微積分學(xué)課件：1-3a 函數(shù)極限概念和性質(zhì)

第三節(jié)函數(shù)極限一、函數(shù)極限的概念二、函數(shù)極限的性質(zhì)三、函數(shù)極限存在的準(zhǔn)則五、兩個(gè)重要極限四、無(wú)窮小量、無(wú)窮大量、階的比較

一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限播放通過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:問(wèn)題:如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃函數(shù)“無(wú)限接近”.1、定義：2、幾何解釋:例證例：證明因這個(gè)不等式相當(dāng)于或由此可知,如果取那么當(dāng)時(shí),不等式成立,證畢.直線(xiàn)y=0是函數(shù)的圖形的水平漸近線(xiàn).證要證當(dāng)時(shí),不等式成立.

3、

時(shí),函數(shù)

的極限

對(duì)函數(shù)，當(dāng)取正值且無(wú)限增大時(shí)，函數(shù)值無(wú)限趨近于常數(shù)A,則稱(chēng)當(dāng)時(shí)，函數(shù)以A為極限。記作:對(duì)于任意給定的正數(shù),總存在正數(shù)X,當(dāng)x>X時(shí)，恒有則稱(chēng)當(dāng)時(shí)，函數(shù)以A為極限。定義：

幾何解釋:)2(y.,,fe=>y的帶形區(qū)域內(nèi)寬為為中心線(xiàn)直線(xiàn)圖形完全落在以函數(shù)時(shí)當(dāng)=AxXx4、

時(shí),函數(shù)

的極限記作:對(duì)于任意給定的正數(shù),總存在正數(shù)

X,當(dāng)

x<－X時(shí)，恒有則稱(chēng)當(dāng)時(shí)，函數(shù)以A為極限。

對(duì)函數(shù)，當(dāng)取負(fù)值且無(wú)限增大時(shí)，函數(shù)無(wú)限趨近于常數(shù)A,則稱(chēng)當(dāng)時(shí)，函數(shù)以A為極限。

定義：例：不存在．例：設(shè)求解：結(jié)論：由圖容易看出：分析

需要證明之處例:證明：證明：二、自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限

1）2）表示時(shí)有無(wú)極限與

有無(wú)定義沒(méi)有關(guān)系.3）任意給定后，才能找到，依賴(lài)于，且越小，越小.4）不唯一，也不必找最大的，只要存在即可.

幾何意義

如果函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時(shí)極限為A,以任意給定一正數(shù)ε,作兩條平行于x軸的直線(xiàn)y=A+ε和y=A-ε,存在點(diǎn)x0的δ鄰域(x0-δ,x0+δ),當(dāng)x在鄰域(x0-δ,x0+δ)內(nèi),但x≠x0時(shí),曲線(xiàn)y=f(x)上的點(diǎn)(x,f(x))都落在兩條平行線(xiàn)之間。

例證例證例證函數(shù)在點(diǎn)x=1處沒(méi)有定義.例證

例:證

例：證明：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)及反三角函數(shù)等基本初等函數(shù)，在其定義域內(nèi)的每點(diǎn)處的極限都存在，并且等于函數(shù)在該點(diǎn)處的值。結(jié)論２．單側(cè)極限:例如,左極限右極限左右極限存在但不相等,例證

例函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限不存在.證當(dāng)時(shí)的左極限而右極限因?yàn)樽髽O限和右極限存在但不相等,所以不存在.yOx-11例:討論函數(shù)在處的極限.證.所以

小結(jié)注：分段函數(shù)分點(diǎn)處的極限，要分別求左極限和右極限.證明函數(shù)極限不存在的方法是:(1)證明左極限與右極限至少有一個(gè)不存在(2)或證明左極限和右極限均存在,但不相等小結(jié)函數(shù)極限的統(tǒng)一定義(見(jiàn)下表)過(guò)程時(shí)刻從此時(shí)刻以后過(guò)程時(shí)刻從此時(shí)刻以后

函數(shù)極限的性質(zhì)二、1、唯一性證:注意：局部有界性3.不等式性質(zhì)定理(保號(hào)性)推論:4.四則運(yùn)算法則設(shè)則有：法則1.

法則2.法則3.推論1.推論2.注意

法則1和法則2均可推廣到有限個(gè)變量的情形.結(jié)論例.求解一般,設(shè)例.求(注:對(duì)于有理分式函數(shù),首先要驗(yàn)分母極限是否為零.)解

一般，設(shè)有理分式函數(shù)是多項(xiàng)式若則結(jié)論一般，例．例.求解：

例解將分子、分母同乘以因子(1-x),則5.復(fù)合函數(shù)求極限法則（1）若滿(mǎn)足即函數(shù)符號(hào)與極限符號(hào)可以交換順序.則說(shuō)明設(shè)函數(shù)是由和復(fù)合而成（2）若滿(mǎn)足且在內(nèi)則變量替代法

且在內(nèi)證明：證畢例解

一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)