排列與組合.版塊五.排列組合問題的常見模型1.學生版

PAGE排列組合問題的常見模型1排列組合問題的常見模型1知識內容知識內容1．基本計數(shù)原理⑴加法原理分類計數(shù)原理：做一件事，完成它有類辦法，在第一類辦法中有種不同的方法，在第二類辦法中有種方法，……，在第類辦法中有種不同的方法．那么完成這件事共有種不同的方法．又稱加法原理．⑵乘法原理分步計數(shù)原理：做一件事，完成它需要分成個子步驟，做第一個步驟有種不同的方法，做第二個步驟有種不同方法，……，做第個步驟有種不同的方法．那么完成這件事共有種不同的方法．又稱乘法原理．⑶加法原理與乘法原理的綜合運用如果完成一件事的各種方法是相互獨立的，那么計算完成這件事的方法數(shù)時，使用分類計數(shù)原理．如果完成一件事的各個步驟是相互聯(lián)系的，即各個步驟都必須完成，這件事才告完成，那么計算完成這件事的方法數(shù)時，使用分步計數(shù)原理．分類計數(shù)原理、分步計數(shù)原理是推導排列數(shù)、組合數(shù)公式的理論基礎，也是求解排列、組合問題的基本思想方法，這兩個原理十分重要必須認真學好，并正確地靈活加以應用．2．排列與組合⑴排列：一般地，從個不同的元素中任取個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列．（其中被取的對象叫做元素）排列數(shù)：從個不同的元素中取出個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從個不同元素中取出個元素的排列數(shù)，用符號表示．排列數(shù)公式：，，并且．全排列：一般地，個不同元素全部取出的一個排列，叫做個不同元素的一個全排列．的階乘：正整數(shù)由到的連乘積，叫作的階乘，用表示．規(guī)定：．⑵組合：一般地，從個不同元素中，任意取出個元素并成一組，叫做從個元素中任取個元素的一個組合．組合數(shù)：從個不同元素中，任意取出個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從個不同元素中，任意取出個元素的組合數(shù)，用符號表示．組合數(shù)公式：，，并且．組合數(shù)的兩個性質：性質1：；性質2：．（規(guī)定）⑶排列組合綜合問題解排列組合問題，首先要用好兩個計數(shù)原理和排列組合的定義，即首先弄清是分類還是分步，是排列還是組合，同時要掌握一些常見類型的排列組合問題的解法：1．特殊元素、特殊位置優(yōu)先法元素優(yōu)先法：先考慮有限制條件的元素的要求，再考慮其他元素；位置優(yōu)先法：先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他位置；2．分類分步法：對于較復雜的排列組合問題，常需要分類討論或分步計算，一定要做到分類明確，層次清楚，不重不漏．3．排除法，從總體中排除不符合條件的方法數(shù)，這是一種間接解題的方法．4．捆綁法：某些元素必相鄰的排列，可以先將相鄰的元素“捆成一個”元素，與其它元素進行排列，然后再給那“一捆元素”內部排列．5．插空法：某些元素不相鄰的排列，可以先排其它元素，再讓不相鄰的元素插空．6．插板法：個相同元素，分成組，每組至少一個的分組問題——把個元素排成一排，從個空中選個空，各插一個隔板，有．7．分組、分配法：分組問題（分成幾堆，無序）．有等分、不等分、部分等分之別．一般地平均分成堆（組），必須除以！，如果有堆（組）元素個數(shù)相等，必須除以！8．錯位法：編號為1至的個小球放入編號為1到的個盒子里，每個盒子放一個小球，要求小球與盒子的編號都不同，這種排列稱為錯位排列，特別當，3，4，5時的錯位數(shù)各為1，2，9，44．關于5、6、7個元素的錯位排列的計算，可以用剔除法轉化為2個、3個、4個元素的錯位排列的問題．1．排列與組合應用題，主要考查有附加條件的應用問題，解決此類問題通常有三種途徑：①元素分析法：以元素為主，應先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素；②位置分析法：以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置；③間接法：先不考慮附加條件，計算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)或組合數(shù)．求解時應注意先把具體問題轉化或歸結為排列或組合問題；再通過分析確定運用分類計數(shù)原理還是分步計數(shù)原理；然后分析題目條件，避免“選取”時重復和遺漏；最后列出式子計算作答．2．具體的解題策略有：①對特殊元素進行優(yōu)先安排；②理解題意后進行合理和準確分類，分類后要驗證是否不重不漏；③對于抽出部分元素進行排列的問題一般是先選后排，以防出現(xiàn)重復；④對于元素相鄰的條件，采取捆綁法；對于元素間隔排列的問題，采取插空法或隔板法；⑤順序固定的問題用除法處理；分幾排的問題可以轉化為直排問題處理；⑥對于正面考慮太復雜的問題，可以考慮反面．⑦對于一些排列數(shù)與組合數(shù)的問題，需要構造模型．典例分析典例分析排隊問題三個女生和五個男生排成一排⑴如果女生必須全排在一起，可有多少種不同的排法？⑵如果女生必須全分開，可有多少種不同的排法？⑶如果兩端都不能排女生，可有多少種不同的排法？個人站成一排：⑴其中甲、乙兩人必須相鄰有多少種不同的排法？⑵其中甲、乙兩人不相鄰有多少種不同的排法？⑶其中甲、乙兩人不站排頭和排尾有多少種不同的排法？⑷其中甲不站排頭，且乙不站排尾有多少種不同的排法？7名同學排隊照相．⑴若分成兩排照，前排3人，后排4人，有多少種不同的排法？⑵若排成兩排照，前排3人，后排4人，但其中甲必須在前排，乙必須在后排，有多少種不同的排法？⑶若排成一排照，甲、乙、丙三人必須相鄰，有多少種不同的排法？⑷若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相鄰，有多少種不同的排法？個隊員排成一排，⑴共有多少種不同的排法？⑵若甲必須站在排頭，有多少種不同的排法？⑶若甲不能站排頭，也不能站排尾，問有多少種不同的排法？五個字母排成一排，若的位置關系必須按A在前、B居中、C在后的原則，共有_______種排法（用數(shù)字作答）．用1到8組成沒有重復數(shù)字的八位數(shù)，要求1與2相鄰，3與4相鄰，5與6相鄰，而7與8不相鄰，這樣的八位數(shù)共有___個（用數(shù)字作答）．記者要為名志愿者和他們幫助的位老人拍照，要求排成一排，位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有（）A．種 B．種 C．種 D．種名同學合影，站成前排人后排人，現(xiàn)攝影師要從后排人中抽人調整到前排，若其他人的相對順序不變，則不同調整方法的總數(shù)是（）A． B． C． D．記者要為5名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有（）A．1440種 B．960種 C．720種 D．480種在數(shù)字與符號五個元素的所有全排列中，任意兩個數(shù)字都不相鄰的全排列個數(shù)是（）A． B． C． D．計劃展出10幅不同的畫，其中1幅水彩、4幅油畫、5幅國畫，排成一列陳列，要求同一品種的畫必須連在一起，并且水彩畫不放在兩端，那么不同的陳列方式有_____種．6人站一排，甲不站在排頭，乙不站在排尾，共有_________種不同的排法（用數(shù)字作答）．一條長椅上有7個座位，4人坐，要求3個空位中，有2個空位相鄰，另一個空位與2個相鄰位不相鄰，共有幾種坐法？位男生和位女生共位同學站成一排，若男生甲不站兩端，位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是（）A． B． C． D．古代“五行”學說認為：“物質分金、木、土、水、火五種屬性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”將五種不同屬性的物質任意排成一列，但排列中屬性相克的兩種物質不相鄰，則這樣的排列方法有種（結果用數(shù)值表示）．在的任一排列中，使相鄰兩數(shù)都互質的排列方式共有（）種．A．B．C．D．從集合與中各任取2個元素排成一排（字母和數(shù)字均不能重復）．每排中字母和數(shù)字至多只能出現(xiàn)一個的不同排法種數(shù)是_________．（用數(shù)字作答）從集合與中各任取個元素排成一排（字母和數(shù)字均不能重復）．每排中字母和數(shù)字至多只能出現(xiàn)一個的不同排法種數(shù)是_________．（用數(shù)字作答）個人坐在一排個座位上，問⑴空位不相鄰的坐法有多少種?⑵個空位只有個相鄰的坐法有多少種?⑶個空位至多有個相鄰的坐法有多少種?位男生和位女生共位同學站成一排，若男生甲不站兩端，位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是（）A． B． C． D．12名同學合影，站成了前排4人后排8人，現(xiàn)攝影師要從后排8人中抽2人調整到前排，其他人的相對順序不變，則不同調整的方法的總數(shù)有（）A．B．C．D．兩部不同的長篇小說各由第一、二、三、四卷組成，每卷本，共本．將它們任意地排成一排，左邊本恰好都屬于同一部小說的概率是_______．年月中旬，我國南方一些地區(qū)遭遇歷史罕見的雪災，電煤庫存吃緊．為了支援南方地區(qū)抗災救災，國家統(tǒng)一部署，加緊從北方采煤區(qū)調運電煤．某鐵路貨運站對列電煤貨運列車進行編組調度，決定將這列列車編成兩組，每組列，且甲與乙兩列列車不在同一小組．如果甲所在小組列列車先開出，那么這列列車先后不同的發(fā)車順序共有（）A．種B．種C．種D．種數(shù)字問題給定數(shù)字、、、、、，每個數(shù)字最多用一次，⑴可能組成多少個四位數(shù)？⑵可能組成多少個四位奇數(shù)？⑶可能組成多少個四位偶數(shù)？⑷可能組成多少個自然數(shù)？用0到9這10個數(shù)字，可組成多少個沒有重復數(shù)字的四位偶數(shù)？在1，3，5，7，9中任取3個數(shù)字，在0，2，4，6，8中任取兩個數(shù)字，可組成多少個不同的五位偶數(shù)．用排成一個數(shù)字不重復的五位數(shù)，滿足的五位數(shù)有多少個？用這十個數(shù)字組成無重復數(shù)字的四位數(shù)，若千位數(shù)字與個位數(shù)字之差的絕對值是，則這樣的四位數(shù)共有多少個？用數(shù)字組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)，其中個位、十位和百位上的數(shù)字之和為偶數(shù)的四位數(shù)共有______個（用數(shù)學作答）．有張分別標有數(shù)字的紅色卡片和張分別標有數(shù)字的藍色卡片，從這張卡片中取出張卡片排成一行．如果取出的張卡片所標數(shù)字之和等于，則不同的排法數(shù)一共有種．；有張卡片分別標有數(shù)字，，，，，，，，從中取出張卡片排成行列，要求行中僅有中間行的兩張卡片上的數(shù)字之和為，則不同的排法共有（）A．種 B．種 C．種 D．種有張分別標有數(shù)字的紅色卡片和張分別標有數(shù)字的藍色卡片，從這張卡片中取出張卡片排成一行．如果取出的張卡片所標數(shù)字之和等于，則不同的排法共有____種（用數(shù)字作答）．用1，2，3，4，5，6組成六位數(shù)（沒有重復數(shù)字），要求任何相鄰兩個數(shù)字的奇偶性不同，且1和2相鄰，這樣的六位數(shù)的個數(shù)是__________（用數(shù)字作答）．用數(shù)字可以組成沒有重復數(shù)字，并且比大的五位偶數(shù)共有（）A．個B．個C．個D．個從這個數(shù)中，取出兩個，使其和為偶數(shù)，則共可得到個這樣的不同偶數(shù)？求無重復數(shù)字的六位數(shù)中，能被整除的數(shù)有______個．用數(shù)字組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)，其中個位、十位和百位上的數(shù)字之和為偶數(shù)的四位數(shù)共有個（用數(shù)學作答）．從這六個數(shù)字中任取兩個奇數(shù)和兩個偶數(shù)，組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)為（）A．B．C．D．從這六個數(shù)字中任取兩個奇數(shù)和兩個偶數(shù)，組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)為（）A．B．/r/