數(shù)學文化教案

數(shù)學文化第0章關于“數(shù)學文化”課《數(shù)學文化》這門課不是以數(shù)學的知識系統(tǒng)為線索進行教學，而是以比較淺顯的知識為載體，講授數(shù)學的思想、精神、方法，旨在提高大學生的數(shù)學素質、文化素質和思想素質。該課程講究科學素質教育與人文素質教育的有機融合。今天第一堂課講序言，介紹數(shù)學文化課，主要有5個內容。以及“數(shù)學文化”課的開設，"數(shù)學文化"課的上法，和“數(shù)學文化”課的考核與評分。第三周每堂課安排一位同學演講，時間大概15-20分鐘。一、"數(shù)學文化”一詞的使用“數(shù)學文化”一詞在世界上出現(xiàn)已經有二三十年了，在中國，比較早的是1990年北大鄧東皋先生的一本書--《數(shù)學文化》里邊，還有武漢大學前校長，數(shù)學家齊民有先生。對許多人來說，"數(shù)學文化”一詞是陌生的，近年來使用頻率才大大增加，說明他是有生命力的，說明許多人更愿意從文化角度來關注數(shù)學，更愿意強調數(shù)學的文化價值。中華人民共和國教育部2003年頒布的《普通高中數(shù)學課程標準》中，有四個地方用較大的篇幅談到“數(shù)學文化"，說明這一詞已在官方文件中正式使用。2002年，北京國際數(shù)學家大會期間，陳省身先生為"中國少年數(shù)學論壇"活動題詞"數(shù)學好玩"，鼓勵青少年喜愛數(shù)學、學好數(shù)學。二、什么是“教學文化”？對這一詞的理解，不同的學者從不同的角度有不同的理解。到目前為止還沒有哪一位學者給出數(shù)學文化這個詞的定義，得到所有人的共識。首先看"文化"。有狹義和廣義兩種說法。最狹窄的一種就是說文化就是知識，說一個人有文化，就是說他有知識，這是最狹義的，還有好多好多，我就不在這兒列舉了，但是各個詞典，關于文化這個詞的廣義的解釋，都差不多。文化是人類社會，歷史實踐過程中所創(chuàng)造的，物質財富和精神財富的積淀，有相對的穩(wěn)定性，是一種上層建筑，還包含數(shù)學史、數(shù)學美、數(shù)學教育、數(shù)學與人文的交叉、數(shù)學與各種文化的關系這是文化的廣義的解釋。“數(shù)學文化”也有狹義和廣義兩種說法。簡單地說“數(shù)學文化”課的宗旨就是要提高學生的數(shù)學素養(yǎng)。一個人從小學到大學要學十幾年的數(shù)學，但并不是學的時間越長，而掌握數(shù)學的精髓，相反，大多數(shù)學生對數(shù)學的思想精神了解的比較膚淺，數(shù)學素養(yǎng)較差，他們認為只要會做題，能應付考試，就可以了。教師在這個教學活動當中，往往先把自己變成類型題的，有效解題者和熟練操作工，什么意思呢？就是說，拿到一道題以后，馬上能判斷這道題是哪種類型，然后這種類型，分幾步可以解出來，然后就能把這個題完成，再努力把學生也變成這種，類型題的有效解題者和熟練操作工，這個對于考試確實是有用的，能提高分，但是對于了解數(shù)學的思想，培養(yǎng)數(shù)學的素養(yǎng),是有所欠缺的，所以我們大學教師常常會感到，中學輸送來的好學生，很會做習題，但是不大善于學數(shù)學，那么實際上，學生畢業(yè)以后走入社會，如果不是在，與數(shù)學相關的領域工作，那么學過的那些數(shù)學定理，公式，解題方法，可能大多用不上， 很快多少年就忘掉了。我們曾經在一個，教學研究的項目里邊，做過問卷調查，就是四十歲上下的這些人回答，說我十三年的數(shù)學白學了，一大批人這樣回答，說我畢業(yè)以后，我就沒用過一個數(shù)學定理，一個數(shù)學公式，我十三年的數(shù)學白學了，可能他確實沒有用過，一個數(shù)學定理一個數(shù)學公式，但是絕不是十三年數(shù)學白學了，因為老師在十三年的數(shù)學課當中，除了教給你數(shù)學定理、數(shù)學公式以外，還教給了你它背后的數(shù)學思想，提高了你的數(shù)學素養(yǎng)，這些數(shù)學素養(yǎng)，在你參加工作以后，無論是有意識的還是無意識的， 一定是用過的，不會是沒用過的，而且數(shù)學素養(yǎng)的不同，也一定對你的工作的效果的不同是有影響的。一位數(shù)學教育家說，不管人們從事什么工作，深深銘刻在頭中的數(shù)學的思想精神，數(shù)學的思維方法和看問題的著眼點等，都會隨時隨地發(fā)生作用，使人們終身受益。耐人尋味的是，在數(shù)學文化這個詞被日益廣泛地使用的時候，跟它相對應的物理文化化學文化，生物文化，天文文化這樣一些詞，并沒有得到如此廣泛地使用，并不是說它沒有被使用，而是沒有得到如此廣泛地使用，那么什么原因呢？我想，它的原因是因為，數(shù)學的研究對象，和那些自然科學的研究對象，有本質的區(qū)別，每一門不同的科學，當然都有它不同的研究對象，但現(xiàn)在說的是本質的區(qū)別，其他的自然科學，無論是哪個自然科學,它的研究對象都是某種物質，某種物質的運動形態(tài)。我們拿物理來舉例。力學，電學，光學，熱學，原子物理學，都有具體的物質和物質運動形態(tài)作為它的研究對象。化學也是如此。生物學也是如此。天文學也是如此。但是如果問你數(shù)學呢？數(shù)學是以哪種物質？哪種物質運動形態(tài)？作為它的研究對象呢？你怎么回答？很難回答。你說不上是哪種物質，哪種物質運動形態(tài)，作為數(shù)學的研究對象。數(shù)學的研究對象是，從眾多的物質和眾多的物質運動形態(tài)當中，抽象出來的，是人腦的產物。你說數(shù)學研究這圓吧，客觀世界里邊有太陽，有月亮，有車輪，但是并沒有數(shù)學里研究的這個圓，數(shù)學這個圓是人腦的產物，所以數(shù)學的研究對象是人，跟人相關系的，文化也是跟人相關系的，所以這個數(shù)學文化被廣泛使用。我想是有這樣的道理，就是數(shù)學的研究對象，和那些具體的，自然科學的研究對象很不一樣，是人腦的產物，所以數(shù)學它具有超越具體科學，和普遍適用的特征，具有公共基礎的地位。特別是不同的，社會現(xiàn)象和自然現(xiàn)象，在某一方面，可能遵循同樣的數(shù)學規(guī)律，所以數(shù)學它既用到不同的自然科學里邊，也用到不同的社會科學里邊。這個反映出來，社會現(xiàn)象與自然現(xiàn)象可能在數(shù)量關系上有某種共性，所以數(shù)學就超越了具體的社會科學和自然科學，成為聯(lián)系各種科學的紐帶。所以有許多學者認為，科學不是簡單地分成自然科學，社會科學。這樣兩大類，而把這個數(shù)學科學也作為一個跟其他的自然科學不是在一個層次上，而是有一種超越的味道。像錢學森大學者。這是在十幾二十年以前，在人民大會堂講話的時候，就提出過這樣的觀點。像丁石孫，我不知道。原來北大的校長，各位知道不知道這位，他也有這樣類似的觀點，當然這樣的觀點是逐漸在得到學者的共識。像我們上個世紀90年代以后，全國從數(shù)學系很多成立了叫數(shù)學科學學院。像北大也是，南開大學也是，它不叫數(shù)學學院，叫數(shù)學科學學院。就數(shù)學科學這四個字成一個詞，這是跟這個有關系。有兩句耐人尋味的話："一個人不識字可以生活，但是若不識數(shù)，就很難生活了"。"一個國家科學的進步，可以用它消耗的數(shù)學來度量”。前一句通俗易懂，卻頗為深刻。后一句比較高雅，有非常精彩。可以看做是從口頭與書面兩種方式對數(shù)學文化的一個定位。三、數(shù)學文化的特征（1）思維性數(shù)學是研究的任務，主要是應用人類關于現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關系的思維成果。因此，思維是數(shù)學的靈魂。數(shù)學教學的核心是思維的教學，思維教學應貫穿于整個教學之中。（2）數(shù)量化是數(shù)學文化區(qū)別于其他文化的顯著特點之一，也是區(qū)分個人是否具有數(shù)學素養(yǎng)的標尺之一。（3）發(fā)展性數(shù)學家始終處于"尋求完美一打破完美一尋求新的完美”的循環(huán)之中，而每一個這樣的循環(huán)，都是不斷遞進，拓寬的這樣一個過程。大量的新數(shù)學分支由此涌現(xiàn)出來并得到應用。由于數(shù)學的不斷發(fā)展，數(shù)學才有了越來越強大的生命力。（4）實用性人人必須，人人必用的一種工具，學習他是為了利用它。任何領域與數(shù)學都有一種我中有你，你中有我的水乳交融的關系。（5）育人性數(shù)學培養(yǎng)人們的思維能力，良好的品質和世界觀。與人文科學和自然科學相輔相成。四、數(shù)學文化的內涵數(shù)學文化的理性精神一第一次數(shù)學危機之后，人們就意識到直觀不可靠，數(shù)學的理性精神發(fā)展起來。因此在教學中應培養(yǎng)學生的獨立思考、用于批判的精神。數(shù)學文化的人文精神一數(shù)學文化應用性的體現(xiàn)—數(shù)學來源于社會生活和生產實際，是從人們生活、生產過程的經驗中抽象概括出來的一門關于空間形式和數(shù)量關系的學科。小到日常生活中的銀行存款、助學貸款、購房分期付款、商品減價、買彩票、股票，達到火箭發(fā)射，宇宙航行等都用到數(shù)學。數(shù)學中的每一次重大發(fā)現(xiàn)都給人以豐富的啟迪。如非歐幾何用于相對論，改變了人們的時空觀念。數(shù)論用于密碼破譯，更使這門古老的數(shù)學分支大放異彩。數(shù)學文化的相對穩(wěn)定與延續(xù)性--由于數(shù)學文化是一個延續(xù)的、積極的、不斷進步的整體，因而其基本成分在某一特定時期具有相對不變性；由于數(shù)學有其特殊的價值標準和發(fā)展規(guī)律，相對于整個文化環(huán)境而言，數(shù)學的發(fā)展具有一定的獨立性。戰(zhàn)爭、災害因素在某種程度上會影響他的進程，卻無法改變他的方向。數(shù)學文化的反思、批判和完善一三次數(shù)學危機每一次都促使對自己進行反思、批判，從而使數(shù)學不斷完善，向前跨進了一大步。數(shù)學文化的世界性五、數(shù)學文化的價值數(shù)學是一種精密的思維工具數(shù)學是一種科學的語言一數(shù)學是一種符號語言，他可以擺脫自然語言的多義性。數(shù)學語言的簡潔性，有助于思維效率的提高；數(shù)學語言也便于量的比較，便于數(shù)量分析；數(shù)學語言還可以探討自然法則的更深層面，而這是其他語言不可能做到的。所以我們說數(shù)學以一種科學的語言。數(shù)學家高斯：“數(shù)學是科學的皇后，數(shù)學也是科學的女仆。”前一句話突出了數(shù)學的精密思維，后一句話強調了數(shù)學為其他學科服務。哲學家康德：“我堅決認為，任何一門自然學科，只有它數(shù)學化后，才能稱得上是真正的科學?！瘪R克思：“一種科學只有在成功地運用數(shù)學時，才能達到真正完美的地步?！睌?shù)學是理性的藝術數(shù)學與藝術是人類創(chuàng)造的兩個截然不同的文化產品。數(shù)學中強調邏輯思維，藝術強調形象思維。然而,數(shù)學與藝術又有相似之處。五線譜、二維畫布上反映三維空間的實體，繪畫中的“透視學”，達芬奇：“任何人的研究，如果沒有經過數(shù)學的證明，就不可能成為真正的科學?！苯嬎銠C技術將數(shù)學與美術結合起來—簡單公式和線條多次迭代得到奇妙的美術作品--“分形幾何”；“計算機美術”數(shù)學是人類文化的重要組成部分六、哈工大“數(shù)學文化”課的開設1.開課的概況.開課的初衷.開課的指導思想數(shù)學不僅是一種重要的“工具"，也是一種思維模式，即"數(shù)學方式的理性思維”；數(shù)學不僅是一門科學，也是一種文化，即"數(shù)學文化"；數(shù)學不僅是一些知識，也是一種素質，即“數(shù)學素質"。在提高一個人的推理能力、抽象能力、分析能力和創(chuàng)造能力方面，數(shù)學訓練的作用，是其他訓練難以替代的。.學生從課程中可能的收獲了解數(shù)學的思想；引起對數(shù)學的興趣；學會以數(shù)學方式的理性思維觀察世界的方法。.重視數(shù)學素養(yǎng)，提高數(shù)學素養(yǎng)七、“數(shù)學文化”課的上法.內容和預備知識與一般數(shù)學課的區(qū)別---一般的數(shù)學課，是以數(shù)學的知識系統(tǒng)為線索來組織材料，進行教學?！皵?shù)學文化"課，則可以從數(shù)學典故、數(shù)學問題、數(shù)學方法、數(shù)學觀點、數(shù)學思想等角度切入，并以它們?yōu)榫€索來組織材料，進行教學。一般的數(shù)學課，是以講授數(shù)學的理論知識及其應用為主要目的。"數(shù)學文化”課雖然要以知識為載體，卻并不以傳授數(shù)學理論知識為主要目的，而是以教授數(shù)學思想為主，以提升學生的數(shù)學素養(yǎng)為主。人“數(shù)學文化”課的考核與評分1、讀書報告.上臺演講第一章概述第一節(jié)數(shù)學是什么一、數(shù)學的“定義”恩格斯：數(shù)學是研究（現(xiàn)實世界中）的數(shù)量關系與空間形式的一門科學。.古今數(shù)學家的說法（美）R.柯朗（《數(shù)學是什么》）：“數(shù)學，作為人類智慧的一種表達形式，反映生動活潑的意念，深入細致的思考，以及完美和諧的愿望，它的基礎是邏輯和直覺，分析和推理，共性和個性?！保ǚǎ〦.波萊爾：“數(shù)學是我們確切知道我們在說什么，并肯定我們說的是否對的唯一的一門科學?！保ㄓⅲ┝_素：“數(shù)學是所有形如p蘊含q的命題的類"而最前面的命題p是否對，卻無法判斷。因此“數(shù)學是我們永遠不知道我們在說什么，也不知道我們說的是否對的一門學科。”.數(shù)學的15個“定義”1）哲學說2）符號說一數(shù)學是一種高級語言，是符號的世界。3）科學說一數(shù)學是精密的科學，"數(shù)學是科學的皇后”4）工具說一數(shù)學是其他所有知識工具的源泉5）邏輯說一數(shù)學推理依靠邏輯，"數(shù)學為其證明所具有的邏輯性而驕傲"。6）創(chuàng)新說一數(shù)學是一種創(chuàng)新，如發(fā)現(xiàn)無理數(shù)、提出微積分、創(chuàng)立非歐幾何。7）直覺說一數(shù)學的基礎是人的直覺，數(shù)學主要是有那些直覺能力強的人們推進的。8）集合說一數(shù)學各個分支的內容都可以用集合論的語言表述。9）結構說（關系說）--強調數(shù)學語言、符號的結構方面及聯(lián)系方面，”數(shù)學是一種關系學"。10）模型說一數(shù)學就是研究各種形式的模型，如微積分是物體運動的模型，概率論是偶然與必然現(xiàn)象的模型，歐式幾何是現(xiàn)實空間的模型，非歐幾何是非歐空間的模型。11）活動說一數(shù)學是人類最重要的活動之一。12）精神說一數(shù)學不僅是一種技巧，更是一種精神，特別是理性的精神。13）審美說一數(shù)學家無論是選擇題材還是判斷能否成功的標準，主要是美學的原則。14）藝術說一數(shù)學是一門藝術。15）萬物皆數(shù)說一數(shù)的規(guī)律是世界的根本規(guī)律，一切都可以歸結為整數(shù)與整數(shù)比。哲學說---代表人物亞里士多德和歐幾里德，亞里士多德曾說："新的思想家把數(shù)學和哲學看做是相同的?！惫畔ＥD的許多數(shù)學家同時也是哲學家。二、數(shù)學的特點抽象性一是所有各門科學都具有的性質，沒有抽象就沒有科學。那么為什么把抽象說成是數(shù)學的特點那？第一，數(shù)學的研究對象本身就是抽象的；數(shù)學不同于物理、化學等學科，這些學科都研究具體的物質和具體的物質運動形態(tài)。例如物理中的電學、光學、熱學等。數(shù)學的研究對象是從具體的物質和物質運動形態(tài)中抽象出來的，是人腦的產物。第二，在數(shù)學的抽象中只保留量的關系和空間形式而舍棄了其他一切；第三，數(shù)學的抽象是一級一級逐步提高的，它們所達到的抽象程度大大超過了其它學科中的抽象；5個蘋果，5條魚、5個人等抽象出5的概念。到越高的層次，抽象的程度也越高。例如從人類生存的現(xiàn)實空間抽象出三維歐式空間，進一步抽象出n維線性空間乃至無窮維線性空間。第四，核心數(shù)學主要處理抽象概念和它們的相互關系。舉例：哥尼斯堡七橋問題俄羅斯的加里寧格勒在18世紀時稱為哥尼斯堡。有一條河（普累格爾河）穿過該城。河中心有一座美麗的小島。這條河和兩條支流把包含島區(qū)在內的全程分為四個區(qū)域：島區(qū)（A）,東區(qū)（B）,南區(qū)（C）,北區(qū)（D）。有七座橋橫跨這條河及其支流，連接了這四個區(qū)域。問題：能不能找到一條路線，使得散步時不重復地走遍這七座橋？1736年29歲的瑞士數(shù)學家歐拉向圣彼得堡科學院遞交了一份題為《哥尼斯堡的七座橋》的論文。論文的開頭：討論長短大小的幾何學分支，一直被人們熱心地研究者，但是還有一個至今幾乎完全沒有探索過的分支，一直被人們熱心地研究者，但是還有一個至今幾乎完全沒有探索過的分支，萊布尼茲最先提到他，稱之“位置的幾何學”。這個幾何學分支討論只與位置有關的關系，研究位置的性質。它未考慮長短大小，也不牽涉量的計算。但至今未有過令人滿意的定義來刻畫這門位置幾何學的課題和方法?！边@一數(shù)學分支現(xiàn)代稱為“拓撲學”。理論上需要解決的問題是：找到"一個圖形是一筆畫”的充分必要條件，并對一筆畫的圖形給出一筆畫的方法。每個點都是若干條線的端點。圖形上的點分成兩類。一類是某個點為端點的線有偶數(shù)條，稱此點為偶頂點；另一類以某點為端點的線有奇數(shù)條，稱為奇頂點。要想不重復第一筆畫出某圖形，除去起始點和終止點兩個點外，其余每個點，如果畫進去一條線，就一定要畫出來一條線，從而都必須是偶頂點。于是“一筆畫"的必要條件是"圖形中奇頂點的個數(shù)為0或2”（當起始點和終止點重合時，奇頂點個數(shù)為0?而七橋問題中有四個奇頂點，所以，無解。>^確性數(shù)學的精確性表現(xiàn)在數(shù)學推理的邏輯嚴格性和數(shù)學結論的確定無疑性。漢克爾說：“在大多數(shù)科學里，一代人要推倒另一代人所修筑的東西，只有數(shù)學，每一代人都能在舊建筑上增添一層新樓?！币淮艘频沽硪淮怂拗臇|西 作為對照的三個例子：①電子管電路一半導體電路一集成電路不是局部的變革，也不是在原來基礎上的改進，而是徹底的以舊換新。②托勒密地心說一哥白尼日心說一開普勒三定律③高溫超導的上界（朱經武） 30°K-90°K-120°K-240°K實驗超導學家改進理論超導學家提出的理論上界。數(shù)學定理只要是證明無誤的，就總是正確的，后人對數(shù)學的發(fā)展，只能是在原有基礎上的發(fā)展，而不會是推倒重來。>應用的廣泛性華羅庚：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，數(shù)學無處不在。例子：③哈雷彗星的發(fā)現(xiàn)； ②海王星的發(fā)現(xiàn)； ③電磁波的發(fā)現(xiàn)。三.數(shù)學與其它領域的聯(lián)系1.數(shù)學與教育數(shù)學對于受教育者，不僅僅是學會一門課程、一門知識、更重要的是學習數(shù)學的思想、方法、精神；把數(shù)學作為成才的基本素質要求。1）波利亞："讓我們教猜想吧!”現(xiàn)在的教學過于形式化，脫離實際，常采用定義、定理、證明、例題的模式完成教學。教學過程過多的注意定理證明的細節(jié)，而不大注意定理的來由。波利亞還說："在數(shù)學家證明一個定理之前，必須猜想到這個定理；在他完成證明的細節(jié)之前，必須先猜想出證明的主導思想。”事實上，教育并不總是在讓學生認知，教育在很大程度上是讓學生欣賞，只有這樣，才有最佳的教育效益。2）作為數(shù)學教授的大學校長：2?數(shù)學與文學1）用數(shù)學方法對作品和語言進行寫作風格分析、詞匯相關程度和句型頻譜分析3.數(shù)學與史學1）史衡學數(shù)學的介入，使史學的研究成果更加客觀、嚴謹，較多地排除了人為因素。2）考古對數(shù)學史研究的推進1986年上海陸家咀發(fā)現(xiàn)元朝玉掛，談祥柏教授研究后發(fā)現(xiàn)，它是一個四階完全幻方。過去以為只有印度歷史上才有這種“完全幻方二4敖學與哲學