初等幾何研究作業(yè)參考答案

初等幾何研究初等幾何研究第第7頁共7頁《初等幾何研究》作業(yè)參考答案一．填空題①射線（或半直線，②AB。①兩，②度量公理（或阿基米德公理）和康托兒公理。①前4組公理（或絕對幾何，②平行公理。BX CY AZ5． 1YA ZB①交軌法，②三角奠基法，③代數(shù)法，④變換法。①演繹，②綜合，③直接，④反證，⑤同一；BX CY AZ

1.（答－1）XC YA ZB①過兩點可作一條直線（或其部分13．①不共線的三點A、C(AB)、(BC(CA)構(gòu)成的點的集合。16．①BX CY AZ 1XC YA ZB （或－1）.合同變換、相似變換、射影變換、反演變換等對任意直線aA，在a和AAa相等。二．問答題1．對于公理系統(tǒng)∑，若有一組具體事物M，其性質(zhì)是已知的，在規(guī)定∑中每一個基本概念指M中某一具體事物后，可驗證∑中每個公理在M中都成立，則稱M為公理系統(tǒng)∑的一個模型；2．①若ABABd(AB)=d(AB)；②當ABC時，有d(AB)+d(BC)=d(AC).通常用“在??上”、“屬于”、“通過”等語句來表述。線段“合同”的概念是由公理引出來的，線段“長度”的概念是以定義的形式引出來的。x”。設(shè)任何三角形的內(nèi)角和都相等是不對的。刻劃了直線的無限延伸性及三角形的封閉性；5三．軌跡問題B是lABCBC證：O的軌跡是MN. lM①完備性：O是⊿ABC的外心，則OA=OB=OC. A又∵MNBCMNP②純粹性：在MN上任取一點O,作OP⊥l, O在l上取點A,使PA=PB,則OP是AB的中垂. B COP與MN的交點O是⊿ABC的外心， Q即MN上的任意點都符合條. N③結(jié)論：由①②可知，⊿ABC的外心O的軌跡是BC的中垂線MN.A與B⊿ABCBl的垂線交MNQ,雖然Q條件，但QMNQMC B①探求：設(shè)點MMC B則M關(guān)于AB的對稱點M’也滿足條件； A D∵軌跡是一個圓，∴圓心一定在直線AB上.又∵AB上還有兩點C,D滿足條件,即CA:CB=DA:DB=m,∴軌跡應(yīng)是以CD為直徑的圓.②完備性：即由MA:MB=mMCD∵MA:MB=m=CA:CB=DA:DB,∴MC,MD分別為⊿ABM的內(nèi)角和外角平分線,∴MC⊥MD.③純粹性：即對CD為直徑的圓上任一點M證明MA:MB=m.MBMCABA’.∵MC⊥MD,∴MC,MD是∠A’MB的內(nèi)、外角平分線，CA因此

DA

DACA CD ，CB DB DBCB DBCB由CA:CB=DA:DB=m可知CA DA

DACA

CD，即CA’=CA.CB DB DBCB DBCBA’與AC，∴A’與AMA:MB=m.④下結(jié)論：滿足命題條件的點的軌跡,是以CD為直徑的圓周.⑤討論:m=1，軌跡是AB的中垂線；m<1,圓在左側(cè)；m>1,圓在右側(cè).BC∵∠1=∠2=α/2是定值， T∴D的軌跡也是以BC4為弦的弓形弧.3D但要注意到A的變化范圍：A 1當A→B時，BA的 α極限位置是B處的切線2這時D→T,AB→0, B C則BT=B(A)C,∴∠4=∠BCT=∠3,又∠4=∠1，∴∠3=∠1=α/2因此：D的軌跡是以BC為弦,視角為α/2的弓形弧的一半CDT弧,或者說是以CT為弦,視角為α的弓形弧.四.作圖問題BAPQlA作法：作Al的對稱點BAPQlAP作右圖證明：∵AA’對稱，’∴AP=A’P，即AP+PB=A’B.在l上任取一點Q，連接AQ，BQ，通過比較可得：AQ+QB=A’Q+QB>A’B=AP+PB.MOPAB作法：作PO的中點M(1/2)RMOPABPAB,則PB為所求割線.討論：當MO>(3/2)R時，即PO>3R時，此題無解；當PO=3R時，有一解，即割線過圓心；當R<PO<3R時，有兩解.(PO≤R不符合條件)作法：作AA’垂直于x,XPXPYBP’xy且使AA’=xy的距離，連接A’B，與y交于P’，P’作y的垂線，交x連結(jié)AP，則折線APP’B為最短路線.證明:若任意作XY垂直于x,如圖所示，連接AX，BY，則AX=A’Y，∵AP+P’B=A’B≤A’Y+YB=AX+YB，∴折線APP’B≤折線AXYB.作法：在ABG’，作正方形D’E’F’G’. ABF’交ACF，F(xiàn)BC分別交BCAC、G，GBCD.則四邊形DEFG即為所求．作法：作AB的中垂線與l交于S，作⊙O’與l相切，且O’AS⊙O’于A’,作AO∥A’O’交中垂線于O,作⊙O(AO)即得.

G FG F’B D DE E C’ABBOA’O’S l五．證明題反身性：已知線段AB,存在線段AB使ABAB（Ⅲ，把ABAB使用兩次作為條件，1ABAB.2ABABABAB，ABAB.2將⊿ABFABABG.∵BF∥AC，∴∠ABG=135o. D O即OB、G三點共. F又∵AG=AF=AC， A B∴AO:AG=AO:AC=1:2，G即∠AGO=30o,從而得∠FAB=∠BAG=60o－45o=15o=(1/2)∠CAF.證明：由Ⅰ3-2知，直線AC外有一點由Ⅱ2知，直線AD上有一點E使A?E，同理，直線CE上有一點F使C?F，由Ⅱ3知，～，對于⊿ACE和直線DFDFAECE故必與AC（于B）.

FEEDA B CEIJFCHEIJFCHFIAA,0o)CBA， GA BCBAB,0o)GBJ，與GJ因此：AF∥GJ，且AF=GJ,即得到平行四邊形AGJF,得證.直線上至少有兩個點，設(shè)為、B；由公理Ⅱ，直線上存在點C，使B、CC在ADD不同于B直線上存在點E，使A在、C則E不同于B點，且E不同于D點，否則均與Ⅱ3矛盾，得證．a(chǎn)bb E

a c， ABC到D,令∠C=θ，CE,使∠ACE=θ，

4θ θB2θ θ C θ DB則∠CAE=∠CEA=3θ,CE=AC=b=CD=BE，∴∠CDE=∠CED=θ，即AC∥ED,因此BD:BC=BE:BA，得證.用同一法證明：在正方形內(nèi)取一點P’與CDAP’、BP’，則⊿ACP’與⊿BDP’為等腰三角形.∵∠1=∠2=30o，∴∠3=∠4=75o，即∠ABP’=∠BAP’，即P’點就是P點，得證.8．作E關(guān)于OM的對稱點E’,要