計算方法-3課件

Chapter3線性代數(shù)方程組的解法第三章線性代數(shù)方程組的解法問題的提出線性方程組求解的方法很多，現(xiàn)成的軟件更多，而且會越來越多。為什么還要學習求解的方法？“軟件”不能解決所有實際問題，常常需要“自力更生”。第三章線性代數(shù)方程組的解法線性方程組的來源(1)老師布置的習題象小學生那樣做“回家作業(yè)”(2)從實際問題中產(chǎn)生的，只需一次性求解的線性方程組找一個現(xiàn)成的軟件，輸入必需的數(shù)據(jù)，聽聽音樂，等著計算機把結(jié)果打印出來。(3)“嵌套”在具體問題中的線性方程組將商業(yè)軟件嵌套到自己的程序中去？原始數(shù)據(jù)計算求解線性方程組中間數(shù)據(jù)分析結(jié)果多次循環(huán)第三章線性代數(shù)方程組的解法臥滴法計算液體表面張力xz0S

(x,z)fR

化簡：由于上式中的R和sinf

都與導數(shù)z

和z有關：所以這實際上是一個二階非線性微分方程。如果方程中的參數(shù)g

、z0和R0

都已知，則臥滴子午面外輪廓線可以通過求解這個微分方程計算出來。第三章線性代數(shù)方程組的解法臥滴法計算液體表面張力xz0S

(x,z)fR

實際問題：通過測量得到的一組子午面輪廓線坐標數(shù)據(jù)(xi,zi)，(i=1,2,,n)，計算微分方程中的參數(shù)g

、z0和R0

。方法原始數(shù)據(jù)估計值非線性擬合級數(shù)展開(線性化)求解線性方程組計算參數(shù)近似值達到精度否輸出，結(jié)束是在程序運行過程中多次求解！第三章線性代數(shù)方程組的解法3.1高斯消去法對這個線性方程組：可以從最后一個方程開始：xn=bn/ann將xn代入倒數(shù)第二個，算出xn-1，逐個回代計算：三角矩陣第三章線性代數(shù)方程組的解法增廣矩陣的消元過程若則：第二行：×第一行0第n行：×第一行0然后，若則對第i行：×第二行,(i=3,4,,n)重復上述過程，逐次消去矩陣主對角線左下方的元素。第三章線性代數(shù)方程組的解法消元過程中的誤差問題0對第k次消元，若，則對第i行(i=k+1,,n)中的第j列(j=k,,n)和，都減去乘上第k行的對應列元素。主元素等于零自然不行。近似于零也不行。太小則誤差大，

同樣必須避免。第三章線性代數(shù)方程組的解法3.2高斯主元素消去法目的避免在消元過程中使用“小數(shù)”作分母。方法通過矩陣行列交換，選擇絕對值較大的數(shù)作為主元素，對增廣矩陣進行消元運算。列主元素消去法：選取“列”中的最大元素(p.35~37)行主元素消去法：選取“行”中的最大元素(略)完全主元素消去法：選取絕對值最大的元素第三章線性代數(shù)方程組的解法完全主元素消去法實例第一次消元主元素正好數(shù)值最大。第二次消元x1=-0.4907 x2=-0.05095 x3=

0.3674第三章線性代數(shù)方程組的解法增廣矩陣的分割增廣矩陣系數(shù)矩陣A(k)右端向量b(k)子塊第三章線性代數(shù)方程組的解法完全主元素消去法編程方法概要(1)對k=1,2,,n-1，進行以下(2)~(6)的循環(huán)計算(2)在子塊中選絕對值最大的元素(主元素)(3)如果主元素太小，，則出錯停止計算(4)如果

ik，則將以及b(k)中的第i行和第k行對換(5)如果

jk，則將中的第j列和第k列對換(由于此時未知數(shù)次序也相應調(diào)整，需記錄下來)(6)對子塊進行消元計算(7)回代計算未知數(shù)(8)恢復未知數(shù)原始排列次序，輸出計算結(jié)果第三章線性代數(shù)方程組的解法高斯列主元素消去法列主元素消去法：1、選取子塊的第k列中的最大元素作為主元素。2、只進行“行”的調(diào)換，因此不涉及未知數(shù)次序的變更，便于編程。3、計算量比完全主元素消去法少，速度快(不重要)。4、但舍入誤差一般比完全主元素消去法略大。這部分內(nèi)容參見教材p.36~37，自學。第三章線性代數(shù)方程組的解法3.2其他的線性方程組解法三角分解法

(直接三角分解法、平方根法、追趕法)將系數(shù)矩陣A分解為兩個三角矩陣L和U，從而原方程組:Ax=b

LUx=b，令:Ux=y，先從Ly=b中解出向量y，再從Ux=y中解出x。迭代法

(雅可比迭代法、高斯-賽德爾迭代法、超松弛迭代法)將線性方程組改寫為：給出一組原始估計值，依次迭代逼近。第三章線性代數(shù)方程組的解法教學要求高斯主元素消去法能滿足大部分實際需求特殊情況下可以使用商業(yè)軟件三角分解法和迭代法可以留到必要時再自學掌握高斯主元素消去法，會編程計算了解三角分解法和迭代法的基本原理本章教學要求第三章線性代數(shù)方程組的解法3.3習題編寫一個用高斯主元素消去法求解線性代數(shù)方程組的程序。具體要求：【補3.1】最大階數(shù)(方程數(shù))n=20n

以及線性方程組的系數(shù)矩陣、常數(shù)矩陣由數(shù)據(jù)文件讀入程序中需要包含出錯通道計算結(jié)果由數(shù)據(jù)文件輸出利用所編寫的程序求解習題三(p.65~68)中的若干習題第三章線性代數(shù)方程組的解法main(intargc,char*argv[]){FILE*fp;inti,j,code;if(argc>1)strcpy(filename,argv[1]);elsestrcpy(filename,"Gauss.ind");if((fp=fopen(filename,"r"))==NULL){printf("\ninput-datafilenotfound!\n");exit(9);}fscanf(fp,"%d",&number);if((number<2)||(number>MaxElemt)){ printf("\nequationnumbershould>2and<%d!\n",MaxElemt); exit(8);}for(i=0;i<number;i++){ for(j=0;j<number;j++) if((code=fscanf(fp,"%f",&gausa[i][j]))!=1) { printf("\nreadingerrorintheinput-file!\n");exit(7);} if((code=fscanf(fp,"%f",(gausb+i)))!=1) { printf("\nreadingerrorintheinput-file!\n");exit(7);}}fclose(fp);從文件輸入數(shù)據(jù)定義輸入文件主程序開始第三章線性代數(shù)方程組的解法if((code=gausmethod())!=0){printf("\nerrorinGauss-subroutine!");printf("\nerrorcode:%3d\n",code*10);exit(6);}if(argc>2)strcpy(filename,argv[2]);elsestrcpy(filename,"Gauss.out");if((fp=fopen(filename,"w"))==NULL)exit(3);printf("\n\n");for(i=0;i<number;i++){fprintf(fp,"%20.6E\n",gausc[i]);printf("%20.6E\n",gausc[i]);}fclose(fp);}調(diào)用函數(shù)過程計算結(jié)果同時輸出到文件和計算機屏幕主程序結(jié)束定義輸出文件第三章線性代數(shù)方程組的解法 gausc[number-1]=gausb[number-1]/gausa[number