實變函數(shù)試題庫()及參考標(biāo)準(zhǔn)答案

實變函數(shù)試題庫0及參考答案作者:日期:

實變函數(shù)試題庫及參考答案（3）本科一、填空題設(shè)A,B為集合，則（B\AIB）UA—AUB設(shè)A為無理數(shù)集，則A_c（其中c表示自然數(shù)集［0,l］的基數(shù)）設(shè)Euin，如果E中沒有不是內(nèi)點的點，則稱E是任意個閉集的交是可測,設(shè)f（x）是定義在可測集E上的實函數(shù)，如果VaG1，E［x\a<f（x）<b是可測,（a<b）則稱f（x）在E上6.可測函數(shù)列的上確界也是7.設(shè)f(x)nf(x)，g(x)ng(x)a.e.，則f(x)/g(x)nnnn'n8設(shè)f（8設(shè)f（x）nf（x），那么由黎斯定理,n{f(x)}有子列f(x)nni^使.a.e.于E、選擇題1?下列集合關(guān)系成立的是（）aeAAc'awAaa7aawAawAcawAD(aeAAc'awAaa7aawAawAcawAD(IAc|c=UacawAa7aawA設(shè)EuRn，貝y()BE'uECEuE'設(shè)P為康托集，則（）AP是可數(shù)集BmPAP是可數(shù)集BmP=04?下列集合關(guān)系成立的是()A若AuB則BeuAcC若AuB則AIB=BCP是不可數(shù)集DP是開集B若AuB則AcuBeD若AuB則AUB=B三、多項選擇題(每題至少有兩個以上的正確答案)1.設(shè)D1.設(shè)D(x)是狄利克萊函數(shù),即D(x)=x為【0,1］中有理數(shù)x為【0,1］中無理數(shù)，則AD(AD(x)幾乎處處等于1BD(x)幾乎處處等于0CDCD(x)是非負(fù)可測函數(shù)DD(x)是L可積函數(shù)2.設(shè)Euin,m*E=0，則()AE是可測集BE的任何子集是可測集AE是可測集BE的任何子集是可測集「1xeE3?設(shè)Euin，”e(x)=[°xeEe，則(A當(dāng)E是可測集時，X(x)是可測函數(shù)ECE是可數(shù)集DE不一定是可數(shù)集)B當(dāng)X(x)是可測函數(shù)時，E是可測集EC當(dāng)E是不可測集時，X(x)可以是可測函數(shù)ED當(dāng)X(x)是不是可測函數(shù)時，E不一定是可測集E4.設(shè)f(x)是(a,b)上的連續(xù)函數(shù)，則()Af(Af(x)在(a,b)上有界Bf(x)在(a,b)上可測CfCf(x)在(a,b)上L可積Df(x)在(a,b)上不一定L可積四、判斷題1.對等的集合不一定相等.()2.稱f(x),g(x)在E上幾乎處處相等是指使f(x人g(x)的x全體是零測集.()3.可數(shù)個開集的交是開集()4.可測函數(shù)不一定是連續(xù)函數(shù).()5.對等的集合有相同的基數(shù).()五、定義題1.簡述證明集合對等的伯恩斯坦定理.2.簡述R1中開集的結(jié)構(gòu).F3.可測集與閉集、F集有什么關(guān)系?為什么說絕對連續(xù)函數(shù)幾乎處處可微?六、計算題1.設(shè)f(x)x3cosxc兀E為°<2中有理數(shù)集，求If(x)dx.0,2.設(shè)f(x)nnxcos(nx)【0,1],求limIf(x)dx.【0,1]七、證明題1.設(shè)f(x)是E上的可測函數(shù)，則對任何常數(shù)a>0，有mE[xIf(x)>a]<e-afef(x)dxE2.設(shè)f(x)是E上的可積函數(shù)，｛E｝為E的一列可測子集，mEv+s,如果limmE二mEnnns則limf則limff(x)dx=ff(x)dxnsEn3證明集合等式：(AUB)\C=(A\C)U(B\C)4.設(shè)EuRn是零測集，則E的任何子集F是可測集，且mF=05.證明：Ri上的實值連續(xù)函數(shù)f(x)必為Ri上的可測函數(shù)

本科實變函數(shù)試題庫及參考答案(3)一、填空題1.=2.=3.開集4.閉集5.可測6.可測函數(shù)7.f(x)/g(x)8.f(x)Tf(x)''nk二、單選題1.B2.A3.B4.A三、多選題1.BCD2.ABD3.AB4.BD四、判斷題五、定義題1.答：若A:B*uB，又B:A*uA，則A:B2?答：設(shè)G為Ri中開集，則G可表示成Ri中至多可數(shù)個互不相交的開區(qū)間的并.3?答：設(shè)E是可測集，則0,3閉集FuE，使m(E\F)<e或3仁集FuE,m(E\F)=0使4?答：因為絕對連續(xù)函數(shù)是有界變差，由若當(dāng)分解定理，它可表示成兩個單調(diào)增函數(shù)的差,而單調(diào)函數(shù)幾乎處處有有限的導(dǎo)數(shù)，所以絕對連續(xù)函數(shù)幾乎處處可微.六、解答題1解：因為mE0，所以fxcosx,a.e于0,1于是fXdxcosxdx%%而cosx在0,上連續(xù)，所以黎曼可積，由牛頓萊布尼公式cosxdx0,12cosxdx0,12cosxdx0sinx210因此fXdx12.解:因為X在0,1上連續(xù)，所以可測n1,2Lnxcosnxn2X2.解:因為X在0,1上連續(xù)，所以可測n1,2Lnxcosnxn2X2nx1n2X2nx2nx2,x0,1,n1,2L乙nx而lim1n2x20,所以1imfxn因此由有界控制收斂定理limfxdxnn0,1limflimfxdxnn0,1limfn0,1xdx0dx00,1七、證明題1?證明因為f(x)在E上可測，所以ef(x)是非負(fù)可測函數(shù)，于是由非負(fù)可測函數(shù)積分性質(zhì),

E[xlf(x)>a]E[xlf(x)>a]eadx<E[xlf(x)>a]ef(x)dx<ef(x)dx而Jeadx=ea-mE[x丨f(x)>a],E[xlf(x)>a]所以mE[x丨f(x)>a]<e-aJef(x)dxE2?證明因f(x)在E上L-可積，由積分的絕對連續(xù)性知，對任意￡>0,存在5>0,對任何A匸E，當(dāng)mA<5時有l(wèi)Jf(x)dxl<￡，由于limmE=mE<，故對上述的Ansn存在k，當(dāng)n>k時E匸E，且有mE一mE=m(E一E)<5，于是TOC\o"1-5"\h\z00nnnlJf(x)dx-Jf(x)dxl=lJf(x)dxl<￡,EEE-EnnlimJf(x)dx=Jf(x)dxnsEEn3.證明(AUB)\C二(AUB)ICc二(AIC)U(BIC)3.證明證明設(shè)FuE，m*E=0，由外測度的單調(diào)性和非負(fù)性，0<m*F<mE=0，所以m*F=0，于是由卡氏條件易知F是可測集證明Va,bgRi，不妨假設(shè)a<b，因為f(x)是Ri上的