大二文件-復(fù)變函數(shù)-第一章雅

第一章

復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)第一節(jié)復(fù)數(shù)及其代數(shù)運算第二節(jié)復(fù)數(shù)的幾何表示第三節(jié)復(fù)數(shù)的乘冪與第四節(jié)區(qū)域第五節(jié)復(fù)變函數(shù)第六節(jié)復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性第一節(jié)

復(fù)數(shù)及其代數(shù)運算一、復(fù)數(shù)的概念虛數(shù)單位:實例:方程x2

1在實數(shù)集中無解.為了解方程的需要,引入一個新數(shù)i,稱為虛數(shù)單位.對虛數(shù)單位的規(guī)定:i2

1;i

可以與實數(shù)在一起按同樣的法則進行四則運算.i1

i;

i

2

1;

i

3

i

i

2

i;

i4

i

2

i

2

1;一般地，如果n是正整數(shù),則i4n1

i,i4n

1,

i4n2

1,i4n

3

i.2.復(fù)數(shù):對于任意兩實數(shù)其中x,

y

分別稱為z

的實部和虛部,記作

x

Re(z),

y

Im(z).當(dāng)x

0,

y

0

時,

z

iy

稱為純虛數(shù);當(dāng)

y

0

時,

z

x

i,

把它看作實數(shù)x.實數(shù)m取何值時,

復(fù)數(shù)(m2

3m

4)

(m2

5m

6)i是(1)實數(shù);

(2)純虛數(shù).例1解(1)m

6或m

1.(2)m

4.兩復(fù)數(shù)相等它們的實部和虛部分別相等.z

等于0

它的實部和虛部同時等于0.說明兩個數(shù)如果都是實數(shù),可以比較它們的大小,如果不全是實數(shù),就不能比較大小,也就是說,復(fù)數(shù)不能比較大小.觀察復(fù)數(shù)i

和0,

由復(fù)數(shù)的定義可知

i

0,(1)

若

i

0,

則i

i

0

i,

即

若

i

0),

則i

i

0

i,

同樣有

由此可見,在復(fù)數(shù)中無法定義大小關(guān)系..,1二、復(fù)數(shù)的代數(shù)運算設(shè)兩復(fù)數(shù)z1

x1

iy1

,

z2

x2

iy2

,1.

兩復(fù)數(shù)的和:z1

z2

(

x1

x2

)

i(

y1

y2

).z1

z2

(

x1

x2

y1

y2

)

i(

x2

y1

x1

y2

).2.

兩復(fù)數(shù)的積:3.

兩復(fù)數(shù)的商:z1

x1

x2

y1

y2

i

x2

y1

x1

y2

.x

2

y

2

x

2

y

22

2

2

22z

例2

設(shè)z1

,z2是復(fù)數(shù)，證明z1

z2

0的充分必要條件是z1

,z2中至少有一個為0.證明：充分性顯然,只證必要性.假設(shè)z2

0,21 2

z

z

z

1

0.221 1

zz則z

z(1)

z1

z2

z1

z2

;

z1

z2

z1

z2

;;1

1z2

z2

z

zz

z;z

z

Re(z)2

Im(z)2;共軛復(fù)數(shù):實部相同而虛部絕對值相等符號相反的兩個復(fù)數(shù)稱為共軛復(fù)數(shù).與z

共軛的復(fù)數(shù)記為z

,若

z

x

iy,

則

z

x

iy.共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì):結(jié)論：兩個共軛復(fù)數(shù)z,z

的積是一個實數(shù).(4)

z

z

2

Re(z),

z

z

2i

Im(

z).

Re(z)

z

z

,

Im(

z)

z

z2

2iz2

z2z1

z2,

z1

z z

z

z2

1

z(2)

.1

i

i

1

i

7

i

1

i

(1)

1

i

;解(1)1

i1

i

(1

i)2(1

i)(1

i)2

(1

i)2

i,

1

i

1

i

7

(i)7

i.

(1

i)2(1

i)ii

1

i

i

2(2)

1

i

i

1

2i1

i

(1

2i)(1

i)

3

1

i.2

2

2

例3

將a(x2

y2

)

bx

cy

d

0化為復(fù)數(shù)形式的方程.解：azz

bRe(z)

c

Im(z)

d

0.例4

將下列復(fù)數(shù)表示為x

iy

的形式.例5.i

11

i

i

2i計算解(1

i)(i

1)

i(i

2)(i

1)ii

11

i

i

2

i

i

2i

2

1

3i2i

2

1

i

2

i(2

i)(2

i)

(1

3i)(2

i)(2)2

i

2

2

i

6i

3i

2

1

i.例6設(shè)z1

5

5i,z2

3

4i,121

2

zz

z

與

.z求解z1

5

5iz2

3

4i(3

4i)(3

4i)

(5

5i)(3

4i)

(15

20)

(15

20)i

7

1

i.25

5

51

z2

5

5

z

7

1

i.例7

設(shè)

z

1

3i

,

求Re(z),

Im(z)

與z

z

.i

1

ii

1

i3i(1

i)i

i

(1

i)(1

i)解

z

1

3i

i

3

1

i,2

2Re(z)

3

,

Im(z)

1

,2

21

2

2

3

2

z

z

Re(z)2

Im(z)2

2

25

.設(shè)兩復(fù)數(shù)z1

x1

iy1

,

z2

x2

iy2

,證明z1

z2

z1

z2

2Re(z1

z2

).證

z1

z2

z1

z2

(

x1

iy1

)(

x2

iy2

)

(

x1

iy1

)(

x2

iy2

)

(

x1

x2

y1

y2

)

i(

x2

y1

x1

y2

)

(

x1

x2

y1

y2

)

i(

x2

y1

x1

y2

)

2(

x1

x2

y1

y2

)

2Re(z1

z2

).

例8或z1

z2

z1

z2

z1

z2

z1

z2

2Re(z1

z2

).例9化簡(1)

5

12i

;

(2)

i

i

.解(1)5

12i

x

iy,5

12i

(

x2

y2

)

2xyi,2

xy

12x2

y2

5,

x

3,

y

2,

5

12i

(3

2i).(2)

i

x

yi,2

2

i

1

1

i

,2

2

i

1

1

i

,i

i

2.2

xy

1

x2

y2

0,

1

x

y

,2例10的根，則z0也是，即實系數(shù)多項式的零點成對出現(xiàn).證明：若z

是實系數(shù)方程a

zn

a0

n

n1zn1

a

z

a

01

0n

n1由于系數(shù)是實數(shù)，得an

z0

an1

z0

a1

z0即z0也是方程的根.

a0

0

a1

z0

a0

0，n

n1n1 0

a z

a1

z0

a0

0，n1即a zn

n1n

0 n1 0

a z

a1z0

a0

0,從而a zn

0證明：由條件知a zn

0

a zn1 0n一、復(fù)平面1.

復(fù)平面的定義復(fù)數(shù)

z

x

iy

與有序?qū)崝?shù)對(

x,

y)

成一一對應(yīng).

因此,

一個建立了直角坐標(biāo)系的平面可以用來表示復(fù)數(shù),

通常把橫軸叫實軸或x

軸,

縱軸叫虛軸或

y

軸.

這種用來表示復(fù)數(shù)的平面叫復(fù)平面.復(fù)數(shù)z

x

iy

可以用復(fù)平面上的點(x,y)表示.xyxyoz

x

iy

(

x,

y)第二節(jié)復(fù)數(shù)的幾何表示2.

復(fù)數(shù)的模(或絕對值)復(fù)數(shù)z

x

iy

可以用復(fù)平面上的向量OP

表示,向量的長度稱為z

的?；蚪^對值,xyxyoPz

x

iyr記為z

r

x2

y2

.顯然下列各式成立x

z

,

y

z

,更常用的形式：|

Re(z)||

z

|,|

Im(z)||z

|,|

z

|

Re(z)

Im(

z)

,|

z

|2

|

Re(z)

|2

|

Im(

z)

|22z

,

z1

z1

z22z

|

z

|2zz z

z

|

z

|2z

x

y

,

z

z

z

2

z2

.

1

3.

復(fù)數(shù)的輻角在z

0

的情況下,以正實軸為始邊,以表示Argz

.z

的向量OP

為終邊的角的弧度數(shù)

稱為z

的輻角,記作說明任何一個復(fù)數(shù)z

0有無窮多個輻角,如果1

是其中一個輻角,Argz

1

2kπ(k為任意整數(shù)).特殊地,

當(dāng)z

0

時,

z

0,那么z

的全部輻角為規(guī)定輻角不確定.輻角主值的定義:π

0

π稱為Argz

的主值,記作

0

arg

z.的0在z

(

0)的輻角中,把滿足x

0,x

0,

y

0,(其中

arctan

y

)2

x

2arg

z

arctanx

0,

y

0,x

0,

y

0.z

0

輻角的主值

arctan

x

,y2

π

,π

,yxπ

,4.

利用平行四邊形法求復(fù)數(shù)的和差xyoz1z221z

zxyoz1z2z1

z2

z2兩個復(fù)數(shù)的加減法運算與相應(yīng)的向量的加減法運算一致.(1)

z1

z2

z1

z2;5.

復(fù)數(shù)和差的模的性質(zhì)因為

z1

z2

表示點z1

和z2

之間的距離,

故z12zz1

z2xyo1z2z(2)

z1

z2

z1

z2

.一對共軛復(fù)數(shù)z

和z在復(fù)平面內(nèi)的位置是關(guān)于實軸對稱的.xyo

z

x

iy

z

x

iy利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系

y

r

sin

,

x

r

cos

,復(fù)數(shù)可以表示成z

r(cos

i

sin

)復(fù)數(shù)的三角表示式再利用公式ei

cos

i

sin

,復(fù)數(shù)可以表示成z

rei復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式6.復(fù)數(shù)的三角表示和指數(shù)表示例1

將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式:5

5

(1)

z

12

2i;

(2)

z

sin

i

cos

;(cos5

i

sin

5

)2(3)

z

.(cos

3

i

sin

3

)3解(1)

r

z

12

4

4,

因為z

在第三象限,12

2所以

arctan

π

arctan363

5

,66

故三角表示式為z

4cos

5

i

sin

5

,.65i指數(shù)表示式為z

4e(2)

z

sin

i

cos

5

5顯然r

z

1,

2 5

5sin

cos

2 5

10

510

cos

3,cos

sin

sin

3

,10

10故三角表示式為z

cos

3

i

sin

3,.3i指數(shù)表示式為z

e10(cos

5

i

sin

5

)2(3)

z

.(cos

3

i

sin

3

)35i因為

cos

5

i

sin

5

e

,cos

3

i

sin

3

cos(3

)

i

sin(

3

)

e3i

,(cos5

i

sin

5

)2(cos

3

i

sin

3

)3所以(e5i

)2(e3i

)3

e19i

,故三角表示式z

cos19

i

sin19

,指數(shù)表示式z

e19i

.例2三角表示式與指數(shù)表示式,并求z

的輻角的主值.把復(fù)數(shù)z

1

cos

i

sin

,0

π

化為cos

2

2

2i

sin

22

解z

1

cos

i

sin

2sin

22

2

2sin

sin

i

cos

222

2sin

cosπ

i

sinπ

(三角式).

(指數(shù)式)2

2sin2eπ

i.2π

arg

z

解

cos

1其中

ei

.例3

求復(fù)數(shù)z

cos

1

的實部和虛部,z

cos

1

cos

cos

1

i

sin

cos

cos

1

cos

cos

1

i

sin

cos

(cos

cos

)2

1

(sin

cos

)2

2i

sin

cos

(cos

cos

1)2

(sin

cos

)2i.2cos

cos

1

(cos

)2

2cos

cos

1

(cos

)2

(sin

)2

2sin

cos

Re

z

Im

z

例4

設(shè)

z1

,

z2

為兩個任意復(fù)數(shù),

證明:(1)

z1z2

z1

z2

; (2)

z1

z2

z1

z2

.證

(1)

z1z2

(z1z2

)(z1z2

)

(z1z2

)(z1z2

)

(z1z1

)(z2

z2

)

z1

z2

.21(2)

z

z22

(z

z

)(z1

2

11

2

1

2

z

)

(z

z

)(z

z

)1

21

22

z

z

z

z22

z1z1

z2

z2

z1z2

z1z2

z1

z21z

z222

z12

z1

22Re(z

z

)1

221

z

2

z

2

2

z

z1

2

z

2

z

2

2

z

z1

221

(

z

z

)2

,因為z1z2

z1z2

2

Re(z1z2

),兩邊同時開方得z1

z2

z1

z2

.例5

證明

三個復(fù)數(shù)z1點的充要條件是z1z2

,z,3:成為等邊三角形頂證

z1z2

z3是等邊三角形的充要條件為:向量

z

z

繞

z

旋轉(zhuǎn)

或

即得向量z

z

,1

2

1

3

3

1

3z1z2z3i即z3

z1

(

z2

z1

)e

3

,

或

i,

3 1

z

z

1

3z2

z1

2

2z3

z1

1

3

i,z2

z1

2

2兩邊平方,并化簡得z

2

z

2

z

2

z

z1

2

3

1

22

33

1

z

z

z z

.很多平面圖形能用復(fù)形式的方程或不等式來表示;也可由給定的復(fù)形式的方程或不等式確定它所表示的平面圖形.

例6

將通過兩點z1

x1

iy1

與z2

x2

iy2

的直線用復(fù)數(shù)形式的方程來表示.解通過兩點(x1

,y1

)與(x2

,y2

)的直線的方程

x

x1

t(

x2

x1

)1

2

1

y

y

t(

y

y

)參數(shù)t

(,

),所以它的復(fù)數(shù)形式的參數(shù)方程為z

z1

t(z2

z1

)參數(shù)t

(,

),故,由z1

到z2

的直線段的參數(shù)方程為0

t

1z

z1

t(z2

z1

)21若取t

,得線段z1z2

的中點坐標(biāo)為.221z

zz

例7

求下列方程所表示的曲線:(1)

z

i

2;

(2)

z

2i

z

2;(3)

Im(i

z

)

4.解(1)

方程

z

i

2

表示所有與點

i

距離為2的點的軌跡.即表示中心為

i,半徑為2

的圓.設(shè)

z

x

iy,

x

(

y

1)i

2,x2

(y

1)2

2,

圓方程x2

(y

1)2

4.思考：z

i

2;

z

i

2; 0

z

i

2;

z

i

2(2)

z

2i

z

2表示所有與點2i和

2距離相等的點的軌跡.故方程表示的曲線就是連接點2i和

2的線段的垂直平分線.設(shè)z

x

iy,x

yi

2i

x

yi

2,化簡后得y

x.(3)

Im(

i

z

)

4i

z

x

(1

y)i,設(shè)z

x

iy,Im(

i

z

)

1

y

4,所求曲線方程為y

3.例81

k

21

k

2z

平面上的一個圓周,其圓心為z0

,半徑為

.且

k

(0

k

1,z1

z2

)表示z

k

2

z k

z

zz0

1 2

,

1 2

.2z

z證明方程z

z1證

圓周

z

z0

,

將z0

和

代入,z

z

k

2

(z

z

)1

2211

k

2

1

k

2k

z

zz

z

k

2

(z

z

)

k

z

z

,1

2

1

22兩邊同除以z

z

,

1,2

k

22z

z

k

z

z1z

zz

z1令w

z

z1

,z

z2兩邊同時平方,w

k

2

k

w

1,w

k

2

2

k

2

w

12

,于是w

2

k

2

,w

k,

故

k.z

z1z

z2二、復(fù)球面通過S

作垂直于復(fù)平面的

直線與球面相交于另一點N

,稱

為北極

SN為南極.

,xyP1.

南極、北極的定義取一個與復(fù)平面切于原點z

0的球面,球面上一點S

與原點重合,NS

O2.

復(fù)球面的定義球面上的點,除去北極

N

外,與復(fù)平面內(nèi)的點之間存在著一一對應(yīng)的關(guān)系.可以用球面上的點來表示復(fù)數(shù).球面上的每一個點都有唯一的復(fù)數(shù)與之對應(yīng),這樣的球面稱為復(fù)球面.3.

擴充復(fù)平面的定義包括無窮遠(yuǎn)點在內(nèi)的復(fù)平面稱為擴充復(fù)平面.不包括無窮遠(yuǎn)點的復(fù)平面稱為有限復(fù)平面,簡稱復(fù)平面.對于復(fù)數(shù)來說,實部,虛部,輻角等概念均無意義,它的模規(guī)定為正無窮大.復(fù)球面的優(yōu)越處:能將擴充復(fù)平面的無窮遠(yuǎn)點明顯地表示出來.規(guī)定:復(fù)數(shù)中有一個唯一的“無窮大”與復(fù)平面上的無窮遠(yuǎn)點相對應(yīng),

記作

.

因而球面上的北極

N

就是復(fù)數(shù)無窮大的幾何表示.關(guān)于的四則運算規(guī)定如下:(

)(

)(

0)(1)

加法:

,(2)

減法:

,(3)

乘法:

,0

,(

0)(4)

除法:

0,

,

(

),注意：為了用球面上的點來表示復(fù)數(shù)，引入了無窮遠(yuǎn)點．無窮遠(yuǎn)點與無窮大這個復(fù)數(shù)相對應(yīng),所謂無窮大是指模為正無窮大（輻角無意義）的唯一的一個復(fù)數(shù)，不要與實數(shù)中的無窮大或正、負(fù)無窮大混為一談．任何一個半平面沒有無窮遠(yuǎn)點.思考：是否任意復(fù)數(shù)都有輻角?一、乘積與商定理一

兩個復(fù)數(shù)乘積的模等于它們的模的乘積;兩個復(fù)數(shù)乘積的輻角等于它們的輻角的和.證

設(shè)復(fù)數(shù)z1和z2的三角形式分別為z1

r1

(cos1

i

sin1）,z2

r2

(cos2

i

sin2）,則z1

z2

r1

(cos1

i

sin1

)

r2

(cos2

i

sin2

)

r1

r2[(cos1

cos2

sin1

sin2

)

i(sin1

cos2

cos1

sin2

)]z1

z2

r1

r2[cos(1

2

)

i

sin(1

2

)]第三節(jié)復(fù)數(shù)的乘冪與Arg(z1z2

)

Argz1

Argz2

.[證畢]2從幾何上看,

兩復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量分別為

z1

,

z2

,2旋轉(zhuǎn)一個角

,

再把它的模擴大到r

倍,先把z1

按逆時針方向oxyr2rr12z1zz所得向量z

就表示積z1

z2

.兩復(fù)數(shù)相乘就是把模數(shù)相乘,輻角相加.設(shè)復(fù)數(shù)z1和z2的指數(shù)形式分別為1.1

2i

(

)則

z

z

r

r

e22

2i

i,

z

r

e

,kk

k

k

k

k)

r

e

,

(k

1,2,,

n)i1

2

1

2

i

sin

r

(cosz1

r1e推廣:

設(shè)

zz1

z2

zn

r1

r2

rn[cos(1

2

n

)

i

sin(1

2

n

)]1

2

ni

(

)

r1

r2

rne

.說明由于輻角的多值性,Arg(z1z2

)

Argz1

Argz2兩端都是無窮多個數(shù)構(gòu)成的兩個數(shù)集.對于左端的任一值,右端必有值與它相對應(yīng).例如，設(shè)

z1

1,

z2

i,則z1

z2

i,(n

0,

1,

2,),(m

0,

1,

2,),Argz1

2n,22Argz

2m,21

2Arg(z

z

)

π

2kπ,2(k

0,

1,

2,),

2k,

只須k

m

n

1.故3

2(m

n)

2若

k

1,

則m

0,n

2

或m

2,n

0.兩個復(fù)數(shù)的商的模等于它們的模的商;兩個復(fù)數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的輻角之差.定理二證1按照商的定義,

當(dāng)z

0

時,1z

,122zzz

z1

2z2

z1

z

z

z1

, Argz2

Arg

2

Argz1

,1

1z

z

z2

,于是z22

1

Argz

.z

1

Arg

z2

Argz設(shè)復(fù)數(shù)z1和z2的指數(shù)形式分別為1z1

r1,222i

i

則z2

r2

ei

(2

1

).z1

r1e

,

z

r

e[證畢]

例13

323i

),

z

sin

i

cos

,1已知

z

1

(1

1

3

3

解

因為

z

cos

i

sin

,2

6

6

z

cos

i

sin

,

6

3

6

31

2所以

z

z

cos

i

sin

i,

3

66

3

i

sin

cos

21zz

3

1

i.2

2.211

2zz2求

z

z

和復(fù)數(shù)乘積與商的運算，在各種形式中以三角形式、指數(shù)形式最為方便解已知正三角形的兩個頂點為z1

1

和z2

2

i,或(z3

).到另一個向量,它的終點即為所求頂點z3

求它的另一個頂點.,將表示z2

z1

的向量繞z1

旋轉(zhuǎn)3

(或

3)就得

例2x1oz

1z2

2

iyz33z33i因為復(fù)數(shù)e

3

的模為1,

轉(zhuǎn)角為

,3

1

1i33

1z

z

e

(z2

z

)

3

1

3

i

2

2

2

2

i

(1

i)

1

2

223

1

23所以

z

3

2

3

i.3

1

233

i,

z

3

二、冪與根1.

n次冪:n

個相同復(fù)數(shù)z

的乘積稱為z

的n

次冪,記作zn

,zn

z

z

z

.n個對于任何正整數(shù)n,

有

zn

rn

(cos

n

i

n

).s那么當(dāng)n,

為負(fù)整數(shù)時,

上式仍成立.zn如果

定義zn

12.棣莫佛公式當(dāng)z

的模r

1,即z

cos

i

sin

,(cos

i

sin

)n

cos

n

i

sin

n

.3.方程wn

z

的根w,其中z

為已知復(fù)數(shù).

n

n

i

sinw

n

z

r

n

cos1

2kπ

2kπ(k

0,1,2,,

n

1)從幾何上看,

n

z

的n

個值就是以原點為中心,1r

n

為半徑的圓的內(nèi)接正n

邊形的n

個頂點.

例3

化簡解

1

i

n

.2

1

i

2

12

442cos

i

sin

2

1

i

2

11

i

2

4

4

2cos

i

sin

n

i

sin2)n

cos原式=(4 4

n

n

4

4

(

2)

cos

i

sin

4

4

4

(

2)n

cos

n

i

sin

n

cos

n

i

sin

n.42

4

2

cosnn2例4

計算3

1

i

的值.解

1

i

2

1

i

2

12

4

4

2cos

i

sin

31

i

i

sin34

2k34

2

cos6

2k(k

0,1,2).,12

6012

i

sin

2

cos

w

12

1272

cos617w

.4

i

sin452

cos62

i

sin

,

w

5即

例5

計算4

1

i

的值.

4

4解

1

i

2cos

i

sin

44

2k

i

sin

4

2k4

1

i

8

2cos

416162

cos80

i

sin

,即

w

16

1692

cos819

i

sin

,w

2

cos821717w

16 16

16.16

i

sin252

cos8325

i

sin

,

w

這四個根是內(nèi)接于中心在原點半徑為8

2

的圓的正方形的四個頂點.oxyw1w2w3(k

0,1,2,3).w0

例6

解方程

(1

z)5

(1

z)5

.解

直接驗證可知方程的根z

1,故原方程可寫成

1

z

1,

1

z

51

z令

w

,1

z則w5

1,5

w

e

,

k

0,1,2,3,4.2ki故

w

1,0

12iw

e

5

,24iw

e

5

,6iw3

e

5

,8iw4

e

5

.w

1

1因為

z

w

1

eieicos

i

sin

1

1

cos

i

sin

1

i

tan

2

,50

1故原方程的根為

z

0,

z

i

tan

,552

3z

i

tan

2

,

z

i

tan

3

,54z

i

tan

4.例7

若n

為自然數(shù),且xn

iyn

(1

i求證:

x

y

x

y

4n1

3.n1

n

n

n13)n

,證nn

i

sin3

3x

3)n

2n

cos3

23cos

i

sinn

nn利用復(fù)數(shù)相等可知:3x

2n

cos

n,n,n3y

2

sinnnxn1

yn

xn

yn1

2n1

cos(n

1)

2n

sin

n

2n

cos

n

2n1

sin

(n

1)3

3

3

33

3

22n1

sinn

(n

1)

22n1

233.

4n1等式得證.一、區(qū)域的概念1.

鄰域:

平面上以z0

為中心

,(任意的正數(shù))為半徑的點的集合稱為z0

的鄰域.的圓:

z

z0

第四節(jié)

區(qū)

域說明

包括無窮遠(yuǎn)點自身在內(nèi)且滿足

z

M

的所有點的集合

其中實數(shù)M

0,

稱,

為無窮遠(yuǎn)點的鄰域.2.去心鄰域:

稱由不等式0

z

z0

所確定的點的集合為z0

的去心鄰域.說明

不包括無窮遠(yuǎn)點自身在內(nèi),

僅滿足

z

M的所有點的集合,

稱為無窮遠(yuǎn)點的去心鄰域.

可以表示為M

z

.3.內(nèi)點:設(shè)G

為一平面點集,z0

為G

中任意一點.如果存在z0

的一個鄰域,該鄰域內(nèi)的所有點都屬于G,那末z0

稱為G

的內(nèi)點.開集:如果G

內(nèi)每一點都是它的內(nèi)點,那末G

稱為開集.區(qū)域:如果平面點集D滿足以下兩個條件,則稱它為一個區(qū)域.(1)

D是一個開集；(2)D是連通的,就是說D中任何兩點都可以用完全屬于D的一條折線連結(jié)起來.邊界點、邊界:設(shè)D是復(fù)平面內(nèi)的一個區(qū)域,如果點P

不屬于D,但在P

的任意小的鄰域內(nèi)總有D中的點,這樣的

P

點為D的邊界點.

D的所有邊界點組成D的邊界.稱說明(1)

區(qū)域的邊界可能由幾條曲線和一些孤立的點所組成.

zzC1C2C3以上基本概念的圖示z12z區(qū)域z0鄰域

P邊界點(2)

區(qū)域D與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域D.邊界7.有界區(qū)域和

區(qū)域:如果一個區(qū)域

D

可以被包含在一個以原點為中心的圓里面,

即存在

M

0,

使區(qū)域的每一個點都滿足

z

M

,那末

D

稱為有界的,

否則稱為

的.(1)

圓環(huán)域:r1

z

z02

r

;z0r2r1課堂練習(xí)判斷下列區(qū)域是否有界?(2)

上半平面:Im

z

0;角形域:

0

ar帶形域:

a

Im

z

b.答案(1)有界; (2)

(3)(4).xyo二、單連通域與多連通域連續(xù)曲線:如果x(t

)和y(t

)是兩個連續(xù)的實變函數(shù),那末方程組x

x(t

),y

y(t

),(a

t

b)代表一條平面曲線,稱為連續(xù)曲線.平面曲線的復(fù)數(shù)表示:z

z(t

)

x(t

)

iy(t

).(a

t

b)光滑曲線:如果在a

t

b

上,x(t

)和y(t

)都是連續(xù)的,且對于t

的每一個值,有[x(t

)]2

[y(t

)]2

0,那末稱這曲線為光滑的.由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線稱為按段光滑曲線.xoxy

yo3.

簡單曲線:設(shè)C z

z

t a

t

b)

為()(一:分別稱為C

的起點和終點.條連續(xù)曲線,

z

a

與z

b)對于滿足a

t1

b,

a

t2

b的t1

與t2

,當(dāng)t1

t2而有z(t1

)

z(t2

)時,點z(t1

)稱為曲線C的重點.沒有重點的曲線

C

稱為簡單曲線(或

曲線).如果簡單曲線C

的起點和終點重合,

即() ()

,

zzab那末稱C

為簡單閉曲線.換句話說,簡單曲線自身不相交.簡單閉曲線的性質(zhì):任意一條簡單閉曲線C將復(fù)平面唯一地分成三個互不相交的點集.xyo外部邊界課堂練習(xí)判斷下列曲線是否為簡單曲線?答案單閉簡單z(a)

z(a)

z(b)簡不閉不簡單閉不簡單不閉

z(b)

z(a)

z(b)z(a)

z(b)4.

單連通域與多連通域的定義:復(fù)平面上的一個區(qū)域B,如果在其中任作一條簡單閉曲線,而曲線的總屬于B,就稱為單連通域.一個區(qū)域如果不是單連通域,就稱為多連通域.單連通域多連通域指明下列不等式所確定的區(qū)域,是有界的還的,單連通的還是多連通的.

例1是3

z(1)

Re(z2

)

1;

(2)

arg

z

;

(3)

1

3;(4)

z

1

z

1

4; (5)

z

1

z

1

1.(1)當(dāng)z

x

iy

時,解Re(z2

)

x2

y2

,Re(z2

)

1

x2

y2

1,的單連通域(如圖).(2)

arg

z

arg

z

33

arg

z

,33

是角形域,的單連通域(如圖).(4)

z

1

z

1

4表示到1,

–1的距離之和z

1

z

1

4為定值4的點的軌跡,

是橢圓,zz

4表11示該橢圓有界的單連通域.(3)

1

3z1

3

z

1

,z

3的圓的外部,是以原點為中心,半徑為13的多連通域.

1

)3

4x2

y2(橢圓:

(5)

z

1

z

1

1令z

r

cos

ir

sin

,邊界

z

1

z

1

1

[(r

cos

1)2

r

2

sin2

][(r

cos

1)2

r

2

sin2

]

1(r

2

2r

cos

1)(r

2

2r

cos

1)

1(r

2

1)2

4(r

cos

)2

1

r

,或r

2

r

2

2cos

2

是雙葉玫瑰線(也稱雙紐線),zz

是

其

1有界的單連通域.例2解滿足下列條件的點集是什么,如果是區(qū)域,是單連通域還是多連通域?(1)

Im

z

3,是一條平行于實軸的直線,不是區(qū)域.(2)

Re

z

2,以Re

z

2

為左界的半平面

(不包括直線Re

z

2),單連通域.-3

-2

-11

2

3xy654321(3)

0

z

1

i

2,以

(1

i)為圓心,2為半徑的去心圓盤,是多連通域.(4)

arg(z

i)

,4以i

為端點,斜率為1的半射線(不包括端點i

),不是區(qū)域.(5)

0

arg

z

i

,z

i

4當(dāng)z

x

iy

時,z

i

x2

y2

1z

i

x2

(

y

1)2

2

x

i

,x2

(

y

1)2由0

arg

z

i

知z

i

40,x2

(

y

1)2x2

y2

10,x2

(

y

1)2

2

x因為x2

(y

1)2

0,x2

y2

1

0,

2

x

0,于是

2

x

x2

y2

1, (

x

x

0,22

1)

y

2.22x

y

1,表示在圓(x

1)2

y2

2的外部且屬于左半平面的點集,單連通域.一、復(fù)變函數(shù)的定義復(fù)變函數(shù)的定義:設(shè)G

是一個復(fù)數(shù)z

x

iy

的集合.如果有一個確定的法則存在,按這個法則對于集合G,中的每一個復(fù)數(shù)z,就有一個或幾個復(fù)數(shù)w

u

iv

與之對應(yīng),那末稱復(fù)變數(shù)w

是復(fù)變數(shù)

z

的函數(shù)(簡稱復(fù)變函數(shù)),記作

fw(z).單(多)值函數(shù)的定義:如果z

的一個值對應(yīng)著一個w

的值,

那末

稱函數(shù)

f

(z)是單值的.如果z

的一個值對應(yīng)著兩個或兩個以上w

的值,那末

稱函數(shù)

f

(z)

是多值的.第五節(jié)復(fù)變函數(shù)定義集合和函數(shù)值集合:集合G

稱為f

(z)的定義集合(定義域);對應(yīng)于G

中所有z

的一切w

值所成的集合G*,稱為函數(shù)值集合.復(fù)變函數(shù)與自變量之間的關(guān)系:復(fù)變函數(shù)w

與自變量

z

之間的關(guān)系w

f

(z)相當(dāng)于兩個關(guān)系式:

u

u(

x,

y),

v

v(

x,

y),它們確定了自變量為x

和y

的兩個二元實變函數(shù).例如,

函數(shù)

w

z2

,

令

z

x

iy,

w

u

iv,則u

iv