2020春人教版八年級數(shù)學(xué)下冊同步測試：微專題六 以菱形為背景的證明和計(jì)算

12/11微專題六以菱形為背景的證明與計(jì)算[學(xué)生用書A26](教材P60(教材P60習(xí)題18.2第6題)如圖1,AE//BF,AC平分ZBAD且交BF于點(diǎn)C,BD平分/ABC且交AE于點(diǎn)D,連接CD.求證：四邊形ABCD是菱形.證明：V證明：VAC平分/BAD,AZBAC=/CAD.?：AE//BF,:,/BCA二/CAD,:./BAC=/BCA,???AB二BC，同理可證AB二AD，：?AD二BC.又VAD//BC,：.四邊形ABCD是平行四邊形.又VAB二BC,???四邊形ABCD是菱形.【思想方法】菱形的判別方法是說明一個(gè)四邊形為菱形的理論依據(jù)，常用三種變形方法：(1)定義；(2)四邊相等；(3)對角線互相垂直平分．變形如圖2,在ABCD中，以點(diǎn)A為圓心,AB長為半徑畫弧交AD于點(diǎn)F；再分別以點(diǎn)B,F為圓心，大于2BF的相同長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)F,連接AP并延長交BC于點(diǎn)E,連接EF,則所得四邊形ABEF是菱形.根據(jù)以上尺規(guī)作圖的過程，求證四邊形ABEF是菱形.

圖2圖2證明：由作圖過程可知，AB=AF,AE平分ZBAD.??.ZBAE二ZEAF.???四邊形ABCD為平行四邊形，:.BC//AD.???ZAEB二ZEAF.??.ZBAE二ZAEB,:.AB二BE.:?BE二AF.變形???四邊形ABEF為平行四邊形????四邊形ABEF為菱形.變形如圖3,在ABCD中，E為BC邊上的一點(diǎn)，連接AE,BD,且AE=AB.求證:ZABE=ZEAD；若ZAEB=2ZADB，求證：四邊形ABCD是菱形.圖3圖3證明：(I)：'四邊形ABCD為平行四邊形，：.AD//BC,???ZAEB二ZEAD.???AE二AB,:.ZABE二ZAEB,:.ZABE二ZEAD;(2)?.?AD〃BC,.ZADB二ZDBC.又TZAEB二2ZADB,ZAEB二ZABE,.ZABE二2ZDBC,.ZABD二ZDBC,???ZABD二ZADB,:.AB=AD.變形又???四邊形ABCD為平行四邊形，.??四邊形ABCD是菱形.變形如圖4，在RtAABC中，ZACB=90°,D為AB的中點(diǎn)，且AE//CD.CE//AB，連接DE交AC于F.(1)證明：四邊形ADCE是菱形；⑵試判斷BC與線段EF的關(guān)系，并說明理由.

解：⑴證明:、：AE//CD,EC//AD,???四邊形ADCE是平行四邊形，：ZACB=90°,BD=AD,:.CD=AD=BD,???四邊形ADCE是菱形；⑵結(jié)論：BC/EF,BC=2EF.理由：?：四邊形ADCE是菱形，:.DELAC,DF=EF,?ZDFA二ZACB二90°,：.DE/BC,變形?:BD二AD,?CF二FA，：?BC=2DF=2EF.變形已知：如圖5,在△ABC中，點(diǎn)D,E分別是邊AB,BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F,G是邊AC的三等分點(diǎn)，DF,EG的延長線相交于點(diǎn)H.求證：四邊形FBGH是平行四邊形；如果AC平分ZBAH,求證：四邊形ABCH是菱形.圖5圖5變形4答圖證明：(I)：?點(diǎn)F,G是邊AC的三等分點(diǎn)，:.AF=FG=GC.又???點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)，：.DH//BG.同理：EH//BF.???四邊形FBGH是平行四邊形；(2)如答圖，連接BH,交AC于點(diǎn)O.???四邊形FBGH是平行四邊形，:?BO二HO,FO=GO.又:AF=FG=GC,???AF+FO=GC+GO.即AO二CO,???四邊形ABCH是平行四邊形，?AH〃BC,:.ZHAC=ZBCA,:AC平分ZBAH,???ZHAC二ZBAC,

??.ZBAC二ZBCA,:.AB二BC.又???四邊形ABCH是平行四邊形，變形???四邊形ABCH是菱形.變形D,E分別是不等邊三角形ABC(I卩AB工BC工AC)的邊AB,AC的中點(diǎn).O是△ABC所在平面上的動(dòng)點(diǎn)，連接OB,OC,G,F分別是OB,OC的中點(diǎn),順次連接點(diǎn)D,G,F,E.⑴如圖6,當(dāng)點(diǎn)O在△ABC的內(nèi)部時(shí)，求證：四邊形DGFE是平行四邊形;(2)若四邊形DGFE是菱形，則OA與BC應(yīng)滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？(直接寫出答案,不需要說明理由)解：⑴證明：TD,E分別是AB,AC邊的中點(diǎn)，:.DE//BC,DE二1BC，同理，GF//BC,GF二1BC,:.DE//GF且DE=GF,???四邊形DGFE是平行四邊形；(2)若四邊形DGFE是菱形，則OA二BC.

如圖7,在△ABC中，ZACB=90O,CD丄AB于點(diǎn)D,AE平分ZBAC,分別與BC,CD交于點(diǎn)E,F,EH丄AB于點(diǎn)H,連接FH.求證：四邊形CFHE是菱形．圖7圖7證明：由題意知ZCAE+ZCEA=90°,ZEAH+ZAEH=90。,又VZCAE=ZEAH,???ZCEA二ZAEH,VCD丄AB,EH丄AB，：?CD//EH,:.ZCFE二ZAEH,:ZCFE=ZCEA,:CF=CE,又V點(diǎn)E在ZCAB的平分線上，：?CE=EH.在四邊形CFHE中，CF綊EH,CE=EH,變形：?四邊形CFHE是菱形.變形如圖8,在菱形ABCD中，AB=2,ZDAB=60°,點(diǎn)E是AD邊的中點(diǎn).點(diǎn)M是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合)，延長ME交射線CD的延長線于點(diǎn)N,連接MD,AN.(1)求證：四邊形AMDN是平行四邊形；(2)填空：①當(dāng)AM的值為1時(shí)，四邊形AMDN是矩形;②當(dāng)AM的值為2時(shí)，四邊形AMDN是菱形.F)CMB圖8解：(1)證明：???四邊形ABCD是菱形，:.ND//AM,：?/NDE=/MAE,ZDNE=/AME,又???點(diǎn)E是AD邊的中點(diǎn)，：?DE二AE,:△NDE^^MAE,:ND=MA,?：四邊形AMDN是平行四邊形；(2)①當(dāng)AM的值為1時(shí)，四邊形AMDN是矩形?理由如下：?/四邊形ABCD是菱形,「.AB=AD=2.TAM二1=AE,/DAB二60°,:△AEM是正三角形，EM=1,:EM=ED,/EDM二30。,T/DAM二60。,:/AMD=90°，?:AMDN是矩形；

②當(dāng)AM的值為2時(shí)，四邊形AMDN是菱形?理由如下：TAM二2,:,AM=AD=2,—DAM二60°,???△AMD是等邊三角形，變形:.AM=DM,:.AMDN是菱形.變形[2018?安順]如圖9,在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作BC的平行線交BE的延長線于點(diǎn)F,連接CF.(1)求證：AF=DC；⑵若AB丄AC,試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結(jié)論.圖9圖9解：（1）證明:???AF〃BC,AZAFE=ZDBE,ZF4E=ZBDE.YE是AD的中點(diǎn)，?AE=DE.ZAFE二ZDBE,在△FAE與△BDE中，|ZFAE二ZBDE,A二DE.?△FAE竺△BDE,.AF二DB.

TAD是BC邊上的中線，：?DB二DC,：?AF二DC；(2)四邊形ADCF是菱形.理由：由⑴知AF=DC,又?:AF//BC,???四邊形ADCF是平行四邊形，TABLAC,:.△ABC是直角三角形，ZBAC=90°.變形TAD是BC邊上的中線,???AD二CD,???四邊形ADCF是菱形.變形如圖10,將等腰三角形ABC繞頂點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)a度角到△Ag的位置，AB與A1C1相交于點(diǎn)D，AC與A1C1，BC分別交于點(diǎn)E,F.(1)求證：ABCF竺ABA］。；(2)當(dāng)ZC=a(2)當(dāng)ZC=a時(shí)，判定四邊形ABCE的形狀并說明理由.圖10解：(1)證明：是等腰三角形,???AB二BC,ZA=ZC,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得A1B=AB=BC,ZA二/