2019年241平面向量數量積的物理背景及其含義教案

2.4.1平面向量數量積的物理背景及其含義三維目標：1、知識與技能：（1）理解平面向量數量積的幾何意義及其物理意義；（2）掌握平面向量的數量積及其幾何意義；掌握平面向量數量積的重要性質及運算律；（3）理解平面向量的數量積與向量投影的關系；（4）了解用平面向量的數量積可以處理有關長度、角度和垂直的問題能運用數量積表示兩個向量的夾角，會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系。2、過程與方法（1）在學習和運用向量的數量積的過程中，進一步體會平面向量本質及它與生活和自然科學聯系，認識事物的統(tǒng)一性，并通過學習向量的數量積感受數形結合的思想方法；（2）培養(yǎng)學生數形結合的思想方法以及分析問題、解決問題的能力及鉆研精神，培養(yǎng)學生的運算能力、嚴謹的思維習慣以及解題的規(guī)范性。（3）通過對向量的數量積的探究、交流、總結，從各角度、用各方法來體會向量之間的關系和作用，不斷從感性認識提高到理性認識，。3、情態(tài)與價值觀（1）通過用向量數量積解決問題的思想的學習，使學生加深認識數學知識之間的聯系，體會數學知識抽象性、概括性和應用性，培養(yǎng)起學生學習數學的興趣，形成學數學、用數學的思維和意識，培養(yǎng)學好數學的信心，為遠大的志向而不懈奮斗。（2）通過對向量數量積及所產生的思想方法的學習及探索，不斷培養(yǎng)自主學習、主動探索、善于反思、勤于總結的科學態(tài)度和鍥而不舍的鉆研精神，并提高參與意識和合作精神；教學重點：平面向量的數量積定義及應用（能利用數量積解決求平行、垂直、夾角等問題）教學難點：平面向量的數量積與向量投影的關系；運算律的理解和平面向量數量積的應用。教學過程：一、情景導入、引出新課1、提出問題1：請同學們回顧一下，我們已經研究了向量的哪些運算？這些運算的結果是什么？期望學生回答：向量的加法、減法及數乘運算。2、提出問題2：請同學們繼續(xù)回憶，我們是怎么引入向量的加法運算的？我們又是按照怎樣的順序研究了這種運算的？期望學生回答：物理模型一概念一性質一運算律一應用3、新課引入：本節(jié)課我們仍然按照這種研究思路來研究向量的另外一種運算：平面向量數量積的物理背景及其含義二、合作探究，精講點撥探究一：數量積的概念（1）如圖所示，一物體在力F的作用下產生位移S,（1）如圖所示，一物體在力F的作用下產生位移S,那么力F所做的功：W=|F||S|cosa。(2)這個公式的有什么特點？請完成下列填空：TOC\o"1-5"\h\zW(功)是量，F(力)是量，S(位移)是—量，a是。你能用文字語言表述“功的計算公式”嗎?期望學生回答：功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積2、明晰數量積的定義數量積的定義：—F-—￥■已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為a,我們把數量丨a|?|bb|cosa叫做a與b的>—b-*―b-t■數量積(或內積)，記作：a?b，即：a?b=|a|?|b|cosa(2)定義說明：記法“a?b”中間的“?”不可以省略，也不可以用“x”代替?！耙?guī)定”：零向量與任何向量的數量積為零。(3)提出問題4：向量的數量積運算與線性運算的結果有什么不同？影響數量積大小的因素有哪些？期望學生回答：線性運算的結果是向量，而數量積的結果則是數，這個數值的大小不僅和向量f—?a與b的模有關，還和它們的夾角有關。(4)學生討論，并完成下表：a的范圍o°Wa〈90°a=90°0°<a<180°a?b的符號一——?*—?*(5)探究題組一：已知丨a丨=3,|b丨=6，當①a〃b，②a丄b，③a與b的夾角是60°時，分別求a?b.—F-—?—F-—?解：①當a〃b時，若a與b同向，則它們的夾角Q=0°,IbIcosO°=3X6X1=18；若a與b反向，則它們的夾角e=180°，a?b=|a||b|cos180°=3X6X(-1)=-18；=-72=-72②當a丄b時，它們的夾角0=90°,a?b=0；③當a與b的夾角是60°時，有1a?b=|a||b|cos60°=3X6X—=9評述：兩個向量的數量積與它們的夾角有關，其范圍是】0。，180。］，因此，當a〃b時,有0°或180°兩種可能.探究二：研究數量積的幾何意義1.給出向量投影的概念：如圖，我們把Ib|cosa(|a|cosa)叫做向量b在a方向上（a在b方向上）的投影,記做：OB］二||b||cosa注：投影也是一個數量，不是向量；當為銳角時投影為正值;時投影為0；當0=0。時投影為Ibl；當9=180。時投影為-Ibl.2.提出問題5：數量積的幾何意義是什么？期望學生回答：數量積a?b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影Ib|cosa的乘積。探究三：探究數量積的運算性質1、數量積的性質性質：若a和b均為非零向量alboa?b=0a與b同向時，a?b特別地：a?a=|a|a-b亠一cos0=—；—；—|(夾角)|a?b|<a|?垂直)=|a|?|b|,a與b反向時，a?b=-|a|?|b|2=、；a-a(長度)Ib丨（注意等號成立的條件）2、探究題組二（師生共同完成）已知丨a|=6，|b|=4,a與b的夾角為60。，求—?■—?■（a+2b）?（a-3b），并思考此運算過程類似于實數哪種運算？解:(a+2b)?(a-3b)=a.a-3a.b+2a.b-6b.b=36-3X4X6X0.5-6X4X4評述：可以和實數做類比記憶數量積的運算律變式：(1)(a+b)2=a2+2a?b+b2(2)((2)(a+b)?(a-b)=a2—b2探究四、數量積的運算律：交換律：.對數乘的結合律：；分配律：.注意：數量積不滿足結合律和消去律，即：(1)(2)探究題組3:已知|a=3,b=4,a與b不共線,k為何值時，向量a+kb與a-kb互相垂直?解：(a+kb)丄(a解：(a+kb)丄(a一kb)o(a+kb)-(a一kb)=0oa2-k2b2=0o9-16k2=0ok=±34三、思悟小結：知識線：平面向量的數量積；平面向量的數量積的幾何意義；平面向量數量積的重要性質及運算律；平面向量的數量積與向量投影的關系。思想方法線：公式或定義法；數形結合、分類討論等思想方法。四、針對訓練鞏固提高：1、1)下列各式：1、1)下列各式：/(Xa)?b=-b)=a-a-b=|a|-|b|為+玷c=a盧+b-c⑷a-c=a-d-c丿正確的個數為2、已知：a=6,3)b=(-4,7)，則a在b上的投影為3、下列命題中（1）若a二0,則對任意向量b有a-b二0（2）若a豐0,則對任一個非零向量b，有a-b豐0（3/r