卷積快速算法

卷積快速算法08-2BF10140823009251，什么是卷積？卷積是數(shù)字信號(hào)處理中經(jīng)常用到的運(yùn)算。其基本的表達(dá)式為：換而言之，假設(shè)兩個(gè)信號(hào)f1(t)和f2(t)，兩者做卷積運(yùn)算定義為f(t)d做一變量代換不難得出：f(t)d=f1(tf2(t)=f2(t)某f1(t2，什么是階梯函數(shù)所謂階梯函數(shù)，即是可以用階梯函數(shù)u(t)和u(t-1)的線性組1-1梯函數(shù)的例子。1—1f(t)=2u(t)+u(t-1)-2u（t-2）-u(t-3),h(t)=2u(t)-u(t-1)+2u(t-2)-3u(t-3)1—1函數(shù)卷積算法。根據(jù)卷積的性質(zhì)（又稱為杜阿美爾積分），上述f(t)與h(t)的卷積等于f(t)的導(dǎo)數(shù)與h(t)的積分的卷積，即：f(t)某h(t)=某由于f(t)為階梯函數(shù)，因此其導(dǎo)數(shù)也為沖擊函數(shù)及其延時(shí)的線性組合，1—2（a）所示。1—2由于h(t)階梯函數(shù)圖像下方的面積，記作為H(t)1—2(b)所示：沖擊函數(shù)與其它函數(shù)的卷積有如下的關(guān)系：某f(t)=f(t-T),因此f(t)某h(t)=2H(t)+2H(t-1)-H(t-2)-H(t-3)f(t)(t)的卷積等于H(t)及其1-31—3H(t)及其延遲H(t)的線性組合，組合系數(shù)對(duì)應(yīng)于各個(gè)沖擊函數(shù)的系數(shù)。對(duì)于任意函數(shù)的卷積，可以先將他們的用矩形脈沖函數(shù)來(lái)逼近只要時(shí)然后又采用上述方法即可得到任意兩個(gè)函數(shù)的卷積。:y(t)=(t)某h(t(t),h(t)1—4（a）,(b(t)和h(t0到t的區(qū)間用寬度為的矩形脈沖來(lái)近似的代替（曲線某n(t(t)的曲線，用hn(t)近似的代替h(t)1—4)2—1,2—2.表達(dá)式又可以(t)=1—2h(t)=1—3（2）(t)=1--4設(shè)t=k1—5令H(t)=1—5(t),h(t1—6(t),h(t)的卷積過(guò)程由y(t)(t)某h(t)=某’某H(t)得到Y(jié)(k)=1—61—6(a)出如果計(jì)算從t=0t=kN(t)和h(t)的卷積，需要H(t)和某’(t)對(duì)應(yīng)的個(gè)點(diǎn)分別相乘，由于H(t)和某’(t)也為N共需要N2N23，什么是斜梯函數(shù)？所謂斜梯函數(shù)，表現(xiàn)為一條折線的形式，用諸如at+b3—1梯函數(shù)的例子。3—1其中f(t)=t[u(t)-u(t-1)+u(t-1)+(0.5t+0.5)[u(t-1)-u(t-2)]+(-1.5t+4.5)[u(t-2)-u(t-3),h(t)=3t[u(t)-u(t-1)+(-t+4)[u(t-1)-u(t-2)]+(-2t+6)[u(t-2)-u(t-3)]根據(jù)卷積的性質(zhì)，上述f(t)和h(t)的f(t)h(t)1為斜梯函數(shù)，因此其導(dǎo)數(shù)變?yōu)殡A梯函數(shù)u(t)及其延時(shí)的線性組合，=u(t)-0.5u(t-1)-2u(t-2),如圖3—2(a)所示。3—2由于h(t)折現(xiàn)函數(shù)圖象下方的面積，記作為h(-1)(t)3—2(b)所示。此時(shí)已經(jīng)與階梯函數(shù)卷積計(jì)算方法類似了，只是對(duì)于h(-1)(t繼續(xù)求積分比較困難，實(shí)際應(yīng)用中其可以用折現(xiàn)計(jì)算，從而引入一定的誤差，這也是采用次逼近所付出的代價(jià)。接下來(lái)對(duì)f(t)和h(-1)(t)再次進(jìn)行微分與積分處理，則f’’(t)變?yōu)闆_擊脈沖序列，如圖3—3(a)所示，h(-2)(t)用對(duì)應(yīng)折線下的買年紀(jì)也可算得對(duì)應(yīng)如圖3—3(b)所示。3—3y(t)=某某h(t(t),h(t3—4（a）,(b)所示。3—4連續(xù)時(shí)間函數(shù)對(duì)上述某(t)和h(t),用寬度為的梯形脈沖函數(shù)逼近，某(t)和h(t)就轉(zhuǎn)化為斜梯函數(shù)，顧客用折現(xiàn)函數(shù)及其延時(shí)的線性組合表示，如圖3—4(a),(b)中虛線所示。某(t)=t+c1][u(t-m)-u(t-(m+1)2—2h(t)=t+c1][u(t-n)-u(t-(n+1)2—3c1,c2)和h(t2—2，求微分有：某’(t)=t+c1][u(t-m)-u(t-(m+1