太原理工微積分與數(shù)學(xué)模型10年修改版-第三章理工大高數(shù)

一、函數(shù)四則運算的求導(dǎo)法則定理1

如果函數(shù)u(x),v(x)在點x處可導(dǎo),則它們的和、差、積、商(分母不為零)在點x處也可導(dǎo),并且[u(

x)

v(

x)]

u(

x)

v(

x)[u(

x)

v(

x)]

u(

x)v(

x)

u(

x)v(

x)(v(

x)

0)(3)

[u(

x)]

u(

x)v(

x)

u(

x)v(

x)v(

x)

v(

x)2[u(

x)]

u(

x)v(

x)

v(

x)[u(

x)v(

x)]

u(

x)

v(

x)注意推論n

ni

1

i

1(1)

[

fi

(

x)]

fi(

x)n

nn[Cf

(

x)]

Cf

(

x)[

fi

(

x)]

f1(

x)

f2

(

x)

fn

(

x)i

1

f1

(

x)

f2

(

x)

fn(

x)

fi(

x)

fk

(

x)i

1

k

1k

i例1

求2)(的導(dǎo)數(shù)解：))2()

1x

31x

3

2

2

1

2

x1

1

2

x

1

1

設(shè)f

(x)

xex

ln

x例2求f

(x)解：

xf

()x(e

x

ln

x)(x

x

ln

e

e

x

(1

1x例3求y

tan

x

的導(dǎo)數(shù)cos

x解：y

(tan

x)

(sin

x

)cos2

xcos

2

xy

(tan

x)

sec2

x

cos

x

sin

x

12

2cos

2

x2

sec

x同理可得y

(cot

x)

csc2

x例4求y

sec

x

的導(dǎo)數(shù)解：)cos

x1y

(sec

x)

(cos

2

x

sec

x

tan

x

(cos

x)

sin

xcos2

x同理可得

cot

dxx區(qū)間I

內(nèi)也可導(dǎo),

且有f

(

x)

1

dy

1即

(

y)

dx定理2

如果函數(shù)

x

(

y)在某區(qū)間I

y內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo),

且

(

y)

0

,

那末它的反函數(shù)y

f

(

x)在對應(yīng)dy即：反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。注意

f

(x),

(y)中的“”均為求導(dǎo),但意義不同。二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則證：任取x

Ix

,

給x以增量x

由y

f

(

x)的單調(diào)性可知y

0,xy于是有y

1

,x因為f

(x)連續(xù),所以當(dāng)x

0時,必有y

0(

(

y)

0)y0

xy故f

(

x)

lim

y

lim

1

1

(

y)x0

x1

(

y)即f

(x)

,0(

I例5

求

y

arcsin

x

的導(dǎo)數(shù)(arcsin

x)

1(sin

y)

cos

y111

sin2

y11

x

21同理可得(arccos

x)

1

x

21

x

2111

x

2(arctan

x)

; (arc

cot

x)

2

2

,

)內(nèi)單調(diào),可導(dǎo)yI

(x

sin

y解：

在(sin

y)

cos

y

0

所以,在I

x

(1,1)內(nèi)有定理3或dx

du

dxdy

dy

du三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則00u0

u證明：由y

f

(u)在點u

可導(dǎo),所以lim

y

f

(u

)如果函數(shù)

u

g(

x)

在點

x0

可導(dǎo)，而函數(shù)

y

f

(u)

在點u0

g(

x0

)

可導(dǎo)，0則復(fù)合函數(shù)y

f

g(

x)在點

x

可導(dǎo)，0

0dx且其導(dǎo)數(shù)為

dy

f

(u

)

g(

x

)yx0

x故lim0u

ux

x

]

lim[

f

(u

)x00

x0

f

(u

)

lim

u

lim

lim

u

f

(u0

)(

x0

)即：因變量對自變量求導(dǎo),等于因變量對中間變量求導(dǎo),乘以中間變量對自變量求導(dǎo)(鏈?zhǔn)椒▌t)。則

y

f

(u0

)u

u(

lim

0)u00

f

(u

)

yu故推廣

設(shè)

y

f

(u)

,

u

(v)

,

v

(

x)

,為

dy

dy

du

dvdx

du

dv

dx{f

[

(x)]}與f

[

(x)]不同，前者則復(fù)合函數(shù)

y

f

{[

(

x)]}的導(dǎo)數(shù)注意是對x求導(dǎo),后者對u

(x)求導(dǎo)例6

求函數(shù)y

arctan的導(dǎo)數(shù)x1復(fù)合而成，與u

1x解：y

arctan

1

看成y

arctan

uxx

21

x

2x

21

u2

, (

x

)1

1

11

x

2dy

11

1

1(arctan

u)

dx例7求函數(shù)y

x

(為常數(shù))的導(dǎo)數(shù)解：y

x

e

ln

x

看成y

e

t

與t

ln

x復(fù)合而成

x

x

1x驗證了第一節(jié)的例2x

xe

ln

x

dx

dy

e

t

基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式；復(fù)合函數(shù)的分解；復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。復(fù)合函數(shù)的分解過程熟悉后，可以不寫中間變量，而直接寫出結(jié)果。由上例可見，初等函數(shù)的求導(dǎo)必須熟悉例8

設(shè)

y

1

x2

求

y解：

y

( 1

x

2

)

(1

x

2

)2 1

x

211

x

22 1

x

2

(2x)

x或y

1

x

212 1

x

2(2x)1x

(x

2)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)y

ln

13x

2x2練習(xí)sin

1x

的導(dǎo)數(shù)例9

求函數(shù)y

e解：sin

1

xy

e

x

(sin

)1

(

)1

1

sine

cos1xx

x1x1x2sin

1e

x

cos

例10

設(shè)

y

f

(arcsin

x),

而f

(u)可導(dǎo)dxdy求f

(arcsin

x)1

x211

x21dxdy

f

(arcsin

x)解：)1

x2(1

x1x

1

x211

x2例111

x2

)

求y設(shè)y

ln(x

解：

y