《弧度制及其與角度制的換算》示范教學(xué)課件人教新課標(biāo)B版

弧度制及其與角度制的換算弧度制及其與角度制的換算1問(wèn)題情境問(wèn)題1在日常生活以及各學(xué)科中，一個(gè)量可用不同的標(biāo)準(zhǔn)來(lái)度量，從而也就有了不同的單位以及單位之間的換算．例如，長(zhǎng)度既可以用米、厘米來(lái)度量，也可以用尺、寸來(lái)度量；面積可以用平方米來(lái)度量，也可以用畝來(lái)度量．類似地，角除了使用角度來(lái)度量外，有沒(méi)有其他的度量方法呢？問(wèn)題情境問(wèn)題1在日常生活以及各學(xué)科中，一個(gè)量可用不同的標(biāo)準(zhǔn)問(wèn)題情境問(wèn)題2如圖是一種折疊扇．折疊扇打開、合攏的過(guò)程可以抽象成扇形圓心角的變大、變?。敲丛谶@個(gè)過(guò)程中，扇形的什么量在發(fā)生變化？什么量沒(méi)發(fā)生變化？由此你能想到度量角的其他辦法嗎？OABB'A'α問(wèn)題情境問(wèn)題2如圖是一種折疊扇．折疊扇打開、合攏的過(guò)程可以新知探究一般地，如果角α是由射線OP繞它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)形成的，如圖所示，ABOA'B'αll'則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，射線上的任意一點(diǎn)（端點(diǎn)除外）必然形成一條圓弧，不同的點(diǎn)所形成的圓弧長(zhǎng)度不同，但這些圓弧都對(duì)應(yīng)同一個(gè)角α，可以猜想，這些弧的長(zhǎng)與弧所在圓的半徑的比值是一個(gè)常數(shù)，即＝…＝定值事實(shí)上，設(shè)α＝n°，弧AB的長(zhǎng)為l，半徑OA＝r，則，因此這個(gè)等式右端不包含半徑，這表示弧長(zhǎng)比半徑的值不依賴于半徑，而只與α的大小有關(guān)．新知探究一般地，如果角α是由射線OP繞它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)形成的，如弧度制我們稱弧長(zhǎng)與半徑比值的這個(gè)常數(shù)稱為圓心角的弧度數(shù)，長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角為1弧度的角，記作1rad，這種以弧度為單位來(lái)度量角的制度稱為弧度制．新知探究OABrr如圖，因?yàn)?/p>

的長(zhǎng)度等于半徑r，所以

所對(duì)的圓心角∠AOB就是1弧度的角．弧度制我們稱弧長(zhǎng)與半徑比值的這個(gè)常數(shù)稱為圓心角的弧度數(shù)，長(zhǎng)度新知探究【想一想】圓心角的弧度數(shù)與所在圓的半徑、弧長(zhǎng)之間的關(guān)系是什么？由此也可得到弧長(zhǎng)公式為l＝rα．在半徑為r的圓中，若弧長(zhǎng)為l的弧所對(duì)的圓心角為α弧度，則α＝

，說(shuō)明：今后我們?cè)谟没《戎票硎窘菚r(shí)，“弧度”二字或rad可以略去不寫，而只寫這個(gè)角對(duì)應(yīng)的弧度數(shù)．例如，α＝2表示α是2rad的角，

表示

的角的正弦．新知探究【想一想】圓心角的弧度數(shù)與所在圓的半徑、弧長(zhǎng)之間的關(guān)新知探究（2）一般地，弧度制與角度制之間怎樣進(jìn)行換算？問(wèn)題3（1）按照弧度的定義，一個(gè)周角對(duì)應(yīng)的弧度數(shù)應(yīng)是多少？把圓周等分成360份，稱其中每一份所對(duì)的圓心角為1度，這種用度作單位來(lái)度量角的制度稱為角度制，角度制還規(guī)定1度等于60分，1分等于60秒．（1）因?yàn)榘霃綖閞的圓周長(zhǎng)為2πr，所以周角的弧度數(shù)是

＝2π，于是360°＝2πrad，因此180°＝πrad；（2）設(shè)一個(gè)角的角度數(shù)為n，弧度數(shù)為α，則新知探究（2）一般地，弧度制與角度制之間怎樣進(jìn)行換算？問(wèn)題3新知探究角度與弧度的關(guān)系：180°＝πrad；設(shè)一個(gè)角的角度數(shù)為n，弧度數(shù)為α，則新知探究角度與弧度的關(guān)系：180°＝πrad；設(shè)一個(gè)角的角新知探究練說(shuō)出0rad、rad、πrad、rad對(duì)應(yīng)角的度數(shù)，并指出終邊位置．0rad角就是0角，它的終邊在x軸的正半軸上；πrad角就是180角，它的終邊在x軸的負(fù)半軸上；

rad角就是90角，它的終邊在y軸的正半軸上；rad角就是270角，它的終邊在y軸的負(fù)半軸上．新知探究練說(shuō)出0rad、rad、πrad、新知探究【做一做】試完成下列表格角度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度0π2π新知探究【做一做】試完成下列表格角度0°30°45°60°9新知探究若扇形的弧長(zhǎng)為l，半徑為r，設(shè)扇形的圓心角為αrad，問(wèn)題4嘗試推導(dǎo)焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程？則扇形的面積為：又因?yàn)閘＝ar，所以新知探究若扇形的弧長(zhǎng)為l，半徑為r，設(shè)扇形的圓心角為αra初步應(yīng)用例1

把210，405，－60，－330化成弧度（用π表示）．解答：設(shè)210角的弧度數(shù)為α，則所以α＝

，即210°＝

；類似地，有450°＝

，－60°＝

，－330°＝初步應(yīng)用例1把210，405，－60，－330化成初步應(yīng)用解答：設(shè)

＝n°，則因此n＝180×

＝288，即

＝288°．類似地，有

＝－390°．例2

把

化成角度數(shù)．初步應(yīng)用解答：設(shè)＝n°，則因此n＝180×初步應(yīng)用例3

把下列各角化成2kπ＋α（0≤α＜2π，k∈Z）的形式，并指出是第幾象限角？解答：（1）因?yàn)椋?725°＝－5×360°＋75°，（1）－1725°；（2）；（3）8．所以－1725°角與

角的終邊相同．又因?yàn)?/p>

是第一象限角，所以－1725°是第一象限角．所以－1725°＝－10π＋初步應(yīng)用例3把下列各角化成2kπ＋α（0≤α＜2π，k∈Z初步應(yīng)用例3

把下列各角化成2kπ＋α（0≤α＜2π，k∈Z）的形式，并指出是第幾象限角？（1）－1725°；（2）；（3）8．（2）因?yàn)樗?/p>

角與

角的終邊相同．又因?yàn)?/p>

是第二象限角，所以

是第二象限角．（3）8＝2π＋（8－2π），所以8與8－2π終邊相同，又因?yàn)?/p>

＜8－2π＜π，所以8－2π是第二象限角，所以8是第二象限角．初步應(yīng)用例3把下列各角化成2kπ＋α（0≤α＜2π，k∈Z初步應(yīng)用例4

已知扇形的周長(zhǎng)為20cm，當(dāng)它的半徑和圓心角各取什么值時(shí)，才能使扇形的面積最大？最大面積是多少？解答：設(shè)扇形的半徑為r，弧長(zhǎng)為l，面積為S．∴當(dāng)半徑r＝5cm時(shí)，扇形的面積最大，為25cm2．則l＝20－2r，∴S＝

＝

（20－2r）r＝－r2＋10r＝－（r－5）2＋25（0＜r＜10）．此時(shí)（rad）．∴當(dāng)它的半徑為5cm，圓心角為2rad時(shí)，扇形面積最大，最大值為25cm2．初步應(yīng)用例4已知扇形的周長(zhǎng)為20cm，當(dāng)它的半徑和圓心角練習(xí)練習(xí)：教科書第11頁(yè)練習(xí)A1，2，3，4，5題．練習(xí)練習(xí)：教科書第11頁(yè)練習(xí)A1，2，3，4，5題．歸納小結(jié)本節(jié)課你還有收獲了哪些研究經(jīng)驗(yàn)？本節(jié)課收獲了哪些知識(shí)，請(qǐng)你從以下幾方面總結(jié)：（1）弧度與弧度制的含義；（2）弧度制與角度制的互換公式；（3）弧長(zhǎng)公式與扇形面積公式．歸納小結(jié)本節(jié)課你還有收獲了哪些研究經(jīng)驗(yàn)？本節(jié)課收獲了哪些知識(shí)作業(yè)布置作業(yè)：教科書第12頁(yè)練習(xí)A4，練習(xí)B1，2，3，4，5，6．作業(yè)布置作業(yè)：教科書第12頁(yè)練習(xí)A4，練習(xí)B1，2，3，4謝謝大家敬請(qǐng)各位老師提出寶貴意見(jiàn)！謝謝大家敬請(qǐng)各位老師提出寶貴意見(jiàn)！20再見(jiàn)再見(jiàn)21弧度制及其與角度制的換算弧度制及其與角度制的換算22問(wèn)題情境問(wèn)題1在日常生活以及各學(xué)科中，一個(gè)量可用不同的標(biāo)準(zhǔn)來(lái)度量，從而也就有了不同的單位以及單位之間的換算．例如，長(zhǎng)度既可以用米、厘米來(lái)度量，也可以用尺、寸來(lái)度量；面積可以用平方米來(lái)度量，也可以用畝來(lái)度量．類似地，角除了使用角度來(lái)度量外，有沒(méi)有其他的度量方法呢？問(wèn)題情境問(wèn)題1在日常生活以及各學(xué)科中，一個(gè)量可用不同的標(biāo)準(zhǔn)問(wèn)題情境問(wèn)題2如圖是一種折疊扇．折疊扇打開、合攏的過(guò)程可以抽象成扇形圓心角的變大、變?。敲丛谶@個(gè)過(guò)程中，扇形的什么量在發(fā)生變化？什么量沒(méi)發(fā)生變化？由此你能想到度量角的其他辦法嗎？OABB'A'α問(wèn)題情境問(wèn)題2如圖是一種折疊扇．折疊扇打開、合攏的過(guò)程可以新知探究一般地，如果角α是由射線OP繞它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)形成的，如圖所示，ABOA'B'αll'則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，射線上的任意一點(diǎn)（端點(diǎn)除外）必然形成一條圓弧，不同的點(diǎn)所形成的圓弧長(zhǎng)度不同，但這些圓弧都對(duì)應(yīng)同一個(gè)角α，可以猜想，這些弧的長(zhǎng)與弧所在圓的半徑的比值是一個(gè)常數(shù)，即＝…＝定值事實(shí)上，設(shè)α＝n°，弧AB的長(zhǎng)為l，半徑OA＝r，則，因此這個(gè)等式右端不包含半徑，這表示弧長(zhǎng)比半徑的值不依賴于半徑，而只與α的大小有關(guān)．新知探究一般地，如果角α是由射線OP繞它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)形成的，如弧度制我們稱弧長(zhǎng)與半徑比值的這個(gè)常數(shù)稱為圓心角的弧度數(shù)，長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角為1弧度的角，記作1rad，這種以弧度為單位來(lái)度量角的制度稱為弧度制．新知探究OABrr如圖，因?yàn)?/p>

的長(zhǎng)度等于半徑r，所以

所對(duì)的圓心角∠AOB就是1弧度的角．弧度制我們稱弧長(zhǎng)與半徑比值的這個(gè)常數(shù)稱為圓心角的弧度數(shù)，長(zhǎng)度新知探究【想一想】圓心角的弧度數(shù)與所在圓的半徑、弧長(zhǎng)之間的關(guān)系是什么？由此也可得到弧長(zhǎng)公式為l＝rα．在半徑為r的圓中，若弧長(zhǎng)為l的弧所對(duì)的圓心角為α弧度，則α＝

，說(shuō)明：今后我們?cè)谟没《戎票硎窘菚r(shí)，“弧度”二字或rad可以略去不寫，而只寫這個(gè)角對(duì)應(yīng)的弧度數(shù)．例如，α＝2表示α是2rad的角，

表示

的角的正弦．新知探究【想一想】圓心角的弧度數(shù)與所在圓的半徑、弧長(zhǎng)之間的關(guān)新知探究（2）一般地，弧度制與角度制之間怎樣進(jìn)行換算？問(wèn)題3（1）按照弧度的定義，一個(gè)周角對(duì)應(yīng)的弧度數(shù)應(yīng)是多少？把圓周等分成360份，稱其中每一份所對(duì)的圓心角為1度，這種用度作單位來(lái)度量角的制度稱為角度制，角度制還規(guī)定1度等于60分，1分等于60秒．（1）因?yàn)榘霃綖閞的圓周長(zhǎng)為2πr，所以周角的弧度數(shù)是

＝2π，于是360°＝2πrad，因此180°＝πrad；（2）設(shè)一個(gè)角的角度數(shù)為n，弧度數(shù)為α，則新知探究（2）一般地，弧度制與角度制之間怎樣進(jìn)行換算？問(wèn)題3新知探究角度與弧度的關(guān)系：180°＝πrad；設(shè)一個(gè)角的角度數(shù)為n，弧度數(shù)為α，則新知探究角度與弧度的關(guān)系：180°＝πrad；設(shè)一個(gè)角的角新知探究練說(shuō)出0rad、rad、πrad、rad對(duì)應(yīng)角的度數(shù)，并指出終邊位置．0rad角就是0角，它的終邊在x軸的正半軸上；πrad角就是180角，它的終邊在x軸的負(fù)半軸上；

rad角就是90角，它的終邊在y軸的正半軸上；rad角就是270角，它的終邊在y軸的負(fù)半軸上．新知探究練說(shuō)出0rad、rad、πrad、新知探究【做一做】試完成下列表格角度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度0π2π新知探究【做一做】試完成下列表格角度0°30°45°60°9新知探究若扇形的弧長(zhǎng)為l，半徑為r，設(shè)扇形的圓心角為αrad，問(wèn)題4嘗試推導(dǎo)焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程？則扇形的面積為：又因?yàn)閘＝ar，所以新知探究若扇形的弧長(zhǎng)為l，半徑為r，設(shè)扇形的圓心角為αra初步應(yīng)用例1

把210，405，－60，－330化成弧度（用π表示）．解答：設(shè)210角的弧度數(shù)為α，則所以α＝

，即210°＝

；類似地，有450°＝

，－60°＝

，－330°＝初步應(yīng)用例1把210，405，－60，－330化成初步應(yīng)用解答：設(shè)

＝n°，則因此n＝180×

＝288，即

＝288°．類似地，有

＝－390°．例2

把

化成角度數(shù)．初步應(yīng)用解答：設(shè)＝n°，則因此n＝180×初步應(yīng)用例3

把下列各角化成2kπ＋α（0≤α＜2π，k∈Z）的形式，并指出是第幾象限角？解答：（1）因?yàn)椋?725°＝－5×360°＋75°，（1）－1725°；（2）；（3）8．所以－1725°角與

角的終邊相同．又因?yàn)?/p>

是第一象限角，所以－1725°是第一象限角．所以－1725°＝－10π＋初步應(yīng)用例3把下列各角化成2kπ＋α（0≤α＜2π，k∈Z初步應(yīng)用例3

把下列各角化成2kπ＋α（0≤α＜2π，k∈Z）的形式，并指出是第幾象限角？（1）－1725°；（2）；（3）8．（2）因?yàn)樗?/p>

角與

角的終邊相同．又因?yàn)?/p>

是第二象限角，所以

是第二象限角．（3）8＝2π＋（8－2π），所以8與8－2π終邊相同，又因?yàn)?/p>

＜8－2π＜π，所以8－2π是第二