材料力學(xué)：第三章 扭轉(zhuǎn)

Tuesday,November8,2022材料力學(xué)第三章扭轉(zhuǎn)第三章扭轉(zhuǎn)

§3-1

扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例

§3-2扭轉(zhuǎn)內(nèi)力的計(jì)算

§3-3薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)

§3-4圓軸扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力分析及強(qiáng)度條件§3-5

圓桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形·剛度條件§3-6密圈螺旋彈簧的應(yīng)力和變形

§3-7非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)一、工程實(shí)例§3-1

扭轉(zhuǎn)的概念及實(shí)例1、螺絲刀桿工作時(shí)受扭。第三章扭轉(zhuǎn)3.1

扭轉(zhuǎn)概念與實(shí)例2、汽車(chē)方向盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)軸工作時(shí)受扭。第三章扭轉(zhuǎn)3.1

扭轉(zhuǎn)概念與實(shí)例3、機(jī)器中的傳動(dòng)軸工作時(shí)受扭。第三章扭轉(zhuǎn)3.1

扭轉(zhuǎn)概念與實(shí)例MeMe

二、受力特點(diǎn)

桿件的兩端作用兩個(gè)大小相等、方向相反、且作用平面垂直于桿件軸線的力偶.三、變形特點(diǎn)桿件的任意兩個(gè)橫截面都發(fā)生繞軸線的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng).第三章扭轉(zhuǎn)3.1

扭轉(zhuǎn)概念與實(shí)例一、外力偶矩的計(jì)算已知傳動(dòng)構(gòu)件的轉(zhuǎn)速與所傳遞的功率，計(jì)算軸所承受的扭力矩。電機(jī)聯(lián)軸器功率：力偶矩：角速度§3-2

扭轉(zhuǎn)的內(nèi)力計(jì)算第三章扭轉(zhuǎn)3.2

扭轉(zhuǎn)的內(nèi)力計(jì)算功率用馬力(PS)表示，則第三章扭轉(zhuǎn)3.2

扭轉(zhuǎn)的內(nèi)力計(jì)算Me在n–n截面處假想將軸截開(kāi)取左側(cè)為研究對(duì)象二、內(nèi)力的計(jì)算1、求內(nèi)力截面法TMeMe第三章扭轉(zhuǎn)3.2

扭轉(zhuǎn)的內(nèi)力計(jì)算Mex??nnMeMe?xTMe?xT

采用右手螺旋法則,當(dāng)力偶矩矢的指向背離截面時(shí)扭矩為正，反之為負(fù).2、扭矩符號(hào)的規(guī)定3、扭矩圖Tx+_第三章扭轉(zhuǎn)3.2

扭轉(zhuǎn)的內(nèi)力計(jì)算Me4ABCDMe1Me2Me3n例題1一傳動(dòng)軸如圖所示，其轉(zhuǎn)速n=300r/min，主動(dòng)輪A輸入的功率為P1=36kW.若不計(jì)軸承摩擦所耗的功率，三個(gè)從動(dòng)輪輸出的功率分別為P2=11kW、P3=11kW及P4=14kW.試做扭矩圖.第三章扭轉(zhuǎn)3.2

扭轉(zhuǎn)的內(nèi)力計(jì)算解:計(jì)算外力偶矩Me4ABCDMe1Me2Me3n第三章扭轉(zhuǎn)3.2

扭轉(zhuǎn)的內(nèi)力計(jì)算計(jì)算各段扭矩ABCD

Me1Me3Me222BCxMe2Me3T2Me4Me2x11Me4T333第三章扭轉(zhuǎn)3.2

扭轉(zhuǎn)的內(nèi)力計(jì)算ABCDMe4Me1Me3Me2作出扭矩圖350N·m700N·m446N·m+_從圖可見(jiàn)，最大扭矩在CA段內(nèi).第三章扭轉(zhuǎn)3.2

扭轉(zhuǎn)的內(nèi)力計(jì)算一、薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力dxx

Me

Me1.實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象①圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改變，只是繞軸線作了相對(duì)轉(zhuǎn)；②各縱向線均傾斜了同一微小角度；③所有矩形網(wǎng)格均歪斜成同樣大小的平行四邊形.§3-3

純剪切概念第三章扭轉(zhuǎn)3.3

純剪切概念2、推論橫截面上無(wú)正應(yīng)力，只有切應(yīng)力；切應(yīng)力方向垂直半徑或與圓周相切.dxt3）圓周各點(diǎn)處切應(yīng)力的方向于圓周相切，且數(shù)值相等，近似的認(rèn)為沿壁厚方向各點(diǎn)處切應(yīng)力的數(shù)值無(wú)變化.MeMeABDC第三章扭轉(zhuǎn)3.3

純剪切概念此式為薄壁筒扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上切應(yīng)力的計(jì)算公式.3、推導(dǎo)公式薄壁筒扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力均勻分布，與半徑垂直，指向與扭矩的轉(zhuǎn)向一致.Tττ第三章扭轉(zhuǎn)3.3

純剪切概念xdydzdxyz二、切應(yīng)力互等定理ττ

在單元體左、右面（桿的橫截面）上只有切應(yīng)力，其方向于y

軸平行.可知，兩側(cè)面的內(nèi)力元素

dy

dz

大小相等，方向相反，將組成一個(gè)力偶。由平衡方程第三章扭轉(zhuǎn)3.3

純剪切概念xydydzzdxττ要滿(mǎn)足平衡方程在單元體的上、下兩平面上必有大小相等，指向相反的一對(duì)內(nèi)力元素它們組成力偶，與其平衡。可得第三章扭轉(zhuǎn)3.3

純剪切概念單元體兩個(gè)相互垂直平面上的切應(yīng)力同時(shí)存在，且大小相等，都指相（或背離）兩平面的交線.單元體平面上只有切應(yīng)力而無(wú)正應(yīng)力，則稱(chēng)為純剪切單元體.MeMel式中，r

為薄壁圓筒的外半經(jīng).三、剪切胡克定律由圖所示的幾何關(guān)系得到薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)外力偶Me

在某一范圍內(nèi)時(shí)，與Me

（在數(shù)值上等于

T

）成正比.第三章扭轉(zhuǎn)3.3

純剪切概念彈性模量E，剪切彈性模量G與泊松比μ的關(guān)系TO從T與

之間的線性關(guān)系，可推出與

間的線性關(guān)系.該式稱(chēng)為材料的剪切胡克律.G–剪切彈性模量O第三章扭轉(zhuǎn)3.3

純剪切概念四、剪切應(yīng)變能對(duì)處于純剪切應(yīng)力狀態(tài)的單元體(圖a)，為計(jì)算其上的外力所作功dW可設(shè)左側(cè)面不動(dòng)，此時(shí)的切應(yīng)力t僅發(fā)生在豎直平面內(nèi)而只有右側(cè)面上的外力tdydz在相應(yīng)的位移gdx上作功。第三章扭轉(zhuǎn)3.3

純剪切概念于是，當(dāng)材料在線彈性范圍內(nèi)工作時(shí)(t≤tp，見(jiàn)圖b)，有第三章扭轉(zhuǎn)3.3

純剪切概念純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度為由剪切胡克定律t=Gg，該應(yīng)變能密度的表達(dá)式可寫(xiě)為第三章扭轉(zhuǎn)3.3

純剪切概念1、變形現(xiàn)象

1)軸向線仍為直線，且長(zhǎng)度不變；

2)橫截面仍為平面且與軸線垂直；一、變形幾何關(guān)系

3)徑向線保持為直線，只是繞軸線旋轉(zhuǎn).2、平面假設(shè)變形前為平面的橫截面，變形后仍保持為平面.§3-4

圓桿扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力分析·強(qiáng)度條件第三章扭轉(zhuǎn)3.4

圓桿的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強(qiáng)度條件4、幾何關(guān)系Raa'd第三章扭轉(zhuǎn)3.4

圓桿的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強(qiáng)度條件3、推論：橫截面上只有切應(yīng)力，切應(yīng)力方向垂直于半徑.同一圓周上各點(diǎn)剪應(yīng)力

均相同，且其值與成正比，

與半徑垂直.二、物理關(guān)系由剪切胡克定律第三章扭轉(zhuǎn)3.4

圓桿的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強(qiáng)度條件rOdAdAρρT三、靜力關(guān)系結(jié)論ρρ代入物理關(guān)系中得到式中：T—橫截面上的扭矩

—求應(yīng)力的點(diǎn)到圓心的距離IP—為橫截面對(duì)圓心的極慣性矩第三章扭轉(zhuǎn)3.4

圓桿的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強(qiáng)度條件Wt

稱(chēng)作抗扭截面系數(shù)，單位為mm3或m3.的計(jì)算rOTdAdAρρρmax第三章扭轉(zhuǎn)3.4

圓桿的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強(qiáng)度條件（1）實(shí)心圓截面dO極慣性矩和抗扭截面系數(shù)的計(jì)算ρdρODdρdρ（2）空心圓截面其中第三章扭轉(zhuǎn)3.4

圓桿的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強(qiáng)度條件1、數(shù)學(xué)表達(dá)式四、強(qiáng)度條件2、強(qiáng)度條件的應(yīng)用①?gòu)?qiáng)度校核②設(shè)計(jì)截面③確定許可核載荷第三章扭轉(zhuǎn)3.4

圓桿的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強(qiáng)度條件ABC解：作軸的扭矩圖MAMBMC22kN·m14kN·m+_分別校核兩段軸的強(qiáng)度例題2

圖示階梯圓軸，AB段的直徑d1=120mm，BC段的直徑

d2=100mm.扭轉(zhuǎn)力偶矩為MA=22kN·m，MB=36kN·m

，MC=14kN·m.已知材料的許用切應(yīng)力[]=80MPa，試校核該軸的強(qiáng)度.因此，該軸滿(mǎn)足強(qiáng)度要求.第三章扭轉(zhuǎn)3.4

圓桿的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強(qiáng)度條件例3已知：傳動(dòng)軸為無(wú)縫鋼管，D=90mm，t=2.5mm，Tmax=1.5kN·m,[t]=60MPa。求：校核軸的強(qiáng)度。解：

計(jì)算Wt

切應(yīng)力第三章扭轉(zhuǎn)3.4

圓桿的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強(qiáng)度條件例4已知：同上例。將空心軸改為實(shí)心軸。要求與空心軸有相同的強(qiáng)度。Tmax=1.5kN·m。求：實(shí)心軸的直徑。解：

比較空心軸與實(shí)心軸實(shí)心軸截面積1第三章扭轉(zhuǎn)3.4

圓桿的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強(qiáng)度條件

比較空心軸與實(shí)心軸實(shí)心軸截面積空心軸截面積空心軸與實(shí)心軸截面積比1第三章扭轉(zhuǎn)3.4

圓桿的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力強(qiáng)度條件1、單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角一、扭轉(zhuǎn)變形長(zhǎng)為

l

的一段桿兩端面間的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角BA§3-5

圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形·剛度條件第三章扭轉(zhuǎn)3.5

圓桿的扭轉(zhuǎn)變形剛度條件

2、剛度條件—扭轉(zhuǎn)角GIP

稱(chēng)作抗扭剛度

(o/m)

稱(chēng)作許可單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角第三章扭轉(zhuǎn)3.5

圓桿的扭轉(zhuǎn)變形剛度條件例題5圖示等直桿，已知直徑d=40mm，a=400mm，材料的剪切彈性模量G=80GPa，DB=1°.試求：（1）AD桿的最大切應(yīng)力；（2）扭轉(zhuǎn)角

CA.aa2aM2M3MABCD+M2M3M解：畫(huà)扭矩圖計(jì)算外力偶矩MDB=CB+DC=1°Tmax=3Me第三章扭轉(zhuǎn)3.5

圓桿的扭轉(zhuǎn)變形剛度條件（1）AD桿的最大切應(yīng)力（2）扭轉(zhuǎn)角

CAaa2aM2M3MABCD+M2M3M第三章扭轉(zhuǎn)3.5

圓桿的扭轉(zhuǎn)變形剛度條件例題6某汽車(chē)的主傳動(dòng)軸是用40號(hào)鋼的電焊鋼管制成，鋼管外徑D=76mm，壁厚t=2.5mm，軸傳遞的轉(zhuǎn)矩M=1.98kN·m,材料的許用剪應(yīng)力

[]=100MPa，剪變模量為G=80GPa，軸的許可扭角[′]=2/m.試校核軸的強(qiáng)度和剛度.DdtMM第三章扭轉(zhuǎn)3.5

圓桿的扭轉(zhuǎn)變形剛度條件解：軸的扭矩等于軸傳遞的轉(zhuǎn)矩軸的內(nèi)，外徑之比由強(qiáng)度條件

由剛度條件DdtMM第三章扭轉(zhuǎn)3.5

圓桿的扭轉(zhuǎn)變形剛度條件例題7兩端固定的圓截面桿AB，在截面C處受一個(gè)扭轉(zhuǎn)力偶矩M

的作用，如圖所示。已知桿的抗扭剛度

GIP，試求桿兩端的支反力偶矩.CMabABl第三章扭轉(zhuǎn)3.5

圓桿的扭轉(zhuǎn)變形剛度條件解：去掉約束，代之以支反力偶矩這是一次超靜定問(wèn)題，須建立一個(gè)補(bǔ)充方程.ACBMMAMBC截面相對(duì)于兩固定端A和B的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角相等.桿的變形相容條件是CMabABl第三章扭轉(zhuǎn)3.5

圓桿的扭轉(zhuǎn)變形剛度條件CMabABl（1）變形幾何方程（2）由物理關(guān)系建立補(bǔ)充方程解得ACBMMAMB?AC=BC聯(lián)解上述方程第三章扭轉(zhuǎn)3.5

圓桿的扭轉(zhuǎn)變形剛度條件例題8圖

示一長(zhǎng)為

l的組合桿，由不同材料的實(shí)心圓截面桿和空心圓截面桿組成，內(nèi)外兩桿均在線彈性范圍內(nèi)工作，其抗扭剛度GaIPa

、GbIPb

.當(dāng)此組合桿的兩端各自固定在剛性板上，并在剛性板處受一對(duì)矩為

M

的扭轉(zhuǎn)力偶的作用試求分別作用于內(nèi)、外桿上的扭轉(zhuǎn)偶矩.MMlAB第三章扭轉(zhuǎn)3.5

圓桿的扭轉(zhuǎn)變形剛度條件解：列平衡方程這是一次超靜定問(wèn)題.變形相容條件是，內(nèi)、外桿的扭轉(zhuǎn)變形應(yīng)相同.變形幾何方程是物理關(guān)系是MMMlABMaMb第三章扭轉(zhuǎn)3.5

圓桿的扭轉(zhuǎn)變形剛度條件聯(lián)解上述方程，得：MbMaMMMlAB第三章扭轉(zhuǎn)3.5

圓桿的扭轉(zhuǎn)變形剛度條件例9(書(shū)例3.5)

已知：把軸預(yù)加力偶矩m后與筒焊接，然后解除m。軸和筒的抗扭剛度分別為G1IP1和G2IP2

。解：求：軸和筒的扭矩。設(shè)外力偶矩m撤銷(xiāo)后，軸內(nèi)的扭矩和筒內(nèi)的扭矩為T(mén)

。第三章扭轉(zhuǎn)3.5

圓桿的扭轉(zhuǎn)變形剛度條件解出T1T2第三章扭轉(zhuǎn)3.5

圓桿的扭轉(zhuǎn)變形剛度條件彈簧的螺旋角5°,且D>>d,這樣的彈簧稱(chēng)為密圈螺旋彈簧.推導(dǎo)這種彈簧的應(yīng)力與變形的計(jì)算公式.一、彈簧絲橫截面上的應(yīng)力F§3-6

密圈螺旋彈簧的應(yīng)力和變形第三章扭轉(zhuǎn)3.6

圓密圈螺旋彈簧的應(yīng)力和變形FSTFPF作為近似計(jì)算，通?？陕匀ヅc剪力FS相應(yīng)的

，且D/d

很大時(shí)，還可略去簧圈曲率的影響，所以簧桿橫截面上最大切應(yīng)力為2、應(yīng)力的計(jì)算為便于分析，將桿的斜度視為0o.1、內(nèi)力的計(jì)算第三章扭轉(zhuǎn)3.6

圓密圈螺旋彈簧的應(yīng)力和變形FSTFPF第三章扭轉(zhuǎn)3.6

圓密圈螺旋彈簧的應(yīng)力和變形當(dāng)

時(shí)，

與1相比，顯然可以省略不計(jì)，從而可得：第三章扭轉(zhuǎn)3.6

圓密圈螺旋彈簧的應(yīng)力和變形3.修正公式公式修正的原因：（1)當(dāng)D/d較小,會(huì)引起很大的誤差；

（2)假定剪切引起的切應(yīng)力是均勻分布的.式中c為彈簧指數(shù),k為曲度系數(shù),可查教材中的表3.14、強(qiáng)度條件第三章扭轉(zhuǎn)3.6

圓密圈螺旋彈簧的應(yīng)力和變形若只考慮簧桿扭轉(zhuǎn)的影響，可得簧桿內(nèi)的應(yīng)變能為二、彈簧的變形

1、直桿扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能第三章扭轉(zhuǎn)3.6

圓密圈螺旋彈簧的應(yīng)力和變形3、功能原理Vε=W當(dāng)彈簧的變形為λ

時(shí)，外力所做的功為FFOλλ2、外力做的功c—彈簧剛度第三章扭轉(zhuǎn)3.6

圓密圈螺旋彈簧的應(yīng)力和變形例題10某柴油機(jī)的氣閥彈簧，簧圈平均半經(jīng)R=59.5mm，簧絲橫截面直徑d=14mm，有效圈數(shù)n=5.材料的[]=350MPa

，G=80GPa彈簧工作是總壓縮變形（包括預(yù)壓變形）為λ=55mm

試校核彈簧的強(qiáng)度.解：求出彈簧所受的壓力F為由R及d求出查表3.1查處彈簧的曲度系數(shù)k=1.17彈簧滿(mǎn)足強(qiáng)度要求.第三章扭轉(zhuǎn)3.6

圓密圈螺旋彈簧的應(yīng)力和變形非圓桿，如矩形截面桿扭轉(zhuǎn)后橫截面將發(fā)生翹曲(warping)

而不再是平面.§3-7

非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)第三章扭轉(zhuǎn)3.7

非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的研究方法：彈性力學(xué)的方法研究非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的分類(lèi)：1、自由扭轉(zhuǎn)（純扭轉(zhuǎn)），2、約束扭轉(zhuǎn)。自由扭轉(zhuǎn)：各橫截面翹曲程度不受任何約束（可自由凹凸），任意兩相鄰截面翹曲程度相同。約束扭轉(zhuǎn)：由于約束條件或受力限制，造成桿各橫截面翹曲程度不同。第三章扭轉(zhuǎn)3.7

非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)1、

橫截面上角點(diǎn)處，切應(yīng)力為零2、

橫截面邊緣各點(diǎn)處，切應(yīng)力//截面周邊3、

橫截面周邊長(zhǎng)邊中點(diǎn)處，切應(yīng)力最大矩形截面桿自由扭轉(zhuǎn)時(shí)應(yīng)力分布特點(diǎn)bhT第三章扭轉(zhuǎn)3.7

非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)（彈性力學(xué)解）系數(shù)a,b,g與h/b有關(guān)，見(jiàn)教材之表3.2長(zhǎng)邊中點(diǎn)t最大矩形截面桿自由扭轉(zhuǎn)時(shí)應(yīng)力計(jì)算第三章扭轉(zhuǎn)3.7

非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)表3.2矩形截面桿在純扭轉(zhuǎn)時(shí)的系數(shù)αβνh/b