PPT結構力學之結構的穩(wěn)定計算講義

第十八章章結結構的穩(wěn)穩(wěn)定計算算§18-2兩類穩(wěn)定定問題計計算簡例例§18-1兩類穩(wěn)定定問題概概述§18-3有限自由由度體系系的穩(wěn)定定——靜力法和和能量法法§18-4無限自由由度體系系的穩(wěn)定定——靜力法§18-5無限自由由度體系系的穩(wěn)定定——能量法§18-6剛架的穩(wěn)定——矩陣位移移法§18-7組合桿的的穩(wěn)定§18-8拱的穩(wěn)定1前面的各各個章節(jié)節(jié)討論了了各類結結構在外外因作用用下內(nèi)力力和位移移的計算算方法。。在結構構設計中中內(nèi)力計算算要確定結結構是否否有足夠夠的強度，位移計算算要確定結結構是否否有足夠夠的剛度。工程設計計的實踐踐證明，，在不少少情況下下，僅以以以上兩兩種計算算，來判判斷結構構的可靠靠性是不不夠的。。對于由由柔性桿桿件和壓壓彎桿件件所組成成的結構構，例如如，梁、、桁架、、拱、薄薄壁結構構等，尤尤其如此此。即是是說：結構可能能強度安安全但是是穩(wěn)定不不安全。從現(xiàn)在的的結構設設計的發(fā)發(fā)展趨勢勢看，趨趨向于輕輕質(zhì)的大大跨形式式(近代工程程的優(yōu)化化設計)，對結構構的穩(wěn)定定性要求求非常嚴嚴格，結結構設計計必須考考慮三個個方面：：強度、、剛度和和穩(wěn)定。。2§18-1兩類穩(wěn)定定問題概概述在材料力力學課中中大家已已經(jīng)對““壓桿的的穩(wěn)定問問題”進進行過討討論，在在此，我我們對桿桿件結構構的各種種穩(wěn)定問問題作進進一步的的討論。。在結構設設計中，，應當對對結構進進行強度度驗算和和穩(wěn)定驗驗算。而而強度驗驗算是最最基本的的必不可可少的，，而穩(wěn)定定驗算則則是在某某些情況況下顯得得重要。。如薄壁壁結構(與厚壁結結構相比比)、高強度度材料的的結構(與低強度度材料的的結構－－磚石結結構、混混凝土結結構相比比)、主要受受壓的結結構(與主要受受拉的結結構相比比)容易喪失失穩(wěn)定，，穩(wěn)定驗驗算對這這些結構構顯得更更為重要要。結構的穩(wěn)穩(wěn)定計算算涉及結結構的平平衡狀態(tài)態(tài)。3一、結構構的三種種平衡狀狀態(tài)結構的三三種平衡衡狀態(tài)(從穩(wěn)定性性角度考考察)：穩(wěn)定平平衡狀態(tài)態(tài)、不穩(wěn)穩(wěn)定平衡衡狀態(tài)和和中性平平衡狀態(tài)態(tài)。解釋：設設結構處處于某個個平衡狀狀態(tài)，受受到輕微微干擾而而稍微偏偏離其原原來位置置。1、穩(wěn)定平平衡狀態(tài)態(tài)：當干干擾消失失后，如如結構回回到原來來位置，，則原來來的平衡衡狀態(tài)稱稱為穩(wěn)定平衡衡狀態(tài)。2、不穩(wěn)定定平衡狀狀態(tài)：當當干擾消消失后，，結構繼繼續(xù)偏離離，不能能回到原原來位置置，則原原來的平平衡狀態(tài)態(tài)稱為不穩(wěn)定平平衡狀態(tài)態(tài)。3、中性平平衡狀態(tài)態(tài)：結構構由穩(wěn)定定平衡到到不穩(wěn)定定平衡過過渡的狀狀態(tài)稱為為中性平衡衡狀態(tài)。4二、結構構穩(wěn)定計計算理論論1、小撓度度理論：：采用小撓撓度理論論計算可可以用比比較簡單單的方法法得到基基本正確確的結論論。工程程上通常常采用小小撓度理理論進行行計算。。2、大撓度度理論：：大撓度理理論是比比較復雜雜的理論論，利用用其計算算可以得得到更為為精確的的結論。。但是，，計算的的難度相相當大，，用到比比較高深深的數(shù)學學知識。。三、結構構的失穩(wěn)穩(wěn)結構失穩(wěn)穩(wěn)：隨著荷載載的增大大，結構構的原始始平衡狀狀態(tài)可能能由穩(wěn)定定平衡狀狀態(tài)轉變變?yōu)椴环€(wěn)穩(wěn)定平衡衡狀態(tài)。。這時原原始平衡衡狀態(tài)喪喪失其穩(wěn)穩(wěn)定性，，簡稱失穩(wěn)。5結構失穩(wěn)穩(wěn)的兩種種基本形形式：分分支點失失穩(wěn)、極極值點失失穩(wěn)。1、分支點點失穩(wěn)(1)基本情況況：圖18-1a所示的簡簡支壓桿桿的完善善體系(理想體系系)，桿件軸軸線是理理想的直直線(沒有初曲曲率)，荷載P是理想的的中心受受壓荷載載(沒有偏心心)。(a)Pl/2l/2圖18-1(b)PCBAODDI(穩(wěn)定)II(小撓度理論)II(大撓度理論)I(不穩(wěn)定)P1P2Pcr6(2)P-曲線隨著P的逐漸增增大，P與中間點點撓度的的關系曲曲線稱為為P-曲線(平衡路徑徑)。(3)過程分析析當P1<Pcr=2EI/l2時，壓桿桿只是單單純受壓壓。不發(fā)發(fā)生彎曲曲變形(撓度=0)，壓桿處處于直線線形式的的平衡狀狀態(tài)(稱為原始平衡衡狀態(tài))。其P-曲線用直直線OAB表示，稱稱為原始平衡衡路徑。此時，，若壓桿桿受到輕輕微干擾擾而發(fā)生生彎曲，，偏離原原始平衡衡狀態(tài)，，則當干干擾消失失后，壓壓桿仍又又回到原原始平衡衡狀態(tài)。。所以，，當P1<Pcr時，原始始平衡狀狀態(tài)是穩(wěn)穩(wěn)定的。。亦即是是說，在在原始平平衡路徑徑I，點A所對應的的平衡狀狀態(tài)是穩(wěn)穩(wěn)定的。。這時，，原始平平衡形式式是唯一一的平衡衡形式。。7當P2>Pcr=2EI/l2時，，原始始的的平平衡衡形形式式不不再再是是唯唯一一的的平平衡衡形形式式，，壓壓桿桿既既可可處處于于直直線線形形式式的的平平衡衡狀狀態(tài)態(tài)，，還還可可處處于于彎彎曲曲形形式式的的平平衡衡狀狀態(tài)態(tài)。亦亦即即是是說說：：這時時存存在在兩兩種種形形式式的的平平衡衡狀狀態(tài)態(tài)。與此此相相應應，，在在圖圖b中有有兩兩條條不不同同的的P-曲線線：：原始始平平衡衡路路徑徑I(BC)和第第二二條條平平衡衡路路徑徑II(根據(jù)據(jù)大大撓撓度度理理論論，，由由曲曲線線BD表示示；；如如果果采采用用小小撓撓度度理理論論進進行行近近似似計計算算，，則則曲曲線線BD退化化為為水水平平直直線線BD)?？梢砸钥纯闯龀觯海哼@這時時原原始始平平衡衡狀狀態(tài)態(tài)(C點)是不不穩(wěn)穩(wěn)定定的的。。即即：：若若壓壓桿桿受受到到干干擾擾而而彎彎曲曲，，則則當當干干擾擾消消失失后后，，壓壓桿桿并并不不能能回回到到C點的的原原始始平平衡衡狀狀態(tài)態(tài)，，而而是是繼繼續(xù)續(xù)彎彎曲曲，，直直到到D點對對應應的的彎彎曲曲形形式式的的平平衡衡狀狀態(tài)態(tài)為為止止。。所以以，，當當P2>Pcr=2EI/l2時，，在在原始始的的平平衡衡路路徑徑I上，，點點C對應應的的平平衡衡狀狀態(tài)態(tài)是是不不穩(wěn)穩(wěn)定定的的。8(4)分支支點點分支支點點：兩兩條條平平衡衡路路徑徑I和II的交交點點稱稱為為分支支點點。分支支點點的的意意義義：：分支支點點B將原原始始平平衡衡路路徑徑I分為為兩兩段段：：OB段上上的的點點屬屬于于穩(wěn)定定平平衡衡。BC段上上的的點點屬屬于于不不穩(wěn)穩(wěn)定定平平衡衡。。即：：在在分分支支點點B上原原始始平平衡衡路路徑徑I和新新平平衡衡路路徑徑II同時時并并存存，，出出現(xiàn)現(xiàn)平衡衡形形式式的的二二重重性性，原原始始平平衡衡路路徑徑I由穩(wěn)穩(wěn)定定平平衡衡轉轉為為不不穩(wěn)穩(wěn)定定平平衡衡，出現(xiàn)現(xiàn)穩(wěn)定定性性的的轉轉變變。分支支點點失失穩(wěn)穩(wěn)：：具有有原原始始平平衡衡路路徑徑由由穩(wěn)穩(wěn)定定平平衡衡轉轉為為不不穩(wěn)穩(wěn)定定平平衡衡特特征征的的失失穩(wěn)穩(wěn)形形式式稱稱為為分支點失穩(wěn)。臨界荷載和臨臨界狀態(tài)：分支點對應的荷載稱稱為臨界荷載，分分支點對應的狀態(tài)稱稱為臨界狀態(tài)。(5)分支點失穩(wěn)現(xiàn)現(xiàn)象舉例(圖18-2a、b、c)特征：在分支點P=Pcr處，原始平衡衡形式由穩(wěn)定定轉為不穩(wěn)定定，并出現(xiàn)新新的平衡形式式。9(a)PcrPcr(b)qcr(c)Pcr圖18-2(a)承受結點荷載載的門式剛架架：在原始平平衡形式中，，各柱單純受受壓，剛架無無彎曲變形；；在新的平衡衡形式中，剛剛架產(chǎn)生側移移，出現(xiàn)彎曲曲變形。(b)承受水壓力的的圓拱，在原原始平衡形式式中，拱單純純受壓，拱軸保持為圓圓形；在新的的平衡形式中中，拱軸不再再保持為圓形形，出現(xiàn)壓彎彎組合變形。。(c)端部受荷載作作用的懸臂窄窄條梁，在原原始平衡形式式中，梁處于于平面彎曲狀狀態(tài)；在新的的平衡形式中中，梁處于斜斜彎曲和扭轉轉狀態(tài)。10二、極值點失穩(wěn)(1)基本情況：非完善體系。壓桿具有初初曲率和承受受偏心荷載(圖18-3a、b)。非完善壓桿從從一開始加載載就處于彎曲曲平衡狀態(tài)。。(2)P-曲線按小撓度理論論：其P-曲線如右圖的的曲線OA所示。在初始始階段撓度增增加較慢，以以后逐漸變快快，當P接近中心壓桿桿的歐拉臨界界荷載Pe時，撓度趨于于無窮大。按大撓撓度理理論：其P-曲線由由曲線線OBC表示。。(c)PB(極值點)PeACPcrO(a)P圖18-3(b)P11(3)極值點點和極極值點點失穩(wěn)穩(wěn)B點為極極值點點，在在極值值點荷荷載達達到極極大值值。在極值值點前前的曲曲線段段OB，其平衡衡狀態(tài)態(tài)是穩(wěn)穩(wěn)定的的；在極值值點后后的曲曲線段段BC，其相應應的荷荷載反反而下下降，，平衡衡狀態(tài)態(tài)是不不穩(wěn)定定的；；在極極值點點處，，平衡衡路徑徑由穩(wěn)穩(wěn)定平平衡轉轉變?yōu)闉椴环€(wěn)穩(wěn)定平平衡。極值點點失穩(wěn)穩(wěn)：在極值值點處處，平平衡路路徑由由穩(wěn)定定平衡衡轉變變?yōu)椴徊环€(wěn)定定平衡衡的失失穩(wěn)形形式稱稱為極值點點失穩(wěn)穩(wěn)。極值點點失穩(wěn)穩(wěn)的特特征：：平衡形形式不不出現(xiàn)現(xiàn)分支支現(xiàn)象象，而而P-曲線具具有極極值點點。一般說說來，，非完完善體體系的的失穩(wěn)穩(wěn)形式式是極極值點點失穩(wěn)穩(wěn)。(4)特例扁拱式式結構構失穩(wěn)穩(wěn)時可可能伴伴隨有有“跳跳躍””現(xiàn)象象。12圖18-4a所示的的扁桁桁架，，矢高高為f，高跨比比f/l<<1。在跨度度中點點作用用豎向向荷載載P，產(chǎn)生豎豎向位位移。其P-曲線如如圖18-4b所示。。(a)Pl/2l/2f(b)PABCEDFGPcr-Pcr圖18-4這里我我們設設想通通過一一個控控制機機構進進行加加載，，P值可為為正值值或負負值(圖18-4c)。(c)ffffA點P=0PcrB點P=0P=0C點E點F點D點PcrPcr13在初始始加載載階段段，平平衡路路徑由由圖18-4b中的實實線AB表示，，平衡衡狀態(tài)態(tài)是穩(wěn)穩(wěn)定的的，在在A點，PA=0，在B點出現(xiàn)現(xiàn)極值值點，，相應應的荷荷載極極值為為PB=Pcr。極值點點B以后，，平衡衡路徑徑由虛虛線BCD表示，，荷載載的代代數(shù)值值減少少，C點的PC=0，在D點出現(xiàn)下極極限點，PD=-Pcr。BCD線上的點對對應于不穩(wěn)穩(wěn)定平衡。。下極限點點D以后，荷載載的代數(shù)值值又上升，，E點的PE=0，F(xiàn)點的PF=Pcr。如果不存在在控制機構構，則實際際的P-曲線應為ABFG，在極值點B以后有一段段水平線BF，此時結構發(fā)發(fā)生跳躍后后，達到F點對應的新新平衡位置置。F點以后的平平衡路徑FG又屬于穩(wěn)定定平衡。在本例中，，通過人為為控制進行行加載，解解釋了扁桁桁架在荷載載P的作用下，，由穩(wěn)定平平衡狀態(tài)到到新的穩(wěn)定定平衡狀態(tài)態(tài)的跳躍現(xiàn)現(xiàn)象。目的是告訴訴我們，實實際工程結結構一般不不允許發(fā)生生跳躍，應應取極值點點B相應的荷載載為臨界荷荷載。14§18-2兩類穩(wěn)定問問題計算簡簡例主要內(nèi)容：：(1)用單自由度度體系說明明兩類失穩(wěn)穩(wěn)問題的具具體分析方方法；(2)分析完善體體系的分支支點失穩(wěn)問問題；(3)分析非完善善體系的極極值點失穩(wěn)穩(wěn)問題；(4)用大撓度理理論得出精精確結果；；(5)用小撓度理理論得出近近似結果。。一、單自由由度完善體體系的分支支點失穩(wěn)基本情況：：單自由度完完善體系。。圖18-5a所示的剛性性壓桿，承承受中心壓壓力P，底端A為鉸支座，，頂端B有水平彈簧簧支承，其其剛度系數(shù)數(shù)為k。15(1)按大撓度理理論分析原始平衡形形式(圖18-5a)：桿AB處于豎直位位置時，體體系能夠處處于平衡。。(a)kBPlA圖18-5問題：考察察圖18-5b所示的傾斜斜位置是否否還存在新新的平衡形形式。(b)BPABRl圖18-5b所示狀態(tài)的的平衡條件件：MA=0(a)式中，彈簧的反力R為：即可得出：(b)方程(b)有兩個解：(c)(d)16(c)解代表原始始平衡形式式，其P-曲線由直線線OAB表示，稱為為原始平衡衡路徑I(圖18-6)；圖18-6ABI(不穩(wěn)定)II(不穩(wěn)定)I(穩(wěn)定)OCPcr=klP(d)解代表新的的平衡形式式，其P-曲線由直線線AC表示，此即即為第二平平衡路徑II(圖18-6)。討論分支點點：A點是兩條路路徑的交點點。A點所對應荷荷載為臨界界荷載。臨界荷載為：(e)A點將原始平平衡路徑I分為兩段：：OA上的點屬于于穩(wěn)定平衡衡，AB上的點屬于于不穩(wěn)定平平衡。第二路徑II，當增大時，荷荷載反而減減??；路徑II上的點屬于于不穩(wěn)定平平衡。17分支點A處的臨界界平衡狀狀態(tài)也是是不穩(wěn)定定的。注意：對這類類具有不不穩(wěn)定分分支點的的完善體體系，在在進行穩(wěn)穩(wěn)定驗算算時要特特別小心心，一般般應當考考慮初始始缺陷(初曲率、、偏心)的影響，，按非完完善體系系進行驗驗算。(2)按小撓度度理論分分析設<<1，則式(a)、(b)簡化為(f)(g)其第一個個解仍為為式(c)，第二個解解為：(h)圖18-7ABI(不穩(wěn)定)II(隨遇平衡)I(穩(wěn)定)OCPcr=klP分析：兩條平平衡路徑徑I和II如圖18-7所示。其其中路徑徑II簡化為水水平直線線，因而而路徑II上的點對對應于隨隨遇平衡衡狀態(tài)。。18與大撓度度理論分分析的結結果比較較可以看看出：小撓度度理論能能夠得出出關于臨臨界荷載載的正確確結果[見式(e)]，但是未能能反映當當較大時平平衡路徑徑II的下降趨趨勢；而而平衡路徑徑II對應于隨隨遇平衡衡狀態(tài)的的結論，，則是由由于采用用假定而而帶來的的一種假假象。二、單自自由度非非完善體體系的極極值點失失穩(wěn)基本情況況：圖18-8a所示的單單自由度度非完善善體系，，桿AB有初傾角角，其余同同前。圖18-8(a)kBPlA(b)BPABRl(1)按大撓度度理論分分析加載一開開始，桿桿件就進進一步傾傾斜。此此時彈簧簧力反為為：平衡條件件為：MA=019可求得：(i)討論不同同初傾角角時的P-曲線(見圖18-9a)。其中=0為完善體系。。觀察P-曲線，其具有有極值點。圖18-9(a)=0.1=0=0=0.1=0.2=0.2令，得：相應的極值荷載為在圖18-9b中給出Pcr-曲線。分析可知：這個非完善體體系的失穩(wěn)形形式是極值點點失穩(wěn)。臨界荷載Pcr隨初傾角而變，越大，則Pcr越小。20圖18-9(b)0.6950.5360.4150.30.20.10(2)按小撓度理論論分析設：<<1，<<1，則式(i)和(j)簡化為：(k)(l)在圖18-10中給出P-曲線。=0=0.1=0.2=010.80.60.40.200.20.40.60.81.01.21.41.6圖18-10分析可知：各各條曲線都以以水平直線P/(kl)=1為漸近線，并并得出相同的的臨界荷載值值。與大撓度理論的結果相比可知：對于非完善體系，小撓度理論未能得出隨著的增大Pcr會逐漸減小的結論。21三、幾點認識識(1)結構的失穩(wěn)存存在兩種基本本形式，一般說來，完善體系是是分支點失穩(wěn)穩(wěn)；非完善體體系是極值點點失穩(wěn)。(2)分支點失穩(wěn)的的特征是：存在不同同平衡路徑的的交叉，在交交叉點處出現(xiàn)現(xiàn)平衡形式的的二重性。極值點失穩(wěn)形形式的特征是：雖然只存存在一個平衡衡路徑，但平平衡路徑上出出現(xiàn)極值點。。(3)結構穩(wěn)定問題題只有根據(jù)大大撓度理論才才能得出精確確的結論，但從實用的的觀點看，小撓度理論也也有其優(yōu)點，，特別是在分分支點失穩(wěn)問問題中通常也也能得出臨界界荷載的正確確值，但也應應注意它的某某些結論的局局限性。特別指出：后面只討論完完善體系分支支點失穩(wěn)問題題，并根據(jù)小小撓度理論求求臨界荷載。。22§18-3有限自由度體體系的穩(wěn)定——靜力法和能量量法內(nèi)容：有限自由度體體系分支點失失穩(wěn)問題，按按小撓度理論論求其臨界荷荷載。確定臨界荷載載的兩類方法法：(1)靜力法：根據(jù)臨界狀狀態(tài)的靜力特特征提出的方方法；(2)能量法：根據(jù)臨界狀狀態(tài)的能量特特征提出的方方法。本節(jié)以單自由由度體系說明明以上兩種解解法。基本情況：圖18-11a的單自由度體系系，AB是剛性壓桿，A端為彈性支承承，轉動剛度度系數(shù)為k。求：臨界荷載載Pcr。23一、靜力法已知知：分分支支點點失失穩(wěn)穩(wěn)臨臨界界狀狀態(tài)態(tài)的的靜靜力力特特征征是是平衡衡形形式式的的二二重重性性。要點點：尋尋求求分分支支點點，，確確定定臨臨界界荷荷載載。。分支支點點：原原始始平平衡衡路路徑徑I和新新的的平平衡衡路路徑徑II的交交叉叉點點。。(b)BPlAMA=kB(a)BPlAk圖18-11原始始平平衡衡形形式式：桿桿AB處于于豎豎直直位位置置時時的的平平衡衡形形式式。。新的的平平衡衡形形式式：桿桿AB處于于傾傾斜斜位位置置時時的的新新的的平平衡衡形形式式。。(a)新的的平平衡衡形形式式的的確確定定：根根據(jù)據(jù)小小撓撓度度理理論論，，圖圖18-11b的體體系系的的平平衡衡方方程程為為：：MA=024因為為彈彈性性支支座座的的反反力力矩矩為為MA=k，所以以由由式式(a)得：：(b)特別別指指出出：平平衡衡方方程程是是針針對對變變形形后后的的結結構構新新位位置置寫寫出出的的，，即即是是說說，，要要考考慮慮結結構構變變形形對對幾幾何何尺尺寸寸的的影影響響。。在應應用用小小撓撓度度理理論論時時，，由由于于假假設設位位移移是是微微量量，，所所以以結結構構中中的的力力分分為為主主要要力力(P)和次次要要力力(MA)兩類類。。分析析方方程程(b)：方程程是是以以位位移移為未未知知量量的的齊齊次次方方程程。齊次次方方程程有有兩兩類類解解：：零解解和和非非零零解解。零解解：：=0，對應于于原始路路徑I。非零解：：不為零，，對應于于新的平平衡形式式。為了了得到非非零解，，方程(b)的系數(shù)應應為零，，即：(c)式(c)稱為特征方程程。25由特征方程程可知，第第二平衡衡路徑II為水平直直線。由由兩條路路徑的交交點得到到分支點點，分支支點對應應的荷載載為臨界界荷載。。因此，，臨界荷荷載為(d)二、能量量法圖18-11所示的體體系，把把荷載P看作重量量；體系的勢勢能EP為彈簧應應變能U與荷載勢勢能UP之和。彈簧應變能為注意：是靜荷載做功荷載勢能為26這里為B點的豎向位移：因此有體系的勢能為(e)應用勢能駐值條件，可得(f)式(f)和式(c)是等價的的，可見見靜力法法和能量量法這兩兩種方法法都導出出了相同同的方程程。也說是說說，勢能能駐值條條件等價價于用位位移表示示的平衡衡方程。。由(f)式可根據(jù)據(jù)位移有非零解解的條件件導出特特征方程程(c)，從而求得得臨界荷荷載Pcr。27綜上可知知：在分分支點失失穩(wěn)問題題中，臨臨界狀態(tài)態(tài)的能量量特征是是：勢能為駐駐值，且且位移有有非零解解。能量法是是根據(jù)臨臨界狀態(tài)態(tài)的能量量特征求求臨界荷荷載的。進一步討討論勢能能EP由式(e)可以看出出：勢能EP是位移的二次式式，其關關系曲線線是拋物物線。(e)如果P<k/l，則關系曲曲線如圖圖18-12a所示。當當為任意非非零值時時，勢能能EP恒為正值值，即勢勢能是正正定的。。當體系系處于原原始平衡衡狀態(tài)(=0)時，勢能能EP為極小，，因而原原始平衡衡狀態(tài)是是穩(wěn)定平平衡狀態(tài)態(tài)。(a)EPOP<Pcr圖18-1228如果P=k/l，則關系曲曲線如圖圖18-12b所示。當當為任意非非零值時時，勢能能EP恒為零，，體系處處于中性性平衡狀狀態(tài)，即即臨界狀狀態(tài)，這這時的荷荷載稱為為臨界荷荷載，即即Pcr=k/l。這個結果果與靜力力法所得得的相同同。(c)EPOP>Pcr(b)EPOP=Pcr圖18-12如果P>k/l，則關系曲曲線如圖圖18-12c所示。當當為任意非非零值時時，勢能能EP恒為負值值，即勢勢能是負負定的。。當體系系處于原原始平衡衡狀態(tài)時時，勢能能EP為極大，，因而原原始平衡衡狀態(tài)是是不穩(wěn)定定平衡狀狀態(tài)。因此，臨臨界狀態(tài)態(tài)的的能能量特征征還可表表述為：：在荷載載達到臨臨界值的的前后，，勢能EP由正定過過渡到非非正定，，對于單單自由度度體系，，則由正正定過渡渡到負定定。29例18-1圖18-13a所示是一一個具有有兩個變變形自由由度的體體系，其其中AB、BC、CD各桿為剛剛性桿，，在鉸結結點B和C處為彈性性支承，，其剛度度系數(shù)都都為k。體系在在D端有壓壓力P作用。。試用用兩種種方法法求其其臨界界荷載載Pcr。(a)ABCDPlllkk(b)ABCDPXABCDy1y2R2R1圖18-13解：(1)靜力法法設體系系由原原始平平衡狀狀態(tài)(水平位位置)轉到任任意變變形狀狀態(tài)(圖18-13b)，設B點和C點的豎豎向位位移分分別為為y1和y2，相應的的支座座反力力分別別為同時，，A點和D點的支支座反反力為為對B點取矩求YA對C點取矩求YD30變形狀態(tài)的平衡條件為(C左)(B右)即(a)式(a)是關于于y1和y2的齊次次方程程。如果系數(shù)行列式不等于零，即則零解解(即y1和y2全為零零)是齊次次方程程(a)的唯一一解。。也就就是說說，原原始平平衡形形式是是唯一一的平平衡形形式。。如果系數(shù)行列式等于零，即(b)31則除零解解外，，齊次次方程程(a)還有非非零解解。也也就是是說，，除原原始平平衡形形式外外，體體系還還存在在新的的平衡衡形式式。這這樣，，平衡衡形式式即具具有二二重性性，這這就是是體系系處于于臨界界狀態(tài)態(tài)的靜靜力特特征。。方程程(b)就是穩(wěn)穩(wěn)定問問題的的特征征方程程。展展開式式(b)，得由此解得兩個特征值：其中最小的特征值叫做臨界荷載，即將特征征值代代回式式(a)，可得得y1和y2的比值。。這時時位移移y1、y2組成的的向量量稱為為特征征向量量。如如將P=kl/3代回，，則得得y1=-y2，相應的的變形形曲線線如圖圖18-14a所示。。如將將P=kl代回，，則得得y1=y2，相應的的變形形曲線線如圖圖18-14b所示。。32圖18-14(a)y1P=kl/3y2=-y1(b)y1P=kly2=y1(2)能量法法現(xiàn)在討討論臨臨界荷荷載的的能量量特征征。在圖18-13b中，D點的水水平位位移為為(c)彈性支座的應變能為(d)荷載勢能為(e)(f)體系的勢能為33應用勢能駐值條件：得：(g)式(g)就是前前面導導出的的式(a)。也就是是說，，勢能能駐值值條件件等價價于用用位移移表示示的平平衡方方程。。能量法以后后的計算步步驟與靜力力法完全相相同。勢能能駐值條件件(g)的解包括全零解解和非零解解。求非零零解時，先先建立特征征方程(b)，然后求解，，得出兩特特征荷載值值P1和P2，其中最小的的特征值即即為臨界荷荷載Pcr。歸結起來，，能量法求求多自由度度體系臨界界荷載Pcr的步驟如下：：(1)寫出勢能表表達式，建建立勢能駐駐值條件。。34(2)應用位移有有非零解的的條件，得得出特征方方程，求出出荷載的特特征值Pi(i=1、2、…、n)。(3)在Pi中選取最小小值，即得得到臨界荷荷載Pcr。下面對勢能能EP進行定性討討論。式(f)可改寫為由此看出，，勢能EP是位移y1和y2的二次式。。下面針對對不同的P值，分別說說明勢能EP的特征。如果P<kl/3，則勢能EP是正定的。。如果P=kl/3=Pcr，則EP是半正定的(當y1=-y2時，EP=0)。如果kl/3<P<kl，則EP是不定的。。如果P=kl，則勢能EP是半負定的的(當y1=y2時，EP=0)。如果P>kl，則勢能EP是負定的。。35§18-4無限自由度度體系的穩(wěn)穩(wěn)定——靜力法研究問題：無限自由由度體系的的穩(wěn)定問題題。主要內(nèi)容：壓桿穩(wěn)定定。解題思路：(1)對變形狀態(tài)態(tài)建立平衡衡方程；(2)根據(jù)平衡形形式的二重重性建立特特征方程；；(3)由特征方程程求出臨界界荷載。與有限自由由度體系不不同的是：在無限自自由度體系系中，平衡衡方程是微微分方程不不出代數(shù)方方程。36一、方法例例題(1)基本情況：圖18-15所示的等截截面壓桿，，下端固定定，上端有有水平支桿桿，靜力法法求臨界荷載。圖18-15xEIlRPyyy<0x(2)受力分析與與平衡方程程的建立在臨界狀態(tài)態(tài)下，體系系出現(xiàn)新的的平衡形式式(圖中虛線)，柱頂有未未知的水平平反力R，則彈性曲線線的微分方方程為(3)微分方程的的解上式可改寫為37微分方程的解為：求導可得常數(shù)A、B和未知力R可由邊界條條件確定。。(4)確定常數(shù)A、B，建立特征方程當x=0時，y=0，可得A=0。當x=l時，y=0和y′=0，由此得出：(a)因為y(x)不恒等于零，，所以A、B和R不全為零?？煽芍?a)中的系數(shù)行列列式應等于零零，即：38展開行列式可得超越方程：上式是一個超越方程，可用試算法或圖解法求解。(5)解超越方程采用圖解法時，作y=l和y=tgl兩組線，其交交點即為方程程的解答(圖18-16)，結果有無窮窮多個解。圖18-16如何選解：因因彈性桿有無無限個自由度度，所以有無無窮多個特征征荷載值，其其中最小的一一個是臨界荷荷載Pcr(利用P=2EI來求)。由(l)min=4.493，可求得39二、例題例18-2圖18-17所示等截面壓壓桿，下端鉸鉸支，上端水水平支撐，試試用靜力法求求其臨界荷載載。圖18-17xEIlRPyyx解：(1)受力分析與平平衡方程的建建立在臨界狀態(tài)下下，體系出現(xiàn)現(xiàn)新的平衡形形式(圖中虛線)，彈性曲線的微微分方程為(2)微分方程的解解上式可改寫為這是一個二階階常系數(shù)線性性齊次微分方方程。其通解解為：40常數(shù)A、B和未知力R可由邊界條件件確定。(3)確定常數(shù)A、B，建立特征方程當x=0時，y=0，可得：A=0。當x=l時，y=0，可得：Bsinl=0因為y(x)不恒等于零，，故A、B不全為零。所所以有sinl=0計算可得：l=n(n=1、2、…)由此得當n=1時有上式稱為兩端鉸支、細長壓桿的臨界荷載公公式，即歐拉公式。41例18-3試求圖18-18所示排架的臨臨界荷載和柱柱AB的計算長度。。(a)BP剛性桿I1lACI2=nI1D(b)BAP(c)BAPcryyI1xy<0xR圖18-18解：圖18-18b所示為此排架的計算簡圖。這里，柱AB在B點具有彈性支座，它反映柱CD所起的支承作用，彈性支座的剛度系數(shù)(在第十三章中計算過)。在臨界狀態(tài)下下，桿AB的變形如圖18-18c所示，這時在在柱頂處有未未知的水平力力R，彈性曲線的微微分方程為42并可改寫為上式的解為求導可得常數(shù)A、B和未知力R可由邊界條件件確定。當x=0時，y=0，由此求得A=0。當x=l時，y=和y=0，由此有：由于R=k，即=R/k，所以上式變?yōu)闉?3因為y(x)不恒等于零，，所以A、B和R不全為零。可可知上式的系系數(shù)行列式應應等于零，即即：展開上式得利用用P=2EI1并化化簡簡，，得得到到如如下下的的超超越越方方程程(a)44為了了求求這這個個超超越越方方程程，，需需要要事事先先給給定定k值(即給給出出I1/I2的比比值值)。下下面面討討論論三三種種情情形形的的解解：：(1)I2=0，則k=0，這時方程(a)變?yōu)楫擡I1為有限值時，因為，若EI1為有限值則也為有限值，即l，所以這個方程的最小根為因此這正是是懸懸臂臂柱柱的的情情況況，，計計算算長長度度(在例例18-2中我我們們已已經(jīng)經(jīng)得得出出了了兩端端鉸鉸支支、細長長壓壓桿桿的臨臨界界荷荷載載公公式式，，其其它它情情況況均均是是和和這這種種情情況況進進行行對對比比的的)為l0=2l。45(2)I2=，則k=，這時方程(a)變?yōu)檫@個方程的最小根為因此這相當當于于上上端端鉸鉸支支、、下下端端固固定定的的情情況況，，計計算算長長度度為為l0=0.7l。(3)一般情況是k在0~的范圍內(nèi)，l在/2~4.493范圍內(nèi)變化。當I2=I1時，則。這時方程(a)變?yōu)橄旅婷嬗糜迷囋囁闼惴ǚㄇ笄蠼饨?。。先先將將上上式式表表示示為為如如下下形形式式：?6當l=2.4時，，tgl=-0.916，D=1.192當l=2.0時，，tgl=-2.185，D=-1.518當l=2.2時，，tgl=-1.374，D=-0.025當l=2.21時，，tgl=-1.345，D0由此此求求得得l=2.21，因此此所以以，，當當I2=I1時，，計算算長長度度為為l0=1.42l。例18-4試求求圖圖18-19所示示階階形形柱柱的的特特征征方方程程。。I1yPPcrI2xll2l1圖18-19解：：彈彈性性曲曲線線微微分分方方程程為為47上式可改寫為(a)式中式(a)的解為積分分常常數(shù)數(shù)A1、B1和A2、B2由上上下下端端的的邊邊界界條條件件和和x=l1處的的變變形形連連續(xù)續(xù)條條件件確確定定。。當x=0時，，y1=0，由此此得得B1=0。當x=l時，，由此得當x=l1時，y1=y2，和，由此得48由系系數(shù)數(shù)行行列列式式等等于于零零，，可可求求得得特特征征方方程程為為這個個方方程程只只有有當當給給定定I1/I2和l1/l2的比值值時才才能求求解。。49§18-5無限自自由度度體系系的穩(wěn)穩(wěn)定——能量法法研究問問題：無限限自由由度體體系的的穩(wěn)定定問題題。主要內(nèi)內(nèi)容：壓桿桿穩(wěn)定定。解題思思路：(1)對于滿滿足位位移邊邊界條條件的的任一一可能能位移移狀態(tài)態(tài)，可可求得得勢能能EP；(2)由勢能能的駐駐值條條件EP=0，可得包包含待待定參參數(shù)的的齊次次方程程組；；(3)由齊次次方程程組非非零解解條件件，知知其系系數(shù)行行列式式的值值應為為零，，由此此可求求得特特征荷荷載值值，臨臨界荷荷載Pcr是特征征值中中的最最小值值。50具體算算法以以圖18-20a所示壓壓桿為為例說說明。。(a)PBAlxy圖18-20設壓桿桿有任任意可可能位位移，，變形形曲線線為(a)其中i(x)是滿足足位移移邊界界條件件的已已知函函數(shù)，，ai是任意意參數(shù)數(shù)，共共n個。這這樣，，原體體系被被近似似地看看作具具有n個自由由度的的體系系。先求彎彎曲應應變能能U，得(14-2)再求與與P相應的的位移移(壓桿頂頂點的的豎向向位移移)。先取取微段段AB進行分分析(18-20b)。彎曲前前，微微段AB的原長長為dx。51(b)dydxdyABBBds=dxA圖18-20彎曲后后，弧弧線的的AB的長度度不變變，即即ds=dx。由圖可可知，，微段段兩端端點豎豎向位位移的的差值值d為(18-3)因此(18-4)荷載勢能UP為(18-5)可得體體系的的勢能能為(18-6)52由勢能能駐值值條件件EP=0，即(18-7)得(18-8)令(18-9)(18-10)則得(18-11a)(18-11b)可簡寫為53式(18-11)是對n個未知知參數(shù)數(shù)a1、a2、…、an的n個線性性方程程。根據(jù)特特征荷荷載和和特征征向量量的性性質(zhì)，，參數(shù)數(shù)a1、a2、…、an不能全全為零零，因因此系系數(shù)行行列式式應為為零，，即(18-12)其展開式是是關于P的n次代數(shù)方程程，可求出出n個根，由其其中的最小小根可確定定臨界荷載載。上面介紹的的方法叫做做里茲法。它將原來來的無限自自由度體系系近似地化化為n次自由度體體系，所得得的臨界荷荷載近似解解是精確解解的一個上上限。對此此現(xiàn)象可作作如下解釋釋：求近似似解時，從從全部的可可能位移狀狀態(tài)中只考考慮其中的的一部分，，使體系的的自由度有有所減少(變?yōu)橛邢拮宰杂啥?。這種作法法相當于對對體系施加加某種約束束，體系抵抵抗失穩(wěn)的的能力就會會得到提高高，因而這這樣求得的的臨界荷載載就是實際際臨界荷載載的一個上上限。54例18-5圖18-21a所示為兩端端簡支的中中心受壓柱柱，試用能能量法求其其臨界荷載載。(a)xPEIyl圖18-21解：簡支壓壓桿的位移移邊界條件件為當x=0和x=l時，y=0在滿足上述述邊界條件件的情況下下，我們選選取三種不不同的變形形形式進行行計算。(1)假設撓曲線線為拋物線線相當于在式(18-1)中只取一項則求得55由勢能駐值條件，得為了求非零零解，要求求a1的系數(shù)為零零，得(2)取跨中橫向向集中力Q作用下的撓撓曲線作為為變形形式式(圖18-21b)，則當x≤l/2時：(b)xPyl/2Ql/2圖18-2156求得由此，可求得(3)假設撓曲線線為正弦曲曲線則求得由此，可求得57(4)討論假設撓曲線線為拋物線線時求得的的臨界荷載載值與精確確值相比誤誤差為22%，這是因為為所設的拋拋物線與實實際的撓曲曲線差別太太大的緣故故。根據(jù)跨中橫橫向集中力力作用下的的撓曲線而而求得的臨臨界荷載值值與精確值值相比誤差差為1.3%，精度比前前者大為提提高。如果果采用均布布荷載作用用下的撓曲曲線進行計計算，則精精度還可以以提高。正弦曲線是是失穩(wěn)時的的真實變形形曲線，所所以由它求求得的臨界界荷載是精精確解。例18-6圖18-22所示為一等等截面柱，，下端固定定、上端自自由，試求求在均勻豎豎向荷載作作用下的臨臨界荷載qcr。yxqlxdx圖18-22解：坐標系系如圖。兩兩端位移邊邊界條件為為58當x=0時，y=0；當x=l時，y=0。根據(jù)上述述位移邊邊界條件件，假設設變形曲曲線為先求應變能再求外力力作的功功。由于于微段dx傾斜而使使微段以以上部分分的荷載載向下移移動，下下降距離離d可由式(18-3)算出。這這部分荷荷載所作作的功為為因此所有外力作的功為59體系的總勢能為由EP=0，可求得臨界荷載qcr的近似解為與精確解相比，誤差為5.5%。例18-7圖18-23所示為兩端簡支的變截面柱，任一截面x處的慣性矩為，對于中間截面來說，I為對稱分布。BI0PxC2I0I0Ayxl/2l/2圖18-23解：簡支支桿的位位移邊界界條件為為當x=0時，y=0；當x=l時，y=0。60根據(jù)上述述位移邊邊界條件件，變形形曲線可可假設為為三角級級數(shù)：(a)級數(shù)中的的每一項項都是滿滿足位移移邊界和和對稱條條件的。。(1)取級數(shù)(a)的第一項項作為近近似的變變形曲線線，即設設(b)在位移表表示式(b)中只含有有一個任任意參數(shù)數(shù)a1。這就是說說，我們們把原來來的無限限自由度度體系近近似地作作為單自自由度體體系來看看待。61由此可求得(c)這是按單單自由度度體系求求得的結結果。(2)取級數(shù)(a)的前兩項項作為近近似的變變形曲線線，即設設(d)這里含有有兩個任任意參數(shù)數(shù)a1和a3，相當于把把原體系系近似地地按兩個個自由度度體系看看待。根據(jù)式(d)，求得U和UP如下62由駐值條件可得(e)為了得到到a1和a3的非零解解，令方方程組(e)的系數(shù)行行列式為為零：63基展開式為由此求出出最小根根，即得得出臨界界荷載如如下：(f)由式(c)和(f)看出，兩兩次計算算結果已已很接近近，相對對差值不不到1%，由此可可以了解解所得近近似結果果的精確確程度。。64§18-7組合桿的的穩(wěn)定大型結構構中的壓壓桿，如如橋梁的的上弦桿桿、廠房房的雙肢肢柱、起起重機和和無線電電桅桿的的塔身等等，常采采用組合合桿的形形式。組組合桿根根據(jù)構造造形式可可分成綴綴條式和和綴板式式兩種。。組合桿桿可以按按精確法法計算，，也可以以采用一一些假設設后按靜靜力法進進行近似似計算。。本節(jié)則則按能量量法進行行近似計計算。一、綴條條式組合合桿綴條式組組合桿(圖18-27)可按桁架架進行計計算，柱柱肢和綴綴條間的的連結結結點均可可視為鉸鉸結點。。喪失穩(wěn)穩(wěn)定時，，桁架中中各桿(即柱肢和和綴條)只引起附附加的軸軸力。假設組合合桿失穩(wěn)穩(wěn)時的變變形曲線線為半波波的正弦弦曲線：：65圖18-27Pxd12A1A2lxy(a)組合桿軸軸線上任任意點的的彎矩為為剪力為組合桿柱柱肢的軸軸力N和綴條的的軸力N按桁架近近似計算算，可得得式中b為組合桿桿肢寬，，為斜綴條條與水平平軸的夾夾角(見圖18-27b、c)。bb/2b/2A(b)(c)bNNNQM66桁架的應變能為：式中s為各桿桿桿長。將軸力代入后后有式中A為終結桿的面面積，A1為上斜綴條的的面積，A2為下斜綴條的的面積。若組組合桿在兩個個平面內(nèi)都有有綴條(圖18-27b)，計算A1和A2時應加倍。n為組合桿的結結間數(shù)，對于于上、下斜桿桿來說，每一一結間只有一一桿，故總和和數(shù)為n桿之和；對于于弦桿來說，，每一結間有有兩個桿，故故總和數(shù)為2n桿之和。67一般綴條式組