概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)-獨(dú)家課件8.第八章

第三節(jié)正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)一、單個(gè)總體的情況二、兩個(gè)總體的情況三、小結(jié)一、單個(gè)總體

N

(

,

2

)的情況),,,

2(均~

為未知的樣本,設(shè)總體

X

N

2212

2

2

2H

0

:

,

H

:,0

1

0(1)要求檢驗(yàn)假設(shè):0其中

0

為已知常數(shù).

設(shè)顯著水平為

,由于

S

2

是

2

的無(wú)偏估計(jì),

當(dāng)

H0

為真時(shí),s2比值 在

附近,擺1

動(dòng)

不應(yīng)過(guò)分大于1或過(guò)分小于1,

2所以可取

域形式為：根據(jù)第六章§2定理二,(n

1)S

2當(dāng)H0

為真時(shí),2~

(n

1),20作為統(tǒng)計(jì)量,n

1)(S

220取

2

若

與1的偏差較大，則20σS

2H

0120S

2

kσ

k220S

2σ或22σ0

S

2σ0

S

2α

P

k1

或

k2

設(shè)2212

Pχ

(n1)k

P

χ

(n1)k定理二指它們的和集域?yàn)?202(n

1)s(n

1)21

/

2202(n

1)s或

2

/

2

(n

1).偏大或偏小的概率看作相等20為計(jì)算方便，將σS

2由此得

k1

n

1χ

21α

/2(n

1)n

1χ

2α

/2(n

1)k2

(2)單邊檢驗(yàn)問(wèn)題的域(設(shè)顯著水平為

)2

0

:,2

2H

0

:

,

H0

1

2右邊假設(shè)檢驗(yàn):

k

.σ

2s20此處k

的值由下式確定:20σS

2α

P{

k}由于S

2

是

2

的無(wú)偏估計(jì),當(dāng)H0

為真時(shí),0域的形式為:比值

應(yīng)小于等于1,

不應(yīng)過(guò)分大于1.σ

2s2

(n

1)

k

P

σ2(n

1)

S

202n

1s2

0

2

(n

1),右邊檢驗(yàn)問(wèn)題的域?yàn)?202(n

1)s2

(n

1).即

同理左邊檢驗(yàn)問(wèn)題:2

2

2

2H

0

:

,

H

:,0

1

0域?yàn)?022n

1)(.n

1)(s21

上述檢驗(yàn)法稱為

2

檢驗(yàn)法.由此得n

1χ

2

(n

1)k

α

解要檢驗(yàn)假設(shè)

H0

:

5000,2H1

:

5000,2這批電池的(

0.02)批這種電池,從它生產(chǎn)情況來(lái)看,所變化.現(xiàn)隨機(jī)的取26只電池,測(cè)出其的波動(dòng)性有的樣本例1

某廠生產(chǎn)的某種型號(hào)的電池,

其

長(zhǎng)期以來(lái)服從方差

2

=5000

(小時(shí)2)

的正態(tài)分布,

現(xiàn)有一的波動(dòng)性較以往的有顯著的變化?方差s2

=9200(小時(shí)2).問(wèn)根據(jù)這一數(shù)據(jù)能否推斷20n

1)(S

22檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

0.99n

2

()215()

11.524,

21

/

2域?yàn)?因?yàn)?/p>

2

25

9200

46500044.314

,H0

,

認(rèn)為這批電池的所以的波動(dòng)性較以往的有顯著的變化.n

26,

0.02,2

0

5000,0.01(25)

44.314,

2

/

2(n

1)

2221

/

2

(n

1)22

/

2(n

1)或

例2 某廠生產(chǎn)的銅絲的折斷力指標(biāo)服從正態(tài)分布,

現(xiàn)隨機(jī)抽取9根,

檢查其折斷力,

測(cè)得數(shù)據(jù)如下

(單位:千克):289,268,285,

284,286,285,

286,298,292.問(wèn)是否可相信該廠生產(chǎn)的銅絲的折斷力的方差為20?(

0.05)解

按題意要檢驗(yàn)

H0

:

20,

H

:

20,2

21s2

20.36,n

9,

x

287.89,查表得0.975(8)

2.18,

20.025(8)

17.5,

2208

20.36

8.14,

2.18

8.14

17.5,(n

1)s220于是故接受H0

,認(rèn)為該廠生產(chǎn)銅絲的折斷力的方差為20.解

,

210要檢驗(yàn)假設(shè)

H

2

Hn

25,0.05(24)

36.415,

2

47.4

36.415,0.124

0.1975(n

1)s220因?yàn)樗?/p>

H0

,認(rèn)為該車床生產(chǎn)的產(chǎn)品沒(méi)有達(dá)到所要求的精度.是否達(dá)到所要求的精度?例2

某自動(dòng)車床生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸服從正態(tài)分布,按規(guī)定產(chǎn)品尺寸的方差

2不得超過(guò)0.1,為檢驗(yàn)該自動(dòng)車床的工作精度,隨機(jī)的取25件產(chǎn)品,測(cè)得樣本方差s2=0.1975,x

3.86

.問(wèn)該車床生產(chǎn)的產(chǎn)品(

0.05)二、兩個(gè)總體N

(

,

2

),

N

(

,

2

)

的情況1

1

2

2設(shè)

X ,

X ,

,

X

為來(lái)自正態(tài)總體N

(

μ

,σ

2

)的樣本,1

2

n1

1

1Y ,Y ,

,Y

為來(lái)自正態(tài)總體N

(

μ

,σ

2

)

的樣本,1

2

n2

2

2且設(shè)兩樣本獨(dú)立,

其樣本方差為

S

2

,

S

2

.1

22

2又設(shè)

1

,

2

,

1

,

2

均為未知,2

2需要檢驗(yàn)假設(shè):

H

0

:

1

2

,2

2H1

:

1

2

,0當(dāng)

H

為真時(shí),21

12

2

E(

S

2

),2

2E(

S

)

2

E(

S

2

),2

221當(dāng)H1

為真時(shí),

E(

S

2

)

12當(dāng)H1

為真時(shí),

觀察值

1

有偏大的趨勢(shì),S

2S

2s

2s

2故 域的形式為

1

k

,2此處k

的值由下式確定:SP

k2

2

S

2

1

2σ2

1)2(因?yàn)棣?

1

2

1

2σ

2

2

k

,σ

S

2

2S

P

α

.

kσSσ

2

2只需令P

1

2

S

2

2

1

2

~

F

(n1

1,

n2

1).2

21

2

1

2

S

2

S

2定理四根據(jù)第六章§2定理四知S

k

α

2

S

2

1

2要使P即

k

F

(

n1

1,

n2

1).2s

2s

2檢驗(yàn)問(wèn)題的域?yàn)?/p>

F

1

F

(n1

1, n2

1).上述檢驗(yàn)法稱為

F

檢驗(yàn)法.同理左邊檢驗(yàn)問(wèn)題:域?yàn)?

2H

1

:

σ1

σ

2

,2

2H0

:

σ1

σ

2

,2s

2s

2F

1

F1α

(n1

1, n2

1).2

2對(duì)于相等性檢驗(yàn)問(wèn)題:

H0

:

σ1

σ

2

,域?yàn)?

22

1

s

2s

2

F

(n

1,

n

1)s

2F

1-

α

(n1

1,

n2

1).2α

1

2或

F

1

F證明過(guò)程留給可愛(ài)的學(xué)生們……s

22

2H

1

:

σ1

σ

2

,例3

兩臺(tái)車床加工同一零件,分別取6件和9件測(cè)2

2量直徑,

得:

sx

0.345,

sy

0.357.

假定零件直徑服從正態(tài)分布,能否據(jù)此斷定車床x加工的零件比(

0.05)車床y的更穩(wěn)定.解

本題為檢驗(yàn)假設(shè)為:2

2H1

:

σx

σ

y

.2

2H0

:

σx

σ

y

,22yss取統(tǒng)計(jì)量F

x

0.3570.345

0.9644,110.05

0.2074,F

(8,

5)

4.82F0.95(5,

8)

故接受H0

,故車床x加工的零件不比車床y的更穩(wěn)定.0.95F

F

(5,

8),解例4分別用兩個(gè)不同的計(jì)算機(jī)系統(tǒng)檢索10個(gè)資料,測(cè)得平均檢索時(shí)間及方差(單位:秒)如下:2

2x

3.097,

y

3.179,

sx

2.67,

sy

1.21,假定檢索時(shí)間服從正態(tài)分布,問(wèn)這兩系統(tǒng)檢索資料有無(wú)明顯差別?

(

0.05)根據(jù)題中條件,首先應(yīng)檢驗(yàn)方差是否相等.2

2假設(shè)

H0

:

x

y

,F0.025(9, 9)

4.03,2

2H1

:

x

y

.F0.975(9, 9)

0.248,22yss取統(tǒng)計(jì)量F

x

2.12,1.212.670.248

F

2.12

4.03,故接受H0

,2

2認(rèn)為

x

y

.再驗(yàn)證

x

y

,假設(shè)H0

:

x

y

,H1

:

x

y

.,n1

n2SX

Y取統(tǒng)計(jì)量t

w1

1

1

1

2

2

.n1

n2

2(n

1)S

2

(n

1)S

22其中Sw當(dāng)H0為真時(shí),t

~

t(n1

n2

2).n1

10,t0.025(18)

2.101,n2

10,X

Yn1

n2S因?yàn)閠

w1

110(2.67

1.21)

218

10故接受H0

,3.097

2.179

1.436

2.101,認(rèn)為兩系統(tǒng)檢索資料時(shí)間無(wú)明顯差別.三、小結(jié)單個(gè)正態(tài)總體方差的檢驗(yàn)法——

2

檢驗(yàn)法;兩個(gè)正態(tài)總體方差的檢驗(yàn)法——F

檢驗(yàn)法;正態(tài)總體均值、方差的檢驗(yàn)法見(jiàn)下表(顯著性水平為

)原假設(shè)H0檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量備擇假設(shè)H1域1

0

0

0(

2已知)Z

X

0

/

n

0

0

0z

zz

z

z

z

/

22

0

0

0(

2未知)t

X

0S

/

n

0

0

0t

t

(n

1)t

t

(n

1)t

t

/

2

(n

1)31

2

1

2

1

2

(

2

,

2已知)1

2Z

X

Y

2

21

2n1

n2

0

0

0

z

z

z

z

z

z

/

21

2

1

2

1

2

(

2

2

2未知)1

2t

X

Y

S

1

1w

n

n1

2(n

1)S

2

(n

2)S

2S

2

1

1

2

2w

n

n

21

2

0

t

t

n1

n2

2)(4

0

0

t

t

n1

n2

2)t

t

/

2

n1

n2

1)原假設(shè)H0檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量備擇假設(shè)H1域5

2

2

(n

1)

2

2

(n

1)1

2

2

(n

1)或

/

2

2

2

(n

1)1

/

2(

2

21

2

2

21

2

2

21

2(1

,2未知)S

2F

1

S

22

2

2F

F

(n1

1,

n2

1)F

F1

(n1

1,

n2

1)F

F

/2

(n1

1,n2

1)或F

F1

/

2

(n1

1,

n2

1)61

2

2

21

2

2

21

27D

0D

0D

0(成對(duì)數(shù)據(jù))t

D

0

SD

/

nD

0D

0D

0t

t

(n

1)t

t

(n

1)t

t

/

2

(n

1)附表8-1原假設(shè)H0檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量備擇假設(shè)H1域(1

21

21

21

2(

,

未知)

2

2

2

2

2

2D(成對(duì)數(shù)據(jù))D

0

0D

021S

2S

2F

SD

/

nD

0t

1

21

21

2

2

2

2

2

2

2DD

0

0D

01

/

2

/

21

2

2

(n

1)

2

2

(n

1)

2

2

(n

1)

2

2

(n

1)或F

F1

/

2

(n1

1,

n2

1)F

F1

(n1

1,

n2

1)F

F

(n1

1,

n2

1)F

F/2

(n1

1,n2

1)或t

t

(n

1)t

t

(n

1)

/

2t

t

(n

1)F

F

(n1