大物-機械振動

前言物體在一定物置附近作來回往復的運動稱為機械振動。周期（T）——每隔一個固定時間T

，物體的運動狀態(tài)（

r,v,

a）就完全重復一次。T稱為周期。頻率（

）——在單位時間內，運動狀態(tài)完全重復的次數非周期性振動——周期T不等或各次的振幅有變化。質點作機械振動來回往復的軌道，可以是直線，可以是平面曲線，甚至是在空間內的曲線。從數學上可證明，這些平面或空間的振動都可以認為是由若干個簡單的直線振動疊加而成的。定義具有周期性且軌跡為直線的振動稱為簡諧振動簡諧振動的特點：（1）具有周期性；（2）軌跡為直線。任何復雜的振動都可以認為是由幾個或很多個諧振動 的。一、諧振動的定義先從物體的受力角度來表述其定義，看看作諧振動的物體所受的合外力有什么特點。1、諧振動的動力學特征——物體 性回復力作用下的運動為諧振動。線性回復力的公式F

kx（1）F與x的一次方成正比，即為“線性”二字的含義。當x=0

時，F=0。即運動物體存在一個平衡位置，在這個平衡位置上，物體受合力為0。式中負號表明：合外力F的方向 與位移x

方向相反，即力總是指向平衡位置。這就是“回復”二字的含義。性回復力作用下的物體運動情況，并下面以彈簧振子為例來探討一下找出形成機械振動的成因：平衡位置機械振動的成因是物體所受的線性回復力和物體所具有的慣性。諧振動的動力學判據：當物體所受的合外力與位移反向而成正比時，物體的運動為諧振動。xo-kxx=0

,F=0kxo0

mgNF例1、質量為m

的小球，在半徑為R的光滑半球形碗底附近的運動是否為諧振動？解：坐標原點選在小球的平衡位置。當偏離平衡點0

時，x合外力大小F

mg

tantan

sin

F

mgs

R

x引入位移概念后，考慮到F

,x

的方向：RF

mg

x

kxR(k

mg

負號意為F與x反向）因為小球始終受一個線形回復力作用，小球的運動是諧振動R

S

mgR例2、小球在地面上作完全彈性的上下跳動是否是諧振動？由動量定理：小球末態(tài)動量mvt2t1

(F

mg)dt即碰撞過程中小球所受合外力F

mg

0又因為在碰撞以外，小球始終受重力作用。所以小球在運動過程中所受的合外力不滿足線性回復力的條件（不存在一個受力為0的平衡位置，即x=0

,F=0），所以，它的運動不是諧振動。0xmgmgF分析：小球在上、下跳動的過程中，小球的運動符合諧振動的特征：1)、運動的軌跡是直線；2)、具有周期性。小球離開地面時受重力作用，合外力不為0，平衡位置只可能發(fā)生在小球與地面碰撞時，建立坐標如圖：解：小球在與地面碰撞過程中，受到兩個作用力：小球所受的重力和地面對小球的平均作用力，現用動量定理來檢驗合外力是否為0。

2mv小球初態(tài)動量-mv線性恢復力中F為合外力，根據，（1）式可寫成：m

dt2

kxd

2

xmk

2令km

即是屬于同一性質的物理量，都是 振動快慢的物理量，因而它們之間存在一定的關系：

稱為圓頻率，它是系統在2

秒內完成的全振動次數。它與周期T和頻率ν1

2T

把

2

代入上式，有：kmdt

2d

2

x

2

x

0（1）*因此，諧振動的動力學定義也可以用（1）*式微分方程表達。線性回復力的公式F

kx（1）或d

2

x

kxdt2

mω與振動系統的力學性質（m,k)有關2、諧振動的運動學特征性回復力的作用下物體的位移x

隨時間t

的變化規(guī)律是什么呢？解微分方程（1）*得：

x

Acos(t

)（2）（2）式中的A,

是常數，它們與振動系統的初始條件有關（2）式是x,t的函數關系式。很顯然，它是一個運動方程。從運動學角度來看，它解決了諧振動物體何時在何處處在何狀態(tài)（x,v,a）的問題。dtv

dx

A

sin(t

)

（3）將（2）式兩邊同時對時間t求導有：a

A

2

cos(t

)（4）（2）式解決了物體何時在何處，處在何狀態(tài)（x,v,a

）的問題。由此得到諧振動的運動學定義：作直線振動的質點的坐標X

隨時間t

而變化的規(guī)律，遵從余弦函數（或正弦函數）時，這一直線振動稱為諧振動。dt

2d

2

x

2

x

0

（1）*總結：需要強調的是，對所研究的簡諧振動來說，動力學定義和運動學定義是等效的。有兩個理由：從數學角度來說，前者是方程，后者是解。從物理意義上說，前者是因（正因為受線性回復力作用），后者是果（物體的坐標x隨時間t的變化規(guī)律遵從正弦或余弦函數）。判別一個直線振動是否為諧振動是本章的重點之一dt

2d

2

x

2

x

0（1）*諧振動的動力學定義：F

kx

（1）或諧振動的運動學定義：

x

Acos(t

)（2）二、描述諧振動的三個重要物理量1、振幅運動學含義：振動物體偏離平衡位置的最大位移。即：A

xmaxE

1

kA222、周期T

（頻率、圓頻率

）運動學含義：完成一次全振動所需要的時間。動力學含義：反映了振動系統的力學性質。所以，有時稱為系統的固有周期T和固有頻率ν。動力學含義：(回復力做功，使諧振子有能量)振幅A標志了系統總能量的大?。篢

1

2

mkT

2

lgT單擺

2思考題：證明圖示（1）、（2）系統中諧振動的周期、頻率、圓頻率相同1k2kk1k2mmmk1

k2

(1)(2)

m

k1

k2T

23、周相

(t

)周相包括括號內全部內容。它是反映質點振動狀態(tài)的物理量。a

A

2

cos(t

)x

Acos(t

)v

A

sin(t

)（2）（3）（4）物體在一個周期內經歷的各狀態(tài)沒有一個是相同的諧振動在一周期內的運動狀態(tài)，完全可用周相(t

)在0—2π之間的變化反映出來。當t

0

時，周相為

,

稱為初相,是反映t

0

時系統振動狀態(tài)的物理量。求振動系統的初相是本章重點之一。t

00A/2

Axv2

A

Acos3

A當t

0

時，x

2

，代入（2）式，有：因為質點向x正向運動：v

A

sin

0

，取3

質點的振動方程為：2

T

3x

Acos(

t

)設從計時處A/2到A所用的時間為t1

，將t=t1時，x=A代入上式：A

Acos

2

t

)(

1T

3解得：Tt1

6x

Acos(t

)（2）（3）v

A

sin(t

)例3：一質點作諧振動，周期為T，當它由平衡位置向X軸正方向運動時，從1/2最大位移處到最大位移處這段路程所需的時間為多少？解：把t=0（開始計時）處選在A/2處把t

0

代入（3）式，有：3

3

52cos

1cos

2

t

)

1(T

3從數學上看，用時間t

來描述振動過程與用位相(t

)來描述運動過程只是參量的變換而已。振動的特征是運動的周期性。對一個周期性運動，

感

的是一個周期內的振動狀態(tài)的變化（即：x,

v,

a

的變化）。只需分析任一周期內的振動狀態(tài)的變化，就能描述全部振動過程。顯然，用一個周期內的不同時刻（對應于周相0——2π的變化）來描述周期性運動比用連續(xù)的時間t

要方便。在描述物體的機械運動時，通常把周相(t

)看作成一個變量，而不是單獨地使用時間t。三、諧振動中三個狀態(tài)參量之間的位相關系a

A

2

cos(t

)（2）x

Acos(t

)v

A

sin(t

)

（3）（4）其中

2

maxcos(t

)為了便于與位移的周相進行比較，將（3）式改寫成:v

vvmax

2由此知：速度的周相比位移的周相超前

。將（4）式改寫成：a

amax

cos(t

)由此知：加速度的周相比位移的周相超前或其中amax

A

2π，見上圖。vtx

a四、振幅和初相的確定諧振動運動學方程：x

A

cos(t

)0v0

A

sin

(3)'x

Acos

(2)'有聯立兩式得：20vx2

0

2A

（5）vx0tan

0

（6）由此知：A,

是由振動系統的初始條件來決定的。小結：有了振動系統的力學性質（ω或T

,）以及初始條件(x0

,v0

)，就完全可以寫出具體的振動方程

x

Acos(t

)。根據振動系統的力學性質及初始條件寫出具體的振動方程也是是本章重點之一。x,t

為函數和變量

是表征振動系統的力學性質的物理量剩下的A,兩個量。它們與振動的初始條件有關：把t

0

時，x

x0

,v

v0代入x

Acos(t

)

(2)v

A

sin(t

)

(3)例4、一彈性系數為k的輕彈簧，上端固定在頂板上，下端懸掛質量為

m1

,

m2

兩個物體，見圖，如開始時處于 狀態(tài)，現把連接兩物體的連線剪斷，求：（1）m1的最大速度和最大加速度；（2）m1

與彈簧組成的振動系統的振動方程。m1m2m1x0xo1解：剪斷后，m

,k

組成振動系統，所以

m1

k

。（1）當時，。于是有：t

00

0km

gx

2

,

v

0km

gv

2A

0x

2

0

2

2x0

arctg

(

v0

)

01max12所以：vmax1mkm,

a

A

2

m2

g

A

m

gk

k

tm1（2）振動系統的振動方程：x

Acost

m2

g

cosm決2定振動系統的初始條件，把

t選

0在剪斷連線的瞬間。取平衡位置為坐標原點，建立坐標系：kt=0五、諧振動的矢量圖示法oM角速度ω為一定值M在t

0

時的位置與X軸的夾角為由運動學定義：旋轉矢量

M

的端點M

在X軸的投影點P的運動是諧振動。它可以代表某一個振幅為A

、初相為

、圓頻率為

的諧振動。t=0xωtMP在任一時刻t旋轉矢量的端點P在x軸的投影點P的坐標為x

A

cos(t

)在振動方程x

Acos(t

)中，除變x,t

量外，另三個物理量(A,

,

)的具體含義可借助于旋轉矢量OM來作進一步理解。oM

A六、諧振動的能量k諧振動的平動動能：E222121

kA

mvEK

(max)

0當周相

(t

)

0或

EK

(min)最大位移處振動勢能：在一個周期內,當1

2

1

2

2Ep

kx

kA

cos

(t

)（8）2max21P

(max)2

02

2(t

)

E

1

kA2

kx最大位移處；EP

(min)平衡位置處pk2

2

2E

E

E

1

mv2

1

kx2

1

kA2

C總機械能：

（9）盡管作諧振動的物體的動能與勢能分別作周期性變化，但振子的總能量卻保持恒定。物體在運動過程中，動能和勢能相互轉化而保持總能量不變。v

A

sin(t

)x

Acos(t

)（2）（3）2在一個周期內,當(t

)

當周相2(t

)

2

2

2

1

mv2

1

mA2

2

sin2

(t

)

1

kA2

sin2

(t

)

（7）max

平衡位置處；

v

max總機械能：k

p2

2

2E

E

E

1

mv2

1

kx2

1

kA2

C物體在振動過程中動能和勢能相互轉化而保持總能量不變，符合機械能守恒與轉換定律，這也是因為振動系統只受保守力作用的結果：mv

dv

kx

dx

0dt

dtdx

vdtd

2

x

m

kx

0dt2F

kx平衡位置七、振動的一個質點同時參與幾個振動的情況，由運動疊加原理，質點最終的運動實際上是幾個振動的

。1、同方向、同頻率的簡諧振動的設兩個獨立的簡諧振動的振動方程分別為：x1

A1

cos(t

1

)x2

A2

cos(t

2

)由運動的，合位移

無下標意為同頻率。

21

tAtA121合振動是否具有周合位移仍在x軸上，即軌跡為直線，現利用旋轉矢量法期性。下標1、2意為兩個獨立的振動；x1

,x2

意為同方向;xA112A

2A由于兩旋轉矢量的角速度相等，可得出合振幅A為一常量且具有與

x1

,

x2

相同的角速度

。因此，振動也為諧振動。其振幅和初相為：211

)（10）A2

A2

2A

A

cos(2

1

2A

A1

cos

1

A2

cos

2tan

A1

sin1

A2

sin

2（11）有兩個特例：（1）當2

1

2k(k

0,1.

2)

1

2A

A1

A2合振幅最大（2）當

2

1

(k

0,1.

2)合振幅最小k

1()2A

A1

A2A1A2A

1

2

xxA2x1

A1

cos(t

1

)x2

A2

cos(t

2

)oBC

隨大流

2

A1A2、同方向、不同頻率的簡諧振動的設兩個諧振動的圓頻率分別為1

,2

，即在諧振動圖示法里，兩旋轉矢量轉動的角速度不同，因而周相差將隨時間變化。合振幅A(t

)的大小及合振動的圓頻率(t

)都隨時間改變。這時的合振動雖然與原來振動方向相同，但不再是簡諧振動。

A2有兩種特例：（1）當A1

,A2

方向相同時，兩振動的周相相同，合振動的振幅最大：A

A1

A2（2）當A1

,A2

方向相背時，兩振動的周相相反，合振動的振幅最?。篈

A1A1A2AxxA1A2A例題：兩個同方向、同頻率的簡諧振動，其振動表達式分別為：求它們合振動的振幅和初位相。21

2x

6

102

cos(5t

),

x

2

102

sin(

5t).(SI

)解：將

2

寫成余弦形式：x2

2

2x

210

cos(

5t

)

2