2023版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第二章函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第二講函數(shù)的單調(diào)性與最值課件

第二講函數(shù)的單調(diào)性與最值課標(biāo)要求考情分析借助函數(shù)圖象，會(huì)用符號語言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值，理解它們的作用和實(shí)際意義1.本講以基本初等函數(shù)為載體，考查函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間及函數(shù)最值的確定與應(yīng)用；常與函數(shù)的圖象及其他性質(zhì)交匯命題.2.題型多以選擇、填空題形式出現(xiàn)，若與導(dǎo)數(shù)交匯，則為解答題的某一問單調(diào)性單調(diào)遞增單調(diào)遞減定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，區(qū)間D?I如果?x1，x2∈D，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增.特別地，當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增時(shí)，我們就稱它是增函數(shù)如果?x1，x2∈D，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減.特別地，當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時(shí)，我們就稱它是減函數(shù)1.函數(shù)的單調(diào)性單調(diào)性單調(diào)遞增單調(diào)遞減圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的(續(xù)表)單調(diào)性單調(diào)遞增單調(diào)遞減等價(jià)形式(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0

(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0

導(dǎo)數(shù)如果在某區(qū)間D上f′(x)>0，那么f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增如果在某區(qū)間D上f′(x)<0，那么f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減(續(xù)表)【名師點(diǎn)睛】

(1)函數(shù)單調(diào)性定義中的x1，x2

具有以下三個(gè)特征：一是任意性，即“任意兩數(shù)x1，x2∈D”，“任意”兩字絕不能丟；二是有大小，即x1<x2(或x1>x2)；三是同屬一個(gè)單調(diào)區(qū)間，三者缺一不可.

(2)函數(shù)f(x)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，是函數(shù)在此區(qū)間上的整體性質(zhì)，不一定代表在整個(gè)定義域上有此性質(zhì).前提設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足條件(1)對于任意x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(1)對于任意x∈I，都有f(x)≥M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M結(jié)論M為最大值M為最小值2.函數(shù)的最值【名師點(diǎn)睛】函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論

(1)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值，當(dāng)函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)時(shí)，最值一定在端點(diǎn)處取到. (2)開區(qū)間上的“單峰”函數(shù)一定存在最大值(或最小值).題組一走出誤區(qū)1.(多選題)下列說法錯(cuò)誤的是()

C.對于函數(shù)y＝f(x)，若f(1)<f(3)，則f(x)為增函數(shù) D.函數(shù)y＝f(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，則函數(shù)f(x)是增函數(shù)

答案：BCD題組二走進(jìn)教材2.(教材改編題)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減的是()答案：A

2x－1在區(qū)間[2,3]上的最大值是

3.(教材改編題)函數(shù)y＝________.

答案：2題組三真題展現(xiàn)4.(2019年北京)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增的是()答案：A)5.(2021年全國甲)下列函數(shù)中是增函數(shù)的為(答案：D

考點(diǎn)一確定函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間)1.(多選題)函數(shù)f(x)＝|x2－3x＋2|在下列區(qū)間遞增的有()答案：BD圖D2答案：[2，＋∞)(－∞，－3]

考點(diǎn)二求函數(shù)的最值[例1](1)已知函數(shù)f(x)＝ax＋logax(a>0，且a≠1)在[1,2]上的最大值與最小值之和為loga2＋6，則a的值為()

1A. 2

1B. 4C.2D.4

解析：f(x)＝ax＋logax在[1,2]上是單調(diào)函數(shù)，所以f(1)＋f(2)＝loga2＋6，則a＋loga1＋a2＋loga2＝loga2＋6，即(a－2)(a＋3)＝0，又a>0，所以a＝2.

答案：C則f(f(－3))＝________，f(x)的最小值是________.

【題后反思】求函數(shù)最值的5種常用方法及思路

(1)單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值. (2)圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，求出最值.

(3)基本不等式法：先對解析式變形，使之具備“一正、二定、三相等”的條件后用基本不等式求出最值. (4)導(dǎo)數(shù)法：先求導(dǎo)，然后求出在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點(diǎn)值，求出最值.(5)換元法：對比較復(fù)雜的函數(shù)可通過換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)，再用相應(yīng)的方法求最值.【變式訓(xùn)練】

考點(diǎn)三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用考向1利用單調(diào)性比較大小

通性通法：比較函數(shù)值的大小時(shí)，若自變量的值不在同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，要利用其函數(shù)性質(zhì)，轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)進(jìn)行比較，對于選擇題、填空題能數(shù)形結(jié)合的盡量用圖象法求解.A.c>a>bC.a>c>bB.c>b>aD.b>a>c

解析：由于函數(shù)f(x)的圖象向左平移1個(gè)單位長度后得到的圖象關(guān)于y軸對稱，故函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，

當(dāng)x2>x1>1時(shí)，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，等價(jià)于函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，所以b>a>c.答案：D考向2解函數(shù)不等式通性通法：求解含“f

”的函數(shù)不等式的解題思路

先利用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)將不等式轉(zhuǎn)化為f(g(x))＞f(h(x))的形式，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“f

”，得到一般的不等式g(x)＞h(x)(或g(x)＜h(x)).此時(shí)要特別注意函數(shù)的定義域.答案：A考向3求參數(shù)的值或取值范圍

通性通法：利用單調(diào)性求參數(shù)的范圍(或值)的方法 (1)視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù). (2)需注意若函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的.答案：D(2)若f(x)＝x3－6ax的單調(diào)遞減區(qū)間是(－2,2)，則a的)取值范圍是( A.(－∞，0] B.[－2,2] C.{2} D.[2，＋∞)答案：C【考法全練】 A.(－1,0)∪(0,1) B.(－1,0)∪(0,1] C.(0,1) D.(0,1]解析：因?yàn)閒(x)＝－x2＋2ax在[1,2]上單調(diào)遞減，所以a≤1，又因?yàn)間(x)＝

ax＋1在[1,2]上單調(diào)遞減，所以a＞0，所以0＜a≤1.故選D.答案：D A.(－∞，－1)∪(2，＋∞) B.(－∞，－2)∪(1，＋∞) C.(－1,2) D.(－2,1)

解析：因?yàn)楫?dāng)x＝0時(shí)，兩個(gè)表達(dá)式對應(yīng)的函數(shù)值都為零，所以函數(shù)的圖象是一條連續(xù)的曲線.因?yàn)楫?dāng)x≤0時(shí)，函數(shù)f(x)＝x3單調(diào)遞增，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝ln(x＋1)也單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)是定義在R上的增函數(shù).因此，不等式f(2－x2)＞f(x)等價(jià)于2－x2＞x，即x2＋x－2＜0，解得－2＜x＜1.故選D.答案：DA.f(a)＞f(b)＞f(c)B.f(b)＞f(a)＞f(c)C.f(c)＞f(a)＞f(b)D.f(c)＞f(b)＞f(a)答案：C⊙抽象函數(shù)中的單調(diào)性應(yīng)用問題[例5]已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，②當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＞－1.(1)求f(0)的值，并證明f(x)在R上是增函數(shù)；(2)若f(1)＝1，解關(guān)于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)＞4.解：(1)令x＝y(tǒng)＝0，得f(0)＝－1.證明：在R上任取x1＞x2，則x1－x2＞0，f(x1－x2)＞－1.又f(x1)＝f[(x1－x2)＋x2]＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1＞f(x2)，所以函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù).(2)由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5.由f(x2＋2x)＋f(1－x)＞4得f(x2＋x＋1)＞f(3)，又函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，故x2＋x＋1＞3，解得x＜－2或x＞1，故原不等式的解集為{x|x＜－2或x＞1}.

【題后反思】求解抽象函數(shù)問題的切入點(diǎn)與關(guān)鍵點(diǎn)

切入點(diǎn)：(1)對于抽象函數(shù)的單調(diào)性的證明，只能考慮用定義證明；(2)將不等式中的抽象函數(shù)符號“f

”運(yùn)用單調(diào)性“去掉”.

關(guān)鍵點(diǎn)：(1)根據(jù)單調(diào)性定義，賦值構(gòu)造出f(x2)－f(x1)，并與0比較大??；(2)根據(jù)已知條件，將所求的不等式轉(zhuǎn)化為f(M)＜f(N)的形式，從而利用單調(diào)性求解.

【高分訓(xùn)練】答案：C

2.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x∈R，且x≠0}，對定義域內(nèi)的任意x1，x2，都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且當(dāng)x＞1時(shí)，f(x)＞0.(1)求證：f(x)是偶函數(shù)；(2)求證：f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增.證明