國培初中講稿

PAGE17在信息技術(shù)支持下的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施王鵬遠(yuǎn)2013年10月北大國培項(xiàng)目講稿一個亟待解決的問題—從《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（２０１１年版）》談起你可以在地鐵、公交車和大街上隨處可見人們手里擺弄手機(jī)或平板電腦，人們可以利用它們通話、發(fā)短信、玩游戲、上網(wǎng)看新聞，等等?？梢?，當(dāng)前信息技術(shù)已經(jīng)深入到我們的日常生活中了。今年斯諾登爆出的棱鏡項(xiàng)目震動了世界，人們突然意識到信息技術(shù)還直接影響到公民的隱私和國家的安全。信息技術(shù)如此重要，在信息技術(shù)飛速發(fā)展的今天，無視信息技術(shù)的影響，必然落后于時代前進(jìn)的腳步！但你可曾想到信息技術(shù)對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)教育的深刻影響了嗎？信息技術(shù)對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)真的很重要嗎，信息技術(shù)能否讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得更加有趣和高效？看來對于許多人來說，借助計(jì)算機(jī)學(xué)數(shù)學(xué)現(xiàn)在還是一件不可思議的事，盡管我們生活在21世紀(jì)，但還繼續(xù)按照20世紀(jì)的傳統(tǒng)方式學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。最近在網(wǎng)絡(luò)上流傳著一個TED的題為“用計(jì)算機(jī)重塑數(shù)學(xué)教育”的演講視頻，演講者為ConradWolfram。（“TED”由“科技”、“娛樂”以及“設(shè)計(jì)”三個英文單詞首字母組成，是美國的一家私有非盈利機(jī)構(gòu)，該機(jī)構(gòu)以組織的TED大會著稱。大會邀請世界上的思想領(lǐng)袖與實(shí)干家來分享他們最熱衷從事的事業(yè)，展現(xiàn)著涉及幾乎各個領(lǐng)域的各種見解，參加者們稱它為“超級大腦SPA”。因此，TED的演講內(nèi)容是很有參考價(jià)值的。）演講者認(rèn)為，現(xiàn)在的數(shù)學(xué)比人類歷史上以往任何時候都更加重要，但是，目前的數(shù)學(xué)教育基本上沒有人感到滿意。學(xué)生覺得學(xué)習(xí)沒有興趣，困難重重，且所學(xué)的知識與實(shí)際無關(guān)；而那些運(yùn)用數(shù)學(xué)的人們又覺得他們所學(xué)的知識遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠；教師們也為此感到很沮喪。這就是當(dāng)今數(shù)學(xué)教育的現(xiàn)實(shí)?？梢哉f數(shù)學(xué)教育正面臨危機(jī)。一方面，我們的世界比以前更加趨于數(shù)學(xué)化。另一方面，我們逐漸喪失對數(shù)學(xué)教育的興趣。面對數(shù)學(xué)教育的危機(jī)，ConradWolfram認(rèn)為需要進(jìn)行一場以計(jì)算機(jī)作為數(shù)學(xué)教育工具的改革。他認(rèn)為我們正由“知識經(jīng)濟(jì)時代”邁入“計(jì)算機(jī)知識經(jīng)濟(jì)時代”。當(dāng)今現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)離不開計(jì)算機(jī)，事實(shí)上，當(dāng)前各行各業(yè)都可以運(yùn)用數(shù)學(xué)進(jìn)行模擬，數(shù)學(xué)的運(yùn)用非常廣泛。高端的數(shù)學(xué)知識對于每個人運(yùn)用現(xiàn)代知識來說都不可或缺，而計(jì)算機(jī)現(xiàn)在又是如此普及，恰當(dāng)使用計(jì)算機(jī)應(yīng)該是使數(shù)學(xué)教育變得有效的一劑良方。他還認(rèn)為這是一項(xiàng)刻不容緩的改革。首先這樣做的國家一定會鶴立雞群。其實(shí)，我們從2001年啟動的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教育改革注意到了信息技術(shù)的作用。從２００１年啟動基礎(chǔ)教育的數(shù)學(xué)課程改革至今已經(jīng)有12個年頭了。信息技術(shù)用于數(shù)學(xué)課程一直是新一輪課改的一個基本理念，課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）又重申了這一點(diǎn)：信息技術(shù)的發(fā)展對數(shù)學(xué)教育的價(jià)值、目標(biāo)、內(nèi)容以及教學(xué)方式產(chǎn)生了很大的影響。數(shù)學(xué)課程的設(shè)計(jì)與實(shí)施應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況合理地運(yùn)用現(xiàn)代信息技術(shù)，要注意信息技術(shù)與課程內(nèi)容的整合，注重實(shí)效。要充分考慮信息技術(shù)對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容和方式的影響，開發(fā)并向?qū)W生提供豐富的學(xué)習(xí)資源，把現(xiàn)代信息技術(shù)作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決問題的有力工具，有效地改進(jìn)教與學(xué)的方式，使學(xué)生樂意并有可能投入到現(xiàn)實(shí)的、探索性的數(shù)學(xué)活動中去。2011版提出信息技術(shù)的發(fā)展對數(shù)學(xué)教育的價(jià)值、目標(biāo)、內(nèi)容以及教學(xué)方式產(chǎn)生了很大的影響。由于信息技術(shù)的迅猛發(fā)展，信息技術(shù)已不限于計(jì)算器和計(jì)算機(jī)，例如當(dāng)前網(wǎng)絡(luò)和手持技術(shù)對教育的影響也是不可低估的。同時這種影響還包括數(shù)學(xué)教育的價(jià)值、目標(biāo)以及教學(xué)方式，也不僅限于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容和學(xué)習(xí)方式，這是以前沒有提到的。另外，特別值得注意的是突出應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況合理地運(yùn)用現(xiàn)代信息技術(shù)，注重實(shí)效。這是針對當(dāng)前一些地方濫用信息技術(shù)的偏向而說的。運(yùn)用信息技術(shù)不僅要改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，而是有效地改變教與學(xué)的方式。這樣的表述比以前更全面了。從2001年至今，國家為教育信息化投入了大量的資金，對教師進(jìn)行了信息技術(shù)培訓(xùn)，信息技術(shù)與學(xué)科課程整合的提出也已經(jīng)10多年了。但是，除了學(xué)校的硬件設(shè)施有了明顯的改善和教師的教育技術(shù)技能有了明顯的提高之外，對數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)本身的影響并不大。有時技術(shù)甚至在幫倒忙。信息技術(shù)與數(shù)學(xué)學(xué)科整合陷入了尷尬。從目前的教學(xué)實(shí)際看，盡管許多學(xué)校的硬件設(shè)施先進(jìn)，但有兩個方面的問題亟待解決：一是人們對于信息技術(shù)對數(shù)學(xué)教育的影響認(rèn)識不足，但該用技術(shù)時不用，沒有發(fā)揮技術(shù)的積極作用；二是技術(shù)使用不合理，濫用信息技術(shù)，效果反而不如傳統(tǒng)的教學(xué)方式好。這兩個偏向都直接影響數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量，因此在信息技術(shù)的支持下的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)和實(shí)施成為推進(jìn)當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)改革亟待解決且有一定普遍性的課題。PPT—對當(dāng)前課堂教學(xué)中使用信息技術(shù)最多方式的質(zhì)疑信息技術(shù)應(yīng)用要做到合理，有兩點(diǎn)必須注意：一是要明確信息技術(shù)的使用是手段，是為數(shù)學(xué)教學(xué)服務(wù)的，要從數(shù)學(xué)教學(xué)的需求出發(fā)考慮使用信息技術(shù)，例如應(yīng)能更好地解決教學(xué)中的難點(diǎn)，有利于學(xué)生理解和深入的數(shù)學(xué)思考；二是充分了解信息技術(shù)的功能，正確把握它用于特定教學(xué)中的長處與短處，熟悉它在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)環(huán)境中運(yùn)用的特點(diǎn)。當(dāng)前在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，ppt是使用信息技術(shù)最多的方式。這種使用方式是否合理恰當(dāng)值得研究?？聪旅娴睦?，這是初中“線段大小的比較”的一節(jié)使用ppt的實(shí)錄。第1頁第2頁第3頁第4頁第5頁第6頁第7頁第8頁第9頁第10頁第11頁從以上內(nèi)容看，教師為了這節(jié)課制作幻燈片的確花費(fèi)了不少時間，但細(xì)想一下技術(shù)使用得是否恰當(dāng)？究竟發(fā)揮了信息技術(shù)的什么優(yōu)勢？有利于克服教學(xué)難點(diǎn)了嗎？有利于促進(jìn)學(xué)生思考了嗎？教師花費(fèi)在這上面的時間是否值得？從第一頁到第三頁無非是提高了呈現(xiàn)的速度，意義不大。第4頁到第5頁，兩個同學(xué)比身高屬于常識都能說明的問題，沒有必要借助“技術(shù)”加以說明。第6頁比較兩只鉛筆的長，直接拿來兩只鉛筆比比就行了，也沒有必要鏈接動畫課件模擬“度量法”與“疊合法”，這里同樣是小題大做。第7頁比較兩條線段的大小，也沒有必要利用動畫課件模擬幾種不同情況。第8、9頁的兩個例題，還是現(xiàn)場邊講、邊板書的效果好。第10題用動畫體現(xiàn)“兩點(diǎn)之間，線段最短”，不僅沒有必要還容易造成錯覺，認(rèn)為活動室比教學(xué)樓位置要高。第11頁，如果沒有側(cè)面展開說不清楚問題，但如果呈現(xiàn)側(cè)面展開又超出了本節(jié)課的要求。通過以上分析，我們認(rèn)為這樣的ppt課件沒有發(fā)揮現(xiàn)代信息技術(shù)的優(yōu)勢，對改進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)提高教學(xué)質(zhì)量意義不大，反而耗費(fèi)了教師大量的時間和精力，得不償失。然而這類ppt課件使用方式在現(xiàn)在的數(shù)學(xué)教學(xué)中確是大量的。這有理由引起人們的質(zhì)疑：被大力推廣的ppt模式是數(shù)學(xué)教學(xué)最急需的現(xiàn)代信息技術(shù)嗎？當(dāng)前的數(shù)學(xué)教學(xué)最需要什么？能否讓數(shù)學(xué)變得有趣一些？例1、線段大小的比較下面是課件“線段大小的比較”課件的第二頁。對照左面的圖問：“線段ＡＭ與ＢＭ比較，哪條線段更長一些？”學(xué)生一般會認(rèn)為ＡＭ比ＢＭ要長。選擇屏幕上的“顯示對象按鈕”，則呈現(xiàn)出右圖，而從右圖明顯看到這兩條線段相等。學(xué)生看到這個課件會感到很有趣，認(rèn)識到有時眼睛會使人產(chǎn)生錯覺，感到依靠直觀研究圖形性質(zhì)的手段的不足。我們還可以發(fā)問：依靠測量的手段行不行呢？有時可以，但測量的結(jié)果有誤差怎么辦？除了疊合和測量之?dāng)?shù)學(xué)上有什么辦法呢？這就為下面的推理論證做了鋪墊。例2、自行車中的數(shù)學(xué)這是我在一所學(xué)校課外活動講座講演稿的部分自行車作為日常生活中的代步工具，太平常了。這中間有什么數(shù)學(xué)呢？看下面的課件，這里有幾個圓？自行車的運(yùn)動有什么特點(diǎn)？車輪邊緣上有一盞燈，夜晚當(dāng)自行車騎行在馬路上，這盞燈畫出一條什么曲線？為什么自行車的車輪是圓形的？有沒有車輪不是圓形的自行車？為什么日常生活中許多加蓋的盛具，如鍋、杯、壺、缸、桶之類，都是圓口圓蓋的形狀？這除了容易加工制造以外，主要還是應(yīng)用圓是等寬曲線的特性。圓形的蓋子，只要它不變形，從任何方向都不會掉進(jìn)盛具里去的。說到這里，你可能又要問：難道自行車的車輪非是圓形的嗎？請看右面這輛新奇的自行車，它的車輪就不是圓形的。這樣車輪的曲線具有和圓一樣的性質(zhì)：即等寬性質(zhì)。再看萊洛三角形的等寬性質(zhì)。（演示課件）少年數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)一書中有對等寬曲線的敘述，以及怎樣在計(jì)算機(jī)上畫出等寬曲線。鉆頭鉆下去一般的鉆孔是圓形的，那有沒有這樣的鉆頭，鉆下去得到基本上是方孔的鉆呢？（演示課件：等寬曲線與方孔鉆）你看，通過自行車可以引出這么多的數(shù)學(xué)問題！你還可以繼續(xù)提問題。問題是數(shù)學(xué)的心臟，是創(chuàng)新的前提，提不出問題就沒有創(chuàng)新。例3、軸對稱的教學(xué)下面是我前些年在北大附中初中選修課的一個教學(xué)案例片段世上能給人以完美享受,能激發(fā)起人興趣有許多事物,其原因在于它們耐人尋味,值得回味，或有聽頭,或有看頭,或有想頭.而數(shù)學(xué)就屬于這一類。下面這張照片挺美吧,這里有什么想頭呢？數(shù)學(xué)難道還與繪畫攝影有關(guān)系嗎？聰明的同學(xué)很快能從這幅畫面聯(lián)想到幾何學(xué)中的對稱,對稱給我們帶來了美！你可能還見過臺球比賽吧，那么猜猜看下面的臺球擊出后將落入哪個框?在選修課上你可以通過鼠標(biāo)選擇擊球按鈕觀察擊球的動畫過程驗(yàn)證你的猜想。如果要想讓臺球撞擊臺球桌的兩邊后落入中間下面的框,又該怎樣設(shè)計(jì)擊球的方向?設(shè)計(jì)好了再通過計(jì)算機(jī)上的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證你的設(shè)計(jì),這不是很好玩嗎?告訴你,其實(shí)這里也需要用到對稱的知識。再考你一個簡單的數(shù)學(xué)題目吧:已知三角形ABC,能否找到它的內(nèi)接三角形（這個三角形的頂點(diǎn)分別在三角形ABC的三邊上）使它的周長最短？你不妨與你的家長一起討論討論，他們上學(xué)的時候都學(xué)過平面幾何,或許能幫上你的忙。給你一個重要的提示：這里還需要對稱的知識！你看,一個攝影,一個臺球，一個求最小值的實(shí)際問題，看起來彼此之間似乎沒有什么關(guān)系,但背后卻都與數(shù)學(xué)中的對稱有不解之緣!那么什么是對稱？對稱圖形有什么性質(zhì)？如何在計(jì)算機(jī)上做出對稱的動畫效果？……，這就叫做問題有想頭！通過上面我們之間的交流，你是否密切了一些與數(shù)學(xué)的感情呢了？原來數(shù)學(xué)并不總是枯燥,總是一臉嚴(yán)肅，數(shù)學(xué)真是有趣，真是有用！有些人可以不喜歡數(shù)學(xué)，但是任何人的生活都離不開數(shù)學(xué)。例4、多邊形對角線的條數(shù)。不少學(xué)生覺得幾何難學(xué)，其實(shí)如果處理得當(dāng)，幾何是很有趣的?？梢韵葟目此坪唵蔚膯栴}入手：一個多邊形有幾條對角線？讓學(xué)生畫圖觀察，例如從四邊形入手，數(shù)數(shù)對角線有幾條，然后考慮五邊形、六邊形等等，進(jìn)而思考多邊形對角線的條數(shù)與多邊形有什么關(guān)系。有了計(jì)算機(jī)可以演示多邊形邊數(shù)增大的情況，學(xué)生驚訝地看著下面的圖這時對角線條數(shù)太多以至于數(shù)不清楚了，怎么辦？這就需要思考：對角線是怎么生成的？通過多邊形的頂點(diǎn)可以連多少條直線？如果把每一個頂點(diǎn)設(shè)想成一個人，每兩點(diǎn)之間的連線看成他們之間的一次握手，能否通過計(jì)算握手的次數(shù)促成問題的解決？……。這樣學(xué)生自然體驗(yàn)到了推理論證的作用?？戳松厦娴睦?，你可能會問以上例子更多試用在課外興趣小組的，解題教學(xué)也能引起學(xué)生的興趣嗎？能否減輕教師的勞動強(qiáng)度、提高教學(xué)效率，改善教學(xué)效果？讓我們從下面的幾個實(shí)例談起例5在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，AD與BE交于點(diǎn)F，且AF=BC，求∠BAC.例6、已知四邊形ABCD，AB=CD，E、F分別是BC和AD的中點(diǎn)，直線EF與BA和CD分別相交于G、H，試問∠BGE和∠CHE有怎樣的關(guān)系？例7、現(xiàn)場畫正五邊形、正12邊形（圖略）再看兩個例子例8、計(jì)算：，，，…，你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律了嗎？（現(xiàn)場演示）例9、計(jì)算：，，…，你能作出怎從以上兩個例子可以看出當(dāng)下，數(shù)學(xué)教學(xué)最需要的是能快速處理圖形并滿足幾何教學(xué)諸如測量、動畫、圖形標(biāo)注、證明等需求的數(shù)學(xué)教育技術(shù)。這兩個題目都需要通過一系列的計(jì)算，通過歸納作出猜想。借助筆算太慢，計(jì)算器不能完成分?jǐn)?shù)的計(jì)算，利用ppt和幾何畫板同樣不能滿足上述要求，但借助超級畫板可以輕松完成上述一系列計(jì)算。（見上面兩個圖）可見，當(dāng)下數(shù)學(xué)教學(xué)最需要的這類滿足對數(shù)的（包括符號）運(yùn)算和對圖形（包括函數(shù)圖象）快速處理的技術(shù)，即數(shù)學(xué)教育技術(shù)。借助信息技術(shù)不但提供了數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)習(xí)急需的工具，還提供了大量的現(xiàn)成的課件構(gòu)成的課件庫。例如：表現(xiàn)對稱的萬花筒和中心對稱和中心對稱圖形。以上的案例說明，有了智能性的工具，又有了現(xiàn)成的課件庫，可以極大減輕了教師的重復(fù)性勞動，同時為教師改進(jìn)教學(xué)和學(xué)生的學(xué)習(xí)提供了有效的技術(shù)支持。用于“圖形和幾何”的教學(xué)案例關(guān)于推理證明能力的培養(yǎng)關(guān)于推理能力，課標(biāo)2011版有如下的表述：“推理能力的發(fā)展應(yīng)貫徹整個的數(shù)學(xué)活動中。推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式?！睂τ谕评砟芰Φ呐囵B(yǎng)要有一個全盤的規(guī)劃，特別要注意學(xué)生從小學(xué)升入初中階段圖形與幾何的教學(xué)設(shè)計(jì)。在小學(xué)（即第一、二學(xué)段），學(xué)生對于圖形的認(rèn)識基本上是基于感性的，研究方法則依賴于觀察和動手實(shí)驗(yàn)，進(jìn)入初中（第三學(xué)段）對圖形的研究上升到一個新的階段，明顯地增加了抽象和推理，再不能滿足于“看一看”、“量一量”、“折一折”和“拼圖”了。在這個階段有許多事情要做，例如讓學(xué)生認(rèn)識到實(shí)驗(yàn)和直觀的不足以至于認(rèn)可推理論證的必要性，循序漸進(jìn)地進(jìn)行推理論證能力的培養(yǎng)。信息技術(shù)在七年級“圖形與幾何”的入門教學(xué)中是可以發(fā)揮一些作用的。關(guān)于合情推理與演繹推理推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果；演繹推理是從已有的事實(shí)（包括定義、公理、定理等）和確定的規(guī)則（包括運(yùn)算的定義、法則等）出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計(jì)算。在解決問題的過程中，兩種推理功能不同，相輔相成：合情推理用于探索思路，發(fā)展結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論。七年級的教學(xué)中要有意識地關(guān)注演繹推理能力的培養(yǎng)，但在實(shí)際教學(xué)中，一些教師對此關(guān)注的不夠，沒有將兩者結(jié)合起來及時引入演繹推理。例如在三角形內(nèi)角和定理的教學(xué)中，一些課堂還用較多的時間重復(fù)小學(xué)已經(jīng)用過的測量、剪拼的方法去發(fā)現(xiàn)學(xué)生早已了解的三角形內(nèi)角和的事實(shí)；有的教師在講過三角形內(nèi)角和定理之后，還用較多的時間讓學(xué)生通過測量發(fā)現(xiàn)四邊形、五邊形的內(nèi)角和，進(jìn)一步歸納出多邊形內(nèi)角和公式。其實(shí)，歸納出的結(jié)果只能作為猜想。教學(xué)中應(yīng)該適時指出演繹推理的價(jià)值。下面的課件可以說明演繹推理的作用。新修訂的教材更加注重體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想的作用，這里以數(shù)學(xué)推理最為突出。例如八年級三角形以章的前言中有如下的一段話：“在小學(xué)我們通過測量得知三角形的內(nèi)角和等180，但測量常常有誤差，三角形有無數(shù)多個，要說明任意一個三角形都符合這一規(guī)律，就不能只靠測量，而必須通過證明?！痹谌热切我徽碌那把灾袑懙溃骸吧弦徽挛覀兺ㄟ^推理論證得到了三角形內(nèi)角和定理等重要結(jié)論。本章中，推理論證將發(fā)揮更大的作用?！比绾螌?shù)學(xué)推理的思想滲透到教學(xué)中值得我們深入研究，例如如何讓學(xué)生感到推理的必要性，合情推理與演繹推理如何有機(jī)地配合。讓我們以三角形內(nèi)角和定理這個熟知定理的教學(xué)為例對此進(jìn)行說明。為什么需要證明？課本說“在小學(xué)我們通過測量得知三角形的內(nèi)角和等180”，但測量常常有誤差，所以需要證明。其實(shí)，這樣說還不足以讓學(xué)生充分信服證明的必要，也沒有把合情推理與演繹推理的關(guān)系說清楚。實(shí)際上，在小學(xué)我們還通過拼圖的手段探究過三角形內(nèi)角和等于180，拼圖也就是實(shí)驗(yàn)，在小學(xué)學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)觀察已經(jīng)對這一規(guī)律深信不疑?，F(xiàn)在要改變學(xué)生的思維定勢，就需要設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)膯栴}，以理服人。我們進(jìn)行了如下的設(shè)計(jì)“通過度量或剪拼的方法可以幫助我們發(fā)現(xiàn)三角形的內(nèi)角和等于180這一事實(shí)，但無論測量還是剪拼，我們都是對某一個具體的三角形進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，而不能對所有的三角形一一進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，因此嚴(yán)格說來這個一般性的結(jié)論還只能說停留在猜想的階段。況且測量往往有可能產(chǎn)生誤差，得到的結(jié)果不一定恰好等于180；而通過剪拼觀察得到的結(jié)果看起來似乎是一個平角，但我們的觀察不一定準(zhǔn)確到分毫不差，較起真來，這樣得到的結(jié)論難以讓人充分信服。因此還需要通過邏輯的辦法進(jìn)行證明，即由我們已知確信無疑的數(shù)學(xué)事實(shí)，借助推理的手段推導(dǎo)出過實(shí)驗(yàn)猜想的結(jié)論的真實(shí)性?！笨聪旅娴膶?shí)驗(yàn)（右圖所示），“把∠B和∠C分別拼在∠A的左右，三個角合起來形成一個平角，……”這里“三個角合起來形成一個平角”是觀察的結(jié)果，可是∠B和∠C的另外一條邊是否真的在一條直線上呢？這是問題的關(guān)鍵，需要證明。我們可以以在平行線一章已經(jīng)學(xué)過的定理和基本數(shù)學(xué)事實(shí)為依據(jù)對此進(jìn)行證明：以A為頂點(diǎn)AB為一邊作∠DAB等于∠B，以A為頂點(diǎn)AC為一邊作∠CAE等于∠C，（這就相當(dāng)于把∠B和∠C分別拼在∠A的左右）則AD∥BC，AE∥BC。（內(nèi)錯角相等的兩條直線平行），有定理保證又因?yàn)檫^直線外一點(diǎn)只能引一條直線與已知直線平行，所以直線AD與AE重合（∠B和∠C的另外一條邊是否真的在一條直線上，基本數(shù)學(xué)事實(shí)保證）所以∠DAE為平角，（定義保證）因此∠DAB+∠BAC+∠CAE=180，即在△ABC中，∠B+∠A+∠C=180（等量代替保證）這樣一來，我們的說理的鏈條，環(huán)環(huán)相扣，言必有據(jù)，滴水不漏，使得人不得不信服，展現(xiàn)了邏輯推理的力量。例6、已知四邊形ABCD，AB=CD，E、F分別是BC和AD的中點(diǎn)，直線EF與BA和CD分別相交于G、H，試問∠BGE和∠CHE有怎樣的關(guān)系？這個圖形通過鼠標(biāo)拖動，盡管圖形發(fā)生變化，但題目的已知條件保持不變。在拖動中還能觀察猜想出∠BGE和∠CHE有相等的關(guān)系。通過軟件的測量功能可以驗(yàn)證這個猜想是正確的（現(xiàn)場演示）。剩下的就是給出嚴(yán)格的證明了。借助軟件的機(jī)器證明功能也可以幫助我們分析，并給出證明過程。（現(xiàn)場演示）關(guān)于幾何直觀幾何直觀就是依托利用圖形進(jìn)行數(shù)學(xué)思考和想象。在圖形與幾何的教學(xué)中，一個值得注意的問題是幾何直觀能力的培養(yǎng)，推理能力與對圖形的洞察力結(jié)合在一起才能有效地解決問題。許多問題在證明之前依靠的是對圖形敏銳的觀察，先是通過觀察看出結(jié)果，繼而提出猜想并加以論證。因此對于初中學(xué)生要從正確的畫圖，識別圖形做起，從簡單圖形到復(fù)雜圖形，逐步培養(yǎng)他們觀察出隱藏在圖形中相等的線段和角、全等的三角形、平行與垂直關(guān)系等等。在復(fù)雜的圖形中能夠摘出需要關(guān)注的部分，又善于把簡單的圖形符合成復(fù)雜的圖形；善于用動態(tài)的眼光分析圖形，找出特殊與一般的關(guān)系。在教學(xué)中要充分利用直觀的教學(xué)手段。以下看兩個例子。例在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，AD與BE交于點(diǎn)F，且AF=BC，求∠BAC.這里首先需要畫一個盡量準(zhǔn)確的圖形，一開始在黑板上或紙上可能畫出下面的左圖。這里AF=BC的條件看來不容易滿足。而在計(jì)算機(jī)上可以利用動態(tài)測量功能通過鼠標(biāo)方便地對圖形進(jìn)行調(diào)整，得到右圖（現(xiàn)場演示）借助較為準(zhǔn)確的圖形可以猜測要求的角大概是45度，不太可能是30度或60度?，F(xiàn)在要求學(xué)生進(jìn)一步觀察隱藏在圖形中的性質(zhì)，在圖中盡可能把已知條件和觀察到的相等的角、線段、全等三角形標(biāo)識出來。然后在適當(dāng)時機(jī)教師出示下面的圖形。在得到△BCE≌△AEF之后，離開要求的∠BAC只有一步之遙了，只需要證明△ABE是直角等腰三角形就行了，而由全等容易得到AE=BE。這樣此題的解題思路明確了，剩下的是用綜合法寫出證明。然而，到此問題并沒有完全解決，實(shí)際上符合題目條件的圖形還可能是另外一種情況，這是學(xué)生容易忽略的。在計(jì)算機(jī)上拖動鼠標(biāo)可以得到右上面的圖形。例正方形ABCD的邊長為1，中心為E，以E為頂點(diǎn)再作邊長為1的正方形EFGH，探求這兩個正方形重疊部分的面積與原正方形面積的關(guān)系。這個結(jié)果可以推廣到正六邊形嗎？可以推廣到正三角形嗎？在黑板上或紙上只能畫出靜止的圖形，而通過在計(jì)算機(jī)上畫出的動圖可以直觀地看出結(jié)果，通過鼠標(biāo)拖動從特殊到一般，得到更一般的情況或給出反例。（現(xiàn)場演示）。上面幾個圖是在超級畫板畫圖的幾個界面：左圖中的點(diǎn)F、中圖中的點(diǎn)H、右圖中的點(diǎn)E都可以通過鼠標(biāo)拖動，由此可以啟迪證明或舉出反例的思路。這些直觀的教學(xué)手段對于圖形與幾何的教學(xué)是行之有效的，但是現(xiàn)在并沒有引起應(yīng)有的重視。用于函數(shù)教學(xué)舉例講三個問題1、變量與函數(shù)概念的教學(xué)——關(guān)于形象與抽象函數(shù)的概念看不見模不著，抽象的函數(shù)概念對于初中相當(dāng)多的同學(xué)是難于理解的。函數(shù)概念最本質(zhì)的是什么？是表達(dá)式，還是圖像？都不是，最本質(zhì)的是“變化與對應(yīng)”。但課本與課堂上傳遞給學(xué)生的信息卻是靜止的，是間接的語言或文字的表述。由于學(xué)生不能直接看到“變化與對應(yīng)”，因此往往把函數(shù)的表示與函數(shù)概念混在一起。這說明我們的教學(xué)缺少形象直觀以及在此基礎(chǔ)上的便于學(xué)生接受的概念抽象。借助信息技術(shù)可以改變這一狀況?？聪旅娴睦樱浩嚨男旭偂⒐潭ㄖ荛L矩形的面積例：汽車以每小時60千米的速度勻速行駛，行駛路程為s千米，行駛時間為t小時，考察s與t的關(guān)系。這是課本的例題。課本要求學(xué)生列表、列表達(dá)式體會這中間的變量與函數(shù)。但列表只能得到少許幾個行駛時間與行駛路程之間的對應(yīng)關(guān)系，至于通過表達(dá)式體會變量與對應(yīng)更是間接的。借助于動態(tài)的課件，可以更直接看到變量是通過取不同的數(shù)值體現(xiàn)的，而函數(shù)概念的本質(zhì)——變化與對應(yīng)直接呈現(xiàn)在學(xué)生眼前。（現(xiàn)場演示）這是第一屏，通過鼠標(biāo)拖動點(diǎn)A或選擇“動畫”按鈕，都可以看到紅色的小車的運(yùn)動。打開顯示按鈕，則呈現(xiàn)第二屏（下圖所示）的界面。在這里可以直接看到運(yùn)動的“小車”在每一個確定的時刻都對應(yīng)唯一確定的路程。例用１０米長的繩子圍成一個長方形，改變長方形的邊長，觀察長方形面積怎樣變化？下面的課件中，長方形的邊長可以通過鼠標(biāo)調(diào)整，學(xué)生則可以直接看到邊長引起的長方形面積的變化（左圖）。根據(jù)教學(xué)需要還可以方便地轉(zhuǎn)換到下一個界面（右圖）2、函數(shù)圖像的教學(xué)——關(guān)于電腦與人腦當(dāng)前函數(shù)圖像的教學(xué)一般是不用信息技術(shù)，采用列表、描點(diǎn)、連線的方法。在二次函數(shù)圖像的教學(xué)中我們一再強(qiáng)調(diào)用“光滑”的曲線連接。另外一種教學(xué)方式就是直接用電腦繪制函數(shù)圖像。這就產(chǎn)生了一個問題：在函數(shù)圖像的教學(xué)中采用哪種方式好？用電腦直接呈現(xiàn)函數(shù)圖像，倒是快捷，但學(xué)生看不到函數(shù)圖像的生成過程，知識是計(jì)算機(jī)強(qiáng)加給他們的。在初學(xué)函數(shù)圖像時，我們認(rèn)為用電腦直接呈現(xiàn)函數(shù)圖像的做法是不可取的，電腦畫圖不能取代學(xué)生動手畫圖。（看下面一個利用圖形計(jì)算器的案例）用列表、描點(diǎn)、連線的方式手工畫圖，倒是讓學(xué)生經(jīng)歷了畫函數(shù)圖像的過程，但學(xué)生會問：為什么函數(shù)圖像總是“光滑”的？反比例函數(shù)圖像怎么中間“斷開”呢？當(dāng)然，我們可以解釋如果描的點(diǎn)多一些，點(diǎn)更密集一些，就能看到二次函數(shù)的圖像是光滑的了，克憑借手工畫圖點(diǎn)又不可能取很多。光憑口頭說明，效果有限，所以我們認(rèn)為應(yīng)該把兩者結(jié)合起來，先按傳統(tǒng)的方式畫函數(shù)圖像，這時描點(diǎn)的只可能是幾個，然后在超級畫板上利用“點(diǎn)畫圖”軌跡跟蹤或通過比例尺增加描點(diǎn)個數(shù)的方式（例如從幾個增到２００個）呈現(xiàn)函數(shù)圖像。（現(xiàn)場演示，此處略掉）這樣一方面通過手工畫圖，讓學(xué)生體驗(yàn)函數(shù)圖像生成的過程，另一方面又通過電腦的“特技”克服了手工畫圖的局限，更好地展現(xiàn)了知識的形成過程。順便指出，不僅函數(shù)圖像的教學(xué)要處理好人腦和電腦的關(guān)系，在所有的數(shù)學(xué)教學(xué)中，這都是一個值得關(guān)注的問題。用電腦不是代替人腦，而是促進(jìn)人腦更深入的思考。3、函數(shù)單調(diào)性的教學(xué)——關(guān)于直觀與邏輯函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)最重要的性質(zhì)，但受教學(xué)手段的限制，當(dāng)前的教學(xué)存在嚴(yán)重的缺陷。例如，在講解函數(shù)的單調(diào)性時，一般采取的方法是先在黑板上畫出一個函數(shù)圖像（例如），在對照圖像指出：當(dāng)時，的圖像在y軸右側(cè)，向右上方無限伸展；在y軸左側(cè)，向左上方無限伸展；因此，當(dāng)x>0時，y隨著自變量x的增大而增大，當(dāng)x<0時，y隨著自變量x的增大而減小。然后教師總結(jié)：一般地，函數(shù)圖像與函數(shù)性質(zhì)存在下面的關(guān)系圖像特征函數(shù)的增減性由左向右呈上升狀態(tài)y隨著x的增大而增大由左向右呈下降狀態(tài)y隨著x的增大而減小以上的教學(xué)講沒講道理呢？大概沒有誰會說這樣的教學(xué)是不講道理的?？缮钜幌?，我們僅畫出了圖像的有限的一部分，怎么能斷定他是向右（左）上方無限伸展的呢？圖像的走向怎么與函數(shù)的增減性聯(lián)系在一起的？從靜態(tài)的圖像中并沒有看到誰變化了，“數(shù)形結(jié)合”并不明顯！所以許多學(xué)生只是記憶教師總結(jié)的結(jié)論。怎么更好地體現(xiàn)函數(shù)的變化趨勢？怎么體現(xiàn)“數(shù)形結(jié)合”？借助超級畫板很容易實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)（看現(xiàn)場演示）。下面是二次函數(shù)單調(diào)性課件的一個界面用鼠標(biāo)選擇點(diǎn)x拖動，可以看到點(diǎn)p和點(diǎn)y隨之運(yùn)動，同時標(biāo)識x與y的數(shù)值也隨之變化。于是變量y隨自變量x的變化、“數(shù)形結(jié)合”生動直觀地展現(xiàn)在學(xué)生眼前了。還可以通過變量尺改變參數(shù)a的值，可見一個動圖課件傳遞的信息遠(yuǎn)勝過不少語言的表述。但是，為說明“當(dāng)x>0時，y隨著自變量x的增大而增大”，上述直觀的呈現(xiàn)還不夠，原因是我們畢竟還只看到有限范圍的圖像，所以還需要補(bǔ)充嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬜C明。為此，取自變量取大于0的任意兩個值、，設(shè)，這樣當(dāng)自變量先取，后取，顯然自變量由小變大