位值原理與整數(shù)四則運(yùn)算

位值原理與整數(shù)四則運(yùn)算很多小學(xué)生總是感覺(jué)用豎式計(jì)算整數(shù)的四則運(yùn)算很抽象，不好理解，這是因?yàn)槟銈円婚_(kāi)始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)與數(shù)的時(shí)候，就沒(méi)有接觸到問(wèn)題的本質(zhì)一數(shù)的位置原理?！皵?shù)”與“數(shù)字”的區(qū)別要研究位值原理，我們得首先搞明白“數(shù)''與“數(shù)字”的區(qū)別。學(xué)了這么多年數(shù)學(xué)，很多人連“數(shù)”與“數(shù)字”的區(qū)別都還沒(méi)搞清楚。什么是數(shù)，這個(gè)簡(jiǎn)單，我們從學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)起就開(kāi)始跟數(shù)打交道了，隨便舉幾個(gè)例子：1（一位數(shù)）、59（兩位數(shù)）、9889（四位數(shù)）等等都是數(shù)。數(shù)有一個(gè)天然的分類(lèi)，那就是按位數(shù)分類(lèi)，可分為一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)、四位數(shù) 。很顯然，數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的。什么是數(shù)字，很簡(jiǎn)單，就是我們常說(shuō)的阿拉伯?dāng)?shù)字，只有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9這10個(gè)數(shù)字，即數(shù)字的個(gè)數(shù)就是10個(gè)！數(shù)是怎么組成的（數(shù)的來(lái)歷）？當(dāng)我們把物體同數(shù)相聯(lián)系的過(guò)程中，碰到的數(shù)會(huì)越來(lái)越大，如果這種聯(lián)系過(guò)程中，只用我們的手指頭，那么到了

“十”這個(gè)數(shù)，我們就無(wú)法數(shù)下去了，即使象古代墨西哥尤里卡坦的瑪雅人把腳趾也用上，只不過(guò)能數(shù)二十。我們顯然知道，數(shù)是可以無(wú)窮無(wú)盡地寫(xiě)下去的，因此，我們必須把數(shù)的概念從實(shí)物的世界中解放出來(lái)，抽象地研究如何表示它們。顯然，我們學(xué)過(guò)的每一個(gè)數(shù)都是由數(shù)字構(gòu)成的！我們通常使用的是十進(jìn)制計(jì)數(shù)法，其特點(diǎn)是“滿(mǎn)十進(jìn)一”。就是說(shuō)，每10個(gè)某一單位就組成和它相鄰的較高的一個(gè)單位，即10個(gè)一叫做“十”，10個(gè)“十”叫做“百”，10個(gè)百叫做“千”，等等。寫(xiě)數(shù)時(shí)，從右端起，第一位是個(gè)位，第二位是十位，□十ft是十位，□十ft口百&口千位口萬(wàn)位□十萬(wàn)位□百萬(wàn)位口干萬(wàn)位口億位□個(gè)位顯然，使用“滿(mǎn)十進(jìn)一”的計(jì)數(shù)法加上10個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字，我們可以準(zhǔn)確地表示出一切數(shù)（整數(shù)）！即可以用有限的數(shù)字表示出無(wú)限的數(shù)！數(shù)就是這樣由數(shù)字組成的舉個(gè)例子，567這個(gè)數(shù)字的來(lái)歷用文字表述下就是5寫(xiě)在百位上，6寫(xiě)在十位上，7寫(xiě)在個(gè)位上得來(lái)的，用式子表述下就是應(yīng)該是通過(guò)5X100+6X10+7X1得來(lái)的。567即表示5個(gè)百，6個(gè)十，7個(gè)1的和。什么是位值原理？我們來(lái)研究一個(gè)三位數(shù)222。雖然百位、十位、個(gè)位上三個(gè)數(shù)字都是2,但是這三個(gè)2由于所處數(shù)位不同，他們所表示的大小也是不相同的（根據(jù)數(shù)的來(lái)歷）。百位上的2應(yīng)該表示200（2個(gè)100，即2X100）、十位上的2應(yīng)該表示20（2個(gè)10,即2X10），個(gè)位上的2應(yīng)該表示2（2個(gè)1,即2X1）。即222=2X100+2X10+2X1。即同一個(gè)數(shù)字，由于它在所寫(xiě)的數(shù)的位置不同，所表示的數(shù)也不同。也就是說(shuō)，每一個(gè)數(shù)字除了本身的值以外，還有一個(gè)“位置值”。這種把數(shù)字和數(shù)位結(jié)合起來(lái)表示數(shù)的原則，稱(chēng)為寫(xiě)數(shù)的位值原理。位值原理的作用位值原理是整數(shù)加、減、乘、除四則運(yùn)算的主要依據(jù)。下面我們舉例來(lái)解剖四則運(yùn)算豎式計(jì)算過(guò)程的本質(zhì)。例1.123+345為什么等于468?我們都知道123+345=468，怎么算出來(lái)的，列加法豎式，然后根據(jù)加法豎式的計(jì)算法則（個(gè)位加個(gè)位，十位加十位，百位加百位）得出結(jié)果為468。但是加法豎式計(jì)算法則依據(jù)是什么？即為什么個(gè)位與個(gè)位相加，十位與十位相加，百位與百位相加得出的就是兩數(shù)的和（似乎是廢話(huà)）？其實(shí)依據(jù)就是位置原理配合上十進(jìn)制（也就是數(shù)的來(lái)歷）。因?yàn)?23是1寫(xiě)在百位，2寫(xiě)在十位，3寫(xiě)在個(gè)位得來(lái)，即1X100+2X10+3X1得來(lái)，表示1個(gè)百，2個(gè)十，3個(gè)一的和。345是3寫(xiě)在百位,4寫(xiě)在十位,5寫(xiě)在個(gè)位得來(lái)，即3X100+4X10+5X1得來(lái)，表示3個(gè)百，4個(gè)十，5個(gè)一的和。所以求123+345等于多少，根據(jù)加法的意義，其實(shí)就是求兩個(gè)加數(shù)共含有多少個(gè)百，多少個(gè)十，多少個(gè)1。顯然123+345一共有(1+3)個(gè)百，(2+4)個(gè)十，(3+5)個(gè)一，用式子表示下就是123+345=(1+3)X100+(2+4)X10+(3+5)X1，最后結(jié)果是468.(1+3)X100+(2+4)X10+(3+5)X1其實(shí)就是計(jì)算加法豎式時(shí)“個(gè)位與個(gè)位相加、十位與十位相加、百位與百位相加”的運(yùn)算法則的來(lái)由！即123+345為什么等于468，加法豎式法則只是表面現(xiàn)象，(1+3)X100+(2+4)X10+(3+5)X1才是結(jié)果為468的真正原因！所以任意兩個(gè)數(shù)相加，你如果不用列加法豎式去做的話(huà)(口算只是將列豎式的過(guò)程在心中進(jìn)行罷了)，都可以用(+)X100+(+)X10+(+)X1的形式去做。舉個(gè)例子，364+225可以這樣去做，364+225=(3+2)X100+(6+2)X10+(4+5)X1=589。

以上的計(jì)算過(guò)程可以簡(jiǎn)化為：例1.364+225364+225589=（3百+6十+4個(gè)）+（2百+2364+225589=（3百+2百）+（6十+2十）+（4個(gè)+5個(gè)）=5百+8十+9個(gè)=589例2.485-169=（4百+8十5個(gè)）-（］百+6十9個(gè)）（個(gè)位上的5不夠減9）=（4百+7十+15個(gè)）-（1百+6十9個(gè)）=（4百-1百）+（7十-6十）+（15個(gè)-9個(gè)）=3百+1十+6個(gè)485=316—169例3.123X4316二（1百+2十+3）X4二1百X4+2十X4+3X4123二4百+8十+12個(gè)1x4二4百+8十+1十+2個(gè)1492二4百+9十+2個(gè)1二492例4.2145915=（2千+1百+4十+5）915=（21百+4十+5）915=1百+（6百+4十+5）：15=1百+（64十+5）：15=1百+4十+（4