(完整版)導(dǎo)數(shù)講義(學(xué)生新版)(可編輯修改word版)

8/8導(dǎo)數(shù)一、導(dǎo)數(shù)的概念函數(shù)y二f(x),如果自變量x在x0處有增量Ax,那么函數(shù)y相應(yīng)地有增量y=f(xTOC\o"1-5"\h\z+Ax)—f(x),比值心叫做函數(shù)y二f(x)在x到x+Ax之間的平均變化率，00Ax00即Ay=f(%+心)—f(%)。如果當(dāng)AxT0時(shí)，今有極限，我們就說(shuō)函數(shù)y=f(x)AxAxAx在點(diǎn)x處可導(dǎo)，并把這個(gè)極限叫做f(x)在點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)，記作f'(X)或丫'I000°f'(x0)=limAy=limf(x0+Ax)-f(x0)ox=x0Axt0AxAxt0Ax例、若limf(x0+Ax)-f(x0)=k，則hmf(%+23-f(%)等于()AxT0Ax1AxT0AxA.2kB.kC.kD.以上都不是2變式訓(xùn)練：設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，試求下列各極限的值.limf(xo-Ax)-f(xo)；Axt0Ax'limf(x0+h)-f(x0-h).若0f(x)=2，則limf(x0-k)-f(x0)=?二導(dǎo)數(shù)的幾何意叉2k函數(shù)y二f(x)在點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)p(x，f(x)000處的切線(xiàn)的斜率。也就是說(shuō)，曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)p(x，f(x)處的切線(xiàn)的00斜率是f'(x0)o切線(xiàn)方程為y－y切線(xiàn)方程為y－y=f/(x)(x－x)o000三、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1．1．基本函的導(dǎo)數(shù)公式:①C=0;(C為常數(shù))②(xn)=nxn-1；③(sinx)'=cosx;④(cosx)'=—sinx;⑤(ex)'=ex;^⑥(ax)=axIna;⑦(inx)'=1;x⑧(logax)'=_loge-xa習(xí)題：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(8分鐘獨(dú)立完成)(1)f(x)=(2)f(x)=x4(3)f(x)=Jx⑷f(wàn)(x)=sinx(5)f(1)f(x)=(2)f(x)=x4(3)f(x)=Jx⑷f(wàn)(x)=sinx(5)f(x)=—cosx(9)f(x)=Inx(6)f(x)=3x(10)f(x)=1x(7)f(x)=ex⑻f(x)=log2x1y=_+_cosx4(11)(12)y=—(1+x2、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x)(13)y=lgx—ex(14)y=x3cosx[f(x)—g(x)]'=f'(x)—g'(x)(x)處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)=[f(x)g(x)]'=f'(x)處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)=1=1=f'(x)g(x)—f(x)g'(x)(1)y=x2+2x；(2)y=、.x—lnx；(3)y=■、；xsinx；(4)y=xlnx。(5)sinxy=x(6)x2y=。lnx如果函數(shù)(x)在點(diǎn)X處可導(dǎo),函數(shù)f(u)在點(diǎn)u=g2(x)練習(xí)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):3、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)：f(u=f［(x)］在點(diǎn)x處也可導(dǎo)，并且例、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)y=1-2xcosx練習(xí)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(2)y=ln(X+寸1+x2)⑴y⑴y=1(3x-1)2(2)y二sin(3X+_)4?？碱}型：類(lèi)型一、求導(dǎo)數(shù)相關(guān)問(wèn)題例1、若曲線(xiàn)y=e_x上點(diǎn)P處的切線(xiàn)平行于直線(xiàn)2x+y+i=o,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是例2、曲線(xiàn)y=xex—i在點(diǎn)(1,1)處切線(xiàn)的斜率等于()A.2eB.eC.2D.1例3、［2014?新課標(biāo)全國(guó)卷II］設(shè)曲線(xiàn)y=ax-ln(x+1)在點(diǎn)(0,0)處的切線(xiàn)方程為y=2x，則a=()A.0B.1C.2D.3類(lèi)型二、求切線(xiàn)方程已知切點(diǎn)坐標(biāo)，求切線(xiàn)方程例1.曲線(xiàn)y=X3-3x2+1在點(diǎn)(,-1)處的切線(xiàn)方程已知切點(diǎn)斜率，求切線(xiàn)方程例2與直線(xiàn)2x-y+4=0的平行的拋物線(xiàn)y=X2的切線(xiàn)方程已知曲線(xiàn)外一點(diǎn)，求切線(xiàn)方程例3.求過(guò)點(diǎn)(20)且與曲線(xiàn)y=丄相切的直線(xiàn)方程.x)已知曲線(xiàn)上一點(diǎn)，求過(guò)該點(diǎn)的切線(xiàn)方程例4求過(guò)曲線(xiàn)y=X3-2X上的點(diǎn)(1-1)的切線(xiàn)方程.變式訓(xùn)練：1、［2014?廣東卷］曲線(xiàn)y=—5ex+3在點(diǎn)(0,2、［2014?江蘇卷在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若曲線(xiàn)y=ax2+xa,b為常數(shù))過(guò)點(diǎn)P(2,—5)，且該曲線(xiàn)在點(diǎn)P處的切線(xiàn)與直線(xiàn)7x+2y+3=0平彳亍，則a+b的值是.

3、與直線(xiàn)x-y+1=0平行，且與曲線(xiàn)y^-2-1相切的直線(xiàn)方程3類(lèi)型三、求單調(diào)區(qū)間及極值、最值考點(diǎn)一求不含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例1.求函數(shù)y=x2(1－x)3的單調(diào)區(qū)間.變式1.函數(shù)y=xlnx的單調(diào)遞減區(qū)間是()A.(e-1,+s)B.(-8,e-1)C.(0,e-1)D.(e,+s)2(05年廣東高考題)函數(shù)f(x)=X3-3x2+1是減函數(shù)的區(qū)間為()(A)(2,+8)(B)(-8,2)(C)(-8,0)(D)(0,2)考點(diǎn)二求含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間考例1、已知函數(shù)f(x)=Lx2-mlnx+(m-1)x,meR.當(dāng)m<0時(shí)，討論函數(shù)2f(x)的單調(diào)性.例2、設(shè)函數(shù)f(x)=2x3—3(a-1)x2+1,其中a>1.求f(x)的單調(diào)區(qū)間；例3、設(shè)函數(shù)f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中a>—1,求f(x)的單調(diào)區(qū)間。變式訓(xùn)練：x-11、[2014?ft東卷]設(shè)函數(shù)f(x)=alnx+‘?，其中a為常數(shù).x＋1⑴若a=0,求曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線(xiàn)方程；(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.2、【2014安徽卷】設(shè)函數(shù)f(x)=1+(1+a)x-x2-x3，其中a>0.討論f(x)在其定義域上的單調(diào)性；考點(diǎn)三：利用單調(diào)區(qū)間求未知參數(shù)取值范一考點(diǎn)三：利用單調(diào)區(qū)間求未知參數(shù)取值范一PM

-匚■例1、[2014新課標(biāo)全國(guó)卷n]若函數(shù)f(x)=kx-lnx在區(qū)間(1,+^)單調(diào)遞增，則k的取值范圍是()A.(-g,—2]B.(-g,—1]C.[2,+x)D.[1,+x)例2.[2014全國(guó)新課標(biāo)卷I]已知函數(shù)f(x)=a>3-3X2+1,若f(x)存在唯一的零點(diǎn)X，且x>0,則a的取值范圍是()00A.(2,+^)B.(1,+^)C.(—8,—2)D.(—8,—1)例3、[2014遼寧卷]當(dāng)xw[—2,l]時(shí)，不等式ax3—X2+4X+3三0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(廠(chǎng))]A.[一5，—3]B.一6，—98C.[—6,—2]D.[—4,—3]變式訓(xùn)練：(ft東省煙臺(tái)市2011屆高三上學(xué)期期末考試試題(數(shù)學(xué)文)已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(1,4)曲線(xiàn)在點(diǎn)M處的切線(xiàn)恰好與直線(xiàn)x+9y=0垂直.(I)求實(shí)數(shù)a,b的值；(II)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[m,m+1]上單調(diào)遞增，求m的取值范圍.考點(diǎn)四：結(jié)合單調(diào)性求極值問(wèn)題求函數(shù)的極值的步驟:⑴確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)數(shù)f'(x)-求方程f'(x)=0的根.用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，順次將函數(shù)的定義域分成若干小開(kāi)區(qū)間，并列成.表格檢查f'(x)在方程根左右的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值；如果左右不改變符號(hào)，那么f(x)在這個(gè)根處無(wú)極值.注:可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)在x=xo處取得極值是廣(xo)=0的充分不必要條件.例h已知函數(shù)f(x)=2ax-+4Inx在x=[與工=1處都取得極值.x3(1)求a、b的值；變式訓(xùn)練：設(shè)x=1,x=2是f(x)=alnx+bx+x函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn).試確定常數(shù)a和b的值；試判斷x=1，x=2是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)，并求相應(yīng)極值.例2、(06安徽卷)設(shè)函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx(xeR)，已矢口g(x)=f(x)-f，(x)是奇函數(shù)。(I)求b、c的值。

求g(x)的單調(diào)區(qū)間與極值。例3、已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+(c-3a-2b)x+d的圖象如圖所示.求c,d的值；若函數(shù)f(x)在x=2處的切線(xiàn)方程為3x+y-11=0，求函數(shù)f(x)的解析式；在(II)的條件下，函數(shù)y=f(x)與y=1廣(x)+5x+m的圖象有二個(gè)不同3的交點(diǎn)，求m的取值范圍.例4、［2014?江西卷］已知函數(shù)f(x)=(x2+bx+b)\i—2x(bwR)()當(dāng)b=4時(shí)，求f(X)的極值；若f(x)在區(qū)間。，技上單調(diào)遞增，求b的取值范圍.變式訓(xùn)練：1、已知函數(shù)f(x)=x+b的圖象與函數(shù)g(x)=x2+3x+2的圖象相切，記F(x)=f(x)g(x).求實(shí)數(shù)b的值及函數(shù)F(x)的極值；若關(guān)于x的方程F(x)=k恰有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.2、(2011全國(guó)n文20)已知函數(shù)f(x)=x3+3ax2+(3-6a)x+12a-4(aeR)(I)證明：曲線(xiàn)y=f(x)4x=0的切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(2,2)求。的取值范圍.(II)若f(x)在x=x0處取得極小值,x0e(1,3)求。的取值范圍.考點(diǎn)五：結(jié)合單調(diào)性求最值問(wèn)題求函數(shù)在［a，b］上最值的步驟：(1)求出f(x)在(a,b)上的極值.(2)求出端點(diǎn)函數(shù)值f(a),f(b).(3)比較極值和端點(diǎn)值，確定最大值或最小值.例】、(2010年■慶卷)已知函數(shù)f(x)=ax3+x2+bx(其中常數(shù)a，b$R),g(x)=f(x)+f'(x)是奇函數(shù).(1)求f(x)的表達(dá)式；(2)討論g(x)的單調(diào)性，并求g(x)在區(qū)間［1,2］上的最大值與最小值.例2、設(shè)函數(shù)f(x)=ax3+bx+c(aH0)為奇函數(shù)，其圖象在點(diǎn)(1,f(1))處的切線(xiàn)與直線(xiàn)x—6y—7=0垂直，導(dǎo)函數(shù)f'(x)的最小值為一12.⑴求a，b，c的值；⑵求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，并求函數(shù)f(x)在［—1,3］上的最大值和最小值.例3、已知函數(shù)f(x)=x2+aInx,g(x)=(a+1)x,aH-1.2(I)若函數(shù)f(x),g(x)在區(qū)間［1,3］上都是單調(diào)函數(shù)且它們的單調(diào)性相同，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(II)若ae(1,e](e=2.71828)，設(shè)F(x)=f(x)-g(x)(II)若ae(1,12時(shí)，不等式IF(x)-F(x)1<1成立.例4、[2014安徽卷]設(shè)函數(shù)f(x)=i+(i+a)x—X2—X3，其中a>0.討論f(x)在其定義域上的單調(diào)性；當(dāng)xe[o,1]時(shí)，求f(x)取得最大值和最小值時(shí)的x的值.恒成立問(wèn)題：可將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問(wèn)題求解。兩個(gè)基本思想解決“恒成立問(wèn)題”思路1、m>f(x)在xeD上恒成立om>[f(x)]max思路2、m<f(x)在xeD上恒成立om<[f(x)]min例1.設(shè)函數(shù)f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2時(shí)取得極值?求a、b的值；若對(duì)于任意的xe[0,3],都有f(x)<c2成立，求C的取值范圍.例2、已知函數(shù)fO="x3—3x2+(a+1)x+1，其中a為實(shí)數(shù)。32已知不等式廣(x)>x2-x-a+1對(duì)任意ae(0,+小都成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍例3、設(shè)函數(shù)f(x)=x4+ax3+2x2+b,(xeR)，其中a,beR。若對(duì)于任意的ae[-2,2],不等式f(x)<1在[-1,1]上恒成立，求b的取值范圍。例4、若實(shí)數(shù)a>0且a豐2，函數(shù)f(x)=1ax3—1(a+2)x2+2x+1。32證明函數(shù)f(x)在x=1處取極值，并求出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間。若在區(qū)間(0,+^)上至少存在一點(diǎn)x0，使得f(x0)<1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。變式訓(xùn)練：1、(2010遼寧文)已知函數(shù)f(x)=(a+1)lnx+ax2+1.討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；設(shè)a<-2，證明：對(duì)任意x,xe(0,+s)，If(x)-f(x)>4Ix-xI.1212122、已知函數(shù)f(x)=x3+3|x—a|(a>0).若廣&)在[—1,1]上的最小值記為g(a).求g(a)；證明：當(dāng)xe[—1,1]時(shí)，恒有f(x)Wg(a)+4.3、設(shè)函數(shù)f(x)=(x-a)2x,aeR.(I)若x=1為函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a；(II)求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使得對(duì)任意的/r/