立體幾何題型與方法理科

（1）.證明點(diǎn)共線的問題，一般轉(zhuǎn)化為證明這些點(diǎn)是某兩個(gè)平面的公共點(diǎn)（依據(jù)：由點(diǎn)上，線在面內(nèi)，推出點(diǎn)在面內(nèi)），2（1）.[注]：①兩條異面直線在同一平面影一定是相交的兩條直線.（×）（也可能兩條直線平行，也可能是點(diǎn)a、b異面，a平行于平面，b與的關(guān)系是相交、平行、在平面斜線段

ab是夾在兩平行平面間的線段，若abab（直線與直線所成角[0,90]）（向量與向量所成角[0,180（3）.l1l2是異面直線，則過l1l2PP且與l1l2都平行平面有一個(gè)或沒有，但與l1l2距離相等的點(diǎn)在同一平面內(nèi).（L1L2L1L2平行的平面）（2）.直線與平面平行判定定理：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行.（“線線平行線面平行”）[注]：①直線a與平面內(nèi)一條直線平行，則a（×）（平面外一條直線②直線a與平面內(nèi)一條直線相交，則a與平面（×）（平面外一條直線③若直線a與平面平行，則內(nèi)必存在無(wú)數(shù)條直線與a（√）（不是任意一條直線，可利用平行的傳⑥直線l與平面所成角相等，則.（×）（可能相交（3）.直線和平面平行性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行.（“線面平行線線平行”）P（4）.直線與平面垂直是指直線與平面任何一條直線垂直，過一點(diǎn)有且只有一條直線和一個(gè)平面垂直，過一PPA⊥aAO，得aPO（三垂線定理 直線與平面垂直的判定定理一：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這兩條直線垂直于個(gè)平面.（“線線垂直線面垂直（1）.面平行面面平行”）行線線平行”）（5）.兩個(gè)平面垂直性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線也垂直于另一POOA、OBl1,l2因?yàn)镻M,OA,PM,OB則PMOA,PMOB.所以結(jié)論成 m2nm2n2d22mn（6）.兩異面直線任意兩點(diǎn)間的距離公式：l （為銳角取減，為鈍角取加 綜上，都取減則必有0 2（1）.a.coscos1cos2（1為最小角，如圖 圖 圖（1）.SCh（Ch是高）②斜棱住側(cè)面積：SC1l（C1是斜棱柱直截面周長(zhǎng)，l是斜棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)）

矩

.推論一：長(zhǎng)方體一條對(duì)角線與同一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱所成的角為,，則cos2cos2cos21推論二：長(zhǎng)方體一條對(duì)角線與同一個(gè)頂點(diǎn)的三各側(cè)面所成的角為,，則cos2cos2cos22.（2）.②一個(gè)棱柱可以分成等體積的三個(gè)三棱錐；所以V棱柱Sh3V棱柱.[注]：i.正四棱錐的各個(gè)側(cè)面都是全等的等腰三角形.（不是等邊三角形）S1Ch（底面周長(zhǎng)為C，斜高為h2S側(cè)

S

（側(cè)面與底面成的二面角為ll b附：以知clcosab，為二面角alb則S1al①，S1lb②，cosab③①②③得 S底 DEFHGDEFHG簡(jiǎn)證：AB⊥CD，AC⊥BDBC⊥AD.ABaADcACAb ，已知 Abacbc0則BCAD0

acb0,bac

c ACO，則ooACBOACAC平面OOBACBOFGH90°EFGHEFGHEFFGEFGH為正方形 S4R2.②球的體積公式：V4R33PPAB兩點(diǎn)的經(jīng)度差，是指分別經(jīng)過這兩點(diǎn)的經(jīng)線與地軸所確定的二個(gè)半平面的二面角的度數(shù)，AB點(diǎn)的經(jīng)度.附：①圓柱體積：Vr2h（rh為高②圓錐體積：V1r2h（rh為高3③錐體體積：V1Sh（Sh為高3（1）.①內(nèi)切球：當(dāng)四面體為正四面體時(shí)，設(shè)邊長(zhǎng)為ah

6a，S

3a2，S

3a2，得 33a26a 3a2R1 3a2RR 2a/ 3 2a 6a3

13

R33

RS

hO 注：①若a與bb與c共線，則a與c共線.（×）[當(dāng)b0②向量abc共面即它們所在直線共面.（×）③若ab，則存在小任一實(shí)數(shù)，使ab.（×）[與b0④若a為非零向量，則0a0.（√）[這里用到b(b0b.共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量a,b(b0，ab的充要條件是存在實(shí)數(shù)（具有唯一性），使ab.c.共面向量：若向量a使之平行于平面a在a與的關(guān)系是平行，記作a∥.d.abPab共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對(duì)x、yPxayb②空間OPxOAyOBzOC(xyz1)PABC（OP(1yz)OAyOBzOCAPyABzACP、A、B、C四點(diǎn)共面）x、y、zpxaybzc推論：設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P,都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、zOPxOAyOBzOC注：設(shè)四面體ABCD的三條棱，ABb,ACc,ADd, OQ△BCDAQ1(abcAQAMMQO3對(duì)空間任一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A、B、C，滿足OPxOAyOBzOC 則四點(diǎn)P、A、B、C是共面xyz （3）.a.空間向量的坐標(biāo)：空間直角坐標(biāo)系的x軸是橫軸（對(duì)應(yīng)為橫坐標(biāo)），y軸是縱軸（對(duì)應(yīng)z軸是豎軸（對(duì)應(yīng)為豎坐標(biāo)①令a=(a1,a2,a3bb1b2b3

ab(a1b1,a2b2,a3b3)，a(a1,a2,a3)(R)，aba1b1a2b2a3b3a∥bab

,a

(R)a1a2a3 1

b baaa2122a3aaba1b1a2aaa2122a3a (向量模與向量之間的轉(zhuǎn)化：a2aa aa

aba

a空間兩個(gè)向量的夾角公式cosa,b（a＝(a1a2a3)，b＝(b1,b2,b3)）

|a

|b

1 2 3 a2a2a2a2 b2b2 (x2x1)(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)法向量：若向量a所在直線垂直于平面，則稱這個(gè)向量垂直于平面a，如果a那么向量a叫做平面的法向量.①利用法向量求點(diǎn)到面的距離定理：如圖，設(shè)n的法向量，ABA|ABnB

|nnCD②.異面直線間的距離d (l1,l2是兩異面直線，其公垂向量為n，C、D分別是l1,l2nCD為l1,l2間的距離ABarc

AB|AB||m

m為平面④.利用法向量求二面角的平面角定理：設(shè)n1n2分別是二面角l中平面n1n2所成的角就是所求二面角的平面角或其補(bǔ)角大?。╪1,n2n1,n2反方，則為其夾角）.二面角l的平面角arc

m|m||n

或arc

m|m||n

（mn為平面的法向量證直線和平面平行定理：已知直線a平面ABaCDC、D、Ea∥的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)ABCDCE.（ABCDCE求解若不AB）.▲▲CD ▲BnAC一 經(jīng)典例題剖ABC三點(diǎn)不共線，對(duì)平面外任一點(diǎn)，滿足條件OP1OA2OB2OC PABCPABCxyAPxAByAC或?qū)臻g任一點(diǎn)O，有OPOAxAByAC。答案5OPOA2OB2OC∴(OPOA)2(OBOP)2(OCOP)所以，點(diǎn)PABC共面．ABCDADEF所在平面互相垂直，點(diǎn)MNBDAEBM1BDAN1AEMN平面CDE MN平面CDENM可以用平面CDE內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量DE和DC線性表示．答案:MBDBM1BD3MB1DB1DA1ABAN1AD1DE CDBAAB，所以MNMBBA(1DA1ABBA1AD1DE)2BA1DE2CD1DE．又CDDE MNCDDEMN不在平面CDE內(nèi)，所以MN平面CDE,求證：AC1//CDB1；答案:解法一：（I）直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三邊長(zhǎng)AC⊥BCBC1ABCBC（II）CB1C1BEDEDAB的中點(diǎn)，EBC1DE//AC1DECDB1，AC1zCBAEC xAzCBAEC xA∴AC、BC、C1CCCA、CB、30），C（0,0，4），B（0,4，0），B（0,4，4），D（ 2（1）∵AC＝（－3,0，0），BC1＝（0，－4,0），∴AC?BC13（2）CB1C1BEE（0,2，2）DE＝（－21AC＝（－3,0，4），∴DE1AC，∴DE∥AC1 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)面面平 線面平 線線平行轉(zhuǎn) 3 MPCPAD內(nèi)找一點(diǎn)NMNPCPBD答案：（1）MPCPDE 1CD2

2ABMEBMEABM平面EA平面BM∥平面 （4分

1,y1,z

在平 內(nèi)

由 zMNPB12z22

yMN

MNDB12y22N011NAEMN平面

（8分 22PCPBD所成的角為

1PC2,2,2，MN

， 為 2cos

23232

sincos 3

PCPBD232

（12分MPCPDE 1CD2

12ABMEBMEABM平面PADEA平面PADBM平面

（4分由（1）ABMEPA底面ABCDPAAB，又ABAB平面 同理CD平面PAD，AE平面AB ABME為矩 CD∥ME，CDPD，又PDME

PD平面

PD平面平面PBD平面 作MFEB故MF平面223223MF

，NE

NAENAEMN平面

（8分由（2）MFMPBDMPFPCPBD所成的角，設(shè)為sinMF PCPBD所成的角的正弦值為3根據(jù)定義找出或作出所求的角與距離，然后通過解三角形等方法求值，注意“作、證、算”的有機(jī).解題時(shí)注意各種角的范圍：異面直線所成角的范圍是0°＜θ≤90°，其方法是平移法和補(bǔ)形法；直線與平面所成角的其逆定理；③垂面法另外也可借助空間向量求這三種角的大小.（省市2007屆高中畢業(yè)班第三次性檢測(cè)）PABCDPDC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，且與底ABCD是ADC60MPB的中點(diǎn).PAABCDPA平面CDMDMCB移 答案：(I)DCOΔPDCPO⊥DC．PDCABCD，∴POABCDO．OAOAPA在底面上的射影．∴∠PAOPA3 3∴∠PAO=45°．∴PA與底面ABCD可成角的大小為 ……6A(300),P(00,3),D(010),B(320),C(010MPBM

3,1,3) ∴DM

3,2,3),PA(3,0,

DC(0,2,0) ∴PADM

33203

3)0 PADC

320

3)0 ……4(IIICM30,3),CB(310)BMC的法向量nx,y,z) nCM0x+z=0；

nCB0，從而3xy0由①、②，取x=?1，則y3,z1 ∴可取n(1,3,1)由(II)CDMPA(303)∴cosn,PA

n

23

10．∴所求二面角的余弦值為－10．……6 5 ，APNMN，由（Ⅰ）ABCD中，由于ADC，AOCDPOCD，則CD平面APO，即CDPA又在

MN

12

，CO//2

ABMN//CO則四邊形OCMN為，所以MC//ON，在APO中，AOPO，則ONAP，故APMC而MC CDC，PA平面由（Ⅱ）MC平面PAB，則NMBDMCBRtPABPA

6,PB

10，cosPBAAB 10PA26PA2622cosNMBcos(PBA)

10故，所求二面角的余弦值為 D1（2007河北省唐山市三模）如圖，D1點(diǎn)E段AB上11D1ECD45，求BD1EC的距離.解析：本題涉 幾何線面關(guān)系的有關(guān)知識(shí),本 結(jié)到三角形中,最好是直角三角形,這樣有利于問題 AD1D1ED1EA1D所成的角為90。DFCEFD1F，則CED1F所以DFD1D1ECDDFD1452DFDD11D1F2易得RtBCERtCDF，所以CECD2，又BC1，所以BE 3。設(shè)點(diǎn)B到平面D1EC的距離為h. 11CEDFh11BEBCDD 3 3 63 ，∴h436BD1EC的距離為4∵DA1D1E1010∴DA1D1EA1D所成的角為90（Ⅱ）m00,1DEC的法向量，設(shè)nxyz為面CED1x2y2n(x,y,z)|cosm,n||mn| |z x2y2|m||n ∴z2x2y2 由C(020)D1C021nD1C，即nD1C∴2yz 由①、②，可取n3,1又CB100BD1EC6|CBn 6d |n 2 點(diǎn)評(píng)：幾何的內(nèi)容就是空間的斷、推理、明、角度和距離、面積與體積的計(jì)算這是幾的點(diǎn)內(nèi)容,本題實(shí)質(zhì)上求角度和距離,在求此類問題中,盡量要將這些量歸結(jié)于三角形中,最好是直角三角形,這樣計(jì)算起（2007年4月濟(jì)南市 ：邊長(zhǎng)為2的正方形ABFC和高為2的直角梯形ADEF所在的平2互相垂直且 ，ED//AF且∠DAF=90°2BDBEFEFPP、A、CDBEPPF的比值；若不.先假設(shè)存在，再去推理，下結(jié)論：答案：（1）AC、AD、AB兩兩垂直，建立如圖坐標(biāo)系，B（2，0，0），D（0，0，2），DB2,0,0BE1,1,2BFBEF的法向量n(x,yz),則y2z0y0，則可取n2,1,0DB和n2,0,1222022 22。即BD和面BEF所成的角的余 （2）EFPP、A、CDBEPPFm點(diǎn)坐標(biāo)為(12m12m

21 1

1AP(12m12m

2，向量CP(12m

1

1

1

1

1

1所以212m012m 0,所以m11

1

1 (2007文)如圖在三棱錐VABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中點(diǎn)且ACBCa∠VDC0π 2 Ｖ求證：平面VAB⊥平面VCDＶ試確定角BC與平面VABπ6答案:解法1：（Ⅰ）∵ACBCa，∴△ACB是等腰三角形，又D是AB的中點(diǎn) ∴CDAB，又VC底面ABC．∴VCAB．于是AB平面VCD 又AB平面VAB，∴平面VAB平面VCD （Ⅱ）過點(diǎn)C在平面VCD內(nèi)作CHVDH，則由（Ⅰ）知CD平面VAB．BH，于是CBHBC與平面VAB所成的角．依題意CBHπ6Rt△CHDCH

2asin2Rt△BHCCHasinπa ∴sin 22∵0π，∴π 故當(dāng)πBC與平面VABπ 解法2：（Ⅰ）以CA，CB，CV所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立的空間直角坐標(biāo)系，C(0，A(0，B(，0，D

，atan，

V VDa

222

a

， atan，CD

02

2 ，2 AVD 2atan1a21a200 ·，，

2 即ABVD．又CD VDD，∴AB平面VCD．又AB平面VAB．∴平面VAB平面VCD（Ⅱ）設(shè)平面VAB的一個(gè)法向量為nx，y，z，VD axay 得axay 2aztan ，2a0)于是sinπ6

sin222即sin

2∵0π，∴=π 故交πBC與平面VABπ D(

2a0

，a

C 200，V

2，2atanA

，，B0

，，

DV2DC2DV2DC22于 ，

atan

0(，20) 0 (，20) ，atan 0，即ABDV 又 DVD

AB平面VCDAB平面VAB，∴平面VAB平面VCD設(shè)平面VAB的一個(gè)法向量為nx，y，z2ay

aztanBCBC2

2a0， D 2a2a26

2sin2即sinπ0π，∴π．故角π πBC與平面VAB所成角為．69．（2006年遼寧高考）已知正方形ABCD E、F分別是AB、CD的中點(diǎn),將ADE沿DE折起,如圖所示,記二面角ADEC的大小為(0)BFADE若ACD為正三角形試判斷點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影GEF上,證明你的結(jié)論,并求角的余弦值解(I)證明:EF分別為正方形ABCD得邊ABCD的中點(diǎn) EB//FD,四邊形EBFD為平行四邊 (II)如右圖,點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上,過點(diǎn)A作AG垂直于 面BCDE,垂足為G,連結(jié)GC,GDACD為正三角形GCD的垂直平分線上,ABCDEGEF上過GGH垂直于ED于H,連結(jié)AH,AHDE,所以AHD為二面角A-DE-C的平面角即AHG設(shè)原正方體的邊長(zhǎng)為2a,連結(jié)AF,在折后圖的AEF中 3a,EF=2AE=2a,即AEF為直角三角形AGEFAEAFAG

3a在RtADE中,AHDEAEADAH a25225GH

a,cosGH2 210．M-ABCDMA＝MD，MA⊥AB，如果ΔAMD1，試求能夠放入這∴AB⊥∴ME⊥a2(2a2(2a2

EFEMaaa2 a2(2aa

2

22222222a＝a

2222

-22二 方法總結(jié)高190o；2123123190o23

d|AB·n|n

d|AB·n123 |n（其中A為已知點(diǎn)，B為這個(gè)平面內(nèi)的任意一n這個(gè)平面的法向量12,[0,]，如果求出的是鈍角，要注意轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的銳12的角α，或 1○2cosS（○Sπ－α）；3 補(bǔ)交 所要求的角互余所以要或若求出的角為銳角就用若求出的鈍角就用 （5）．求二面角時(shí)，若用第2、3種方法，先要去判斷這個(gè)二面角的平面角是鈍角還是銳角，然后再根據(jù)我般都有二種以上，并且一般都能用空間向量來求解．高考試題中，幾何側(cè)重考查學(xué)生的空間概念、邏輯思維近幾年凡涉及空間向量應(yīng)用于幾何的高考試題，都著重考查應(yīng)用空間向量求從命題形式來看，涉及幾何內(nèi)容題形式最為多變.除保留傳統(tǒng)的“四選一”的選擇題型外，還嘗試３．從方法上來重考公理化方法，如解注重理論推導(dǎo)和計(jì)算相集；考查轉(zhuǎn)化的思想法如經(jīng)常要把幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來解決；考查模型化方法和整體考慮問題、處理問題的方法，如（一）選擇題

三 強(qiáng)化訓(xùn)（（Ａ）１個(gè)（Ｂ）２個(gè)（Ｃ）３個(gè)（Ｄ）４5 5P到A點(diǎn)的距離 （

3 3直角三角形ABC的斜邊AB在平面α內(nèi)，直角頂點(diǎn)C在平面α外，C面α內(nèi)的射影為C1C1AB，則為（ A.1個(gè)平 B.4個(gè)平 D.無(wú)法確是1，那么這個(gè)球的半徑是( 6333 333

棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1被以A為球心，AB為半徑的球相截，則被截形

D．4 命題①空間直線a，b，c，若a∥b，b∥c則 ②非零向量abc，若a∥b，b∥c則a∥α、β、γα⊥β，β⊥γα∥γ④空間直線a、b、ca⊥b，b⊥c⑤直線a、b與平面β，若a⊥β，c⊥β，則 A（ C、（0， D（， 2332 233266

1—12【答案】DPAB，AC都平行的平面，則它符合要求；設(shè)邊AB，BC，CA的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，GPEFPFGPGE符合要求1111【答案】C解析：∵CA2+CB2<CA2+CB2＝AB,ACBCAB1111個(gè)平面，當(dāng)?shù)谒膫€(gè)點(diǎn)在α34個(gè)平面.C.【答案】Br，則r＝3：3

，又同理，ΔBOC、ΔCOAΔABCR，rΔABC33 33 3333 314

8

×4π·125π4【答案】B．解析：當(dāng)有nan種支撐法，n4，56，…，則an+1=an+3－1=an+2∴{an}n4，5，6，…，a44∴an=2n－4，A2006＝4008【答案】A．解析：法一：正三棱錐P–ABC，O為底面中心，不妨將底面正△ABC固定，頂點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)，PO→+∞時(shí)，∠AHC→∠ABC3

<∠AHCπHAOHAOPAB=2，PCxxOC233x21x等腰△PBC中，S△PBC=1x·CH=1x21x 121121x等腰△AHC中，sinAHC2 Bx>231sinAHC<1AHC 2(22)22(22)2.8（１）由正方體的八個(gè)頂點(diǎn)可以組成c3568

，所以底面邊長(zhǎng)的一半等于24 面的三角形有c24個(gè)4c3（４）從56個(gè)三角形中任取兩個(gè)三角形共面的概率p c3

；

367（二）填空題在三棱錐P—ABC中，底面是邊長(zhǎng)為2cm的正三角形，PA＝PB＝3cm，轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)P時(shí)，三棱錐的最大體積為 14．P為ABC所在平面外一點(diǎn)，PA、PB、PC與平面ABCPABC垂直，那么ABC的形狀可以是。①正三角形②等腰三角形③非等腰三

表面積 如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1

1M在A

AM=3

AB，點(diǎn)P在平面 上，且動(dòng)點(diǎn)P到直線A1D1的距離的平方與P到點(diǎn)M點(diǎn)P的軌跡方程是 13—16DDPCy2。

cm3解析:P到面ABCPAB1PD=22cm．V

344

2232

由題意可知ABCBC邊的高線上，故一定有AB=AC選（1）（2）（4）3 .113

4 3464

3 343y22x1。解析：PPQ⊥ADQQQH⊥A1D1HPH PH⊥A1D1.P（x，y），∵|PH|2-|PH|21，∴x2+1-[(x1)2+y2=1y22x1 （三）解答題ODACBHF已 ABCD，從平面ACODACBHFOEkOA,OFKOB,OGkOC,OHkODEFGHACEG解：（1）ABCDACABAD∵EGOGOE kOCkOAk(OCOA)kACk(AB k(OBOAODOA)OFOEOHEFEFGH（2）∵EFOFOEk(OBOAkABEGkAC∴EF//AB,EG//ACEGDBD如圖，PABCD是正四棱錐,ABCDA1B1C1D1是正方體，其DBD6AB2,PA 6 求1到平面D的距離． A解：(Ⅰ)連結(jié)AC,交BD于點(diǎn)O,連結(jié)PO,則PO⊥面ABCD,∵AC

（Ⅱ）AO⊥BDAO⊥PO∴AOPBD,OOM⊥PD連結(jié)AM,則AM⊥PD ∴∠AMO就是二面角A-PD-O的平面角 6262623又∵AB2,PA , 6262623POOM ,∴tanAMO

AO

2 6

19 36即二面角的6即二面角的大小為 1h

1AO

h65 BPAD6

3

P-ABCD中，底面ABCDPA垂直于底面，E、F分別是AB、PCEFPCDABCD成多大二面角時(shí)，EFPCD？證：（1）CDG，連結(jié)EG、∵E、F分別是AB、PCEF//（2）PCD與平面ABCD45角時(shí)，直線EF證明：∵G為CD中點(diǎn)，則 ，∵PA底面ABCD∴AD是在平面ABCD內(nèi)的射影?！逤D平面ABCD，且CDAD 故EGF為平面PCD與平面ABCD所成二面角的平面角即EGF=45， =45，AD=AP.由RtPAERtCBE，得PE=CE.又F是PC的中點(diǎn)，∴EFPC.由CDE FG，得CD平面EFG，∴CDEF，即EFCD，故EF平面PCD．ABCDE中，ABACD，DEACD，ACADCDDE2a，ABa，F(xiàn)CD的中點(diǎn)ACDBCE所成二面角的大小.解：（Ⅰ）∵DEACD，AFACD又∵AC=AD=C，F(xiàn)CD DE平面AB平面ACDDE//AM//BE，則∠CAMACBE所成的角。在△ACMAD2DM4a2AD2DM4a2aCD2DM4a2CD2DM4a2a(2a)2(5a)(2a)2(5a)2(22a555∴異面直線AC、AE所成的角的余弦值 5512

DEAGDFCDCG//AFBDPCD11112

2

又∵AC平面PMD，ME平面∴AC//PMD1，PBABCD，CDABCD，∴CD⊥PB。又∵CD⊥BCCDPBC。∵CDPCD，∴平面PBCPCDBBF⊥PCFBFPDC，連DF，DFBDPCD上的射影?！唷螧DFBDPDC不妨設(shè)AB=2，則在Rt△BFD中，BF1BD， BDPCD6A作AN⊥DGNMN∵PBABCD，∴∠MNAPMD與平面ABCD所成在Rt△MAN中，tanMNAMA 2 222222AA1BC解：（I）A1DABC，BCACBCAA1C1C，BCAC1BA1AC1

ACBC2， ACD。。AA1AC2DAC中點(diǎn)，知A1ACAA1FAA1BCFA1ABBCF，過C作CHBFH，則CHA1AB，RtBCFBC2,CF

3，故CH221722即CC1到平面A1AB的距離為CH HHGA1B于G，連CG，則CGA1B，從而CGHAA1BC的平面角，2在RtA1BC中，A1CBC2，所以CG 2在RtCGH中，sinCGHCH 42 故二面角AA1BC的大小為 2：（I）ABEDEBCBCAC，DEACA1DABC，DEDCDA1xyz軸建立空間坐標(biāo)系，A010C0,10B2,10，A10,0,t，C10,2,tAC10,3,t，BA12,1,tCB200A1CCB0A1CCB，BA1AC1，從而AC1平面A1BC；由ACBA3t20，得t 3 設(shè)平面A1AB的法向量為nx,yzAA10,1,3AB220，所

3z

z1n

3,

nnAB2x2n所以點(diǎn)C1到平面A1AB的距離d

2。7再設(shè)平面A1BC的法向量為mxyzCA101,3CB200，

3z

z1m0, mCB2x故cosmn

mnm

777AA1BC的大小為arccos77（四）創(chuàng)新試題ABC—A1B1C1中，DBC求證：A1C//平面B—AB1—DcAB1D的距離.A1BA1B∩AB1E∵ABC—A1B1C1是正三棱柱，且AA1∴四邊形A1ABB1∴EA1B的中點(diǎn)，DBC∵DE平面AB1D，A1C平面∴A1C∥平面ABCDF⊥ABF，在面A1ABB1FG⊥AB