高中常見分段函數(shù)題型歸納

高中常見分段函數(shù)題型歸納高中常見分段函數(shù)題型歸納高中常見分段函數(shù)題型歸納資料僅供參考文件編號：2022年4月高中常見分段函數(shù)題型歸納版本號：A修改號：1頁次：1.0審核：批準(zhǔn):發(fā)布日期：分段函數(shù)常見題型及解法分段函數(shù)是指自變量在兩個或兩個以上不同的范圍內(nèi)，有不同的對應(yīng)法則的函數(shù)，它是一個函數(shù)，非幾個函數(shù)；它的定義域是各段函數(shù)定義域的并集，其值域也是各段函數(shù)值域的并集.與分段函數(shù)有關(guān)的類型題的求解，在教材中只出現(xiàn)了由分段函數(shù)作出其圖象的題型，并未作深入說明，因此，對于分段函數(shù)類型的求解不少同學(xué)感到困難較多，現(xiàn)舉例說明其求解方法．1．求分段函數(shù)的定義域和值域例1.求函數(shù)的定義域、值域.解析：作圖,利用“數(shù)形結(jié)合”易知的定義域為,值域為（-1，2]U｛3｝.例2.求函數(shù)的值域.解析：因為當(dāng)x≥0時，x2+1≥1；當(dāng)x<0時，-x2<0.所以，原函數(shù)的值域是[1,+∞)∪(-∞,0).

2．求分段函數(shù)的函數(shù)值例1.已知函數(shù)求.解析：因為,所以.例2.已知函數(shù)，求f{f[f(a)]}(a<0)的值.分析:求此函數(shù)值關(guān)鍵是由內(nèi)到外逐一求值，即由a<0,f(a)=2a，又0<2a<1,,

，所以，.

注：求分段函數(shù)值的關(guān)鍵是根據(jù)自變量的取值代入相應(yīng)的函數(shù)段．練1.設(shè)則__________練2.設(shè)則__________3．求分段函數(shù)的最值例1.求函數(shù)的最大值.解析：當(dāng)時,,當(dāng)時,,當(dāng)時,,綜上有.例2.設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R,求f(x)的最小值.

分析：因為原函數(shù)可化為

所以，只要分別求出其最小值，再取兩者較小者即可.

解：當(dāng)x<a時，函數(shù)f(x)=x2-x+a+1,所以若，則函數(shù)f(x)在(-∞,a]上單調(diào)遞減，從而f(x)在(-∞,a]上的最小值為f(a)=a2+1.

若，則函數(shù)f(x)在(-∞,a]上的最小值為，且；

當(dāng)x≥a時，函數(shù)；

若，則函數(shù)f(x)在[a,+∞)上的最小值為，且.

若，則函數(shù)f(x)在[a,+∞)上的最小值為f(a)=a2+1.

綜上，當(dāng)時，函數(shù)f(x)的最小值是；

當(dāng)時，函數(shù)f(x)的最小值是a2+1；當(dāng)時，函數(shù)f(x)的最小值是.注：分段函數(shù)最值求解方法是先分別求出各段函數(shù)的最值，再進(jìn)行大小比較，從而達(dá)到求解的目的.4．求分段函數(shù)的解析式例1.在同一平面直角坐標(biāo)系中,函數(shù)和的圖象關(guān)于直線對稱,現(xiàn)將的圖象沿軸向左平移2個單位,再沿軸向上平移1個單位,所得的圖象是由兩條線段組成的折線（如圖所示）,則函數(shù)的表達(dá)式為（）解析：當(dāng)時,,將其圖象沿軸向右平移2個單位,再沿軸向下平移1個單位,得解析式為,所以,當(dāng)時,,將其圖象沿軸向右平移2個單位,再沿軸向下平移1個單位,得解析式,所以,綜上可得,故選A.例2.某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場行情得知，從2月1日起的300天內(nèi)，西紅柿售價與上市時間的關(guān)系用圖1的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時間的關(guān)系用圖2的拋物線段表示：

(I)寫出圖l表示的市場售價與時間的函數(shù)關(guān)系式P=f(t)，寫出圖2表示的種植成本與上市時間的函數(shù)關(guān)系式Q=g(t)；(II)認(rèn)定市面上售價減去種植成本為純收益，問何時上市的西紅柿純收益最大

解析：(I)由圖l可得市場售價與時間的關(guān)系為

由圖2可得種植成本與時間的函數(shù)關(guān)系為

（0≤t≤300）。

(II)設(shè)t時間的純收益為h(t)，由題意得h(t)=f(t)-g(t)

再求h(t)的最大值即可。

注：觀察圖1，知f(t)應(yīng)是一個關(guān)于t的一次分段函數(shù)，觀察圖2可知g(t)是關(guān)于t的二次函數(shù)，可設(shè)為頂點式，即設(shè)g(t)=a(t-150)2+100。5．作分段函數(shù)的圖像例1.函數(shù)的圖像大致是（）例2.已知函數(shù)f(x)=|x2-2x-3|的圖象與直線y=a有且僅有3個交點，求a的值.

解：∵f(x)=|(x-1)2-4|=|(x+1)(x-3)|,

所以由圖象易知a=4.注：此題可以根據(jù)函數(shù)圖像的對稱性直接畫出函數(shù)圖像，再根據(jù)數(shù)形結(jié)合的方法求出，不用寫出函數(shù)解析式，更簡單.例3.已知函數(shù)f(x)=|x2-2x-3|的圖象與直線y=a有且僅有3個交點，求a的值.

解：∵f(x)=|(x-1)2-4|=|(x+1)(x-3)|,

∴

由圖象易知a=4.

注：此題可以根據(jù)函數(shù)圖像的對稱性直接畫出函數(shù)圖像，再根據(jù)數(shù)形結(jié)合的方法求出，不用寫出函數(shù)解析式，更簡單.6．求分段函數(shù)得反函數(shù)例1.求函數(shù)的反函數(shù).

解：∵f(x)在R上是單調(diào)減函數(shù)，

∴f(x)在R上有反函數(shù).

∵y=x2+1(x≤0)的反函數(shù)是(x≥1),

y=1-x(x>0)的反函數(shù)是y=1-x(x<1),

∴函數(shù)f(x)的反函數(shù)是

注：求分段函數(shù)的反函數(shù)只要分別求出其反函數(shù)即可.

例2.已知是定義在上的奇函數(shù),且當(dāng)時,,設(shè)得反函數(shù)為,求的表達(dá)式.解析：設(shè),則,所以,又因為是定義在上的奇函數(shù),所以,且,所以,因此,從而可得.例3.已知EQ\B\LC\{(\A\AL(－log3(x+1)(x>6),3x－6(x≤6)))，若記為的反函數(shù)，且則__________.7．判斷分段函數(shù)的奇偶性例1.判斷函數(shù)的奇偶性.解析：當(dāng)時,,,當(dāng)時,,當(dāng),,因此,對于任意都有,所以為偶函數(shù).注：分段函數(shù)奇偶性必須對x值分類，從而比較f(-x)與f(x)的關(guān)系，得出f(x)是否是奇偶函數(shù)結(jié)論.

8．判斷分段函數(shù)的單調(diào)性例1.判斷函數(shù)的單調(diào)性.解一：分析：由于x∈R，所以對于設(shè)x1>x2必須分成三類：

1.當(dāng)x1>x2>0時，則f(x1)-f(x2)==(x1-x2)(x1+x2)>0；

2.當(dāng)0>x1>x2時，則；

3.當(dāng)x1>0>x2時，則

綜上所述：x∈R，且x1>x2時，有f(x1)-f(x2)>0。

所以函數(shù)f(x)是增函數(shù).

注：分段函數(shù)的單調(diào)性的討論必須對自變量的值分類討論.

解二：顯然連續(xù).當(dāng)時,恒成立,所以是單調(diào)遞增函數(shù),當(dāng)時,恒成立,也是單調(diào)遞增函數(shù),所以在上是單調(diào)遞增函數(shù);或畫圖易知在上是單調(diào)遞增函數(shù).例2.寫出函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.解析：,畫圖知單調(diào)減區(qū)間為.9．解分段函數(shù)的方程例1.設(shè)函數(shù),則滿足方程的的值為__________解析：若,則,得,所以（舍去）,若,則,解得,所以即為所求.例2.設(shè)函數(shù),則滿足方程的的值為__________解析：若,則,得,所以（舍去）,若,則,解得,所以即為所求.練1：函數(shù)f(x)=，如果方程f(x)=a有且只有一個實根，那么a滿足A.a<0 B.0≤a<1 C.a=1 練2：設(shè)定義為R的函數(shù)則關(guān)于的方程有7個不同的實數(shù)解的充要條件是（）A.且B.且C.且D.且練3：設(shè)函數(shù)在上滿足，，且在閉區(qū)間上，只有.（Ⅰ）試判斷函數(shù)的奇偶性；（Ⅱ）試求方程在閉區(qū)間上的根的個數(shù)，并證明你的結(jié)論.10．解分段函數(shù)的不等式例1：設(shè)函數(shù),若,則得取值范圍是（）解一：首先畫出和的大致圖像,易知時,所對應(yīng)的的取值范圍是.解二：因為,當(dāng)時,,解得,當(dāng)時,,解得,綜上的取值范圍是.故選D.例2：設(shè)函數(shù),則使得的自變量的取值范圍為（）A．B.C.D.解析：當(dāng)時,,所以,當(dāng)時,,所以,綜上所述,或,故選A項.例3：設(shè)函數(shù),則使得的自變量的取值范圍為（）A．B.C.D.解析：當(dāng)時,,所以,當(dāng)時,,所以,綜上所述,或,故選A項.練1：已知，則不等式的解集是________練2：設(shè)f(x)=則不等式f(x)>2的解集為________(A)（1，2）（3，+∞）(B)（，+∞）(C)（1，2）（，+∞）(D)（1，2）練3：設(shè)(x)=，使所有x均滿足x·(x)≤(x)的函數(shù)g(x)