《任意角的三角函數(shù)》教學(xué)案

精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上專心---專注---專業(yè)專心---專注---專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上專心---專注---專業(yè)《1.2.1任意角的三角函數(shù)》教學(xué)案(教師用書獨(dú)具)●三維目標(biāo)1．知識與技能(1)初步理解任意角的三角函數(shù)的概念；(2)初步學(xué)會判斷三角函數(shù)在各象限中的符號；(3)初步學(xué)會使用三角函數(shù)線表示三角函數(shù)值；(4)能夠推導(dǎo)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式；(5)能夠?qū)W會使用公式一和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系解題．2．過程與方法(1)借助于單位圓，得出任意角的三角函數(shù)的概念；通過相似三角形法，理解在不同情景下的三角函數(shù)的定義的統(tǒng)一性；(2)通過探究三角函數(shù)值在各象限的符號，發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)值的分布規(guī)律；(3)觀察角的終邊在各象限時(shí)，三角函數(shù)線的畫法及所表示的含義，加深對三角函數(shù)定義的理解；(4)學(xué)會使用定義法、公式法、數(shù)形結(jié)合法解題．3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，樹立數(shù)形結(jié)合的思想，養(yǎng)成邏輯推理的習(xí)慣，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中所蘊(yùn)含的哲學(xué)思想.●重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：三角函數(shù)的定義、三角函數(shù)線．難點(diǎn)：用三角函數(shù)線表示一個(gè)角的正弦、余弦和正切．(教師用書獨(dú)具)●教學(xué)建議1．三角函數(shù)的定義關(guān)于三角函數(shù)定義的教學(xué)，建議教師在教學(xué)過程中，注意引導(dǎo)學(xué)生由銳角三角函數(shù)推廣到任意角的三角函數(shù)，這樣講很自然地把新舊知識連成線，又讓學(xué)生體會到了由特殊到一般的思維方法．2．三角函數(shù)定義域、函數(shù)值符號的判定(1)關(guān)于三角函數(shù)定義域的教學(xué)，建議教師緊緊抓住任意角三角函數(shù)的定義，讓學(xué)生自己觀察、思考、總結(jié)，得出結(jié)論．(2)關(guān)于函數(shù)值符號的判定的教學(xué)，建議教師讓學(xué)生獨(dú)立完成，最后以教師點(diǎn)評的方式進(jìn)行，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)終邊落在坐標(biāo)軸上時(shí)正、余弦函數(shù)的取值情形．3．三角函數(shù)線關(guān)于三角函數(shù)線的教學(xué)，建議教師在教學(xué)過程中，利用多媒體予以呈現(xiàn)，讓學(xué)生直觀的感受三角函數(shù)線與三角函數(shù)線的關(guān)系，及在單位圓中的位置．結(jié)合圖形，講清三角函數(shù)線的位置、方向和大?。?/p>

●教學(xué)流程eq\x(創(chuàng)設(shè)問題情境，回顧初中銳角三角函數(shù)定義，引出任意角三角函數(shù)的定義.)?eq\x(引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合三角函數(shù)定義，探究三角函數(shù)在各象限的符號，并總結(jié)其規(guī)律.)?eq\x(借助單位圓和三角函數(shù)的定義等知識，學(xué)習(xí)三角函數(shù)線的畫法及所表示的含義.)?eq\x(通過例1及其互動探究，使學(xué)生掌握利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值的方法.)?通過例2及其變式訓(xùn)練，使學(xué)生掌握利用三角函數(shù)在各象限的符號規(guī)律判斷三角函數(shù)值符號的方法.?通過例3及其變式訓(xùn)練，使學(xué)生掌握三角函數(shù)線的畫法及利用三角函數(shù)線求角范圍的方法.?eq\x(歸納整理，進(jìn)行課堂小結(jié)，整體認(rèn)識本節(jié)課所學(xué)知識.)?eq\x(完成當(dāng)堂雙基達(dá)標(biāo)，鞏固所學(xué)知識并進(jìn)行反饋矯正.)課前自主導(dǎo)學(xué)課標(biāo)解讀1.理解三角函數(shù)的定義，會使用定義求三角函數(shù)值．2．會判斷給定角的三角函數(shù)值的符號．(重點(diǎn)、難點(diǎn))3．會利用三角函數(shù)線比較兩個(gè)同名三角函數(shù)值的大小及表示角的范圍．(難點(diǎn))任意角的三角函數(shù)的定義【問題導(dǎo)思】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，完成下面的填空：圖形定義sinA＝________，cosA＝________，tanA＝________【提示】eq\f(a,c)，eq\f(b,c)，eq\f(a,b).在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)α的終邊上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x，y)．并記|OP|＝r(此時(shí)r＝eq\r(x2＋y2)>0)，那么名稱定義定義域正弦sinα＝eq\f(y,r)R余弦cosα＝eq\f(x,r)R正切tanα＝eq\f(y,x){α|α≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z}sinα，cosα，tanα分別稱為正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)，統(tǒng)稱為三角函數(shù)．三角函數(shù)在各象限符號【問題導(dǎo)思】如果角α的終邊在x軸上方，那么能否判斷sinα的符號？【提示】∵sinα＝eq\f(y,r)，y＞0，r＞0，∴sinα＞0.三角函數(shù)線【問題導(dǎo)思】1．結(jié)合圖形思考：在單位圓中，三角函數(shù)能否用圖中的有向線段來表示？【提示】能．2．若選取角α終邊與單位圓的交點(diǎn)為P(x，y)，如何求sinα，cosα？【提示】∵r＝1，∴sinα＝y(tǒng)，cosα＝x.(1)有向線段：規(guī)定了方向的線段．(2)三角函數(shù)線課堂互動探究三角函數(shù)的定義及應(yīng)用例1(2013·青島高一檢測)已知角θ的終邊上有一點(diǎn)P(－eq\r(3)，m)，且sinθ＝eq\f(\r(2),4)m，求cosθ與tanθ的值．【思路探究】先利用三角函數(shù)定義sinθ＝eq\f(y,r)，求出m的值，再用公式cosθ＝eq\f(x,r)，tanθ＝eq\f(y,x)代入數(shù)據(jù)求解．【自主解答】由已知r＝eq\r(－\r(3)2＋m2)＝eq\r(3＋m2)，∴eq\f(\r(2),4)m＝eq\f(m,\r(3＋m2))，解得m＝0，或m＝±eq\r(5)，(1)當(dāng)m＝0時(shí)，cosθ＝－1，tanθ＝0；(2)當(dāng)m＝eq\r(5)時(shí)，cosθ＝－eq\f(\r(6),4)，tanθ＝－eq\f(\r(15),3)；(3)當(dāng)m＝－eq\r(5)時(shí)，cosθ＝－eq\f(\r(6),4)，tanθ＝eq\f(\r(15),3).規(guī)律方法1．利用三角函數(shù)的定義求一個(gè)角的三角函數(shù)值需明確三個(gè)量：角的終邊上任意一個(gè)異于原點(diǎn)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y，該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離r.2．當(dāng)角α的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)以參數(shù)形式給出時(shí)，要根據(jù)問題的實(shí)際情況對參數(shù)進(jìn)行分類討論．互動探究將本例中條件改為“已知角α的終邊上有一點(diǎn)P(m，－eq\r(2))(m≠0)，且cosθ＝eq\f(\r(3),6)m”，如何求tanθ的值？【解】由已知得eq\f(m,\r(m2＋2))＝eq\f(\r(3),6)m，∵m≠0，∴m＝±eq\r(10)，當(dāng)m＝eq\r(10)時(shí)，tanθ＝eq\f(－\r(2),\r(10))＝－eq\f(\r(5),5)；當(dāng)m＝－eq\r(10)時(shí)，tanθ＝eq\f(－\r(2),－\r(10))＝eq\f(\r(5),5).三角函數(shù)值的符號例2判斷下列各式的符號：(1)α是第四象限角，sinα·tanα；(2)sin3·cos4·tan(－eq\f(23π,4))．【思路探究】先確定各角所在象限，再判定各個(gè)三角函數(shù)值符號，然后判定三角函數(shù)式的符號．【自主解答】(1)∵α是第四象限角，∴sinα<0，tanα<0，∴sinα·tanα>0.(2)∵eq\f(π,2)<3<π，π<4<eq\f(3π,2)，∴sin3>0，cos4<0.又∵－eq\f(23π,4)＝－6π＋eq\f(π,4)，∴tan(－eq\f(23π,4))>0，∴sin3·cos4·tan(－eq\f(23π,4))<0.規(guī)律方法三角函數(shù)值的符號取決于角的終邊所在位置．三角函數(shù)值在各象限的符號可以用“一全正、二正弦、三正切、四余弦”(即第一象限角三角函數(shù)全是正值，第二象限角正弦函數(shù)是正值，第三象限角正切函數(shù)是正值，第四象限角余弦函數(shù)是正值)來判斷．變式訓(xùn)練若sinθ·cosθ＞0，且cosθ·tanθ＜0，則角θ的終邊落在第________象限．【解析】由sinθ·cosθ＞0可知θ為第一或第三象限角，由cosθ·tanθ＜0可知θ為第三或第四象限角，則知θ為第三象限角．【答案】三三角函數(shù)線的應(yīng)用例3在單位圓中畫出適合下列條件的角α的終邊范圍，并由此寫出角α的集合．(1)sinα≥eq\f(\r(3),2)；(2)cosα≤－eq\f(1,2).【思路探究】根據(jù)三角函數(shù)線．在單位圓中首先作出滿足sinα＝eq\f(\r(3),2)，cosα＝－eq\f(1,2)的角的終邊，然后由已知條件確定角α的終邊范圍．【自主解答】(1)作直線y＝eq\f(\r(3),2)交單位圓于A，B兩點(diǎn)，連接OA，OB，則OA與OB圍成的區(qū)域(如圖①陰影部分)即為角α的終邊的范圍．故滿足條件的角α的集合為{α|2kπ＋eq\f(π,3)≤α≤2kπ＋eq\f(2π,3)，k∈Z}，(2)作直線x＝－eq\f(1,2)交單位圓于C，D兩點(diǎn)，連接OC與OD，則OC與OD圍成的區(qū)域(如圖②陰影部分)即為角α的終邊的范圍．故滿足條件的角α的集合為{α|2kπ＋eq\f(2π,3)≤α≤2kπ＋eq\f(4π,3)，k∈Z}．規(guī)律方法1．三角函數(shù)線是利用數(shù)形結(jié)合思想解決有關(guān)問題的工具，要注意利用其來解決問題．2．三角函數(shù)線的主要作用是解三角不等式、比較大小及求函數(shù)的定義域，在求三角函數(shù)定義域時(shí)，一般轉(zhuǎn)化為不等式(組)，因此必須牢固掌握三角函數(shù)線的畫法及意義．變式訓(xùn)練作出角eq\f(5π,6)，－eq\f(9π,4)的正弦線、余弦線、正切線，并比較相應(yīng)三角函數(shù)值的大小．【解】如圖(1)所示，圖中有向線段MP，OM，AT分別表示eq\f(5π,6)角的正弦線、余弦線、正切線．如圖(2)所示，圖中有向線段M′P′，OM′，A′T′分別表示－eq\f(9π,4)角的正弦線、余弦線、正切線．由圖可知MP＞0＞M′P′，所以sineq\f(5π,6)＞sin(－eq\f(9π,4))，OM＜0＜OM′，所以coseq\f(5π,6)＜cos(－eq\f(9π,4))，0＞AT＞A′T′，所以taneq\f(5π,6)＞tan(－eq\f(9π,4)).易錯(cuò)易誤辨析忽視角所在象限的討論致誤典例已知角α的頂點(diǎn)在原點(diǎn)上，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為(3a，4a)(a≠0)，求角α的正弦值和正切值．【錯(cuò)解】由題意得x＝3a，y＝4a，所以r＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(3a2＋4a2)＝5a，所以sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(4a,5a)＝eq\f(4,5)，tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(4a,3a)＝eq\f(4,3).【錯(cuò)因分析】本題中點(diǎn)的坐標(biāo)含參數(shù)，當(dāng)a＞0時(shí)，該點(diǎn)在第一象限，即角α的終邊在第一象限；當(dāng)a＜0時(shí)，該點(diǎn)在第三象限，即角α的終邊在第三象限．故應(yīng)對a的取值范圍進(jìn)行分類討論．【防范措施】根據(jù)角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)求三角函數(shù)值時(shí)，若坐標(biāo)中含有字母，則應(yīng)分類討論．【正解】由題意得x＝3a，y＝4a，所以r＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(3a2＋4a2)＝5|a|.若a＞0，則r＝5a，所以sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(4a,5a)＝eq\f(4,5)，tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(4a,3a)＝eq\f(4,3)；若a＜0，則r＝－5a，所以sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(4a,－5a)＝－eq\f(4,5)，tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(4a,3a)＝eq\f(4,3).1．三角函數(shù)值是比值，是一個(gè)實(shí)數(shù)，這個(gè)實(shí)數(shù)的大小和點(diǎn)P(x，y)在終邊上的位置無關(guān)，只由角α的終邊位置確定．即三角函數(shù)值的大小只與角有關(guān)．2．三角函數(shù)線的主要作用是解三角不等式及比較同角異名三角函數(shù)值的大小，同時(shí)它也是以后學(xué)習(xí)三角函數(shù)的基礎(chǔ).當(dāng)堂雙基達(dá)標(biāo)1．已知α的終邊過點(diǎn)P(4，－3)，則下面各式中正確的是________．(只填序號)①sinα＝eq\f(4,5)；②cosα＝－eq\f(4,5)；③tanα＝－eq\f(3,4)；④tanα＝－eq\f(4,3).【解析】易知x＝4，y＝－3，r＝5，所以sinα＝－eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(4,5)，tanα＝－eq\f(3,4).【答案】③2．sin105°cos230°的符號為________．【解析】∵105°為第二象限角，230°為第三象限角，∴sin105°＞0，cos230°＜0.∴sin105°·cos230°＜0.【答案】負(fù)3．有下列命題：①若sinα＞0，則α是第一或第二象限角；②若α是第一或第二象限角，則sinα＞0；③三角函數(shù)線不能取負(fù)值；④若α是第二象限角，且P(x，y)是其終邊上一點(diǎn)，則cosα＝eq\f(－x,\r(x2＋y2)).其中正確命題的序號是________．【解析】∵sineq\f(π,2)＝1＞0，但eq\f(π,2)不是第一或第二象限角，∴①不正確；三角函數(shù)線是三角函數(shù)值的幾何表示，其數(shù)量可正可負(fù)，也可為0，∴③不正確；④應(yīng)是cosα＝eq\f(x,\r(x2＋y2))(∵α是第二象限角，已有x＜0)，∴④不正確．【答案】②4．作出下列各角的正弦線、余弦線、正切線：(1)eq\f(π,6)；(2)eq\f(2π,3)；(3)－eq\f(5π,6).【解】作角的正弦線、余弦線、正切線的關(guān)鍵是畫出單位圓和角的終邊．如圖所示，有向線段MP，OM，AT分別是題中三個(gè)角的正弦線、余弦線、正切線．一、填空題1．已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(x，－6)，若sinα＝－eq\f(12,13)，則x的值為________．【解析】由三角函數(shù)的定義得sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(－6,\r(36＋x2))＝－eq\f(12,13)，∴x2＝eq\f(25,4)，∴x＝±eq\f(5,2).【答案】±eq\f(5,2)2．(2013·巢湖高一檢測)下列三角函數(shù)值的符號判斷錯(cuò)誤的是________．①sin165°＞0；②cos280°＞0；③tan170°＞0；④tan310°＜0.【解析】165°為第二象限角，280°為第四象限角，170°為第二象限角，310°為第四象限角，第二象限角的正切值的符號為負(fù)，故③不正確．【答案】③3．(2013·廣州高一檢測)已知sinα＝eq\f(3,5)，cosα＝－eq\f(4,5)，則角α終邊在第________象限．【解析】由sinα＝eq\f(3,5)＞0得，角α的終邊在第一或第二象限；由cosα＝－eq\f(4,5)＜0得，角α的終邊在第二或第三象限，故角α的終邊在第二象限．【答案】二4．角α的終邊上有一點(diǎn)M(a，a)，a∈R且a≠0，則sinα的值為________．【解析】當(dāng)a>0時(shí)，r＝eq\r(a2＋a2)＝eq\r(2)a，sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(a,\r(2)a)＝eq\f(\r(2),2).當(dāng)a<0時(shí)，r＝eq\r(a2＋a2)＝－eq\r(2)a，sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(a,－\r(2)a)＝－eq\f(\r(2),2).∴sinα＝eq\f(\r(2),2)或－eq\f(\r(2),2).【答案】eq\f(\r(2),2)或－eq\f(\r(2),2)5．如果cosx＝|cosx|，那么角x的取值范圍是________．【解析】∵cosx＝|cosx|，∴cosx≥0，∴角x的終邊落在y軸或其右側(cè)，從而角x的取值范圍是[2kπ－eq\f(π,2)，2kπ＋eq\f(π,2)]，k∈Z.【答案】[2kπ－eq\f(π,2)，2kπ＋eq\f(π,2)]，k∈Z6．已知α終邊過點(diǎn)(3a－9，a＋2)，且sinα>0，cosα≤0，則a的取值范圍為________．【解析】∵sinα>0，cosα≤0，∴α終邊在第二象限或y軸正半軸上，∴3a－9≤0，a＋2>0，∴－2<a≤3.【答案】(－2，3]7．已知角α的終邊與射線y＝－3x(x≥0)重合，則sinα·cosα－tanα的值為________．【解析】在角α終邊上取一點(diǎn)P(1，－3)，此時(shí)x＝1，y＝－3.∴r＝eq\r(12＋－32)＝eq\r(10).∴由三角函數(shù)定義得sinα＝eq\f(y,r)＝－eq\f(3,\r(10))，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(1,\r(10))，tanα＝eq\f(y,x)＝－3.∴sinα·cosα－tanα＝－eq\f(3,\r(10))×eq\f(1,\r(10))－(－3)＝3－eq\f(3,10)＝eq\f(27,10).【答案】eq\f(27,10)8．使sinx≤cosx成立的x的一個(gè)變化區(qū)間是________．①[－eq\f(3π,4)，eq\f(π,4)]；②[－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]；③[－eq\f(π,4)，eq\f(3π,4)]；④[0，π]．【解析】如圖，畫出三角函數(shù)線sinx＝MP，cosx＝OM，由于sin(－eq\f(3π,4))＝cos(－eq\f(3π,4))，sineq\f(π,4)＝coseq\f(π,4)，為使sinx≤cosx成立，由圖可得－eq\f(3π,4)≤x≤eq\f(π,4).【答案】①二、解答題9．(2013·杭州高一檢測)已知角α的終邊過點(diǎn)(a，2a)(a≠0)，求α的三個(gè)三角函數(shù)值．【解】因?yàn)榻铅恋慕K邊過點(diǎn)(a，2a)(a≠0)，所以r＝eq\r(5)|a|，x＝a，y＝2a.當(dāng)a＞0時(shí)，sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(2a,\r(5)|a|)＝eq\f(2a,\r(5)a)＝eq\f(2\r(5),5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(a,\r(5)a)＝eq\f(\r(5),5)，tanα＝2；當(dāng)a＜0時(shí)，sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(2a,\r(5)|a|)＝eq\f(2a,－\r(5)a)＝－eq\f(2\r(5),5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(a,－\r(5)a)＝－eq\f(\r(5),5)，tanα＝2.10．已知角α的頂點(diǎn)在原點(diǎn)上，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，且sinα＜0，tanα＞0.(1)求角α的集合；(2)判斷eq\f(α,2)為第幾象限角；(3)判斷taneq\f(α,2)，sineq\f(α,2)·coseq\f(α,2)的符號．【解】(1)因?yàn)閟inα＜0，tanα＞0，所以角α是第三象限角，故角α的集合為{α|2kπ＋π＜α＜2kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z}．(2)由(1)知kπ＋eq\f(π,2)＜eq\f(α,2)＜kπ＋eq\f(3π,4)(k∈Z)．當(dāng)k＝2m(m∈Z)時(shí)，2mπ＋eq\f(π,2)＜eq\f(α,2)＜2mπ＋eq\f(3π,4)(m∈Z)，所以eq\f(α,2)是第二象限角；當(dāng)k＝2m＋1(m∈Z)時(shí)，2mπ＋eq\f(3,2)π＜eq\f(α,2)＜2mπ＋eq\f(7,4)π(m∈Z)，所以eq\f(α,2)是第四象限角．所以eq\f(α,2)是第二或第四象限角．(3)由(2)知eq\f(α,2)是第二或第四象限角，從而taneq\f(α,2)＜0，sineq\f(α,2)·coseq\f(α,2)＜0.11．利用單位圓寫出符合下列條件的角x的范圍．(1)sinx<－eq\f(\r(2),2)；(2)|cosx|≤eq\f(1,2).【解】(1)作出單位圓如圖所示．在0～2π內(nèi)，∵sineq\f(5π,4)＝－eq\f(\r(2),2)，sineq\f(7π,4)＝－eq\f(\r(2),2)，∴滿足sinx<－eq\f(\r(2),2)的角x在(eq\f(5π,4)，eq\f(7π,4))內(nèi)．故在任意角范圍內(nèi)滿足sinx<－eq\f(\r(2),2)的角x的范圍是eq\f(5π,4)＋2kπ<x<eq\f(7π,4)＋2kπ(k∈Z)．(2)作出單位圓如圖所示．在0～π內(nèi)，|coseq\f(π,3)|＝eq\f(1,2)，|coseq\f(2π,3)|＝eq\f(1,2).在π～2π內(nèi)，|coseq\f(4π,3)|＝/r/