《點集拓撲講義》第一章 集合論初步 學(xué)習(xí)筆記

《點集拓撲學(xué)》第一章集合論初步本章介紹有關(guān)集合論的一些基本知識．從未經(jīng)定義的“集合”和“元素”兩個概念出發(fā)，給出集合運算、關(guān)系、映射以及集合的基數(shù)等方面的知識．至于選擇公理，只是稍稍提了一下，進一步的知識待到要用到時再闡述．旨在不會過早地陷入繁難的邏輯困惑之中。這里所介紹的集合論通常稱為“樸素的集合論”，如果對集合的理論有進一步的需求，例如打算研究集合論本身或者打算研究數(shù)理邏輯，可以去研讀有關(guān)公理集合論的專著．即令就樸素集合論本身而言，我們也無意使本章的內(nèi)容構(gòu)成一個完全自我封閉的體系，主要是我們沒有打算重建數(shù)系，而假定讀者了解有關(guān)正整數(shù)，整數(shù)，有理數(shù)，實數(shù)的基本知識，以及其中的四則運算，大小的比較（V和W）,和實數(shù)理論中關(guān)于實數(shù)的完備性的論斷（任何由實數(shù)構(gòu)成的集合有上界必有上確界）等，它們對于讀者決不會是陌生的．此外，對于通常的（算術(shù)）歸納原則也按讀者早已熟悉的方式去使用，而不另作邏輯上的處理．§1.1集合的基本概念集合這一概念是容易被讀者所理解的，它指的是由某些具有某種共同特點的個體構(gòu)成的集體．例如我們常說“正在這里聽課的全體學(xué)生的集合”，“所有整數(shù)的集合”等等．集合也常稱為集，族，類．集合（即通常所謂的“集體”）是由它的元素（即通常所謂的“個體”構(gòu)成的．例如正在這里聽課的全體學(xué)生的集合以正在聽課的每一個學(xué)生為它的元素；所有整數(shù)的集合以每一個整數(shù)為它的元素．元素也常稱為元，點，或成員．集合也可以沒有元素．例如平方等于2的有理數(shù)的集合，既大于1又小于2的整數(shù)的集合都沒有任何元素．這種沒有元素的集合我們稱之為空集，記作0.此外，由一個元素構(gòu)成的集合，我們常稱為單點集．集合的表示法：（1）用文句來描述一個集合由哪些元素構(gòu)成（像前面所作的那樣），是定義集合的一個重要方式．（2）描述法：我們還通過以下的方式來定義集合：記號｛xI關(guān)于x的一個命題P｝表示使花括號中豎線后面的那個命題P成立的所有元素x構(gòu)成的集合.例如，集合｛x|x為實數(shù)，并且0〈x〈l｝即通常所謂開區(qū)間（0,1）.在運用集合這種定義方式時有時允許一些變通，例如集合Ix是實數(shù)｝便是集合W=X,其中x是實數(shù)｝的簡略表示,不難明白這個集合實際上是由全體非負實數(shù)構(gòu)成的．集合表示方式中的豎線“|”也可用冒號“：”或分號“；”來代替．（3）列舉法：也常將一個集合的所有元素列舉出來再加上花括號以表示這個集合.例如嚴1宀，…筑｝表示由元素眄?，…做構(gòu)成的集合.如果確實不至于發(fā)生混淆，在用列舉的辦法表示集合時容許某種省略．例如，有時我們可以用｛1,2,3,???｝表示全體正整數(shù)構(gòu)成的集合，用｛1,3,5,???｝表示全體正奇數(shù)相成的集合.但我們并不鼓勵這種做法，因為后面的規(guī)律不是很清楚,容易產(chǎn)生誤解．我們再三提請讀者注意：不管你用任何一種方式定義集合,最重要的是不允許產(chǎn)生歧義,也就是說你所定義的集合的元素應(yīng)當(dāng)是完全確定的．在本書中,我們用：?+表示全體正整數(shù)構(gòu)成的集合，稱為正整數(shù)集；Z表示全體整數(shù)構(gòu)成的集合,稱為整數(shù)集；Q表示全體有理數(shù)構(gòu)成的集合,稱為有理數(shù)集；R表示全體實數(shù)構(gòu)成的集合,稱為實數(shù)集；并且假定讀者熟知這些集合．以下是一些常用的記號：三：表示元素與集合的關(guān)系，如：x^X,xW｛x｝等匚：表示集合與集合的關(guān)系，如：AuB（等價于（這個記號即是通常數(shù)學(xué)課本中的匚）二：表示與上述相反的含義.二：表示兩個集合相等，如：A=B（等價于衛(wèi)匚￡幾￡匚山）以下的這個定理等價于形式邏輯中的相應(yīng)命題，從直覺著去看也是自明的．定理1.1.1設(shè)A,B,C都是集合，則⑴A=A；若A=B,則B=A；若A=B,B二C,則A=C?定理1.1.2設(shè)A,B,C都是集合，則⑴AuA；若AuB,BuA，貝0A=B；若AuB,BuC，則AuC?證明(1)顯然.AuB意即：若x^A，貝ijx^B；BuA意即：若x^B,則x^A.這兩者合起來正好就是A=B的意思?x^A.由于AuB,故x^B；又由于BuC,從而x^C.綜上所述，如果x^A就有x^C.此意即AuC.因為空集0不含任何元素，所以它包含于每一個集合之中?由此我們可以得出結(jié)論：空集是惟一的?設(shè)A,B是兩個集合.如果AuB,我們則稱A為B的子集；如果A是B的子集，但A又不等于B,即AuB,AHB,也就是說A的每一個元素都是B的元素，但B中至少有一個元素不是A的元素，這時,我們稱A為B的真子集.我們常常需要討論以集合作為元素的集合，并且為了強調(diào)這一特點，這類集合常稱為集族.例如，A二{{1},{1,2},{1,2,3}}是一個集族.它的三個元素分別為：{1},{1,2},{1,2,3}及0.設(shè)X是一個集合，我們常用P(X)表示X的所有子集構(gòu)成的集族,稱為集合X的幕集.例如，集合{1,2}的幕集是P二{{1},{1,2},{2},辺}.本章中所介紹的集合論是所謂“樸素的”集合論．在這種集合論中，“集合”和“元素”等基本概念均不加定義而被認作是自明的．正因為如此，歷史上曾經(jīng)產(chǎn)生過一些悖論.而對于絕大多數(shù)讀者來說了解樸素的集合已是足夠的了，只是要求他們在運用的時候保持適當(dāng)?shù)闹斏?，以免?dǎo)致邏輯矛盾．例如，我們應(yīng)當(dāng)知道一個集合本身不能是這個集合一個元素.即：若A是集合則AEA不成立.這一點是容易理解的．例如，由一些學(xué)生組成的一個班級決不會是這個班級里的一名學(xué)生．因此，我們不能說“所有集合構(gòu)成的集合”，因為如果有這樣一個“集合”的話，它本身既是一個集合，就應(yīng)當(dāng)是這個“所有集合構(gòu)成的集合”的一個元素了．也因此，我們應(yīng)當(dāng)能夠了解一個元素a和僅含一個元素a的單點集{a}是兩回事，盡管我們有時為了行文的簡便而在記號上忽略這個區(qū)別．作業(yè)：掌握集合、元素的概念、表示法熟練區(qū)分“W”與“匸”的意義§1.2集合的基本運算在這一節(jié)中我們介紹集合的并、交、差三種基本運算，這三種運算的基本規(guī)律，以及它們與集合的包含關(guān)系之間的基本關(guān)聯(lián)．定義1.2.1設(shè)A與B是兩個集合.集合｛x|x^A或x^B｝稱為集合A與集合B的并集或并，記作AUB,讀為A并B.集合｛x|x^A且x^B｝稱為集合A與集合B的交集或交，記作AQB,讀為A交B.若AGB二0,貝U稱集合A與集合B無交或不相交；反之，若AGBH0，則稱集合A與集合B有（非空的）交.集合｛x|x^A且x毎B｝稱為集合A與集合B的差集，記作A\B或A—B,讀為A差B,或A減B.關(guān)于集合的并、交、差三種運算之間，有以下的基本規(guī)律．定理1.2.1設(shè)A,B,C都是集合?則以下等式成立：（1） 冪等律AUA=AAPA=A（2） 交換律AUB=BUA APB二BAA結(jié)合律(AUB)UC=AU(BUC)(AAB)AC=AA(BAC)分配律(AAB)UC=(AUC)A(BUC)(AUB)AC=(AAC)U(BAC)DeMongan律A-(BUC)=((A-B)A(A-C)A-((BAC)=(A-B)U(A-C)集合的并、交、差三種運算與集合間的包含關(guān)系之間有著以下基本關(guān)聯(lián)．定理1.2.2設(shè)A,B是兩個集合?下列三個條件等價：AuB；AAB=A；(3)AUB=B．定義1.2.2設(shè)X是一個基礎(chǔ)集.對于X的任何一個子集A,我們稱X-A為A(相對于基礎(chǔ)集X而言)的補集或余集記作占.我們應(yīng)當(dāng)提醒讀者，補集占的定義與基礎(chǔ)集的選取有關(guān)?所以在研究某一個問題時,若用到補集這個概念,在整個工作過程中基礎(chǔ)集必須保持不變．定理1.2.3設(shè)X是一個基礎(chǔ)集?若A,B為X的子集，則Au0=A,Ary0=0,AuX=X,A（^X=A=XrAnA,=0r（AuBY= （AnBy=A,uBl,A,/=A以上證明均只須用到集合的各種定義,此處不證,略去.作業(yè):熟記這兩節(jié)的各種公式.掌握證明兩個集合A=B與AuB的基本方法AuEoFx已扎=heE（衛(wèi)=Eo貝匚EzxEuH）§1.3關(guān)系我們從前在數(shù)學(xué)的各種科目中學(xué)過諸如函數(shù)、次序、運算，以及等價等種種概念，它們的一個共同的特點在于給出了某些給定集合的元素之間的某種聯(lián)系．為了明確地定義它們，我們先定義“關(guān)系”，而為了定義關(guān)系，又必需先有兩個集合的笛卡兒積這個概念．定義1.3.1設(shè)X和Y是兩個集合.集合{（x,y）|xWX,yWY}稱為X與Y的笛卡兒積，記作XXY,讀為X叉乘Y?其中（x,y）是一個有序偶，x稱為（x,y）的第一個坐標，y稱為（x,y）的第二個坐標.X稱為XXY的第一個坐標集，Y稱為XXY的第二個坐標集.集合X與自身的笛卡兒積XXX稱為X的2重（笛卡兒）積,通常簡單記作^2.有點兒不幸的是我們用于有序偶的記號和用于“開區(qū)間”的記號是一樣的，有時容易混淆．因此在可能發(fā)生混淆的情形下應(yīng)當(dāng)加以說明，以避免誤解．給定兩個集合，通過取它們的笛卡兒積以得到一個新的集合，這個辦法對于讀者并不陌生．以前學(xué)過的數(shù)學(xué)中通過實數(shù)集合構(gòu)作復(fù)數(shù)集合，通過直線構(gòu)作平面時，用的都是這個辦法．我們應(yīng)當(dāng)注意，一般說來集合X與集合Y的笛卡兒積XXY完全不同于集合Y與集合X的笛卡兒積YXX.定義1.3.3設(shè)X,Y是兩個集合.如果R是X與Y的笛卡兒積XXY的一個子集，即RuXXY，則稱R是從X到Y(jié)的一個關(guān)系.定義1.3.4設(shè)R是從集合X到集合Y的一個關(guān)系，即R匚XXY.如果(x，y)WR,則我們稱x與y是R相關(guān)的，并且記作xRy.如果AuX，則Y的子集{yWY|存在x^A使得xRy}稱為集合A對于關(guān)系R而言的象集，或者簡單地稱為集合A的象集，或者稱為集合A的R象，并且記作R(A)，R(X)稱為關(guān)系R的值域.關(guān)系的概念是十分廣泛的．讀者很快便會看到，以前在另外的數(shù)學(xué)學(xué)科中學(xué)過的函數(shù)(映射)，等價，序，運算等等概念都是關(guān)系的特例.這里有兩個特別簡單的從集合X到集合Y的關(guān)系，一個是XXY本身，另一個是空集．請讀者自己對它們進行簡單的考查．定義1.3.5設(shè)R是從集合X到集合Y的一個關(guān)系，即R匚XXY.這時笛卡兒積YXX的子集{(y,x)WYXX|xRy}是從集合Y到集合X的一個關(guān)系，我們稱它為關(guān)系R的逆，并且記作礦'?如果BuY,X的子集加(B)是集合B的L象，我們也常稱它為集合B對于關(guān)系R而言的原象，或者集合B的R原象.特別，關(guān)系礦】的值域丈1(Y)也稱為關(guān)系R的定義域.定義1.3.6設(shè)R是從某個X到集合Y的一個關(guān)系，即RuXXY,S是從集合y到集合Z的一個關(guān)系，即S匚YXZ.集合{(x，z)EXXY|存在y^Y使得xRy并且ySz}是笛卡兒積XXZ的一個子集，即從集合X到集合Z的一個關(guān)系，此關(guān)系稱為關(guān)系R與關(guān)系S的復(fù)合或積，記作S°R.定理1?3?1設(shè)R是從集合X到集合Y的一個關(guān)系，S是從集合Y到集合Z的一個關(guān)系，T是從集合Z到集合U的一個關(guān)系?貝y：(7?-1)-1=R(￡口農(nóng))」=宀L⑶Td(EoR)=(ToS)oR證明(略)定理1.3.2設(shè)R是從集合X到集合Y的一個關(guān)系，S是從某個Y到集合Z的一個關(guān)系.則對于X的任意兩個子集A和B,我們有：R(AUB)=R(A)UR(B)；R(ACB)匸R(A)PIR(B)；（3）（S°R）（A）=S（R（A））?證明（略）在本節(jié)的最后我們要提到有限個集合的笛卡兒積的概念，它是兩個集合的笛卡兒積的概念的簡單推廣?定義1.3.7設(shè)兀心尤是n〉1個集合.集合｛（卞1，吃，…耳）|X]亡已兀,…,?已稱為昂，盡，…兀的笛卡兒積，并且記作X^X2 或者口兀其中（兀也，…兀）為有次序的n元素組，?（i=l,2,???n）稱為n元素組（心宀）的第i個坐標，爲(wèi)（i=1,2,…，n）稱為笛卡兒積X],亟，…見的第i個坐標集.n〉1個集合X的笛卡兒積XXXX???XX常簡單地記作n個集合的笛卡兒積的概念讀者必然也不會感到陌生，在線性代數(shù)中n維歐氏空間作為集合而言就是n個直線（作為集合而言）的笛卡兒積?需要提醒讀者的是，如果你在給定的n個集合中交換了集合的次序，一般說來得到的笛卡兒積會是完全不同的集合?至今我們并未定義“0個集合的笛卡兒積”，此事將來再以某種方式補充?（參見§9?1）作業(yè):理解“關(guān)系”的概念,掌握“關(guān)系”與“映射”的異同,“映射”與“函數(shù)”的異同.（映射要求象惟一,關(guān)系沒要求.函數(shù)要求定義域與值域是數(shù)域,而映射不一定）掌握運算乘積的概念與性質(zhì)掌握集合的笛卡兒積中元素的形式§1.4等價關(guān)系初等數(shù)論中的同余類的概念，群論中的商群的概念，乃至于解析幾何中的自由向量的概念等等都是讀者所熟知的．這些概念的精確定義事實上都有賴于本節(jié)中所討論的等價關(guān)系的概念．在本書中我們將通過等價關(guān)系來定義拓撲空間的商空間．定義1.4.1設(shè)X是一個集合.從集合X到集合X的一個關(guān)系將簡稱為集合X中的一個關(guān)系.集合X中的關(guān)系｛(x,x)|x^X｝稱為恒同關(guān)系，或恒同，對角線，記作A(X)或厶.定義1.4.2設(shè)R是集合X中的一個關(guān)系.關(guān)系R稱為自反的，如果△(*)uR，即對于任何x^X,有xRx；關(guān)系R稱為對稱的，如果應(yīng)=小，即對于任何x，y^X，如果xRy則yRx；關(guān)系R稱為反對稱的，如果AnA-1=0，即對于任何x，yWX，xRy和yRx不能同時成立；關(guān)系R稱為傳遞的，如果R^RuR，即對于任何x，y，z^X，如果xRy，yRz，則有xRz．集合X中的一個關(guān)系如果同時是自反、對稱和傳遞的，則稱為集合X中的一個等價關(guān)系．容易驗證集合X中的恒同關(guān)系A(chǔ)(X)是自反、對稱、傳遞的，因此是X中的一個等價關(guān)系.集合X的幕集P(X)中兩個元素(即集合X的兩個子集)之間的“相等關(guān)系”可以理解為集合P(X)XP(X)的子集{(A,B)|A,BWP(X),A=B}從定理1.1.1中可見，它是自反、對稱、傳遞的，因此是P(X)中的一個等價關(guān)系．集合X的幕集P(X)中兩個元素(即集合X的兩個子集)之間的“包含關(guān)系”可以理解為集合P(X)XP(X)的子集{(A,B)|A,BEP(X),AuB}根據(jù)定理1.1.2可見,它是自反的、傳遞的,但容易知道它不是對稱的，因此不是P(X)中的一個等價關(guān)系.集合X的幕集P(X)中兩個元素(即集合X的兩個子集)之間的“真子集關(guān)系”可以理解為集合P(X)XP(X)的子集{(A,B)|A,BEP(X),A匸B,AHB}根據(jù)定理1.1.3可見,它是反對稱的,傳遞的,但它不是自反的因而不是P(X)中的一個等價關(guān)系.實數(shù)集合R中有一個通常的小于關(guān)系V,即RXR的子集{(x,y)|x,yWR,xVy}容易驗證關(guān)系V是反對稱的，傳遞的，但不是自反的.設(shè)p是一個素數(shù)，我們在整數(shù)集合Z中定義一個關(guān)系三p如下：J={(x,y)WZXZ|存在n^Z使得x—y=np}關(guān)系S常稱為模p等價關(guān)系，容易驗證模p等價關(guān)系豈是自反的,對稱的，傳遞的，因此是Z中的一個等價關(guān)系.定義1.4.3設(shè)R是集合X中的一個等價關(guān)系.集合X中的兩個點x,y,如果滿足條件：xRy,則稱x與y是R等價的，或簡稱為等價的;對于每一個xWX,集合X的子集：｛yWX|xRy｝稱為x的R等價類或等價類，常記作園盤或［x］,并且任何一個yW都稱為R等價類［刃盤的一個代表元素；集族｛園盤|xEX｝稱為集合X相對于等價關(guān)系R而言的商集，記作X／R．我們考慮整數(shù)集合Z中的模2等價關(guān)系勺,易見，1巳3和2巳8.因此1與3是勺等價的，2和8也是勺等價的.整數(shù)2所屬的等價類是所有偶數(shù)構(gòu)成的集合，每一個偶數(shù)都可以叫做這個等價類的一個代表元素.此外易見，商集Z/三2有且僅有兩個元素：一個是所有奇數(shù)構(gòu)成的集合，另一個是所有偶數(shù)構(gòu)成的集合.下面這個定理說明，給定了一個等價關(guān)系，等于說給定了一個分類的原則，把一個非空集合分割成一些非空的兩兩無交的等價類，使得這集合的每一個元素都在某一個等價類中.定理1.4.1設(shè)R是非空集合X中的一個等價關(guān)系?貝y：如果x^X,則xW,因而［心對于任意x,yWX,或者園日刈盤，或者［心c［皿=0證明設(shè)x^X,由于R是自反的，所以xRx,因此xW［心，??.［忑］盤工0?（3）對于任意x,y^X,如果，設(shè)zW［x］C［y］?此時有zRx,且zRy?由于R是對稱的，所以xRz?又由于R是傳遞的，所以xRy?對于任何一個t三園盤,有tRx,由上述xRy和R的傳遞性可見tRy,即t三加盤.這證明［心匚［川同理可證Wu［刃盤.因此［時盤二Ah（注意：要證或者…或者…,應(yīng)從以下入手：否定掉一個，去證另一個）在初等數(shù)論中我們早就知道整數(shù)模（素數(shù)）p的等價關(guān)系豈將整數(shù)集合Z分為互不相交的等價類，每一個等價類記作［碼，稱為整數(shù)x的模P同余類.讓我們再回憶一下在解析幾何學(xué)中定義自由向量的過程：首先將固定向量定義為平面（或n維歐氏空間）中的有序偶；然后在全體固定向量構(gòu)成的集合（暫時記為X）中定義一個關(guān)系~,使得兩個固定向量x和丫~相關(guān)（即x~y）當(dāng)且僅當(dāng)x能通過平面（或n維歐氏空間）的一個平移與y重合.容易驗證這個關(guān)系?是X中的一個等價關(guān)系.每一個~等價類便稱為一個自由向量?作業(yè)：熟練掌握等價關(guān)系，等價類的概念.掌握商集的概念.明確商集的構(gòu)成§1.5映射數(shù)學(xué)分析中的函數(shù)概念，群論中的同態(tài)概念，線性代數(shù)中的線性變換概念等等都是讀者所熟知的概念．這些概念的精確定義事實上都有賴于本節(jié)中所討論的映射概念．定義1.5.1設(shè)F是從集合X到集合Y的一個關(guān)系.如果對于每一個xWX存在惟一的一個yWY使得xFy,則稱F是從X到Y(jié)的一個映射,并且記作F：X-Y.換言之，F(xiàn)是一個映射，如果對于每一個xEX：存在y三丫,使得xFy；如果對于戸必WY有忑砌和疋觀，則戸=旳.定義1.5.2設(shè)X和Y是兩個集合，F(xiàn)：X-Y(讀做F是從X到Y(jié)的一個映射).對于每一個x^X，使得xFy的唯一的那個yWY稱為x的象或值，記作F(x)；對于每一個yWY，如果xEX使得xFy(即y是x的象)，則稱x是y的一個原象(注意：y^Y可以沒有原象，也可以有不止一個原象)．由于映射本身便是關(guān)系，因此，如果F是從集合X到集合Y的一個映射，那么：對于任何AuX，象F(A)有定義，并且F(A)二{F(x)|xWA}對于任何BuY，原象F"(B)有定義，并且廠1(B)={xEX|F(x)EB}(注意:F-i(x)與嚴({x})的異同，前者不一定有意義,而后者總存在；前者表示元素，后者表示集合)

（3）如果Z也是一個集合并且G：Y-Z，則關(guān)系的復(fù)合G°F作為一個從X到Z的關(guān)系有定義；（4） 嚴】作為從Y到X的一個關(guān)系有定義，但一般說來不是一個從Y到X的映射（這要看F是否是一一映射）；（5） F的定義域有定義，并且它就是X；（意味著X中的每個元素都必須有象）（6） F的值域有定義，并且它就是F（X）.（F（X）不一定充滿Y）定理1.5.1設(shè)X，Y和Z都是集合?如果F：X-Y和G：Y-Z，則G°F：X-Z；并且對于任何xWX，有G°F（x）=G（F（x））（這實際上是映射的積的本質(zhì)）證明（略）（但要理解上式等號左右兩邊的不同含義,前者是兩個映射的積（也是一個映射）作用在x上,后者是F先作用在x上，然后G再作用在F（x）上）.今后我們常用小寫字母f，g，h，……表示映射.定理1.5.2設(shè)X和Y是兩個集合，f:X~Y.如果A，BuY(1)廣'(AUB)=/“(A)U廣(1)廣'(AUB)=/“(A)U廣i(B)；(2)廣'(AnB)=/“(A)門廣i(B)；(A—B)=^(A)一廠(B)?簡言之，映射的原象保持集合的并，交，差運算.證明（略）?定義1.5.3設(shè)X和Y是兩個集合，X-Y.如果Y中的每一個點都有原象（即f的值域為Y,亦即f（X）二Y），則稱f是一個滿射，或者稱f為一個從X到Y(jié)上的映射；如果X中不同的點的象是Y中不同的點（即對于任何“迂疋，如果可工牝，則有心工g，則稱f是一個單射；如果f既是一個單射又是一個滿射，則稱f為一個既單且滿的映射，或者一一映射．如果f（X）是一個單點集，則稱f是一個常值映射，并且當(dāng)f（X）={y}時，我們也說f是一個取常值y的映射.易見，集合X中的恒同關(guān)系A(chǔ)（X）是從X到X的一個一一映射，我們也常稱之為（集合X上的）恒同映射或恒同，有時也稱之為單位映射，并且也常用記號儀或i：X-X來表示它.根據(jù)定義易見，對于任何xEX，有i（x）=x.概言之，恒同映射便是把每一個點映為這個點自身的映射．由于下面的這個定理，一一映射也稱為可逆映射．定理1?5?3設(shè)X和Y是兩個集合?又設(shè)f:X~Y?如果f是一個一一映射，則廠便是一個從Y到X的映射（因此我們可以寫廠：Y-X）,并且是既單且滿的?此外我們還有：廠m和「廣證明（略）定理1.5.4設(shè)X，Y和Z都是集合，f:X~Y,g：Y~Z?如果f和g都是單射，則gof:X~Z也是單射；如果f和g都是滿射，則gof:X~Z也是滿射?因此，如果f和g都是—映射，則g。f:X~Z也是一一映射．這個定理的證明留給讀者．定義1.5.4設(shè)X和Y是兩個集合,A是X的一個子集.映射f:X-Y和g：A—Y如果滿足條件gcf即對于任何a^A有f(a)=g(a),則稱g是f的限制，也稱f是g的一個擴張，記作^=/\a.特別地，恒同映射儀：X—X在X的子集A上的限制吹dA—X稱為內(nèi)射?這時我們有對于任何a^A,尬L(a)=a.將映射定義作為一種特別的關(guān)系，從理論上來說是十分清晰的．這樣做的本意在于使得在我們的理論系統(tǒng)中除了“集合”和“元素”不再有任何未經(jīng)定義的對象.如果每一次定義一個映射都要將這個映射寫成它的定義域與值域的笛卡兒積的一個子集，這畢竟是件麻煩事；因此我們在定義映射時寧愿采用我們從前慣用的辦法：為定義域中的每一個點指定值域中的一個點作為它的象.以下我們定義往后經(jīng)常要用到的兩個映射作為例子.定義1.5.5設(shè)站…｝是口＞0個集合，lWiWn.從笛卡兒積X=X^X2^...Xn到它的第i個坐標集血的投射(或稱第i個投射)鳳：X—逅定義為對于每一個x=(九也，…耳)e畫申㈤=為定義1.5.6設(shè)R是集合X中的一個等價關(guān)系.從集合X到它的商集X/R的自然投射：p:X—X/R定義為對于每一個xEX,p(x)二［心.作業(yè):熟練掌握本節(jié)的所有定義與定理；注意定理1.3.2（2）與定理1.5.2的區(qū)別熟練記憶P23習(xí)題1.2與定理1.5.2.§1.6集族及其運算設(shè)「是一個集合.如果對于每一個Y三「，指定了一個集合A,我們就說給定了一個有標集族⑺或者在不至于引起混淆的情形下干脆說給定了一個集族，同時「稱為（有標）集族⑺丿“的指標集.定理1.6.2設(shè)阿｝"是一個非空的有標集族，A是一個集合?則（1）對于任何*亡「，門匹4匚厶匚5「兔（2）分配律：.40