向量數(shù)量積的概念

第八章向量的數(shù)量積與三角恒等變換向量的數(shù)量積向量數(shù)量積的概念【課程標(biāo)準(zhǔn)】了解向量數(shù)量積的概念，了解與數(shù)量積有關(guān)的投影，夾角，模的幾何意義并能進行簡單運算?！竞诵乃仞B(yǎng)】邏輯推理，數(shù)學(xué)運算?！緦?dǎo)學(xué)流程】一、基礎(chǔ)感知L兩個向量的夾角給定兩個非零向量。泊，在平面內(nèi)任選一點。，作0A=="，則稱Q冗］內(nèi)的為向量〃與向量〃的,記作。如圖8—1—2,向量a與b的夾角為三，即<a,b，；向量a與c的夾角為受，\U<a,c>=TOC\o"1-5"\h\z42一;向量a與d的夾角為,即<a,d>=；向量a與e的夾角為，即<a,e>」.*?44-44/li<|IOA圖練一練：已知等邊三角形ABC,D為BC的中點，求：<AB,AC>,<BC,AC>,<BC,CA>,<DA,BC>.根據(jù)向量夾角的定義可知：—<<a,b><.<a,b>=.當(dāng)<a,b盤?時，稱向量^與向量L「/.規(guī)定：零向量與任意向量垂直.?*2.向量數(shù)量積的定義一般地，當(dāng)a與b都是非零向量時，稱la\\b\cos<a,/?>為向量a與b的.（也稱為），記作，即.由定義可知，兩個非零向量a與b的數(shù)量積是一個T斗TT44兩個非零向量的數(shù)量積即可以是，也可以是，還可以是.-44向量的數(shù)量積有如下性質(zhì)：當(dāng)a與b至少有一個是零向量時，稱它們的數(shù)量積為，即—a與b垂直的充要條件是，即練一練：（1）已知a=5,b=4,；a,b'、=120。，求a?b；4（2）已知a=3,b=2,a?b=3，求<a,b>.由（2）可看出，如果a,b都是非零向量，則cos<a,b>=.3.向量的投影與向量數(shù)量積的幾何意義.如圖8—1—4所示，設(shè)非零向量AB=a，過A.B分別作直線l的垂線，垂足分別為A',B'，則稱向量A'B'為向量a在直線l上的或.給定平面上的一個非零向量b，設(shè)b所在的直線為l，則a在直線l上的投影稱為a在向量b上的.如圖8—1—5中，向量a在b上的投影為

lili圖X-l-S圖8-1-4圖X-l-S如圖8—1—6(1)(2)(3)所示,當(dāng)?，4＜當(dāng)?，4＜今時當(dāng)『a,b：=三時,'2當(dāng)；a,b)＞三時'2AE的方向與〃方向相同，而且AB'，即AB的方向與b方向相反，而且A^Bi'=一般地，如果a,b都是非零向量，則稱acos＜a,b＞為向量a在向量b上的因為a因為a-b-labcos：a,,b)=cos；a,b)l，所以兩個非零向量a,b的數(shù)量積a?b，等于練一練：如圖8—1—7,求出以下向量的數(shù)量積.(1(1)b?a(2)c?a(3)d?a圖41-7二、當(dāng)堂檢測.根據(jù)以下條件，分別求—\a\=S,\b\=4,<a,b>=60°；(2)\a\=7,\b\=12,<a,b>=120°；1。1=4,16=2/巾>=—；(4)\a1=4,lb1=1,<a,b〉=0.2.根據(jù)以下條件，分別求<a.b>.4444a'b=5ab=10；(2)a.b=-8.ab=16；a?b=-25?a=b"=5；(4)a?b=6甲?a=2?b=6.如圖，已知Oa,oB,Oc的模均為5,且iAob=2bOc=60。，求OA-OB,OAOC.44---..已知a=5,b在a上的投影的數(shù)量為6,而c在a上的投影的數(shù)量為-8,b?a,c?a..已知a=-3,b=5，且<a,b>=45。，求a在b上的投影的數(shù)量.

限時訓(xùn)練（限時45分鐘）.若⑸=2,lbl=2,a與b的夾角為60。,則。）A.2B.C.1D.A.2B.C.1D.TOC\o"1-5"\h\z.在Rt△ABC中,C=90°,AC=4,則-=()A.-12B.12C.-16D.16.已知向量±,11=3，則?=()A.9B.8C.7D.10.若a?b<0,則2與b的夾角的取值范圍是（）A.0°W<90°B.90°A.0°W<90°C.90°<<180°D.90°<<180°.在AABC中，=a,=b，且a?b>0,則^ABC是（）A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形.已知向量a，b，若a在b上的投影的數(shù)量為3,b=2,則a?b=.已知AABC是邊長為2的等邊三角形，求AB-AC,AB.CA..判斷下列命題的真假.（1）若向量a,b共線，則Ua?b=ab；i-\—1-i(2)若向量a,b滿足a?b=0，