磁場(chǎng)強(qiáng)度瞬時(shí)坡印廷矢量

關(guān)于磁場(chǎng)強(qiáng)度瞬時(shí)坡印廷矢量第1頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)13分，星期五2022/11/92第七章時(shí)變電磁場(chǎng)作業(yè)：7-8，7-9，7-11，7-14，第2頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)13分，星期五2022/11/9電磁場(chǎng)與電磁波3

對(duì)于復(fù)能流密度矢量，應(yīng)著重介紹其實(shí)部和虛部的物理意義，以及電場(chǎng)和磁場(chǎng)之間的相位差對(duì)于復(fù)能流密度矢量的影響

講解正弦電磁場(chǎng)的復(fù)矢量表示方法時(shí)，應(yīng)強(qiáng)調(diào)僅適用于頻率相同的場(chǎng)量之間的運(yùn)算。此外，還應(yīng)指出該教材使用的時(shí)間因子是，而不是。同時(shí)指出使用不同的時(shí)間因子，將導(dǎo)致麥克斯韋方程的形式不同。第3頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)13分，星期五2022/11/9電磁場(chǎng)與電磁波48.正弦電磁場(chǎng)

時(shí)變電磁場(chǎng)既是空間坐標(biāo)的函數(shù)，又是時(shí)間的函數(shù)。例如，電場(chǎng)強(qiáng)度的一般表達(dá)式表示為：第4頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)13分，星期五2022/11/9電磁場(chǎng)與電磁波58.正弦電磁場(chǎng)

正弦電磁場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)方向與時(shí)間無(wú)關(guān)，但其大小隨時(shí)間的變化規(guī)律為正弦函數(shù)，式中，Em(r)

為正弦時(shí)間函數(shù)的振幅；

為角頻率；e(r)

為正弦函數(shù)的初始相位。

任一周期性或非周期性的時(shí)間函數(shù)在一定條件下均可分解為很多正弦函數(shù)之和。因此，著重討論正弦電磁場(chǎng)是具有實(shí)際意義的。

正弦電磁場(chǎng)又稱為時(shí)諧電磁場(chǎng)。即第5頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)13分，星期五2022/11/9電磁場(chǎng)與電磁波68.正弦電磁場(chǎng)

在實(shí)際問(wèn)題中，碰到最多的是隨時(shí)間做正弦變化的電磁場(chǎng)。另外，在線性媒質(zhì)中一些非正弦時(shí)間函數(shù)可根據(jù)傅里葉方法分解許多正弦函數(shù)的線性疊加。所以研究正弦電磁場(chǎng)是研究時(shí)變電磁場(chǎng)的基礎(chǔ)。電場(chǎng)和磁場(chǎng)的每一個(gè)坐標(biāo)分量，都隨時(shí)間以相同的頻率做正弦變化（亦簡(jiǎn)稱變化），則成為正弦電磁場(chǎng)（時(shí)諧場(chǎng)）第6頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)13分，星期五2022/11/9電磁場(chǎng)與電磁波7

已知場(chǎng)的變化落后于源，但是場(chǎng)與源的時(shí)間變化規(guī)律相同，所以正弦電磁場(chǎng)的場(chǎng)和源的頻率相同。

對(duì)于頻率相同的正弦量之間的運(yùn)算可以采用復(fù)矢量方法，即僅考慮正弦量的振幅和空間相位

，而略去時(shí)間相位t

。瞬時(shí)矢量和復(fù)矢量的關(guān)系為正弦電磁場(chǎng)是由正弦的時(shí)變電荷與電流產(chǎn)生的。

電場(chǎng)強(qiáng)度可用一個(gè)與時(shí)間無(wú)關(guān)的復(fù)矢量表示為第7頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)13分，星期五2022/11/9電磁場(chǎng)與電磁波8實(shí)際中使用有效值，以表示有效值，則式中最大值復(fù)矢量和有效值復(fù)矢量的之間的關(guān)系為復(fù)矢量?jī)H為空間函數(shù)，與時(shí)間無(wú)關(guān)。

只有頻率相同的正弦量之間才能使用復(fù)矢量的方法進(jìn)行運(yùn)算。第8頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)13分，星期五2022/11/9電磁場(chǎng)與電磁波99.麥克斯韋方程的復(fù)矢量形式

已知正弦電磁場(chǎng)的場(chǎng)與源的頻率相同，因此可用復(fù)矢量形式表示麥克斯韋方程。考慮到正弦時(shí)間函數(shù)的時(shí)間導(dǎo)數(shù)為或因此，麥克斯韋第一方程可表示為第9頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)13分，星期五2022/11/9電磁場(chǎng)與電磁波10

上式對(duì)于任何時(shí)刻均成立，虛部符號(hào)可以消去，即同理可得

上述方程稱為麥克斯韋方程的復(fù)矢量形式，式中各量均為有效值。第10頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)13分，星期五2022/11/9電磁場(chǎng)與電磁波11瞬時(shí)形式(r,t)復(fù)數(shù)形式(r)第11頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)13分，星期五2022/11/9電磁場(chǎng)與電磁波12場(chǎng)量復(fù)數(shù)表達(dá)形式和瞬時(shí)（實(shí)數(shù)）形式相互轉(zhuǎn)換場(chǎng)量的復(fù)數(shù)形式：場(chǎng)量的瞬時(shí)形式：

場(chǎng)量的復(fù)數(shù)形式轉(zhuǎn)換為實(shí)數(shù)形式的方法：第12頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)13分，星期五2022/11/9電磁場(chǎng)與電磁波13

例已知某真空區(qū)域中的時(shí)變電磁場(chǎng)的電場(chǎng)瞬時(shí)值為試求磁場(chǎng)強(qiáng)度的復(fù)矢量形式。第13頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)13分，星期五2022/11/9電磁場(chǎng)與電磁波14解根據(jù)時(shí)變電場(chǎng)瞬時(shí)值，求得其有效值的復(fù)矢量形式為由于電場(chǎng)僅有y分量，且。那么又知第14頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)13分，星期五2022/11/9電磁場(chǎng)與電磁波15

例已知電場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量解：其中kz和Exm為實(shí)常數(shù)。寫出電場(chǎng)強(qiáng)度的瞬時(shí)矢量第15頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)13分，星期五2022/11/9電磁場(chǎng)與電磁波16例已知電場(chǎng)強(qiáng)度為其中Exm和kz為實(shí)常數(shù)。寫出電場(chǎng)強(qiáng)度的瞬時(shí)矢量。解：第16頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)13分，星期五2022/11/9電磁場(chǎng)與電磁波1710.位函數(shù)的復(fù)矢量形式

對(duì)于正弦函數(shù)，時(shí)間滯后因子表現(xiàn)的相位滯后為 。（時(shí)間相位）令則第17頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)13分，星期五2022/11/9電磁場(chǎng)與電磁波18洛倫茲條件的復(fù)矢量形式正弦電磁場(chǎng)與位函數(shù)的關(guān)系第18頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)13分，星期五2022/11/9電磁場(chǎng)與電磁波19洛倫茲規(guī)范條件變?yōu)椋哼_(dá)朗貝爾方程變?yōu)椋?/p>

時(shí)諧場(chǎng)的位函數(shù)第19頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)13分，星期五2022/11/9電磁場(chǎng)與電磁波2011.復(fù)能流密度矢量

時(shí)變電磁場(chǎng)的電場(chǎng)及磁場(chǎng)能量密度的瞬時(shí)形式為其最大值復(fù)矢量形式為

或者表示為式中，及分別為復(fù)矢量及的共軛值。

第20頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)13分，星期五2022/11/9電磁場(chǎng)與電磁波21

正弦量的有效值為瞬時(shí)值的均方根值，所以正弦電磁場(chǎng)的能量密度的周期平均值為

即式中E(r)

及H(r)

均為有效值?；蛞宰畲笾当硎緸榛蛘弑硎緸樯鲜接挚蓪憺榈?1頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)13分，星期五2022/11/9電磁場(chǎng)與電磁波22損耗功率密度也可用復(fù)矢量表示。平均值為已知能流密度矢量S的瞬時(shí)值為

其周期平均值為

其最大值為

第22頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)13分，星期五2022/11/9電磁場(chǎng)與電磁波23復(fù)能流密度矢量Sc

為式中,及均為有效值。又可用最大值表示為那么，復(fù)能流密度矢量Sc的實(shí)部及虛部分別為可見，復(fù)能流密度矢量的實(shí)部及虛部與電場(chǎng)及磁場(chǎng)的相位密切相關(guān)。平均值第23頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)13分，星期五2022/11/9電磁場(chǎng)與電磁波24tttt電場(chǎng)強(qiáng)度磁場(chǎng)強(qiáng)度

當(dāng)時(shí)，則實(shí)部為最大正值，虛部為零。

當(dāng)時(shí)，則實(shí)部為最大負(fù)值，虛部仍然為零。

當(dāng) 時(shí)，則實(shí)部為零，虛部為最大正值或負(fù)值。

若相位差為任意值時(shí)，則虛部及實(shí)部均不為零。

第24頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)13分，星期五2022/11/9電磁場(chǎng)與電磁波25能量定理也可用復(fù)矢量表示為即此式稱為復(fù)能量定理。

可見，流進(jìn)

S內(nèi)的復(fù)能流密度矢量通量的實(shí)部等于S內(nèi)消耗的功率。這就表明，Sc的實(shí)部的確代表單向流動(dòng)的能量，而虛部表示能量交換。

第25頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)13分，星期五2022/11/9電磁場(chǎng)與電磁波26為對(duì)場(chǎng)量取復(fù)數(shù)共軛運(yùn)算。

時(shí)諧場(chǎng)的平均能流密度

對(duì)時(shí)諧場(chǎng)，平均坡印廷矢量可由場(chǎng)矢量的復(fù)數(shù)形式計(jì)算：式中：、為場(chǎng)量的復(fù)數(shù)表達(dá)式；

平均能流密度：第26頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)13分，星期五2022/11/9電磁場(chǎng)與電磁波27時(shí)諧場(chǎng)平均坡印廷矢量的證明代入第一式，得證！第27頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)13分，星期五2022/11/9電磁場(chǎng)與電磁波28正弦電磁場(chǎng)的惟一性定理

今后略去頂標(biāo)“·”，以E(r)，H(r)或者E，H

表示正弦電磁場(chǎng)復(fù)矢量的有效值，以E(r,t)，H(r,t)或E(t)，H(t)表示正弦電磁場(chǎng)的瞬時(shí)值。

初始條件不再需要，無(wú)源區(qū)中的正弦電磁場(chǎng)被其邊界上的電場(chǎng)切向分量或磁場(chǎng)切向分量惟一地確定。

VSE(r,0)及H(r,0)E(r,t),H(r,t)Et

(r,t)

或Ht

(r,t)

E(r),H(r)Et

(r)

或Ht

(r)第28頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)13分，星期五2022/11/9電磁場(chǎng)與電磁波29

例已知某真空區(qū)域中的時(shí)變電磁場(chǎng)的電場(chǎng)瞬時(shí)值為試求其能流密度矢量的平均值。

解根據(jù)瞬時(shí)值，求得其有效值的復(fù)矢量形式為及復(fù)能流密度矢量為其實(shí)部就是平均值。即第29頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)13分，星期五2022/11/9電磁場(chǎng)與電磁波30

例若真空中正弦電磁場(chǎng)的電場(chǎng)復(fù)矢量為試求電場(chǎng)強(qiáng)度的瞬時(shí)值E(r,t)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的復(fù)矢量B(r

)

及復(fù)能流密度矢量Sc。解第30頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)13分，星期五2022/11/9電磁場(chǎng)與電磁波31例

已知截面為的矩形金屬波導(dǎo)中電磁場(chǎng)的復(fù)矢量為式中H0、ω、β、μ都是常數(shù)。試求：（1）瞬時(shí)坡印廷矢量；（2）平均坡印廷矢量。

解：（1）和的瞬時(shí)值為第31頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)13分，星期五2022/11/9電磁場(chǎng)與電磁波32（2）平均坡印廷矢量所以瞬時(shí)坡印廷矢量第32頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)13分，星期五有效值有效值(Effectivevalue)在相同的電阻上分別通以直流電流和交流電流，經(jīng)過(guò)一個(gè)交流周期的時(shí)間，如果它們?cè)陔娮枭纤牡碾娔芟嗟鹊脑?，則把該直流電流（電壓）的大小作為交流電流（電壓）的有效值，正弦電流（電壓）的有效值等于其最大值（幅值）的1/√2，約0.707倍。復(fù)能量密度可用表示為本書的定義：平均能流密度（或者能流密度矢量的平均值：第33頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)13分，星期五2022/11/9電磁場(chǎng)與電磁波其它書籍定義（通用）：平均能流密度式中：、為場(chǎng)量的復(fù)數(shù)表達(dá)式（為幅值）；為對(duì)場(chǎng)量取復(fù)數(shù)共軛運(yùn)算。第34頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)13分，星期五2022/11/9電磁場(chǎng)與電磁波35例已知無(wú)源的自由空間中，時(shí)變電磁場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度為求：(1)磁場(chǎng)強(qiáng)度；（2）瞬時(shí)坡印廷矢量；（3）平均坡印廷矢量解：(1)(2)第35頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)13分，星期五2022/11/9電磁場(chǎng)與電磁波36(3)另解：第36頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)13分，星期五載有恒定電流的圓柱導(dǎo)線

設(shè)圓柱導(dǎo)線的半徑為a，電導(dǎo)率為σ，恒定電流I在導(dǎo)線橫截面均勻分布。選區(qū)一段長(zhǎng)度為L(zhǎng)的導(dǎo)線。由于是恒定電磁場(chǎng)，坡印廷定理簡(jiǎn)化為導(dǎo)線表面的電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度為滿足坡印廷定理！

該例子雖然滿足坡印廷定理，但是，從–r方向流進(jìn)導(dǎo)線的功率完全被焦耳熱損失掉了，沒(méi)有沿z方向的功率流動(dòng)！實(shí)際情況存在z方向的功率傳輸。因此，坡印廷定理對(duì)靜態(tài)電磁場(chǎng)是無(wú)意義的。第37頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)13分，星期五例題：同軸電纜的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體內(nèi)半徑為b，導(dǎo)體通過(guò)電流為I，兩導(dǎo)體間外加直流電壓U，(1)求導(dǎo)體電導(dǎo)率為無(wú)窮大時(shí)介質(zhì)中的能流和傳輸功率(2)當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率為有限值時(shí)，計(jì)算通過(guò)內(nèi)導(dǎo)體表面進(jìn)入導(dǎo)體的能流，并證明它等于導(dǎo)體的功率損耗。解：在內(nèi)外導(dǎo)體間a<r<b，取一半徑為r的圓形路徑c由麥克斯韋方程組積分形式得第38頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)13分，星期五由于外加直流電壓，導(dǎo)體表面上帶有電荷，內(nèi)外導(dǎo)體間只有徑向電場(chǎng)分量Er第39頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)13分，星期五第40頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)13分，星期五第41頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)13分，星期五第42頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)13分，星期五習(xí)題：7-17復(fù)數(shù)形式的坡印廷定理在正弦電磁場(chǎng)中，用復(fù)數(shù)表示兩端同乘以-1/2得第43頁(yè)，共51頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)13分