有限單元法基本思想-原理-數(shù)值計算過程

有限單元法學習報告在對力學問題分析求解過程中，方法可以概括為兩種方法，一種為解析法，對具體問題具體分析，通過一定的推導用具體的表達式獲得解答，由于實際工程中結構物的復雜性，此方法在處理工程問題是十分困難的；另一種是數(shù)值法，有限元法是其中一種方法，其數(shù)學邏輯嚴謹，物理概念清晰，又采用矩陣形式表達基本公式，便于計算機編程，因此在工程問題中獲得廣泛的應用。有限元法基本原理是，將復雜的連續(xù)體劃分為簡單的單元體；將無限自由度問題化為有限自由度問題，因為單元體個數(shù)是有限的；將偏微分方程求解問題化為有限個代數(shù)方程組的求解問題。通常以位移為基本未知量，通過虛功原理和最小勢能原理來求解。基本思想是先化整為零，即離散化整體結構，把整體結構看作是由若干個通過結點相連的單元體組成的整體；再積零為整，通過結點的平衡來建立代數(shù)方程組，最后計算出結果。我將采用最簡單的三結點三角形為基本單元體，解決彈性力學中的平面問題為例，解釋有限單元法的基本原理、演示數(shù)值計算過程和一般性應用結論。一、離散化解決平面問題時，主要單元類型包括三角形單元（三結點、六結點）和四邊形單元（四結點矩形、四結點四邊形、八結點四邊形）等。選用不同的單元會有不同的精度，劃分的單元數(shù)越多，精度越高，但計算量也會越大。因此在邊界曲折，應力集中處單元的尺寸要小些，但最大與最小單元的尺寸倍數(shù)不宜過大。在集中力作用點及分布力突變的點宜選為結點，不同厚度，不同材料不能劃分在同一單元中。三角形單元以內角接近60°為最好。充分利用對稱性與反對稱性。二、單元分析將一個單元上的所有未知量用結點位移表示，并將分布在單元上的外力等效到結點上。1、位移函數(shù)選?。焊鶕邢拊ǖ幕舅悸?，將連續(xù)體離散為有限的單元集合后，此時單元體滿足連續(xù)性、均勻性、各向同性、完全線彈性假設。單元與單元之間通過結點連接并傳遞力，位移法（應用最廣）以結點位移61=（上vi）T為基本未知量，以離散位移場代替連續(xù)位移場。單元體內的位移變化可以用位移函數(shù)（位移模式）來表示，因為有限元分析所得結果是近似結果，為了保證計算精度和收斂性，x位移函數(shù)應盡可能反應物體中的真實位移，即滿足完備性和連續(xù)性的要求：①位移模式必須能反映單元的剛體位移。②位移模式必須能反映單元的常量應變。③位移模式應盡可能反應位移的連續(xù)性。設三角形單元三個結點編號為i、j、m。平面三角形單元位

移函數(shù)選取為u=a1+a2x+a3y可以寫成v=a4+a5x+a6y可以寫成u=u0-3y的形式，u、v反映了單元的剛體平動，①反v=v+3y 0 00采用插值法由單元結點位移列陣6e=Q采用插值法由單元結點位移列陣6e=Qv)T計y),v算a1、a2、a3、a4、a5、a6,求出位移d=[u(x(x,y)]。6個未知量，6個代數(shù)方程,得de=N6em輪換)A為三角形面積，為避免A<0,i、j、m按逆時針排de=0 N0 Nde=0 N0 N0'N 0jN 0 Nj式中N=(a+b.x+c.y)/2A,a=XjXm-1yi1ymXjXm(i、j、列。N為形函數(shù)矩陣，形函數(shù)Ni的性質有:①N(x.,y.)=1N.(x.,y.)=0Ni(xm,ym)=0②N(x,y)+N(x,y)+N(x,y)=1可推出三個形函數(shù)中，兩個是獨立的，反映了剛體平移。令z=Ni,在直接坐標系中畫出Ni、Nj、Nm的函數(shù)圖形是以Ni(xi,yi)=1為高的四面體，所以結點位移影響單元的位移場，單元的位移場是線性分布的，相鄰單元在公共邊上的位移是連續(xù)的，單元相鄰邊的位移只取決于單元相鄰公共邊上的結點而與其他結點無關，無論以哪個單元計算相鄰邊的位移，結果一定相同。

形函數(shù)Ne決定了單元內的位移模式，反映了i結點位移對i單元內任意點位移的貢獻率。2、根據幾何方程用單元結點位移表示單元應變:經

ax

如

ay

包+如

(ayax)12AB2、根據幾何方程用單元結點位移表示單元應變:經

ax

如

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包+如

(ayax)12ABi0ci0cibibj0cj0cjbjbm0cm0cmbm(u viiUV Umvm)T=B5eB為幾何矩陣B可寫為分塊矩陣B=（BiBB)t,B=

jm i(b 0)A0c，^c b)ii/B內所有元素與x，y無關，所以該單元內應變是常量，反映單元的常量應變，滿足完備性和連續(xù)性的要求，這是一種常應變單元。3、根據物理方程用單元結點位移表示單元應力：E。e=D￡eE。e=D￡eD= 1—|LX2(1"01)002)D為彈性矩陣。e=D￡e=DBSe=S5eS=DB中，每一個元素都是常數(shù)所以。S為應力矩陣的每一個分量與單元內X，y位置無關，這是一種常應力單元。因為在三結點三角形單元中，位移函數(shù)中含有坐標的一次項，其誤差為Q（a而2），而應力、應變是常量，其誤差為,區(qū)＞比位移精度低。4、根據虛功原理用單元結點位移表示單元結點力

單元在結點處受力，單元會發(fā)生變形，因此單元在結點處所受到的力與單元結點位移肯定有關系。單元間通過結點的相互作用成為整體，因此每一單元的受力一一位移關系找出來，整體的受力一一位移關系也就出來了。記單元節(jié)點力為F記單元節(jié)點力為Fe=QFF)t，單元結點虛位移為5*J(55*J(5* 5* 5*)ijm

單元內應力為oe=Q8*=Q* 8*Y*%T)T，單元內虛應變根據虛功原理，(5*e)Fe=jjQ)OedXdy.t，可得AFe=jjBtDBdxdy-t-5eA因為B、D中元素都是常數(shù)，F(xiàn)e=BTDBtA5e=K5e，單元剛度矩陣。K=BTDBtA為K為6行6列矩陣可寫為k=tAK為6行6列矩陣可寫為k=tABtiBtjBtmD(BiB)=kiikjikmikijkjjkmj1kmkjmkImm/k=BDBAt二kxx kxyJ JIkyx kyyijijAt，kxy表示j結點處發(fā)生y方向的單位位i移時所引起的i結點處x方向的結點力。不同類型不同形式的單元，只有彈性矩陣D和幾何矩陣B不同，計算子塊矩陣的公式相同，平面問題中，影響剛度矩陣K的只有幾何矩陣B。K的性質有：K中每個元素表示個單元結點沿坐標方向發(fā)生單位位移時所引起的結點力。

結點力為0,所以只根據應變、應力②結點力為0,所以只根據應變、應力所以K中每行每列元素之和為所以K中每行每列元素之和為0，所以園=Fe二K8e無法求得唯一解。5、根據虛功等效原則計算等效結點力根據有限元的基本方法，單元內任意點的位移、等最終都要用結點位移來表示，所以作用在物體上的外力也要用結點位移表示。為了計算等效結點力，在任意的虛位移上，使原載荷與等效載荷虛功相等。設外力為了，結點虛位移為8*e，則任意點虛位移為d.e二N8*e，等效節(jié)點載荷為勺有d*eTft=8*eTFe Fe=Ntft（集中力）同理得FLe=\Nf.t（面力），F(xiàn)Le=ffNfdxdy.t（體力）。三、整體分析將結構的所有單元通過結點連接起來，形成一個整體的離散結構以代替實際的連續(xù)體，以形成以結點位移為未知量的整體結構的有限元代數(shù)方程組，最后求得結點位移。對結點受力分析：結點受到與之相關的單元給它的反作用力和外載荷的等效結點力，這兩組力坐標軸方向相反，所以應該相等，即￡F=ZF，設有n個結點，每個結點建立兩