數(shù)字5.1810－22．-1數(shù)據(jù)中零的作用數(shù)字零在數(shù)據(jù)中具有雙重作用：19續(xù)前4．pH，pM，pK，lgC，lgK等對數(shù)值，其有效數(shù)字的位數(shù)取決于小數(shù)部分（尾數(shù)）數(shù)字的位數(shù)，整數(shù)部分只代表該數(shù)的方次

例：pH=11.20→[H+]=6.3×10-12[mol/L]兩位5．結(jié)果首位為8和9時，有效數(shù)字可以多計一位例：90.0%，可示為四位有效數(shù)字例：99.87%→99.9%進位續(xù)前4．pH，pM，pK，lgC，lgK等對數(shù)值，其有效數(shù)字20

3.記錄及使用有效數(shù)字的注意事項

特別強調(diào)：(1)“0”在數(shù)字中的意義①數(shù)字前的“0”只起定位作用，本身不是有效數(shù)字。②數(shù)字之間的“0”和小數(shù)末尾的“0”都是有效數(shù)字。(2)pH、pM、lgK等對數(shù)數(shù)值：小數(shù)部分才是有效數(shù)字。(3)以“0”結(jié)尾的整數(shù)或很小的數(shù)字：用10的冪指數(shù)表示(4)自然數(shù)(常數(shù)、倍數(shù)、分數(shù)等)：無窮多位有效數(shù)字

3.記錄及使用有效數(shù)字的注意事項213．改變單位，不改變有效數(shù)字的位數(shù)如：24.01mL24.0110－3

L4．注意點（1）容量器皿；滴定管；移液管；容量瓶；4位有效數(shù)字（2）分析天平（萬分之一）取4位有效數(shù)字（3）標準溶液的濃度，用4位有效數(shù)字表示:0.1000mol/L（4）pH4.34,小數(shù)點后的數(shù)字位數(shù)為有效數(shù)字位數(shù)對數(shù)值，lgX=2.38；lg(2.4102)3．改變單位，不改變有效數(shù)字的位數(shù)如：24.01mL222.乘除運算時有效數(shù)字的位數(shù)取決于相對誤差最大的數(shù)據(jù)的位數(shù)。

例：(0.03255.10360.0)/139.8=0.0711791840.0325±0.0001/0.0325100%=±0.3%5.103±0.001/5.103100%=±0.02%60.06±0.01/60.06100%=±0.02%139.8±0.1/139.8100%=±0.07%2.乘除運算時有效數(shù)字的位數(shù)取決于相對誤差最大23二、有效數(shù)字的修約規(guī)則1．四舍六入五留雙2．只能對數(shù)字進行一次性修約3．當對標準偏差修約時，修約后會使標準偏差結(jié)果變差，從而提高可信度例：s=0.134→修約至0.14，可信度↑例：0.37456，0.3745均修約至三位有效數(shù)字例：6.549，2.451一次修約至兩位有效數(shù)字0.3740.375

6.5

2.5二、有效數(shù)字的修約規(guī)則1．四舍六入五留雙2．只能對數(shù)字進行一24三、有效數(shù)字的運算法則1．加減法：以小數(shù)點后位數(shù)最少的數(shù)為準（即以絕對誤差最大的數(shù)為準）2．乘除法：以有效數(shù)字位數(shù)最少的數(shù)為準（即以相對誤差最大的數(shù)為準）例：

50.1+1.45+0.5812=？δ±0.1±0.01±0.000152.1

例：0.0121×25.64×1.05782=？δ±0.0001±0.01±0.00001RE±0.8%±0.4%±0.009%0.328保留三位有效數(shù)字保留三位有效數(shù)字三、有效數(shù)字的運算法則1．加減法：以小數(shù)點后位數(shù)最少的數(shù)為準25二、運算規(guī)則1.加減運算

結(jié)果的位數(shù)取決于絕對誤差最大的數(shù)據(jù)的位數(shù)

例：0.0121絕對誤差：0.000125.640.011.0570.00126.7091二、運算規(guī)則1.加減運算26.7091262.乘除運算時有效數(shù)字的位數(shù)取決于相對誤差最大的數(shù)據(jù)的位數(shù)。

例：(0.03255.10360.0)/139.8=0.0711791840.0325±0.0001/0.0325100%=±0.3%5.103±0.001/5.103100%=±0.02%60.06±0.01/60.06100%=±0.02%139.8±0.1/139.8100%=±0.07%2.乘除運算時有效數(shù)字的位數(shù)取決于相對誤差最大27(二)數(shù)字修約規(guī)則1.記錄或計算結(jié)果的數(shù)字中，只有末尾欠準。2.采用“四舍六入五留雙”原則棄去多余數(shù)字。3.數(shù)字修約要求一次完成,不能連續(xù)修約。

練習：P39習題8.

(三)有效數(shù)字的運算規(guī)則1.加減運算：以小數(shù)點后位數(shù)最少的為準，先修約，再加減。2.乘除運算：以有效數(shù)字位數(shù)最少的為準，先修約，再乘除。

★在計算過程中，可以暫時多保留一位數(shù)字，得到最后結(jié)果時，再棄去多余的數(shù)字。

(二)數(shù)字修約規(guī)則28例如，P30〖例2-3〗；例如，P30〖例2-3〗；290.0121位數(shù)最少，相對誤差最大，應以它為標準先修約，再進行計算。則

P30〖例2-4〗

練習：P32習題9.3.注意①有關(guān)化學平衡的計算一般保留二或三位有效數(shù)字。②重量、滴定分析測量數(shù)據(jù)多于四位有效數(shù)字時，計算結(jié)果只須保留四位有效數(shù)字。③各種分析測量數(shù)據(jù)不足四位有效數(shù)字時，按最少有效數(shù)字位數(shù)保留有效數(shù)字。0.0121位數(shù)最少，相對誤差最大，應以它為標準先修30(四)有效數(shù)字及運算在分析化學中的應用。1.正確記錄實驗數(shù)據(jù)2.正確表示分析結(jié)果

課后作業(yè)：1.什么叫有效數(shù)字？有效數(shù)字進行修約的規(guī)則是什么？2.下列數(shù)據(jù)包括幾位有效數(shù)字？①1.3260②0.0256③10.080④pH＝12.47⑤1.05×10-3⑥0.4008⑦0.4090⑧0.003%⑨3.0×10-5⑩60.32%(四)有效數(shù)字及運算在分析化學中的應用。31

3.將下列數(shù)據(jù)修約成4位有效數(shù)字。①32.645②40.435③1.0884④2.4352⑤3.84560⑥10.8445⑦4.66451⑧35.675%⑨0.00220351⑩65.405%4.據(jù)有效數(shù)字的運算規(guī)則計算下列各題。①23.16＋5.4＋32.44＋1.451②7.5636＋0.1998－5.023.將下列數(shù)據(jù)修約成4位有效數(shù)字。32③④⑤⑥③33第四節(jié)誤差和有效數(shù)字第四節(jié)誤差和有效數(shù)字34概述定量分析的任務是要準確地解決“量”的問題，但是定量分析中的誤差是客觀存在的，因此，必須尋找產(chǎn)生誤差的原因并設法減免，從而提高分析結(jié)果的可靠程度，另外還要對實驗數(shù)據(jù)進行科學的處理，寫出合乎要求的分析報告。概述定量分析的任務是要準確地解決“量”的問題，但是定量分析中35

一.分析結(jié)果的準確度與誤差1.準確度：指測量結(jié)果與真值的接近程度準確度的高低用誤差的大小來衡量；

362.誤差：測定值與真實值之間的差值。理解：a.誤差越小，準確度越高；誤差越小，準確度越高；b.客觀存在，不能消滅。2.誤差：測定值與真實值之間的差值。37(一)準確度與誤差2．誤差（1）絕對誤差：測量值與真實值之差（2）相對誤差：絕對誤差占真實值的百分比注：1）測高含量組分，RE可??；測低含量組分，RE可大2）儀器分析法——測低含量組分，RE大化學分析法——測高含量組分，RE小注：μ未知，δ已知，可用χ代替μ(一)準確度與誤差2．誤差注：1）測高含量組分，RE可??；測38絕對誤差與相對誤差均有正負之分，正值表示分析結(jié)果偏高；負值表示分析結(jié)果偏低。絕對誤差與相對誤差均有正負之分，正值表示分析結(jié)果偏高；負值表39（二）精密度與偏差1．精密度：平行測量的各測量值間的相互接近程度2．偏差：（1）絕對偏差：單次測量值與平均值之差（2）相對偏差：絕對偏差占平均值的百分比（二）精密度與偏差1．精密度：平行測量的各測量值間的相互接近40（三）準確度與精密度的關(guān)系1.準確度高，要求精密度一定高但精密度好，準確度不一定高2.準確度反映了測量結(jié)果的正確性精密度反映了測量結(jié)果的重現(xiàn)性（三）準確度與精密度的關(guān)系1.準確度高，要求精密度一定高41準確度與精密度的關(guān)系精密度是保證準確度的前提條件。只有在消除了系統(tǒng)誤差的情況下，才可用精密度表示準確度。準確度與精密度的關(guān)系42四、提高分析準確度的方法1.選擇恰當?shù)姆治龇椒?.減小測量誤差稱量誤差：稱樣量＞0.2g，才能使稱量相對誤差＜0.1%滴定管讀數(shù)誤差：消耗滴定劑體積＞20ml，才能使滴定相對誤差＜0.1%3.增加平行測定次數(shù)4.消除測量中的系統(tǒng)校準儀器、對照試驗、加樣回收試驗、空白試驗四、提高分析準確度的方法43二、誤差的種類、性質(zhì)、產(chǎn)生的原因及減免1.系統(tǒng)誤差

(1)特點

a.對分析結(jié)果的影響比較恒定；b.在同一條件下，重復測定，重復出現(xiàn)；c.影響準確度，不影響精密度；d.可以消除。

產(chǎn)生的原因?

二、誤差的種類、性質(zhì)、產(chǎn)生的原因及減免1.系統(tǒng)誤差44(2)產(chǎn)生的原因a.方法誤差——選擇的方法不夠完善例：重量分析中沉淀的溶解損失；滴定分析中指示劑選擇不當。b.儀器誤差——儀器本身的缺陷例：天平兩臂不等，砝碼未校正；滴定管，容量瓶未校正。c.試劑誤差——所用試劑有雜質(zhì)例：去離子水不合格；試劑純度不夠（含待測組份或干擾離子）。d.主觀誤差——操作人員主觀因素造成例：對指示劑顏色辨別偏深或偏淺；

滴定管讀數(shù)不準。(2)產(chǎn)生的原因a.方法誤差——選擇的方法不夠完善452.偶然誤差

(

1)特點

a.不恒定b.難以校正c.服從正態(tài)分布(統(tǒng)計規(guī)律)

(

2)產(chǎn)生的原因a.偶然因素b.滴定管讀數(shù)3.過失誤差2.偶然誤差(1)特點46三、誤差的減免

1.系統(tǒng)誤差的減免

(1)方法誤差——采用標準方法,對比實驗(2)儀器誤差——校正儀器(3)試劑誤差——作空白實驗2.偶然誤差的減免

——增加平行測定的次數(shù)三、誤差的減免1.系統(tǒng)誤差的減免47有效數(shù)字及其運算規(guī)則一、有效數(shù)字二、有效數(shù)字的修約規(guī)則三、有效數(shù)字的運算法則

有效數(shù)字及其運算規(guī)則一、有效數(shù)字48一、有效數(shù)字引、實驗過程中常遇到的兩類數(shù)字（1）數(shù)目：如測定次數(shù)；倍數(shù)；系數(shù)；分數(shù)（2）測量值或計算值。數(shù)據(jù)的位數(shù)與測定準確度有關(guān)。記錄的數(shù)字不僅表示數(shù)量的大小，而且要正確地反映測量的精確程度。結(jié)果絕對偏差相對偏差有效數(shù)字位數(shù)0.51800±0.00001±0.002%50.5180±0.0001±0.02%40.518±0.001±0.2%3一、有效數(shù)字引、實驗過程中常遇到的兩類數(shù)字49第一節(jié)有效數(shù)字及運算規(guī)則

一、有效數(shù)字的意義和位數(shù)1.有效數(shù)字的意義

有效數(shù)字：分析工作中實際能夠測量到的數(shù)字。

★一個數(shù)據(jù)的位數(shù)不僅表示數(shù)量的大小，而且反映了

測量的準確度。

2.有效數(shù)字的位數(shù)在有效數(shù)字中只有最末一位數(shù)字是欠準確的，可能有±1的偏差。第一節(jié)有效數(shù)字及運算規(guī)則50一、有效數(shù)字：實際可以測得的數(shù)字1.有效數(shù)字位數(shù)包括所有準確數(shù)字和一位欠準數(shù)字例：滴定讀數(shù)20.30mL，最多可以讀準三位第四位欠準（估計讀數(shù)）±1%2.在0~9中，只有0既是有效數(shù)字，又是無效數(shù)字例：0.06050四位有效數(shù)字定位有效位數(shù)例：3600→3.6×103兩位→3.60×103三位3．單位變換不影響有效數(shù)字位數(shù)例：10.00[mL]→0.001000[L]均為四位一、有效數(shù)字：實際可以測得的數(shù)字1.有效數(shù)字位數(shù)包括所有準512．-1數(shù)據(jù)中零的作用數(shù)字零在數(shù)據(jù)中具有雙重作用：（1）作普通數(shù)字用，如0.51804位有效數(shù)字5.18010－1（2）作定位用：如0.05183位有效數(shù)字5.1810－22．-1數(shù)據(jù)中零的作用數(shù)字零在數(shù)據(jù)中具有雙重作用：52續(xù)前4．pH，pM，pK，lgC，lgK等對數(shù)值，其有效數(shù)字的位數(shù)取決于小數(shù)部分（尾數(shù)）數(shù)字的位數(shù)，整數(shù)部分只代表該數(shù)的方次

例：pH=11.20→[H+]=6.3×10-12[mol/L]兩位5．結(jié)果首位為8和9時，有效數(shù)字可以多計一位例：90.0%，可示為四位有效數(shù)字例：99.87%→99.9%進位續(xù)前4．pH，pM，pK，lgC，lgK等對數(shù)值，其有效數(shù)字53

3.記錄及使用有效數(shù)字的注意事項

特別強調(diào)：(1)“0”在數(shù)字中的意義①數(shù)字前的“0”只起定位作用，本身不是有效數(shù)字。②數(shù)字之間的“0”和小數(shù)末尾的“0”都是有效數(shù)字。(2)pH、pM、lgK等對數(shù)數(shù)值：小數(shù)部分才是有效數(shù)字。(3)以“0”結(jié)尾的整數(shù)或很小的數(shù)字：用10的冪指數(shù)表示(4)自然數(shù)(常數(shù)、倍數(shù)、分數(shù)等)：無窮多位有效數(shù)字

3.記錄及使用有效數(shù)字的注意事項543．改變單位，不改變有效數(shù)字的位數(shù)如：24.01mL24.0110－3

L4．注意點（1）容量器皿；滴定管；移液管；容量瓶；4位有效數(shù)字（2）分析天平（萬分之一）取4位有效數(shù)字（3）標準溶液的濃度，用4位有效數(shù)字表示:0.1000mol/L（4）pH4.34,小數(shù)點后的數(shù)字位數(shù)為有效數(shù)字位數(shù)對數(shù)值，lgX=2.38；lg(2.4102)3．改變單位，不改變有效數(shù)字的位數(shù)如：24.01mL552.乘除運算時有效數(shù)字的位數(shù)取決于相對誤差最大的數(shù)據(jù)的位數(shù)。

例：(0.03255.10360.0)/139.8=0.0711791840.0325±0.0001/0.0325100%=±0.3%5.103±0.001/5.103100%=±0.02%60.06±0.01/60.06100%=±0.02%139.8±0.1/139.8100%=±0.07%2.乘除運算時有效數(shù)字的位數(shù)取決于相對誤差最大56二、有效數(shù)字的修約規(guī)則1．四舍六入五留雙2．只能對數(shù)字進行一次性修約3．當對標準偏差修約時，修約后會使標準偏差結(jié)果變差，從而提高可信度例：s=0.134→修約至0.14，可信度↑例：0.37456，0.3745均修約至三位有效數(shù)字例：6.549，2.451一次修約至兩位有效數(shù)字0.3740.375

6.5

2.5二、有效數(shù)字的修約規(guī)則1．四舍六入五留雙2．只能對數(shù)字進行一57三、有效數(shù)字的運算法則1．加減法：以小數(shù)點后位數(shù)最少的數(shù)為準（即以絕對誤差最大的數(shù)為準）2．乘除法：以有效數(shù)字位數(shù)最少的數(shù)為準（即以相對誤差最大的數(shù)為準）例：

50.1+1.45+0.5812=？δ±0.1±0.01±0.000152.1

例：0.0121×25.64×1.05782=？δ±0.0001±0.01±0.00001RE±0.8%±0.4%±0.009%0.328保留三位有效數(shù)字保留三位有效數(shù)字三、有效數(shù)字的運算法則1．加減法：以小數(shù)點后位數(shù)最少的數(shù)為準58二、運算規(guī)則1.加減運算

結(jié)果的位數(shù)取決于絕對誤差最大的數(shù)據(jù)的位數(shù)

例：0.0121絕對誤差：0.000125.640.011.0570.00126.7091二、運算規(guī)則1.加減運算26.7091592.乘除運算時有效數(shù)字的位數(shù)取決于相對誤差最大的數(shù)據(jù)的位數(shù)。

例：(0.03255.10360.0)/139.8=0.0711791840.0325±0.0001/0.0325100%=±0.3%5.103±0.001/5.10310