數(shù)學(xué)-高數(shù)強(qiáng)化講義第七章全

考研高等數(shù)主講第七章多元函數(shù)積分 二重積（甲）內(nèi)容要（40Dx,y|axb,1xy2其中1x，2x在a,b上連續(xù)，fx,yD上連續(xù)，fx,ydfx,ydxdybdx2xfx, 1x Dx,y|cyd,1yx2其中1y，2y在cd上連續(xù)fx,yD上連 2yfxydfxydxdyc

fx, 1yIIDIDIID的DIII中先把給定的累次積分反過來化為二重積分，求出它的積分區(qū)域D，然后根據(jù)D再把二重積（41進(jìn)行積分，由于區(qū)域D的不同類型，也有幾種常用的模型。模型I D,|,12其中1，2在上連續(xù)fxyfcos,sinD上連續(xù)。fx,ydfcos,sinddd2fcos,sin 模型 D

其中在上連續(xù)fxyfcos,sinD則fx,ydfcos,sindddfcos,sin （乙）典型例1ey2dxdyDyxy1yDey2dxdy1dx1ey2 D那么先對ey2ey2dxdy1dyyey2 Dxey2原式1yey2dy1ey21112e02eyx2yx2x

yx1 yx1

xydy

1x21xx2 x2

y1y1y)d(y)=21

y

3y2

dx21y

x2y232

y2 2

3

yx2=31

dx3

2dx 3ID

x2y

x2y2D:x12y2D

D大圓D小x2y2yd

x2y2d0（對稱性 2d2r2dr16 2

x2y2d02d r2drD小圓D小

D

x2y2yd1639ydDx2y2d2

x2y2原式2D

x2y2dD

x2y2d上

上 =22d

r2dydr

22=24416163339 339

fx,ydy的積分順D

fx,2axx其中D由y 和y 以及2axxD yy

y解出x2ax2axxa2y解出xaa2ya2ya2原式=0dy2

fx,ydx0dy

fx,ydx

dya

fx,a2ya2．設(shè)fa2yaaxxIadxx f dyfaxx ay ayay ay2x 2 xayaysintdxaycostdt ayIafydy2 dt

afydyfaf 2

a2

3Iex20解I2ex2dxey2dyex2y2 2er 2er

rdrrdr2

0 I2例1．求兩個底半徑為R的正交圓柱面所圍的體解：設(shè)兩正交圓柱面的方程為x2y2R2和x2z2R2，它們所圍在第一卦V1D

R2x2R2xR2R 其中R2xR2R R因此V1R

dy

R

x2dx

2300V

V16R 例2．求球面2和圓柱面x2y22Rx(R0)所圍（包含原點一部分）

D

4R2x2y22Rxx4R2r其中D2Rxx4R2rV

4R2r2rdrd42d

2RD32R3

221

R3 3 3 三重積分（數(shù)學(xué)一（甲）內(nèi)容要設(shè) x,y,zz(x,y)zz(x,

(x,y)Dxyz1(xyz2x,yD上連續(xù)函數(shù)f(x,yz在

f(x,y,z)dvdxdyz2(x,y)f(x,y, z1(x,設(shè)(xyz)zxyDzz

f(x,y,z)dvdzD(z

f(x,y,f(x,y,z)dxdydzf(rcos,rsin,z)rdrd 相當(dāng)于把(x,y化為極坐標(biāo)(r,zxsin ysinsin

0z 02 f(x,y,z)dxdydzf(sincos,sinsin,cos)2sin （乙）典型例1xy2z3dxdydz，其中zxyyxx1z0域解：xy2z3dxdydz1dxxdyxyxy2z3 dx

1x5y6dy11x12x

0y z2

0

x2 y z2a2

dxdydz，其中由曲 c a c

1 xasincosybsinsinzccos（廣義球坐標(biāo)x2 y z222

c

x2y2z2dxdydz，其中x2y2z2z解：用球坐標(biāo)（2coscosx2y2z224

2cos4sind 4．計算x2y2dxdydz，其中x2y22zz20x2y2dxdydz0 r 2

r62

3x

yb2

zc

zc圍成物體的重心（解：設(shè)重心坐標(biāo)x,y,z物體所占空間區(qū)域為x0yz 由錐體體積公式可知dxdydz xarcosybrsinz而zdxdydzabc22d1rdr1 2abc 21r(1r2abc

dr

x0y0z42RP0是球表面上的一個定點，球體上任一點的密度與該P0的距離平方成正比（k0，求球體重心的位置0x2y2z2R2，P為R,0,0，球體的重心坐標(biāo)為xy0y0zxkxR2y2z2x

y

z22Rxdv于是xR2y2z2dvx2y2z2dvR2 2ddR4sindR24

32

xxR2y2z2dv2R 2Rx2y2z2dv8R6 xR，重心坐標(biāo)為R 0 2R2，P0,0,0，重心坐標(biāo)x,y,0x0yzkx2y2z2z

2

yz2 2

2Rcos

z

y z2

420

0d8

5

R62cos7sind

3

2 2

2Rcos

32x2 y

z2

420

0d

4 于是z5R，重心坐標(biāo) 0,0,4R 曲線積分（數(shù)學(xué)一（甲）內(nèi)容要（對弧長的曲線積分）Lxxtyytzztt則

fx,y,zdsfxt,yt,zt

（假設(shè)fx,y,zxt，ytzt皆連續(xù)）這樣把曲線積分化為定積分來進(jìn)行算（對坐標(biāo)的曲線積分）LxxtyytzztA對應(yīng)參數(shù)為B（的大小不一定Pxyz，Qxyz，Rx,yzxtytzt也都連續(xù)，則LPx,y,zdxQx,y,zdyRx,y,LPxyzQxyRxyzLPx,y,zdxQx,y,zdyRx,y,Px,y,zcosQx,y,zcosRx,y,zcos其中coscoscosAB上點xyzAB方向的切線四、公1（ DLPx,yQx, D

P dxdy PdxPx,yQx,y在單連通區(qū)域D內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則下面幾個條件彼此等LABDLPxydxQxydxD內(nèi)任意逐段光滑閉曲線CCpxydxQxydyPxydxQxydyduxyD

（乙）典型例IL(zx)dx(xz)dy(xx2y2L是曲線xyz2ZLLx2y21xyz2的交線，是一個橢圓周，它的參數(shù)方程（不是唯一的選法）xcosysin，z2xy2cossinL的定向，則從2變到0I02cossin22cossincoscossinsincos02sincos2cos2L1Iexsinybxydxexcosyaxdy，其中a，b為正的常數(shù)L2axx為從點2a,0沿曲線y 2axx 于是ILLPdxQdyLPdxQdyI1I2 令exsinybxyexcosyaxQ，根 公I(xiàn)1LLPdxQdy

D y L1y0dy0，故1I21

PdxQdy

2abxdx2a2bIII2a2ba32 2 x x I3中，由又看出

exsiny，故積分與路徑無cos 因此Iexsiny I4Lxaacostyasintt0到于是I

a2bsinta2bsintcosta2bsin2ta3costa3cos2t0a32a222II

2a2b2 2

xdy4x4xL

，其中L是以1,0為圓心R1為半徑的圓周P

4x2y

，Q

4x2y當(dāng)x,y0,0時

P因此，不能在L的區(qū)域用公設(shè)法用曲線C在L的又包含原點在C的，這樣在C與L圍成的二連通區(qū)域內(nèi)x今取曲線C：

Rysin從20令C與L圍成區(qū)域為D（二連通區(qū)域） 0D

dxdy PdxQdy 用C的參數(shù)公式代入后，得1I2 d ［CCxcos，ysinI

24cos2sin2d例3．設(shè)函數(shù)y具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在圍繞原點的任意分段光滑簡單閉曲線L上，曲(y)dx

2x2y

x0內(nèi)的任意分段光滑簡單閉曲線Cydx 2x2y

0求函數(shù)y的表達(dá)式設(shè)Cx0內(nèi)的任一分段光滑簡單閉曲線，在CMN，作圍繞原點的閉曲線，同時得到另一圍繞原點的閉曲線。 (y)dx2 2x

(y)dx2xydy 2x 解：設(shè)Py ，Q ，P,Q在單連通區(qū)域x0內(nèi)具有一階連2x2y 2x2y由（I）知，曲線積分QP

dx2x2y

x0 Q2y2x2y44x2xy4x2y2 2x2y4 2x2y4Py2x2y4

2x2yyy4 2x2y4 2x2y4③y2③yy44yy32y

yy2c，將y代入

2y54cy32y5所以c0，從而yy2

Fyzizxj

2xy2a

zc

1上第一卦M,,問

,,F作功WWmax解：設(shè)線段OMxtytzt0t1F在OMW

OMF OMF

yzdxzxdy1OM01OM

t2dt用日乘子法求條件極值。構(gòu)造函2aG,,,12a

2c2G2

aG2

bG2

c G1 a c2

123得321

由（1）得

2 2

，則

3a同理得

a3b，33

3c33Wmax

abc3

9故原點到

33

33

3c作功最大，最大功3

39 曲面積分（數(shù)學(xué)一（甲）內(nèi)容要SzzxyxyzxyDfxyzSfx,y,zds

fx,y,zx, 11xyzz P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,SSzzxyxyZxyDxyRxyzSRx,y,zdxdyRx,y,zx, SZ軸正向成銳角取正號，成鈍角取負(fù)號，這樣把這部分xy平面上的二重積分，其它兩部分類似地處理。

cos

cos 其中coscos

S在點x,y,zFP,QR

cos,cos,cos 四、公定 設(shè)是由分塊光滑曲面S圍成的單連通有界閉區(qū)域Pxyz,QxyzRxyz在 Rx

zdv

S(外側(cè)PcosQcosRcosS其中coscos

S在點xyz五、公PQR定理：設(shè)L是逐段光滑有向閉曲線，S是以L為邊界的分塊光滑有向曲面，L的正向與S的（取法向量的指向符合右手法則函數(shù)Px,y,z,Q x,y,z在包含S的PQRPdxQdyRdzLS

Q

R

PyzdydzzxdzdxxyS cosPQRLPdxQdyRdz S

uu梯 設(shè)uux,y,z，則gradu

稱為的梯度，令xyz graduF散 設(shè)Px,y,z,Qx,y,z,Rx,y,F則divFPQR FdivFdvFn0 其中n0coscoscos3F設(shè)Px,yz,Qx,yzRx,yFiikj rotFF Q

Pyzizxj

y F公式可寫成FrotFn00LS0其中dxdydz0

cos,cos,cos（乙）典型例

x2y2

z2

1Pxy

S

SP xyz為原點到S

x,y,

xyz，設(shè)X,YZ為上任一點，則

即xXyYzZ1 000x000x y2 2 z124x2yx2 y2Sz

1

2z z 4x2y21 xy2 2S

x,y,

dS14x2y24Dx2y24

原式12d24r2rdr34 axdydzza2x2y2x2y2zS

（a0常數(shù)a2x2y2其中S:za2x2y2x2y2a令曲面S1:z 下S1S設(shè)其區(qū)域為，令D為xy平面上圓域x2y2I

1axdydzz

1

a a 113a2zdv 12a42zdva4aaaa

a 1a42

a2r zdza2ra

2I

x1dydzy1dzdxz

S x12y12z12S面2的外 Rdxdy通過計算可知PQR 當(dāng)S 公式可知I當(dāng)S 1Sx12y12z12a21選a充分大，使S在S1 ，于是S和S1是二連通區(qū)域的邊界曲面，現(xiàn) Rx

zdv 根據(jù)公式（二連通區(qū)域 外側(cè)內(nèi)側(cè)I

S外側(cè) 內(nèi)側(cè) 11S（外側(cè)）上x12y12z12a21IS1S1外側(cè)

x1dydzy1dzdxz1令是以S（外側(cè)）為邊界的空間區(qū)域x12y12z12a2再 1式I

3dv3a3a

4a343x0Sxfxdydzxyfxdzdxe2xzdxdyS其中fx在0,內(nèi)有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且

fx1，求f設(shè)為由曲面S包圍的空間區(qū)域，由題設(shè)和公式xfxfxxfxe2xdvSx0xfxfxxfxe2xfx11fx1e2xxxx xx exxfx

e2x1x

得c10c則exxf x 例1．設(shè)F2yi3xjzIrotFn0S

S

x2y2z292 公式IFdr2ydx3xdy

dzLSx2y2z

（逆時針方向Lx3cosy3sinz0，由0到00I229sin2d329cos2d182700例2．計算I y2z2dx2z2x2dy3x2y2dz，其中L是平Lxyz2x