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文檔簡介

§4.2

相同矩陣與矩陣對角化定義4.2

設(shè)A、B都是n階矩陣，假如有n階可逆矩陣P存在，使得P-1AP=B

則稱A與B是相同，記為A~B一、相同矩陣矩陣相同關(guān)系是一個等價關(guān)系，即：①反身性：對任一n階矩陣A，則②對稱性：若，則③傳遞性：若且，則1相同矩陣性質(zhì)：3.相同矩陣或者都可逆或者都不可逆；當(dāng)它們可逆時，它們逆矩陣也相同。1.若，則。2.若，則。證：設(shè)，則，所以A與B同時可逆或不可逆。若A與B同時可逆，因為則即24.若，則對任意非負(fù)整數(shù)k，。證：設(shè)，則存在可逆矩陣P，使得當(dāng)k=0時，，顯然當(dāng)k>0時，，即5.相同矩陣含有相同特征值。證：設(shè)，則存在可逆矩陣P，使得則6.相同矩陣含有相同跡。3二、矩陣可對角化條件定理4.5n階矩陣A與n階對角矩陣相同A有n個線性無關(guān)特征向量相同矩陣含有許多共同性質(zhì)，所以我們希望在眾多相同矩陣中尋找一個最簡單矩陣作為相同類代表。只要了解最簡單矩陣性質(zhì)就能夠了解A一些性質(zhì)。那么最簡單矩陣是什么形式？4證：必要性設(shè)，則存在可逆矩陣P，使得記P列向量組為，則線性無關(guān)，而且可得故A有n個線性無關(guān)特征向量。5充分性設(shè)A有n個線性無關(guān)特征向量對應(yīng)特征值依次為，則令，則P可逆。因為即故，矩陣A與對角矩陣相同。6推論

n階矩陣A有n個互異特征值，

則A必可與對角矩陣相同。例1

把矩陣對角化。解：在§4.1例4中已經(jīng)求出A全部特征值為：7A對應(yīng)于特征向量為：A對應(yīng)于特征向量為：①令

則8②令則③令則9例2

設(shè)二階矩陣，求解：易于求出A全部特征值為：A對應(yīng)于特征向量為：A對應(yīng)于特征向量為：令，則從而10于是

11定理4.6n階矩陣A可與對角矩陣相同對于每一個重特征值，則（證實略）練習(xí)判斷

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