2022屆浙江省高考仿真卷 數(shù)學(xué)試題(二) (解析版)

2022年高考仿真模擬卷二（浙江）數(shù)學(xué)一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．集合A．，，，則（）B．D．C．2．棣莫弗定理由法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗（1667-1754年）創(chuàng)立．指的是設(shè)兩個(gè)復(fù)數(shù)（用三角函數(shù)形式表示），，則，已知（），，則在復(fù)平面內(nèi)所表示的點(diǎn)位于A．第二象限B．第一象限C．第四象限D(zhuǎn)．第三象限3．已知函數(shù)，下列條件，能使得（m，n）的軌跡存在實(shí)軸和虛軸相等的雙曲線的是（）A．B．成等差數(shù)列成等比數(shù)列C．D．成等差數(shù)列成等比數(shù)列4．在撫順二中運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式中，某班級(jí)的“蝴蝶振翅”節(jié)目獲得一致稱贊，其形狀近似于雙曲線，在“振翅”過程中，雙曲線的漸近線與對(duì)稱軸的夾角為某一范圍內(nèi)變動(dòng)，，則該雙曲線的離心率取值范圍是（）A．B．C．D．5．“耐盡推排趾未顛，莫嗤身價(jià)不多錢”是清代詩(shī)人葉際唐的詩(shī)句，詩(shī)句贊頌了不倒翁自強(qiáng)自立﹑堅(jiān)韌不拔的精神.圖中一不倒翁的三視圖，其中是給定的正實(shí)數(shù)，則該不倒翁的表面積為（）是一些不倒翁模型，假設(shè)圖是圖A．B．C．D．6．已知平面非零向量滿足，則對(duì)于任意的使得（）A．C．恒有解B．恒有解恒無(wú)解D．恒無(wú)解7．已知定義在上的函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①存在使得；②有且只有兩個(gè)使得；③不存在使得；④有且只有兩個(gè)使得，其中所有錯(cuò)誤結(jié)論的序號(hào)是（）A．①③B．①②C．①②④D．③④8．意大利畫家列奧納多·達(dá)·芬奇的畫作《抱銀鼠的女子》（如圖所示）中，女士頸部的黑色珍珠項(xiàng)鏈與她懷中的白貂形成對(duì)比.光線和陰影襯托出人物的優(yōu)雅和柔美.達(dá)·芬奇提出：固定項(xiàng)鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，形成的曲線是什么？這就是著名的“懸鏈線問題”.后人研究得出，懸鏈線并不是拋物線，而是與解析式為的“雙曲余弦函數(shù)”相關(guān).下列選項(xiàng)為“雙曲余弦函數(shù)”圖象的是（）A．B．D．C．9．已知函數(shù)，且過點(diǎn)A．，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）B．若時(shí)，將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱最小正周期取最大值時(shí)，C．若D．若，且在上單調(diào)遞增，則10．由于疫情防控需要，電影院觀影實(shí)行隔空位就座．甲、乙、丙、丁四個(gè)人結(jié)伴前往觀影，已知目前只剩同一排的8個(gè)空位，甲、乙必須在丁的同側(cè)，則不同的坐法種數(shù)是（）A．16B．40C．80D．120二、填空題：本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分。11．已知實(shí)數(shù)a、b使得不等式|ax2+bx+a|≤x對(duì)任意x∈[1，2]都成立，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)（a，b）形成的區(qū)域記為Ω．若圓x2+y2＝r2上的任一點(diǎn)都在Ω中，則r的最大值為_____．12．將個(gè)填入如圖的九宮格中，使得每行數(shù)字之和、每列數(shù)字之和，個(gè)，個(gè)都為奇數(shù)，不同的填法有___________種.（用數(shù)字回答）13．楊輝三角為：楊輝三角中存在著很多的規(guī)律，根據(jù)連線上的數(shù)字猜想下列數(shù)列前若干項(xiàng)的和：___________．14．將2名科學(xué)家和3名航天員從左到右排成一排合影留念，用表示兩名科學(xué)家之間的航天員人數(shù)，則_______，_______．15．已知△的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若,，且，則____;若△的面積為，則△的周長(zhǎng)的最小值為_____.16．設(shè)展開式中，各項(xiàng)系數(shù)之和為4，則____；展開式中的常數(shù)項(xiàng)為___________，若____________.17．已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，，則，則___________.三、解答題：本大題共5小題，共74分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。18．已知內(nèi)角、、的對(duì)邊為、、，且滿足______．①，②，③，在這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的題干中，然后解答問題．（1）求角；（2）點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求面積的最大值．兩點(diǎn)，且19．在平面直角坐標(biāo)系中，為橢圓的左，右焦點(diǎn)，，直線與交于四點(diǎn)共圓.（1）求橢圓（2）為的方程；上的一點(diǎn)(非長(zhǎng)軸的端點(diǎn))，線段，的延長(zhǎng)線分別與交于點(diǎn)，求的最大值.20．已知等差數(shù)列（Ⅰ）若的通項(xiàng)公式.設(shè)數(shù)列為等比數(shù)列，且.，且等比數(shù)列的前4項(xiàng)；的公比最小，（i）寫出數(shù)列（ii）求數(shù)列（Ⅱ）證明：以的通項(xiàng)公式；為首項(xiàng)的無(wú)窮等比數(shù)列有無(wú)數(shù)多個(gè).21．現(xiàn)有一批疫苗試劑，擬進(jìn)入動(dòng)物試驗(yàn)階段，將1000只動(dòng)物平均分成100組，任選一組進(jìn)行試驗(yàn)．第一輪注射，對(duì)該組的每只動(dòng)物都注射一次，若檢驗(yàn)出該組中有9只或10只動(dòng)物產(chǎn)生抗體，說(shuō)明疫苗有效，試驗(yàn)終止；否則對(duì)沒有產(chǎn)生抗體的動(dòng)物進(jìn)行第二輪注射，再次檢驗(yàn)．如果被二次注射的動(dòng)物都產(chǎn)生抗體，說(shuō)明疫苗有效，否則需要改進(jìn)疫苗．設(shè)每只動(dòng)物是否產(chǎn)生抗體相互獨(dú)立，兩次注射疫苗互不影響，且產(chǎn)生抗體的概率均為．（1）求該組試驗(yàn)只需第一輪注射的概率（用含的多項(xiàng)式表示）；（2）記該組動(dòng)物需要注射次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為，求證：．22．已知函數(shù)，.（1）若，求的取值范圍；存在唯一極大值點(diǎn)（2）求證：，且知；（3）求證：.2022年高考仿真模擬卷二（浙江）數(shù)學(xué)一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．集合A．，，，則（）B．D．C．【答案】C【分析】解一元二次不等式求出集合，解對(duì)數(shù)不等式求出集合，然后結(jié)合交集和補(bǔ)集的概念即可求出結(jié)果.【詳解】，所以，故選：C.2．棣莫弗定理由法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗（1667-1754年）創(chuàng)立．指的是設(shè)兩個(gè)復(fù)數(shù)（用三角函數(shù)形式表示），，則，已知（），，則在復(fù)平面內(nèi)所表示的點(diǎn)位于A．第二象限B．第一象限C．第四象限D(zhuǎn)．第三象限【答案】D【分析】根據(jù)運(yùn)算法則求出【詳解】再判斷所處位置.∴，，∴在復(fù)平面內(nèi)所表示的點(diǎn)位于第三象限.故選:D3．已知函數(shù)，下列條件，能使得（m，n）的軌跡存在實(shí)軸和虛軸相等的雙曲線的是（）A．成等差數(shù)列B．成等比數(shù)列C．成等差數(shù)列D．成等比數(shù)列【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)列出方程，根據(jù)函數(shù)解析式化簡(jiǎn)，再根據(jù)雙曲線的方程特點(diǎn)判斷.【詳解】對(duì)A，若成等差數(shù)列，則，整理可得，即，則當(dāng)時(shí)，，即的軌跡為圓，時(shí)，的軌跡不存在，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，若成等比數(shù)列，則，整理可得，方程不能表示雙曲線，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，若成等差數(shù)列，則，即，整理可得，當(dāng)且時(shí)，方程化為，此時(shí)表示實(shí)軸和虛軸相等的，即雙曲線，故C正確；對(duì)D，若成等比數(shù)列，則，整理可得，當(dāng)，且時(shí)，由得，此時(shí)是實(shí)軸和虛軸不相等的雙曲線，故D錯(cuò)誤.故選：C.4．在撫順二中運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式中，某班級(jí)的“蝴蝶振翅”節(jié)目獲得一致稱贊，其形狀近似于雙曲線，在“振翅”過程中，雙曲線的漸近線與對(duì)稱軸的夾角為某一范圍內(nèi)變動(dòng)，，則該雙曲線的離心率取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】由題可知雙曲線的漸進(jìn)線方程傾斜角的范圍是，進(jìn)而得到的范圍，再根據(jù)離心率公式和的關(guān)系可求得范圍.【詳解】雙曲線的漸近線為，由題可知雙曲線的漸進(jìn)線方程傾斜角的范圍是，，，即，故選：C5．“耐盡推排趾未顛，莫嗤身價(jià)不多錢”是清代詩(shī)人葉際唐的詩(shī)句，詩(shī)句贊頌了不倒翁自強(qiáng)自立﹑堅(jiān)韌不拔的精神.圖中一不倒翁的三視圖，其中是給定的正實(shí)數(shù)，則該不倒翁的表面積為（）是一些不倒翁模型，假設(shè)圖是圖A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，還原幾何體，再利用圓錐和球體的表面積計(jì)算公式即可求得結(jié)果.【詳解】由三視圖可知，該不倒翁上半部分是一個(gè)圓錐，下半部分是一個(gè)半球，如下所示：圓錐底面半徑為，高為，母線長(zhǎng)為，下半部分是一個(gè)半球，半徑為.故不倒翁的表面積為.故選：.6．已知平面非零向量滿足，則對(duì)于任意的使得（）A．C．恒有解B．恒有解恒無(wú)解D．恒無(wú)解【答案】B【分析】設(shè)，其中，記則有，即，然后分，，三種在以情況討論，再根據(jù)直線是過點(diǎn)的直線與圓錐曲線的兩個(gè)不同的交點(diǎn)和點(diǎn)為直徑的圓上，分析圓與相應(yīng)準(zhǔn)線的位置關(guān)系，即可求解.【詳解】解：設(shè)，其中，記則有若，即，則點(diǎn)的軌跡是拋物線，方程為E：，點(diǎn)恰為拋物線的焦點(diǎn)，則是過點(diǎn)的直線與拋物線的兩個(gè)不同的交點(diǎn)，點(diǎn)在以為直徑的圓上，此時(shí).若，則點(diǎn)的軌跡是橢圓，方程為E：，點(diǎn)為橢圓E的左焦點(diǎn)，軸是橢圓的左準(zhǔn)線，是過點(diǎn)的直線與橢圓的兩個(gè)不同的交點(diǎn)，點(diǎn)在以為直徑的圓上，此時(shí)圓與準(zhǔn)線相離，故若，則點(diǎn)的軌跡是雙曲線，方程為E：，點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，軸是雙曲線的右準(zhǔn)線，是過點(diǎn)的直線與雙曲線的兩個(gè)不同的交點(diǎn)，點(diǎn)在以為直徑的圓上，此時(shí)圓與準(zhǔn)線相交，故可正，可負(fù)，可零.所以，當(dāng)時(shí)，恒有，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，與均有解，故錯(cuò)誤；故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用坐標(biāo)法，設(shè)，其中，記則有，即，然后分，，三種情況討論，將原問題轉(zhuǎn)化為判斷圓與準(zhǔn)線的位置關(guān)系，從而解決問題.7．已知定義在上的函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①存在使得；②有且只有兩個(gè)使得；③不存在使得；④有且只有兩個(gè)使得，其中所有錯(cuò)誤結(jié)論的序號(hào)是（）A．①③B．①②C．①②④D．③④【答案】A【分析】對(duì)①，解方程即可判斷①錯(cuò)誤，對(duì)②，解方程即可判斷②正確，對(duì)③，根據(jù)即可判斷③錯(cuò)誤，對(duì)④，根據(jù)②即可判斷④正確.【詳解】對(duì)①，當(dāng)，令，得，解得（舍去）或（舍去），當(dāng)，令，解得使得，得（舍去），，故①錯(cuò)誤.故不存在對(duì)②，當(dāng)當(dāng)，令，即，即，解得，，令，解得.所以有且只有兩個(gè)使得，故②正確；對(duì)③，當(dāng)時(shí)，所以，故存在使得，故③錯(cuò)誤；；對(duì)④，由②知：有且只有兩個(gè)使得所以有且只有兩個(gè)使得，故④正確.故選：A8．意大利畫家列奧納多·達(dá)·芬奇的畫作《抱銀鼠的女子》（如圖所示）中，女士頸部的黑色珍珠項(xiàng)鏈與她懷中的白貂形成對(duì)比.光線和陰影襯托出人物的優(yōu)雅和柔美.達(dá)·芬奇提出：固定項(xiàng)鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，形成的曲線是什么？這就是著名的“懸鏈線問題”.后人研究得出，懸鏈線并不是拋物線，而是與解析式為的“雙曲余弦函數(shù)”相關(guān).下列選項(xiàng)為“雙曲余弦函數(shù)”圖象的是（）A．C．B．D．【答案】C【分析】分析函數(shù)【詳解】令的奇偶性與最小值，由此可得出合適的選項(xiàng).，則該函數(shù)的定義域?yàn)椋?，所以，函?shù)為偶函數(shù)，排除B選項(xiàng).由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，函數(shù)故選：C.【點(diǎn)睛】的最小值為，排除AD選項(xiàng).思路點(diǎn)睛：函數(shù)圖象的辨識(shí)可從以下方面入手：（1）從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；（2）從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．（3）從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；（4）從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性；（5）函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.9．已知函數(shù)，且過點(diǎn)A．，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）B．若時(shí)，將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱最小正周期取最大值時(shí)，C．若D．若，且在上單調(diào)遞增，則【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)過點(diǎn)得；代入求出，再利用輔助角公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，最后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)過點(diǎn)，所以，所以．又因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)A正確；所以，當(dāng)時(shí)，，設(shè)將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象，則，易知的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故選項(xiàng)B正確；當(dāng)時(shí)，解得．因?yàn)榈淖钚≌芷?，所以時(shí)，最大，故選項(xiàng)C正確；因?yàn)槿?，所以在上單調(diào)遞增，則，所以，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：D．10．由于疫情防控需要，電影院觀影實(shí)行隔空位就座．甲、乙、丙、丁四個(gè)人結(jié)伴前往觀影，已知目前只剩同一排的8個(gè)空位，甲、乙必須在丁的同側(cè)，則不同的坐法種數(shù)是（）A．16B．40C．80D．120【答案】C【分析】利用排列、組合以及插空法即可求解.【詳解】甲、乙兩人有，丁在甲、乙的左側(cè)或右側(cè)，丙在三人中的個(gè)空隙中任選一個(gè)位置，所以甲乙必須在丁的同側(cè)，故種數(shù)為又必須隔空而坐，故采用插空法，，，故最終總數(shù)為.故選：C.二、填空題：本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分。11．已知實(shí)數(shù)a、b使得不等式|ax2+bx+a|≤x對(duì)任意x∈[1，2]都成立，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)（a，b）形成的區(qū)域記為Ω．若圓x2+y2＝r2上的任一點(diǎn)都在Ω中，則r的最大值為_____．【答案】【分析】在x∈[1，2]的條件下，把等式|ax2+bx+a|≤x等價(jià)轉(zhuǎn)化，利用函數(shù)最值建立關(guān)于a，b的二元一次不等式組，畫出其可行域Ω，再用幾何意義得解.【詳解】任意x∈[1，2]，，而函數(shù)在[1，2]上單調(diào)遞增，則，又關(guān)于a的函數(shù)在上圖象是線段，最大值是或所以，該不等式組表示的平面區(qū)域即是點(diǎn)(a，b)形成的區(qū)域Ω，如圖中陰影區(qū)域(平行四邊形ABCD)：點(diǎn)O(0，0)到直線或的距離的距離，點(diǎn)O(0，0)到直線或，而，要圓x+＝r2上的任一點(diǎn)都在Ω中，當(dāng)且僅當(dāng)22y，即r的最大值為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：非線性目標(biāo)函數(shù)的最值求法，關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想方法，給目標(biāo)函數(shù)賦于一定的幾何意義．12．將個(gè)填入如圖的九宮格中，使得每行數(shù)字之和、每列數(shù)字之和，個(gè)，個(gè)都為奇數(shù)，不同的填法有___________種.（用數(shù)字回答）【答案】【分析】先考慮奇數(shù)位置的擺放，然后從奇數(shù)的個(gè)位置中選擇個(gè)位置放，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】若某行（列）的數(shù)字和為奇數(shù)，則該行（列）的奇數(shù)個(gè)數(shù)為個(gè)或個(gè)，題中有個(gè)奇數(shù)，個(gè)偶數(shù)，則分布到行，必有一行有個(gè)奇數(shù)，另兩行只有個(gè)奇數(shù)，列同理，則奇數(shù)的位置分布有種，對(duì)于每種位置，從個(gè)位置中選擇個(gè)位置放由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，不同的填法種數(shù)為，有種.種.故答案為：【點(diǎn)睛】.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查數(shù)字的填空問題，解題的關(guān)鍵在于分析出奇數(shù)在九宮格中的位置以及奇數(shù)所占的位置中對(duì)應(yīng)奇數(shù)的分布.13．楊輝三角為：楊輝三角中存在著很多的規(guī)律，根據(jù)連線上的數(shù)字猜想下列數(shù)列前若干項(xiàng)的和：___________．【答案】【分析】先由1+2+3+4=10可猜想：，再利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行證明.【詳解】由1+2+3+4=10可猜想：.下面進(jìn)行證明：因?yàn)樗裕?故答案為：.14．將2名科學(xué)家和3名航天員從左到右排成一排合影留念，用表示兩名科學(xué)家之間的航天員人數(shù)，則_______，_______．【答案】11【分析】根據(jù)題意可得的所有可能取值為0，1，2，3，求出對(duì)應(yīng)的概率，進(jìn)而求出計(jì)算即可.和，根據(jù)【詳解】解：的所有可能取值為0，1，2，3．；；；．得，所以，所以．故答案為：1；115．已知△的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若,，且，則____;若△的面積為，則△的周長(zhǎng)的最小值為_____.【答案】【分析】6先根據(jù)向量垂直得出邊角關(guān)系，然后利用正、余弦定理求解的值；根據(jù)面積以及在余弦定理，利用基本不等式，從而得到周長(zhǎng)的最小值（注意取等號(hào)條件）.【詳解】由得得,∴∴；∴又所以（當(dāng)且僅當(dāng)【點(diǎn)睛】時(shí)等號(hào)成立）（1）（2），若垂直，則有：；取等號(hào)的條件是：.16．設(shè)展開式中，各項(xiàng)系數(shù)之和為4，則____；展開式中的常數(shù)項(xiàng)為____________.【答案】【分析】利用特殊值法令即可求出的值，再分析的展開式中的項(xiàng)和項(xiàng)的系數(shù)結(jié)合多項(xiàng)式乘法的性質(zhì)即可得到【詳解】的展開式中的常數(shù)項(xiàng).解：由展開式中，各項(xiàng)系數(shù)之和為4令，即，解得：的展開式的通項(xiàng)為由由，得，得所以的展開式的常數(shù)項(xiàng)為：故答案為：，.17．已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，，則，則___________，若___________.【答案】【分析】當(dāng)出時(shí)，的前項(xiàng)和，當(dāng)，分時(shí)，，檢驗(yàn)即可求解.是否滿足即可得，求和時(shí)求【詳解】當(dāng)當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，因?yàn)橛蓾M足上式，所以可得，，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)，此時(shí)，所以，所以，故答案為：；.三、解答題：本大題共5小題，共74分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。18．已知內(nèi)角、、的對(duì)邊為、、，且滿足______．①，②，③，在這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的題干中，然后解答問題．（1）求角；（2）點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求面積的最大值．【答案】條件選擇見解析：（1）；（2）．【分析】（1）選①：利用正弦定理結(jié)合兩角和的余弦公式變形可得出的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；選②：利用兩角和與差的正弦公式化簡(jiǎn)可得出的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的選③：利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)可得出值；（2）利用余弦定理求出的值，然后在中利用余弦定理結(jié)合基本不等式可求得的最大值，結(jié)合三角形的面積公式可得結(jié)果.【詳解】（1）選①：，由正弦定理得，因?yàn)椋瑒t，所以，即，可得，因?yàn)椋?；選②：所以，所以，，即因?yàn)椋?，則，所以，，因?yàn)?，所以；選③：整理得，由正弦定理得，，因?yàn)?，則，所以，因?yàn)?，所以；?）由余弦定理，中，由余弦定理得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，，即面積的最大值．19．在平面直角坐標(biāo)系中，為橢圓的左，右焦點(diǎn)，，直線與交于兩點(diǎn)，且四點(diǎn)共圓.（1）求橢圓（2）為的方程；上的一點(diǎn)(非長(zhǎng)軸的端點(diǎn))，線段，的延長(zhǎng)線分別與交于點(diǎn)；，求的最大值.【答案】（1）（2）.【分析】（1）若，由橢圓的對(duì)稱性易知，互相平分，結(jié)合題設(shè)在以為圓的方程；心，為半徑的圓上，再由在橢圓、直線上求橢圓參數(shù)，寫出橢圓（2）令，為，聯(lián)立橢圓方程，應(yīng)用韋達(dá)定理、三角形面積公式可得，進(jìn)而應(yīng)用基本不等式求面積最大值，注意等號(hào)成立條件.（1）設(shè)，又，互相平分且四點(diǎn)共圓，∴，是圓的直徑且是圓心，∴∴，，，又，，故橢圓的方程為；（2）由（1）知：，設(shè)，直線為，代入，得，則，且，∴，連接，則，∵∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，故面積的最大值為.20．已知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.設(shè)數(shù)列為等比數(shù)列，且.（Ⅰ）若，且等比數(shù)列的前4項(xiàng)；的公比最小，（i）寫出數(shù)列（ii）求數(shù)列（Ⅱ）證明：以的通項(xiàng)公式；為首項(xiàng)的無(wú)窮等比數(shù)列有無(wú)數(shù)多個(gè).【答案】（Ⅰ）（i）2，8，32，128；（ii）；（Ⅱ）證明見解析.【分析】（Ⅰ）（?。懗鰯?shù)列的前若干項(xiàng)，觀察可得等比數(shù)列的最小公比為4，即可求解；（ⅱ）由（ⅰ）可知的通項(xiàng)公式，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，證明為整數(shù)即可；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列是數(shù)列中包含的一個(gè)無(wú)窮等比數(shù)列，求出，，公比，只要證是數(shù)列的項(xiàng)，運(yùn)用歸納法證明即可.【詳解】（Ⅰ）觀察數(shù)列的前若干項(xiàng)：2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，….因?yàn)閿?shù)列是遞增的整數(shù)數(shù)列，且等比數(shù)列以2為首項(xiàng)，顯然最小公比不能是，最小公比是4.（?。┮?為首項(xiàng)，且公比最小的等比數(shù)列的前四項(xiàng)是2，8，32，128.（ⅱ）由（ⅰ）可知，公比，所以.又，所以，即.再證為正整數(shù).顯然為正整數(shù)，時(shí)，，即，故為正整數(shù).所以，所求通項(xiàng)公式為.（Ⅱ）設(shè)數(shù)列是數(shù)列中包含的一個(gè)無(wú)窮等比數(shù)列，且，，所以公比.因?yàn)榈缺葦?shù)列各項(xiàng)為整數(shù)，所以為整數(shù).?。ǎ?，則是數(shù)列，故.只要證的項(xiàng)，即證.只要證為正整數(shù)，顯然為正整數(shù).又時(shí)，，即故