2022屆浙江省高考仿真卷 數(shù)學試題(二) (解析版)

2022年高考仿真模擬卷二（浙江）數(shù)學一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．集合A．，，，則（）B．D．C．2．棣莫弗定理由法國數(shù)學家棣莫弗（1667-1754年）創(chuàng)立．指的是設兩個復數(shù)（用三角函數(shù)形式表示），，則，已知（），，則在復平面內(nèi)所表示的點位于A．第二象限B．第一象限C．第四象限D(zhuǎn)．第三象限3．已知函數(shù)，下列條件，能使得（m，n）的軌跡存在實軸和虛軸相等的雙曲線的是（）A．B．成等差數(shù)列成等比數(shù)列C．D．成等差數(shù)列成等比數(shù)列4．在撫順二中運動會開幕式中，某班級的“蝴蝶振翅”節(jié)目獲得一致稱贊，其形狀近似于雙曲線，在“振翅”過程中，雙曲線的漸近線與對稱軸的夾角為某一范圍內(nèi)變動，，則該雙曲線的離心率取值范圍是（）A．B．C．D．5．“耐盡推排趾未顛，莫嗤身價不多錢”是清代詩人葉際唐的詩句，詩句贊頌了不倒翁自強自立﹑堅韌不拔的精神.圖中一不倒翁的三視圖，其中是給定的正實數(shù)，則該不倒翁的表面積為（）是一些不倒翁模型，假設圖是圖A．B．C．D．6．已知平面非零向量滿足，則對于任意的使得（）A．C．恒有解B．恒有解恒無解D．恒無解7．已知定義在上的函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：①存在使得；②有且只有兩個使得；③不存在使得；④有且只有兩個使得，其中所有錯誤結(jié)論的序號是（）A．①③B．①②C．①②④D．③④8．意大利畫家列奧納多·達·芬奇的畫作《抱銀鼠的女子》（如圖所示）中，女士頸部的黑色珍珠項鏈與她懷中的白貂形成對比.光線和陰影襯托出人物的優(yōu)雅和柔美.達·芬奇提出：固定項鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，形成的曲線是什么？這就是著名的“懸鏈線問題”.后人研究得出，懸鏈線并不是拋物線，而是與解析式為的“雙曲余弦函數(shù)”相關.下列選項為“雙曲余弦函數(shù)”圖象的是（）A．B．D．C．9．已知函數(shù)，且過點A．，則下列結(jié)論錯誤的是（）B．若時，將的圖象向右平移個單位長度得到的圖象關于原點對稱最小正周期取最大值時，C．若D．若，且在上單調(diào)遞增，則10．由于疫情防控需要，電影院觀影實行隔空位就座．甲、乙、丙、丁四個人結(jié)伴前往觀影，已知目前只剩同一排的8個空位，甲、乙必須在丁的同側(cè)，則不同的坐法種數(shù)是（）A．16B．40C．80D．120二、填空題：本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分。11．已知實數(shù)a、b使得不等式|ax2+bx+a|≤x對任意x∈[1，2]都成立，在平面直角坐標系xOy中，點（a，b）形成的區(qū)域記為Ω．若圓x2+y2＝r2上的任一點都在Ω中，則r的最大值為_____．12．將個填入如圖的九宮格中，使得每行數(shù)字之和、每列數(shù)字之和，個，個都為奇數(shù)，不同的填法有___________種.（用數(shù)字回答）13．楊輝三角為：楊輝三角中存在著很多的規(guī)律，根據(jù)連線上的數(shù)字猜想下列數(shù)列前若干項的和：___________．14．將2名科學家和3名航天員從左到右排成一排合影留念，用表示兩名科學家之間的航天員人數(shù)，則_______，_______．15．已知△的內(nèi)角的對邊分別為，若,，且，則____;若△的面積為，則△的周長的最小值為_____.16．設展開式中，各項系數(shù)之和為4，則____；展開式中的常數(shù)項為___________，若____________.17．已知是數(shù)列的前項和，，則，則___________.三、解答題：本大題共5小題，共74分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。18．已知內(nèi)角、、的對邊為、、，且滿足______．①，②，③，在這三個條件中任選一個，補充在上面的題干中，然后解答問題．（1）求角；（2）點為內(nèi)一點，當時，求面積的最大值．兩點，且19．在平面直角坐標系中，為橢圓的左，右焦點，，直線與交于四點共圓.（1）求橢圓（2）為的方程；上的一點(非長軸的端點)，線段，的延長線分別與交于點，求的最大值.20．已知等差數(shù)列（Ⅰ）若的通項公式.設數(shù)列為等比數(shù)列，且.，且等比數(shù)列的前4項；的公比最小，（i）寫出數(shù)列（ii）求數(shù)列（Ⅱ）證明：以的通項公式；為首項的無窮等比數(shù)列有無數(shù)多個.21．現(xiàn)有一批疫苗試劑，擬進入動物試驗階段，將1000只動物平均分成100組，任選一組進行試驗．第一輪注射，對該組的每只動物都注射一次，若檢驗出該組中有9只或10只動物產(chǎn)生抗體，說明疫苗有效，試驗終止；否則對沒有產(chǎn)生抗體的動物進行第二輪注射，再次檢驗．如果被二次注射的動物都產(chǎn)生抗體，說明疫苗有效，否則需要改進疫苗．設每只動物是否產(chǎn)生抗體相互獨立，兩次注射疫苗互不影響，且產(chǎn)生抗體的概率均為．（1）求該組試驗只需第一輪注射的概率（用含的多項式表示）；（2）記該組動物需要注射次數(shù)的數(shù)學期望為，求證：．22．已知函數(shù)，.（1）若，求的取值范圍；存在唯一極大值點（2）求證：，且知；（3）求證：.2022年高考仿真模擬卷二（浙江）數(shù)學一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．集合A．，，，則（）B．D．C．【答案】C【分析】解一元二次不等式求出集合，解對數(shù)不等式求出集合，然后結(jié)合交集和補集的概念即可求出結(jié)果.【詳解】，所以，故選：C.2．棣莫弗定理由法國數(shù)學家棣莫弗（1667-1754年）創(chuàng)立．指的是設兩個復數(shù)（用三角函數(shù)形式表示），，則，已知（），，則在復平面內(nèi)所表示的點位于A．第二象限B．第一象限C．第四象限D(zhuǎn)．第三象限【答案】D【分析】根據(jù)運算法則求出【詳解】再判斷所處位置.∴，，∴在復平面內(nèi)所表示的點位于第三象限.故選:D3．已知函數(shù)，下列條件，能使得（m，n）的軌跡存在實軸和虛軸相等的雙曲線的是（）A．成等差數(shù)列B．成等比數(shù)列C．成等差數(shù)列D．成等比數(shù)列【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)列出方程，根據(jù)函數(shù)解析式化簡，再根據(jù)雙曲線的方程特點判斷.【詳解】對A，若成等差數(shù)列，則，整理可得，即，則當時，，即的軌跡為圓，時，的軌跡不存在，故A錯誤；對B，若成等比數(shù)列，則，整理可得，方程不能表示雙曲線，故B錯誤；對C，若成等差數(shù)列，則，即，整理可得，當且時，方程化為，此時表示實軸和虛軸相等的，即雙曲線，故C正確；對D，若成等比數(shù)列，則，整理可得，當，且時，由得，此時是實軸和虛軸不相等的雙曲線，故D錯誤.故選：C.4．在撫順二中運動會開幕式中，某班級的“蝴蝶振翅”節(jié)目獲得一致稱贊，其形狀近似于雙曲線，在“振翅”過程中，雙曲線的漸近線與對稱軸的夾角為某一范圍內(nèi)變動，，則該雙曲線的離心率取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】由題可知雙曲線的漸進線方程傾斜角的范圍是，進而得到的范圍，再根據(jù)離心率公式和的關系可求得范圍.【詳解】雙曲線的漸近線為，由題可知雙曲線的漸進線方程傾斜角的范圍是，，，即，故選：C5．“耐盡推排趾未顛，莫嗤身價不多錢”是清代詩人葉際唐的詩句，詩句贊頌了不倒翁自強自立﹑堅韌不拔的精神.圖中一不倒翁的三視圖，其中是給定的正實數(shù)，則該不倒翁的表面積為（）是一些不倒翁模型，假設圖是圖A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，還原幾何體，再利用圓錐和球體的表面積計算公式即可求得結(jié)果.【詳解】由三視圖可知，該不倒翁上半部分是一個圓錐，下半部分是一個半球，如下所示：圓錐底面半徑為，高為，母線長為，下半部分是一個半球，半徑為.故不倒翁的表面積為.故選：.6．已知平面非零向量滿足，則對于任意的使得（）A．C．恒有解B．恒有解恒無解D．恒無解【答案】B【分析】設，其中，記則有，即，然后分，，三種在以情況討論，再根據(jù)直線是過點的直線與圓錐曲線的兩個不同的交點和點為直徑的圓上，分析圓與相應準線的位置關系，即可求解.【詳解】解：設，其中，記則有若，即，則點的軌跡是拋物線，方程為E：，點恰為拋物線的焦點，則是過點的直線與拋物線的兩個不同的交點，點在以為直徑的圓上，此時.若，則點的軌跡是橢圓，方程為E：，點為橢圓E的左焦點，軸是橢圓的左準線，是過點的直線與橢圓的兩個不同的交點，點在以為直徑的圓上，此時圓與準線相離，故若，則點的軌跡是雙曲線，方程為E：，點為雙曲線的右焦點，軸是雙曲線的右準線，是過點的直線與雙曲線的兩個不同的交點，點在以為直徑的圓上，此時圓與準線相交，故可正，可負，可零.所以，當時，恒有，故A錯誤；當時，，與均有解，故錯誤；故選：B.【點睛】關鍵點點睛：利用坐標法，設，其中，記則有，即，然后分，，三種情況討論，將原問題轉(zhuǎn)化為判斷圓與準線的位置關系，從而解決問題.7．已知定義在上的函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：①存在使得；②有且只有兩個使得；③不存在使得；④有且只有兩個使得，其中所有錯誤結(jié)論的序號是（）A．①③B．①②C．①②④D．③④【答案】A【分析】對①，解方程即可判斷①錯誤，對②，解方程即可判斷②正確，對③，根據(jù)即可判斷③錯誤，對④，根據(jù)②即可判斷④正確.【詳解】對①，當，令，得，解得（舍去）或（舍去），當，令，解得使得，得（舍去），，故①錯誤.故不存在對②，當當，令，即，即，解得，，令，解得.所以有且只有兩個使得，故②正確；對③，當時，所以，故存在使得，故③錯誤；；對④，由②知：有且只有兩個使得所以有且只有兩個使得，故④正確.故選：A8．意大利畫家列奧納多·達·芬奇的畫作《抱銀鼠的女子》（如圖所示）中，女士頸部的黑色珍珠項鏈與她懷中的白貂形成對比.光線和陰影襯托出人物的優(yōu)雅和柔美.達·芬奇提出：固定項鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，形成的曲線是什么？這就是著名的“懸鏈線問題”.后人研究得出，懸鏈線并不是拋物線，而是與解析式為的“雙曲余弦函數(shù)”相關.下列選項為“雙曲余弦函數(shù)”圖象的是（）A．C．B．D．【答案】C【分析】分析函數(shù)【詳解】令的奇偶性與最小值，由此可得出合適的選項.，則該函數(shù)的定義域為，，所以，函數(shù)為偶函數(shù)，排除B選項.由基本不等式可得，當且僅當時，等號成立，所以，函數(shù)故選：C.【點睛】的最小值為，排除AD選項.思路點睛：函數(shù)圖象的辨識可從以下方面入手：（1）從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；（2）從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．（3）從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；（4）從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；（5）函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象.9．已知函數(shù)，且過點A．，則下列結(jié)論錯誤的是（）B．若時，將的圖象向右平移個單位長度得到的圖象關于原點對稱最小正周期取最大值時，C．若D．若，且在上單調(diào)遞增，則【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)過點得；代入求出，再利用輔助角公式將函數(shù)化簡，最后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可【詳解】解：因為函數(shù)過點，所以，所以．又因為，所以，故選項A正確；所以，當時，，設將的圖象向右平移個單位長度得到的圖象，則，易知的圖象關于原點對稱，故選項B正確；當時，解得．因為的最小正周期，所以時，最大，故選項C正確；因為若，所以在上單調(diào)遞增，則，所以，故選項D錯誤，故選：D．10．由于疫情防控需要，電影院觀影實行隔空位就座．甲、乙、丙、丁四個人結(jié)伴前往觀影，已知目前只剩同一排的8個空位，甲、乙必須在丁的同側(cè)，則不同的坐法種數(shù)是（）A．16B．40C．80D．120【答案】C【分析】利用排列、組合以及插空法即可求解.【詳解】甲、乙兩人有，丁在甲、乙的左側(cè)或右側(cè)，丙在三人中的個空隙中任選一個位置，所以甲乙必須在丁的同側(cè)，故種數(shù)為又必須隔空而坐，故采用插空法，，，故最終總數(shù)為.故選：C.二、填空題：本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分。11．已知實數(shù)a、b使得不等式|ax2+bx+a|≤x對任意x∈[1，2]都成立，在平面直角坐標系xOy中，點（a，b）形成的區(qū)域記為Ω．若圓x2+y2＝r2上的任一點都在Ω中，則r的最大值為_____．【答案】【分析】在x∈[1，2]的條件下，把等式|ax2+bx+a|≤x等價轉(zhuǎn)化，利用函數(shù)最值建立關于a，b的二元一次不等式組，畫出其可行域Ω，再用幾何意義得解.【詳解】任意x∈[1，2]，，而函數(shù)在[1，2]上單調(diào)遞增，則，又關于a的函數(shù)在上圖象是線段，最大值是或所以，該不等式組表示的平面區(qū)域即是點(a，b)形成的區(qū)域Ω，如圖中陰影區(qū)域(平行四邊形ABCD)：點O(0，0)到直線或的距離的距離，點O(0，0)到直線或，而，要圓x+＝r2上的任一點都在Ω中，當且僅當22y，即r的最大值為.故答案為：【點睛】關鍵點睛：非線性目標函數(shù)的最值求法，關鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想方法，給目標函數(shù)賦于一定的幾何意義．12．將個填入如圖的九宮格中，使得每行數(shù)字之和、每列數(shù)字之和，個，個都為奇數(shù)，不同的填法有___________種.（用數(shù)字回答）【答案】【分析】先考慮奇數(shù)位置的擺放，然后從奇數(shù)的個位置中選擇個位置放，利用分步乘法計數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】若某行（列）的數(shù)字和為奇數(shù)，則該行（列）的奇數(shù)個數(shù)為個或個，題中有個奇數(shù)，個偶數(shù)，則分布到行，必有一行有個奇數(shù)，另兩行只有個奇數(shù)，列同理，則奇數(shù)的位置分布有種，對于每種位置，從個位置中選擇個位置放由分步乘法計數(shù)原理可知，不同的填法種數(shù)為，有種.種.故答案為：【點睛】.關鍵點點睛：本題考查數(shù)字的填空問題，解題的關鍵在于分析出奇數(shù)在九宮格中的位置以及奇數(shù)所占的位置中對應奇數(shù)的分布.13．楊輝三角為：楊輝三角中存在著很多的規(guī)律，根據(jù)連線上的數(shù)字猜想下列數(shù)列前若干項的和：___________．【答案】【分析】先由1+2+3+4=10可猜想：，再利用二項式系數(shù)的性質(zhì)進行證明.【詳解】由1+2+3+4=10可猜想：.下面進行證明：因為所以，.故答案為：.14．將2名科學家和3名航天員從左到右排成一排合影留念，用表示兩名科學家之間的航天員人數(shù)，則_______，_______．【答案】11【分析】根據(jù)題意可得的所有可能取值為0，1，2，3，求出對應的概率，進而求出計算即可.和，根據(jù)【詳解】解：的所有可能取值為0，1，2，3．；；；．得，所以，所以．故答案為：1；115．已知△的內(nèi)角的對邊分別為，若,，且，則____;若△的面積為，則△的周長的最小值為_____.【答案】【分析】6先根據(jù)向量垂直得出邊角關系，然后利用正、余弦定理求解的值；根據(jù)面積以及在余弦定理，利用基本不等式，從而得到周長的最小值（注意取等號條件）.【詳解】由得得,∴∴；∴又所以（當且僅當【點睛】時等號成立）（1）（2），若垂直，則有：；取等號的條件是：.16．設展開式中，各項系數(shù)之和為4，則____；展開式中的常數(shù)項為____________.【答案】【分析】利用特殊值法令即可求出的值，再分析的展開式中的項和項的系數(shù)結(jié)合多項式乘法的性質(zhì)即可得到【詳解】的展開式中的常數(shù)項.解：由展開式中，各項系數(shù)之和為4令，即，解得：的展開式的通項為由由，得，得所以的展開式的常數(shù)項為：故答案為：，.17．已知是數(shù)列的前項和，，則，則___________，若___________.【答案】【分析】當出時，的前項和，當，分時，，檢驗即可求解.是否滿足即可得，求和時求【詳解】當當時，，時，，因為由滿足上式，所以可得，，當時，時，，此時，當，此時，所以，所以，故答案為：；.三、解答題：本大題共5小題，共74分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。18．已知內(nèi)角、、的對邊為、、，且滿足______．①，②，③，在這三個條件中任選一個，補充在上面的題干中，然后解答問題．（1）求角；（2）點為內(nèi)一點，當時，求面積的最大值．【答案】條件選擇見解析：（1）；（2）．【分析】（1）選①：利用正弦定理結(jié)合兩角和的余弦公式變形可得出的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；選②：利用兩角和與差的正弦公式化簡可得出的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的選③：利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式化簡可得出值；（2）利用余弦定理求出的值，然后在中利用余弦定理結(jié)合基本不等式可求得的最大值，結(jié)合三角形的面積公式可得結(jié)果.【詳解】（1）選①：，由正弦定理得，因為，則，所以，即，可得，因為，所以；選②：所以，所以，，即因為，，則，所以，，因為，所以；選③：整理得，由正弦定理得，，因為，則，所以，因為，所以；（2）由余弦定理，中，由余弦定理得，當且僅當時取等號，所以，，即面積的最大值．19．在平面直角坐標系中，為橢圓的左，右焦點，，直線與交于兩點，且四點共圓.（1）求橢圓（2）為的方程；上的一點(非長軸的端點)，線段，的延長線分別與交于點；，求的最大值.【答案】（1）（2）.【分析】（1）若，由橢圓的對稱性易知，互相平分，結(jié)合題設在以為圓的方程；心，為半徑的圓上，再由在橢圓、直線上求橢圓參數(shù)，寫出橢圓（2）令，為，聯(lián)立橢圓方程，應用韋達定理、三角形面積公式可得，進而應用基本不等式求面積最大值，注意等號成立條件.（1）設，又，互相平分且四點共圓，∴，是圓的直徑且是圓心，∴∴，，，又，，故橢圓的方程為；（2）由（1）知：，設，直線為，代入，得，則，且，∴，連接，則，∵∴，當且僅當時取等號，，故面積的最大值為.20．已知等差數(shù)列的通項公式.設數(shù)列為等比數(shù)列，且.（Ⅰ）若，且等比數(shù)列的前4項；的公比最小，（i）寫出數(shù)列（ii）求數(shù)列（Ⅱ）證明：以的通項公式；為首項的無窮等比數(shù)列有無數(shù)多個.【答案】（Ⅰ）（i）2，8，32，128；（ii）；（Ⅱ）證明見解析.【分析】（Ⅰ）（?。懗鰯?shù)列的前若干項，觀察可得等比數(shù)列的最小公比為4，即可求解；（ⅱ）由（ⅰ）可知的通項公式，由等差數(shù)列的通項公式可得，證明為整數(shù)即可；（Ⅱ）設數(shù)列是數(shù)列中包含的一個無窮等比數(shù)列，求出，，公比，只要證是數(shù)列的項，運用歸納法證明即可.【詳解】（Ⅰ）觀察數(shù)列的前若干項：2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，….因為數(shù)列是遞增的整數(shù)數(shù)列，且等比數(shù)列以2為首項，顯然最小公比不能是，最小公比是4.（?。┮?為首項，且公比最小的等比數(shù)列的前四項是2，8，32，128.（ⅱ）由（?。┛芍?，所以.又，所以，即.再證為正整數(shù).顯然為正整數(shù)，時，，即，故為正整數(shù).所以，所求通項公式為.（Ⅱ）設數(shù)列是數(shù)列中包含的一個無窮等比數(shù)列，且，，所以公比.因為等比數(shù)列各項為整數(shù)，所以為整數(shù).?。ǎ瑒t是數(shù)列，故.只要證的項，即證.只要證為正整數(shù)，顯然為正整數(shù).又時，，即故