高考總復(fù)習(xí)走向清北課件45數(shù)學(xué)空間點(diǎn)-直線-平面之間的位置關(guān)系

共

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頁1

第四十五講空間點(diǎn)?直線?平面之間的位置關(guān)系共

50

頁2回歸課本共

50

頁31.平面的基本性質(zhì)公理1:如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線在

這個(gè)平面內(nèi).公理2:過不在同一直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.注意:公理3:如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只

有一條過該點(diǎn)的公共直線.(1)過一條直線和直線外一點(diǎn)(2)經(jīng)過兩條相交直線

均有且只有一個(gè)平面(3)經(jīng)過兩條平行直線用途公理1①證明點(diǎn)在平面內(nèi)②證明直線在平面內(nèi)公理2①確定平面的條件②證明有關(guān)點(diǎn)、線共面問題公理3①確定兩個(gè)平面的交線②證明三點(diǎn)共線或三線共點(diǎn)共

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頁4注意:異面平行無公共點(diǎn)異面共

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頁52.空間直線與直線的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系:①共面與否②公共點(diǎn)個(gè)數(shù)

平行共面

相交

一個(gè)公共點(diǎn):相交

共

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頁6

(2)公理4(平行公理):平行于同一直線的兩條直線互相平行.(3)公理5:空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對應(yīng)平行,那么這兩

個(gè)角相等或互補(bǔ).共

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頁7(4)異面直線的夾角:①定義:已知兩條異面直線a、b經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O作直線

a′∥a,b′∥b,我們把兩相交直線a′,b′所成的銳角(或直角)叫

做異面直線a、b所成的角(或夾角).

2特別地:如果兩異面直線所成的角是90°,我們就稱這兩條直

線互相垂直,記作a⊥b.共

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頁83.空間中的直線與平面的位置關(guān)系

直線在平面內(nèi)有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)

直線在平面外

公共點(diǎn)

共

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頁94.平面與平面的位置關(guān)系有兩種

平行無公共點(diǎn)

共

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頁10注意:符合語言:(1)點(diǎn)與線:A∈l,A?l.(2)點(diǎn)與面:A∈α,A?α.(3)線與線:l1∥l2,l1∩l2=O,l1與l2異面.(4)線與面:l?α,l?α(l∩α=A,或l∥α).(5)面與面:α∥β,α∩β=l.共

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頁11考點(diǎn)陪練共

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頁121.下列命題中正確的是()A.三點(diǎn)確定一個(gè)平面B.兩條直線確定一個(gè)平面C.兩兩相交的三條直線一定在同一平面內(nèi)D.過同一點(diǎn)的三條直線不一定在同一平面內(nèi)解析:A、B、C均不滿足公理2及其推論,故D正確.答案:D共

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頁132.若A表示點(diǎn),a表示直線,α、β表示平面,則下列表述中,錯(cuò)誤的是()A.a?α,A∈a?A∈αB.a?α,A∈a?A?αC.A∈α,A∈β,α∩β=a?A∈aD.A∈a,A?α?a?α共

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頁14解析:a?α的含義是a上所有點(diǎn)都在平面α上,故A正確;反之直

線a上有一點(diǎn)不在α上,就說明a?α,故D正確,但是a?α并不

代表所有點(diǎn)都不在α上,故B錯(cuò)誤.C就是公理3,故C正確.答案:B共

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頁153.給出下面四個(gè)命題:①如果直線a∥c,b∥c,那么a,b可以確定一個(gè)平面;②如果直線a和b都與直線c相交,那么a,b可以確定一個(gè)平面;③如果a⊥c,b⊥c,那么a,b可以確定一個(gè)平面;④直線a過平面α內(nèi)一點(diǎn)與平面α外一點(diǎn),直線b在平面α內(nèi)不

過該點(diǎn),那么a和b是異面直線.共

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頁16上述命題中,真命題的個(gè)數(shù)是()A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)解析:①中,由公理4知,a∥b,故①正確;②中,a,b可能異面,故②

錯(cuò)誤;③中,a,b可能異面,故③錯(cuò)誤;④正確.答案:B共

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頁174.在正方體ABCD—A′B′C′D′中,E?F分別為棱AA′?CC′的中點(diǎn),則在空間中與三條直線A′D′?EF?CD都相交的直線()A.不存在C.有且只有三條B.有且只有兩條D.有無數(shù)條共

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頁18解析:在A′D′延長線上取一點(diǎn)H,使A′D′=D′H,在DC延長線上取

一點(diǎn)G,使CG=2DC,連接HG與EF交于一點(diǎn),延長DC.連接D′F必與DC延長線相交,延長D′A′,連接DE必與D′A′延長

線相交.連接A′C與EF交于EF中點(diǎn),故選D.答案:D共

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頁195.三條直線兩兩垂直,那么在下列四個(gè)結(jié)論中,正確的結(jié)論共有()①這三條直線必共點(diǎn);②其中必有兩條是異面直線;③三條直

線不可能共面;④其中必有兩條在同一平面內(nèi)A.4個(gè)C.2個(gè)B.3個(gè)D.1個(gè)共

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頁20解析:(1)三條直線兩兩垂直時(shí),它們可能共點(diǎn)(如正方體同一個(gè)

頂點(diǎn)上的三條棱),也可能不共點(diǎn)(如正方體ABCD—

A1B1C1D1中的棱AA1,AB,BC),故結(jié)論①不正確,也說明必

有結(jié)論②不正確;如果三條直線在同一個(gè)平面內(nèi),根據(jù)平面

幾何中的垂直于同一條直線的兩條直線平行,就導(dǎo)出了其

中兩條直線既平行又垂直的矛盾結(jié)論,故三條直線不可能

在同一個(gè)平面內(nèi),結(jié)論③正確;共

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頁21三條直線兩兩垂直,這三條直線可能任何兩條都不相交,即任

意兩條都異面(如正方體ABCD—A1B1C1D1中的棱AA1,BC

和C1D1),故結(jié)論④不正確.故選D.答案:D共

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頁22類型一點(diǎn)共線問題解題準(zhǔn)備:證明共線問題的常用方法(1)可由兩點(diǎn)連一條直線,再驗(yàn)證其他各點(diǎn)均在這條直線上;(2)可直接驗(yàn)證這些點(diǎn)都在同一條特定的直線上——相交兩平

面的唯一交線,關(guān)鍵是通過繪出圖形,作出兩個(gè)適當(dāng)?shù)钠矫?/p>

或輔助平面,證明這些點(diǎn)是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn).共

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頁23【典例1】

已知正方體ABCD—A1B1C1D1中,E?F分別為

D1C1?C1B1的中點(diǎn),AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求證:(1)D?B?F?E四點(diǎn)共面;(2)若A1C交平面DBFE于R點(diǎn),則P?Q?R三點(diǎn)共線.共

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頁24[解]

(1)如圖所示,因?yàn)?/p>

是EF

D1B1C1的中位線,所以EF∥B1D1.在正方體AC1中,B1D1∥BD,所以EF∥BD.所以EF,BD確定一個(gè)平面,即D?B?F?E四點(diǎn)共面.共

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頁25(2)在正方體AC1中,設(shè)A1ACC1確定的平面為α,又設(shè)平面

BDEF為β.因?yàn)镼∈A1C1,所以Q∈α,又Q∈EF,所以Q∈β.則Q是α與β的公共點(diǎn),同理,P點(diǎn)也是α與β的公共點(diǎn).所以α∩β=PQ.又A1C∩β=R,所以R∈A1C,R∈α且R∈β,則R∈PQ,故P?Q?R三點(diǎn)共線.共

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頁26類型二線共點(diǎn)問題解題準(zhǔn)備:證明共點(diǎn)問題,常用的方法是:先證其中兩條直線交

于一點(diǎn),再證交點(diǎn)在第三條直線上,有時(shí)也可將問題轉(zhuǎn)化為

證明三點(diǎn)共線.共

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頁27【典例2】

如圖所示,已知正方體ABCD—A1B1C1D1中,E?F

分別為棱AB,AA1的中點(diǎn).求證:三條直線DA,CE,D1F交于一點(diǎn).共

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頁28

[證明]

直線DA?平面AD1,直線D1F?平面AD1,顯然直線DA

與直線D1F不平行,設(shè)直線DA與直線D1F交于點(diǎn)M.同樣,直線DA與直線CE都在平面AC內(nèi)且不平行,設(shè)直線AD與

直線CE相交于點(diǎn)M′.又E?F為棱AB?AA1的中點(diǎn),∴易知MA=AD,M′A=AD,所以M?

M′為直線AD上的同一點(diǎn),因此,三條直線DA?CE?D1F交于一點(diǎn).共

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頁29

[反思感悟]

設(shè)直線DA與直線D1F交于點(diǎn)M,直線DA與直線

CE交于M′,再證明M,M′重合.證明三線共點(diǎn),可以先說明其中兩條交于一點(diǎn)M,另兩條交于

一點(diǎn)N,再想法證明M,N兩點(diǎn)重合.另一種方法是:先證明其

中兩條直線交于一點(diǎn),再證明這個(gè)點(diǎn)在第三條直線上.如本

題可先說明直線CE和直線D1F共面且交于一點(diǎn)P,而點(diǎn)P既

在平面AD1內(nèi),也在平面AC內(nèi),所以點(diǎn)P在它們的交線AD上.共

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頁30類型三線共面問題解題準(zhǔn)備:證明共面問題的常用方法證明若干條線(或若干個(gè)點(diǎn))共面,一般來說有兩種途徑:一是

首先由題給條件中的部分線(或點(diǎn))確定一個(gè)平面,然后再證

明其余的線(或點(diǎn))均在這個(gè)平面內(nèi);二是將所有元素分為幾

個(gè)部分,然后分別確定幾個(gè)平面,再證這些平面重合.共

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頁31【典例3】

已知:a,b,c,d是不共點(diǎn)且兩兩相交的四條直線,求

證:a,b,c,d共面.[證明]

弄清楚四條直線不共點(diǎn)且兩兩相交的含義:四條直線

不共點(diǎn),包括有三條直線共點(diǎn)的情況;兩兩相交是指任何兩

條直線都相交.共

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頁32

(1)當(dāng)四條直線中有三條相交于一點(diǎn)時(shí),不妨設(shè)a,b,c相交于一

點(diǎn)A,∴直線d和A確定一個(gè)平面α.(如右圖)又設(shè)直線d與a,b,c分別相交于E,F,G,則A,E,F,G∈α,∵A,E∈α,A,E∈a,∴a∈α.同理可證b?α,c?α,∴a,b,c,d在同一平面α內(nèi).共

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頁33

(2)當(dāng)四條直線中任何三條都不共點(diǎn)時(shí),如右圖.∵這四條直線兩兩相交,則設(shè)相交直線a,b確定一個(gè)平面α.設(shè)直線c與a,b分別交于點(diǎn)H,K,則H,K∈α.又∵H,K∈c,∴c?α.同理可證d?α.∴a,b,c,d四條直線在同一平面α內(nèi).共

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頁34

[反思感悟]

證明若干條線(或若干個(gè)點(diǎn))共面,一般來說有兩

種途徑:一是首先由題給條件中的部分線(或點(diǎn))確定一個(gè)平

面,然后再證明其余的線(或點(diǎn))均在這個(gè)平面內(nèi);二是將所有元素分為幾個(gè)部分,然后分別確定幾個(gè)平面,再

證這些平面重合.本題最容易忽視“三線共點(diǎn)”這一種情

況.因此,在分析題意時(shí),應(yīng)仔細(xì)推敲問題中每一句話的含義.共

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頁35類型四異面直線所成的角解題準(zhǔn)備:1.求異面直線所成的角,關(guān)鍵是將其中一條直線平

移到某個(gè)位置使其與另一條直線相交,或?qū)蓷l直線同時(shí)

平移到某個(gè)位置,使其相交.平移直線的方法有:①直線平移,

②中位線平移,③補(bǔ)形平移.2.求異面直線所成的角的一般步驟:一作:即據(jù)定義作平行線,

作出異面直線所成的角;二證:即證明作出的角是異面直線

所成的角;三求:在三角形中求得直線所成的角的某個(gè)三角

函數(shù)值.,AC

共

50

頁36【典例4】

在空間四邊形ABCD中,已知AD=1,BC=AD⊥BC,對角線求AC和BD所成的角.3

,且,13

32

2BD

共

50

頁37

[解]

作平行線,找與異面直線所成的角相等的平面角,將空間

問題轉(zhuǎn)化為平面問題.如圖,分別取AD?CD?AB?BD的中點(diǎn)E?F?G?H,連接EF?FH?

HG?GE?GF.13

.GE和EF所成的銳角(或直角)就是AC和BD所成共

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頁38GE=的角.344

1

3同理,

,GH∥AD,HF∥BC.

2

2又AD⊥BC,∴∠GHF=90°,∴GF2=GH2+HF2=1.共

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頁39在△EFG中EG2+EF2=1=GF2,∴∠GEF=90°,即AC和BD所成的角為90°.共

50

頁40[反思感悟]

立體幾何中,計(jì)算問題的一般步驟:(1)作圖;(2)證

明;(3)計(jì)算.求異面直線所成的角常采用“平移線段法”,平

移的解法一般有三種類型:利用圖中已有的平行線平移;利

用特殊點(diǎn)(線段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線平移;補(bǔ)形平移.計(jì)

算異面直線所成的角通常放在三角形中進(jìn)行.41錯(cuò)源一基本性質(zhì)理解不到位【典例1】

下列說法正確的有()(1)在凹凸不平的地面上使用四條腿的凳子比三條腿的凳子更

平穩(wěn);(2)兩個(gè)平面有可能只有一個(gè)公共點(diǎn);(3)如果有n條直線都平行于某一條直線,那么這n+1條直線一

定互相平行.A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)

D.3個(gè)共

50

頁共

50

頁42

[剖析]

錯(cuò)解對于基本性質(zhì)理解不到位.在凹凸不平的地面上

使用凳子是否平穩(wěn)并不取決于凳子腿個(gè)數(shù)的多少,由基本

性質(zhì)2可知,三條腿的凳子更平穩(wěn);兩個(gè)平面不可能只有一

個(gè)公共點(diǎn),由基本性質(zhì)3可知,如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn),

那么它們有且僅有一條通過這個(gè)公共點(diǎn)的公共直線,也就

是說,如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn),則它們一定有無數(shù)個(gè)公

共點(diǎn);由基本性質(zhì)4可知,如果有n條直線都平行于某一條直

線,那么這n+1條直線一定互相平行.[正解]

B共

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頁43錯(cuò)源二

對基本性質(zhì)及其推論的使用條件不當(dāng)而致誤【典例2】

如圖,已知直線a,b,c,a∥b,a∩c=A,b∩c=B,求

證:a,b,c三條直線共面.[錯(cuò)證]

因?yàn)閍∥b,所以a,b共面,因?yàn)閍∩c=A,所以a,c共面,因?yàn)閎∩c=B,所以b,c共面.所以a,b,c三條直線共面.共

50

頁44

[剖析]

上述“證明”中出現(xiàn)了三次共面,設(shè)為α1,α2,α3,由于

無法得知α1,α2,α3是否為同一平面,因此,不能說a,b,c三條

直線共面.[證明]

因?yàn)閍∥b,所以a,b可確定一個(gè)平面,設(shè)為α.因?yàn)棣痢蒫=A,所以A∈a,又a?α,所以A∈α,同理B∈α,故

AB?α,即c?α.于是a,b,c在同一平面α內(nèi),即a,b,c三條直線共面.共

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頁45技法一快速解題(動(dòng)手操作)【典例1】

已知直線a與直線b相交于點(diǎn)P,a與b夾角(交角中

不大于90°的角)為60°,試問空間中過點(diǎn)P的所有直線中:(1)與直線a、b夾角均為10°的直線有________條;(2)與直線a、b夾角均為30°的直線有________條;(3)與直線a、b夾角均為45°的直線有________條;(4)與直線a、b夾角均為60°的直線有________條;(5)與直線a、b夾角均為80°的直線有________條;(6)與直線a、b夾角均為90°的直線有________條.共

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頁46

[解題切入點(diǎn)]

憑借空間想象能力,結(jié)合動(dòng)手操作直線模型(選

用幾支鉛筆作直線模型),本題即可輕松獲解.[解析