24圓有關(guān)性質(zhì)-241復(fù)習(xí)

圓的對稱性想P881●O圓是軸對稱圖形嗎？如果是,它的對稱軸是什么?你能找到多少條對稱軸？你是用什么方法解決上述問題的?圓是中心對稱圖形嗎？如果是,它的對稱中心是什么?你能找到多少條對稱軸？你又是用什么方法解決這個問題的?圓的對稱性圓是軸對稱圖形.圓的對稱軸是任意一條經(jīng)過圓心的直線,它有無數(shù)條對稱軸.可利用折疊的方法即可解決上述問題.圓也是中心對稱圖形.它的對稱中心就是圓心.●O用旋轉(zhuǎn)的方法即可解決這個問題.圓的相關(guān)概念直徑將圓分成兩部分,每一部分都叫做半連接圓上任意兩點間的線段叫做弦(如弦AB).圓上任意兩點間的部分叫做圓弧,簡稱弧.以A,B兩點為端點的弧.記作⌒AB,讀作“弧AB”.●O圓(如弧ABC).小于半圓的弧叫做劣弧,如記作

⌒AB(用經(jīng)過圓心弦叫做直徑(如直徑AC).兩個字母).⌒大于半圓的弧叫做優(yōu)弧,如記作AmB(用三個字母).ABC⌒mD③AM=BM,垂徑定理AB是⊙O的一條弦.作直徑CD,使CD⊥AB,垂足為M.右圖是軸對稱圖形嗎?如果是,其對稱軸是什么?你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系?與同伴說說你的想法和理由.●O發(fā)現(xiàn)圖中有:ABCDM└由①CD是直徑②

CD⊥AB可推得⌒

⌒④AC=BC,⑤

⌒

⌒AD=BD.做一做垂徑定理如圖,

的理由是:連接OA,OB,則OA=OB.●OA

BCDM└在Rt△OAM和Rt△OBM中,∵OA=OB，OM=OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM.∴點A和點B關(guān)于CD對稱.∵⊙O關(guān)于直徑CD對稱,∴當(dāng)圓沿著直徑CD對折時,點A與點B重合,

⌒⌒

⌒

⌒AC和BC重合, AD和BD重合.∴

⌒

⌒

⌒⌒AC

=BC,

AD=BD.垂徑定理三種語言定理垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所的兩條弧.老師提示:垂徑定理是圓中一個重要的結(jié)論,三種語言要相互轉(zhuǎn)化,形成整體,才能運用自如.●OABCDM└如圖∵CD是直徑,CD⊥AB,∴AM=BM,A⌒C

=B⌒C,⌒⌒AD=BD.②CD⊥AB,垂徑定理的逆定理AB是⊙O的一條弦,且AM=BM.過點M作直徑CD.右圖是軸對稱圖形嗎?如果是,其對稱軸是什么?你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系?與同伴說說你的想法和理由.●O發(fā)現(xiàn)圖中有:CD由①CD是直徑③

AM=BM可推得⌒

⌒④AC=BC,⑤

⌒

⌒AD=BD.●MAB┗平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧.題嗎?你可以寫出相應(yīng)相信自己是最棒的!垂徑定理的逆定理如圖,在下列五個條件中:①

CD是直徑,

②

CD⊥AB,

③

AM=BM,

④A⌒C=B⌒C,⌒只要具備其中兩個條件,就可推出其余三個結(jié)論.●OABCDM└⑤

⌒AD=BD.CA垂徑定理及逆定理BM└●O條件結(jié)論命題①②③④⑤①③②④⑤垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所的D兩條弧.①④②③⑤平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧平分弦所對的一條弧的直徑,垂直平分弦,并且平分弦所對的①⑤②③④②③①④⑤另一條弧.②④①③⑤弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,并且平分這條弦所對的兩條弧.垂直于弦并且平分弦所對的一條弧的直線經(jīng)過圓心,并且②⑤①③④③④①②⑤平分弦和所對的另一條弧.平分弦并且平分弦所對的一條弧的直線經(jīng)過圓心,垂直于③⑤①②④④⑤①②③弦,并且平分弦所對的另一條弧..平分弦所對的兩條弧的直線經(jīng)過圓心,并且垂直平分弦.ACDBO.EOABP在半徑為30㎜的⊙O中，弦AB=36㎜，則O到AB的距離是=

24mm

，∠OAB的余弦值=

0.6

。已知：如圖，在以O(shè)為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點。你認(rèn)為AC和BD有什么關(guān)系？為什么？證明：過O作OE⊥AB，垂足為E，則AE＝BE，CE＝DE。∴

AE－CE＝BE－DE即AC＝BD注意：解決有關(guān)弦的問題，過圓心作弦的垂線，或作垂直于弦的直徑，也是一種常用輔助線的添法．自我垂徑定理的推論如果圓的兩條弦互相平行,那么這兩條弦所平的弧相等嗎?老師提示:

這兩條弦在圓中位置有兩種情況:1.兩條弦在圓心的同側(cè)

2.兩條弦在圓心的兩側(cè)●OAA

●O

BC

D

CBD垂徑定理的推論

圓的兩條平行弦所夾的弧相等.自我畫一畫如圖,M為⊙O內(nèi)的一點,利用尺規(guī)作一條弦AB,使AB過點M.并且AM=BM.●M●O自我填一填1、判斷：

⑴垂直于弦的直線平分這條弦,并且平分弦所對的兩條弧.

（

）⑵平分弦所對的一條弧的直徑一定平分這條弦所對的另一條弧.

（

）⑶經(jīng)過弦的中點的直徑一定垂直于弦.（

）⑷圓的兩條弦所夾的弧相等，則這兩條弦平行.（

）⑸弦的垂直平分線一定平分這條弦所對的弧.

（

）自我畫一畫·ABCD0EFGH駛向勝利的彼岸自我填一填1、判斷：

⑴垂直于弦的直線平分這條弦,并且平分弦所對的兩條弧.

（

）⑵平分弦所對的一條弧的直徑一定平分這條弦所對的另一條弧.

（√

）⑶經(jīng)過弦的中點的直徑一定垂直于弦.（

）⑷圓的兩條弦所夾的弧相等，則這兩條弦平行.（

）⑸弦的垂直平分線一定平分這條弦所對的弧.

（

√

）練習(xí)2:在圓O中，直徑CE⊥AB于D，OD=4

㎝，弦AC=10

㎝，求圓O的半徑。CEAB：在⊙O中，若⊙O的半徑r、圓心到弦的距離d、弦長a中，CA

BOOD例2：如圖，圓O的弦AB＝8

㎝，

DC＝2㎝，直徑CE⊥AB于D，求半徑OC的長。DCEOAB任意知道兩個量，可根據(jù)

垂徑

定理D求出第三個量：例3：如圖，已知圓O的直徑AB與弦CD相交于G，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，且圓O的半徑為10㎝，CD=16

㎝，求AE-BF的長。DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的長。GEFAOBCDE練習(xí)3:如圖，CD為圓O的直徑，弦DAB交CD于E，∠CEB=30°，OCAB駛向勝利的彼岸自我畫一畫2.已知：如圖,⊙O中,弦AB∥CD,AB＜CD,直徑MN⊥AB,垂足為E,交弦CD于點F.圖中相等的線段有:

.圖中相等的劣弧有:

.FEOMNABCD小結(jié)１、圓的軸對稱性２、垂徑定理及其逆定理的圖式直徑平分弦直徑平分弧所對的弦直徑垂直于弦=>

直徑平分弧直徑垂直于弧所對的弦=>

直徑平分弦所對的弧直徑平分弦（不是直徑）=>直徑垂直于弦直徑平分弦所對的弧2.圓對稱性(2)垂徑定理三種語言定理垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所的兩條弧.老師提示:垂徑定理是圓中一個重要的結(jié)論,三種語言要相互轉(zhuǎn)化,形成整體,才能運用自如.想P90

1●OABCDM└如圖∵CD是直徑,CD⊥AB,∴AM=BM,A⌒C

=B⌒C,⌒⌒AD=BD.垂徑定理的應(yīng)用例1如圖，一條公路的轉(zhuǎn)變處是一段圓弧(即圖中弧CD,點O是弧CD的圓心),其中CD=600m,E為弧CD上的一點,且OE⊥CD垂足為F,EF=90m.求這段彎路的半徑.解:連接OC.設(shè)彎路的半徑為Rm,則OF

(R

90)m.OE

CD,●OCD

CF

EF2

21

1CD

600

300(m).根據(jù)勾股定理,得OC

2

CF

2

OF

2

,即R2

3002

R

902

.解這個方程,得R

545.這段彎路的半徑約為545m.老師提示:注意閃爍的三角形的特點.趙州石拱橋1.1300多年前,我國隋朝建造的趙州石拱橋(如圖)的橋拱是圓弧形,它的跨度(弧所對是弦的長)為37.4

m,拱高(弧的中點到弦的距離,也叫弓形高)為7.2m,求橋拱的半徑(精確到0.1m).你是第一個告訴同學(xué)們解題方法和結(jié)果的嗎？趙州石拱橋解：如圖，用AB表示橋拱，AB所在圓的圓心為O，半徑為Rm，經(jīng)過圓心O作弦AB的垂線OD，D為垂足，與AB

相交于點C.根

據(jù)垂徑定理，D是AB的中點，C是AB

的中點，CD就是拱高.由題設(shè)AB

37.4,CD

7.2,AD

2

21

1AB

37.4

18.7,OD

OC

DC

R

7.2.在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2

AD2

OD2

,即R2

18.72

(R

7.2)2.解得R≈27.9（m）.答：趙州石拱橋的橋拱半徑約為27.9m.OABRD37.4C7.2船能過拱橋嗎2.如圖,某地有一圓弧形拱橋,橋下水面寬為7.2米,拱頂高出水面2.4米.現(xiàn)有一艘寬3米、船艙頂部為長方形并高出水面2米的貨船要經(jīng)過這里,此貨船能順利通過這座拱橋嗎？相信自己能獨立完成解答.船能過拱橋嗎2解:如圖,用AB

表示橋拱,AB

所在圓的圓心為O,半徑為Rm,經(jīng)過圓心O作弦AB的垂線OD,D為垂足,與AB相交于點C.根據(jù)垂徑定理,D是AB的中點,C是AB的中1點,CD就是拱高.由題設(shè)得

AB

7.2,

CD

2.4,

HN

MN

1.5.AD

1

AB

1

7.2

3.6,OD

OC

2

R

2.4.2

DC在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2

AD2

OD2

,即R2

3.62

(R

2.4)2.解得R≈3.9（m）.在Rt△ONH中，由勾股定理，得OH

ON

2

HN

2

,

即OH

3.92

1.52

3.6.DH

3.6

1.5

2.1

2.

∴此貨船能順利通過這座拱橋.垂徑定理三角形在a,d,r,h中，已知其中任意兩個量,可以求出其它兩個量.EOABDC⑴d

+

h

=

r

⑵22

22ar

d

(

)⑶由⑴、⑵兩題的啟發(fā)，你還能編出什么其他問題？已知：如圖，直徑CD⊥AB，垂足為E.⑴若半徑R

=2

，AB

=

2 3,

求OE、DE

的長.⑵若半徑R=2

，OE=1，求AB、DE

的長.垂徑定理的應(yīng)用BA在直徑為650mm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，截面.若油面寬AB=600mm，求油的最大深度.O600垂徑定理的逆應(yīng)用在直徑為650mm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，截面.若油面寬AB=600mm，求油的最大深度.AO

?650

60D0

BC

自我1、要把實際問題轉(zhuǎn)變成一個數(shù)學(xué)問題來解決.2、熟練地運用垂徑定理及其推論、勾股定理，并用方程的思想來解決問題.3、對于一個圓中的弦長a、圓心到弦的距離d、圓半徑r、弓形高h，這四個量中，只要已知其中任意兩個量，就可以求出另外兩個量，如圖有：⑴d

+

h

=

r2a⑵r

2

d

2

( )2hda2O2.圓對稱性(3)圓的對稱性及特性圓是軸對稱圖形,圓的對稱軸是任意一條經(jīng)過圓心的直線,它有無數(shù)條對稱軸.圓也是中心對稱圖形,它的對稱中心就是圓心.用旋轉(zhuǎn)的方法可以得到:一個圓繞著它的圓心旋轉(zhuǎn)任意一個角度,都能與原來的圖形重合.這是圓特有的一個性質(zhì):圓的旋轉(zhuǎn)不變性●O圓心角圓心角頂點在圓心的角(如∠AOB).弦心距過圓心作弦的垂線,圓心與垂足之間的距離(如線段OD).如圖,在⊙O中,分別作相等的圓心角和∠AOB和∠A′OB′,將其中的一個旋轉(zhuǎn)一個角度,使得OA和O′A′重合.你能發(fā)現(xiàn)那些等量關(guān)系?說一說你的理由.●O●OADBAAAA′DD′BBB′●OBDAA′D′B′圓心角想P94

3●OB′O′B你又能發(fā)現(xiàn)那些等量關(guān)系?說一說你的理由.●OO′圓心角,弧,弦,弦心距之間的關(guān)系定理如圖,如果在兩個等圓⊙O和⊙O′中,分別作相等的圓心角和∠AOB和∠A′O′B′,固定圓心,將其中的一個旋轉(zhuǎn)一個角度,使得OA和O′A′重合.A′

A

AA′D′B′圓心角,弧,弦,弦心距之間的關(guān)系定理在同圓或等圓中,相等的圓心角所對