計(jì)算方法-3課件

Chapter3線性代數(shù)方程組的解法第三章線性代數(shù)方程組的解法問(wèn)題的提出線性方程組求解的方法很多，現(xiàn)成的軟件更多，而且會(huì)越來(lái)越多。為什么還要學(xué)習(xí)求解的方法？“軟件”不能解決所有實(shí)際問(wèn)題，常常需要“自力更生”。第三章線性代數(shù)方程組的解法線性方程組的來(lái)源(1)老師布置的習(xí)題象小學(xué)生那樣做“回家作業(yè)”(2)從實(shí)際問(wèn)題中產(chǎn)生的，只需一次性求解的線性方程組找一個(gè)現(xiàn)成的軟件，輸入必需的數(shù)據(jù)，聽(tīng)聽(tīng)音樂(lè)，等著計(jì)算機(jī)把結(jié)果打印出來(lái)。(3)“嵌套”在具體問(wèn)題中的線性方程組將商業(yè)軟件嵌套到自己的程序中去？原始數(shù)據(jù)計(jì)算求解線性方程組中間數(shù)據(jù)分析結(jié)果多次循環(huán)第三章線性代數(shù)方程組的解法臥滴法計(jì)算液體表面張力xz0S

(x,z)fR

化簡(jiǎn)：由于上式中的R和sinf

都與導(dǎo)數(shù)z

和z有關(guān)：所以這實(shí)際上是一個(gè)二階非線性微分方程。如果方程中的參數(shù)g

、z0和R0

都已知，則臥滴子午面外輪廓線可以通過(guò)求解這個(gè)微分方程計(jì)算出來(lái)。第三章線性代數(shù)方程組的解法臥滴法計(jì)算液體表面張力xz0S

(x,z)fR

實(shí)際問(wèn)題：通過(guò)測(cè)量得到的一組子午面輪廓線坐標(biāo)數(shù)據(jù)(xi,zi)，(i=1,2,,n)，計(jì)算微分方程中的參數(shù)g

、z0和R0

。方法原始數(shù)據(jù)估計(jì)值非線性擬合級(jí)數(shù)展開(kāi)(線性化)求解線性方程組計(jì)算參數(shù)近似值達(dá)到精度否輸出，結(jié)束是在程序運(yùn)行過(guò)程中多次求解！第三章線性代數(shù)方程組的解法3.1高斯消去法對(duì)這個(gè)線性方程組：可以從最后一個(gè)方程開(kāi)始：xn=bn/ann將xn代入倒數(shù)第二個(gè)，算出xn-1，逐個(gè)回代計(jì)算：三角矩陣第三章線性代數(shù)方程組的解法增廣矩陣的消元過(guò)程若則：第二行：×第一行0第n行：×第一行0然后，若則對(duì)第i行：×第二行,(i=3,4,,n)重復(fù)上述過(guò)程，逐次消去矩陣主對(duì)角線左下方的元素。第三章線性代數(shù)方程組的解法消元過(guò)程中的誤差問(wèn)題0對(duì)第k次消元，若，則對(duì)第i行(i=k+1,,n)中的第j列(j=k,,n)和，都減去乘上第k行的對(duì)應(yīng)列元素。主元素等于零自然不行。近似于零也不行。太小則誤差大，

同樣必須避免。第三章線性代數(shù)方程組的解法3.2高斯主元素消去法目的避免在消元過(guò)程中使用“小數(shù)”作分母。方法通過(guò)矩陣行列交換，選擇絕對(duì)值較大的數(shù)作為主元素，對(duì)增廣矩陣進(jìn)行消元運(yùn)算。列主元素消去法：選取“列”中的最大元素(p.35~37)行主元素消去法：選取“行”中的最大元素(略)完全主元素消去法：選取絕對(duì)值最大的元素第三章線性代數(shù)方程組的解法完全主元素消去法實(shí)例第一次消元主元素正好數(shù)值最大。第二次消元x1=-0.4907 x2=-0.05095 x3=

0.3674第三章線性代數(shù)方程組的解法增廣矩陣的分割增廣矩陣系數(shù)矩陣A(k)右端向量b(k)子塊第三章線性代數(shù)方程組的解法完全主元素消去法編程方法概要(1)對(duì)k=1,2,,n-1，進(jìn)行以下(2)~(6)的循環(huán)計(jì)算(2)在子塊中選絕對(duì)值最大的元素(主元素)(3)如果主元素太小，，則出錯(cuò)停止計(jì)算(4)如果

ik，則將以及b(k)中的第i行和第k行對(duì)換(5)如果

jk，則將中的第j列和第k列對(duì)換(由于此時(shí)未知數(shù)次序也相應(yīng)調(diào)整，需記錄下來(lái))(6)對(duì)子塊進(jìn)行消元計(jì)算(7)回代計(jì)算未知數(shù)(8)恢復(fù)未知數(shù)原始排列次序，輸出計(jì)算結(jié)果第三章線性代數(shù)方程組的解法高斯列主元素消去法列主元素消去法：1、選取子塊的第k列中的最大元素作為主元素。2、只進(jìn)行“行”的調(diào)換，因此不涉及未知數(shù)次序的變更，便于編程。3、計(jì)算量比完全主元素消去法少，速度快(不重要)。4、但舍入誤差一般比完全主元素消去法略大。這部分內(nèi)容參見(jiàn)教材p.36~37，自學(xué)。第三章線性代數(shù)方程組的解法3.2其他的線性方程組解法三角分解法

(直接三角分解法、平方根法、追趕法)將系數(shù)矩陣A分解為兩個(gè)三角矩陣L和U，從而原方程組:Ax=b

LUx=b，令:Ux=y，先從Ly=b中解出向量y，再?gòu)腢x=y中解出x。迭代法

(雅可比迭代法、高斯-賽德?tīng)柕?、超松弛迭代?將線性方程組改寫(xiě)為：給出一組原始估計(jì)值，依次迭代逼近。第三章線性代數(shù)方程組的解法教學(xué)要求高斯主元素消去法能滿足大部分實(shí)際需求特殊情況下可以使用商業(yè)軟件三角分解法和迭代法可以留到必要時(shí)再自學(xué)掌握高斯主元素消去法，會(huì)編程計(jì)算了解三角分解法和迭代法的基本原理本章教學(xué)要求第三章線性代數(shù)方程組的解法3.3習(xí)題編寫(xiě)一個(gè)用高斯主元素消去法求解線性代數(shù)方程組的程序。具體要求：【補(bǔ)3.1】最大階數(shù)(方程數(shù))n=20n

以及線性方程組的系數(shù)矩陣、常數(shù)矩陣由數(shù)據(jù)文件讀入程序中需要包含出錯(cuò)通道計(jì)算結(jié)果由數(shù)據(jù)文件輸出利用所編寫(xiě)的程序求解習(xí)題三(p.65~68)中的若干習(xí)題第三章線性代數(shù)方程組的解法main(intargc,char*argv[]){FILE*fp;inti,j,code;if(argc>1)strcpy(filename,argv[1]);elsestrcpy(filename,"Gauss.ind");if((fp=fopen(filename,"r"))==NULL){printf("\ninput-datafilenotfound!\n");exit(9);}fscanf(fp,"%d",&number);if((number<2)||(number>MaxElemt)){ printf("\nequationnumbershould>2and<%d!\n",MaxElemt); exit(8);}for(i=0;i<number;i++){ for(j=0;j<number;j++) if((code=fscanf(fp,"%f",&gausa[i][j]))!=1) { printf("\nreadingerrorintheinput-file!\n");exit(7);} if((code=fscanf(fp,"%f",(gausb+i)))!=1) { printf("\nreadingerrorintheinput-file!\n");exit(7);}}fclose(fp);從文件輸入數(shù)據(jù)定義輸入文件主程序開(kāi)始第三章線性代數(shù)方程組的解法if((code=gausmethod())!=0){printf("\nerrorinGauss-subroutine!");printf("\nerrorcode:%3d\n",code*10);exit(6);}if(argc>2)strcpy(filename,argv[2]);elsestrcpy(filename,"Gauss.out");if((fp=fopen(filename,"w"))==NULL)exit(3);printf("\n\n");for(i=0;i<number;i++){fprintf(fp,"%20.6E\n",gausc[i]);printf("%20.6E\n",gausc[i]);}fclose(fp);}調(diào)用函數(shù)過(guò)程計(jì)算結(jié)果同時(shí)輸出到文件和計(jì)算機(jī)屏幕主程序結(jié)束定義輸出文件第三章線性代數(shù)方程組的解法 gausc[number-1]=gausb[number-1]/gausa[number